專題拓展：圓錐曲線的最值與范圍問題一、圓錐曲線中的最值范圍問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：1、幾何法：通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；2、代數(shù)法：把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．二、最值范圍問題的一般解題步驟第一步設(shè)參數(shù)：依題意設(shè)出相關(guān)的參數(shù)，如設(shè)點坐標(biāo)，設(shè)比例式的參數(shù)，設(shè)直線的方程等；第二步聯(lián)立方程：常把直線方程與曲線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程；第三步求最值：根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式；第四步求最值：利用配方法、基本不等式法、單調(diào)性法等求其最值．三、參數(shù)取值范圍問題1、利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；2、利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；3、利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；4、利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；5、利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．

考點一：距離或長度的最值范圍例1．（23-24高二下·河南·期末）已知橢圓的右焦點為，離心率為，過的直線交于兩點，為坐標(biāo)原點，當(dāng)時，．(1)求的方程；(2)過的另一條直線交于兩點，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的最大值．【變式1-1】（23-24高二上·重慶·期末）已知拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是.(1)求拋物線的方程；(2)已知過點的直線與交于，兩點，線段的中垂線與的準(zhǔn)線交于點，且線段的中點為，求的最小值.【變式1-2】（23-24高二下·廣東·階段聯(lián)考）雙曲線的左頂點為，焦距為4，過右焦點作垂直于實軸的直線交于、兩點，且是直角三角形．(1)求雙曲線的方程；(2)、是右支上的兩動點，設(shè)直線、的斜率分別為、，若，求點到直線的距離的取值范圍．考點二：多邊形面積的最值范圍例2.（23-24高二上·山西朔州·期末）若橢圓過拋物線的焦點，且與雙曲線有相同的焦點．(1)求橢圓E的方程；(2)不過原點O的直線與橢圓E交于A、B兩點，求面積的最大值以及此時直線l的方程．【變式2-1】（23-24高二上·福建寧德·期末）拋物線被直線截得的弦的中點的縱坐標(biāo)為1．(1)求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)過拋物線的焦點作兩條互相垂直的直線，，直線與拋物線相交于，兩點，直線與拋物線相交于，兩點，求四邊形的面積的最小值．【變式2-2】（23-24高二下·浙江·期中）已知點為焦點在軸上的等軸雙曲線上的一點.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線且交雙曲線右支于兩點，直線分別交該雙曲線斜率為正的漸近線于兩點，設(shè)四邊形和三角形的面積分別為和，求的取值范圍.考點三：坐標(biāo)或截距的最值范圍例3.（23-24高二上·云南大理·期末）已知是雙曲線上的一點，分別是的左、右焦點，若．(1)求雙曲線的離心率；(2)當(dāng)時，求的取值范圍．【變式3-1】（23-24高二下·內(nèi)蒙古·月考）已知過點的動直線l與拋物線相交于兩點.當(dāng)直線l的斜率是時，.(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍.【變式3-2】（23-24高二上·陜西漢中·月考）雙曲線焦點是橢圓C：頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)動點在橢圓C上，且，記直線在軸上的截距為，求的最大值.考點四：斜率或傾斜角的最值范圍例4.（22-23高二上·江蘇徐州·期中）已知雙曲線的漸近線方程為，且虛軸長為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線相交于不同的兩點，且滿足，求的取值范圍.【變式4-1】（22-23高二上·河南·期末）已知橢圓方程短軸長為2，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)作直線與橢圓交于兩個不同的點，如果線段MN的中點在直線上，求直線的斜率的取值范圍．【變式4-2】（22-23高二上·吉林·期末）已知拋物線焦點為F，點在拋物線上，.(1)求拋物線方程；(2)過焦點F直線l與拋物線交于MN兩點，若MN最小值為4，且是鈍角，求直線斜率范圍.考點五：向量代數(shù)式的最值范圍例5.（22-23高二上·山東德州·期中）已知圓M：，點，P是圓M一動點，若線段PN的垂直平分線與PM交于點Q．(1)求點Q的軌跡方程C；(2)若點A是曲線C上的動點，求的最大值（其中O為坐標(biāo)原點）．【變式5-1】（23-24高二下·江西新余·期末）已知雙曲線的方程為，實軸長和離心率均為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；(2)過且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，求的值（為坐標(biāo)原點）.【變式5-2】（23-24高二下·河北衡水·一調(diào)）已知F是拋物線E：的焦點，是拋物線E上一點，與點F不重合，點F關(guān)于點M的對稱點為P，且．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點的直線與拋物線E交于A，B兩點，求的最大值．考點六：參數(shù)的最值范圍例6.（22-23高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知，分別是橢圓的左右頂點.橢圓長軸長為6，離心率為.為坐標(biāo)原點，過點，且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于、兩個不同的點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線的斜率為正時，設(shè)直線、分別交軸于點，記，，求的取值范圍.【變式6-1】（23-24高二上·山東青島·月考）已知拋物線上的一點到拋物線的焦點的距離是.(1)求拋物線的方程；(2)已知過點的直線與C交于，兩點，線段的中垂線與的準(zhǔn)線交于點，且線段的中點為，設(shè)，求實數(shù)的取值范圍.【變式6-2】（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知點分別為雙曲線的左頂點和右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點，的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，記，的面積分別為，（為坐標(biāo)原點）．若，求實數(shù)的取值范圍．1．（23-24高二上·北京西城·期末）已知橢圓的一個焦點為，四個頂點構(gòu)成的四邊形面積等于12.設(shè)圓的圓心為為此圓上一點.(1)求橢圓的離心率；(2)記線段與橢圓的交點為，求的取值范圍.2．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知拋物線：，點在上．(1)求的方程；(2)若點是的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，求的最小值．3．（23-24高二上·安徽亳州·月考）已知，在橢圓C：上，，分別為C的左、右焦點．(1)求a，b的值及C的離心率；(2)若動點P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側(cè)，求四邊形的面積的取值范圍．4．（23-24高二上·四川宜賓·月考）已知拋物線的焦點為F，點是拋物線上的點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線交于、兩點，且.求△OPQ面積的最小值.5．（23-24高二上·江蘇常州·期末）已知橢圓的右焦點為，點在上．(1)求的方程；(2)斜率為1的直線與交于，兩點，線段的中點為，求點的橫坐標(biāo)的取值范圍．6．（23-24高二上·重慶·月考）已知點在拋物線上.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)、是拋物線上異于原點的兩個動點，若，求直線在軸上的截距的取值范圍.7．（23-24高二上·福建福州·期末）若雙曲線的一個焦點是，且離心率為2．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點，過焦點的直線與雙曲線的兩支相交于A，B兩點，求直線MA和MB的斜率之和的最大值．8．（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知拋物線：上的點到焦點的距離為．(1)求拋物線的方程；(2)過拋物線上一點（異于坐標(biāo)原點）作切線，過作直線，交拋物線于，兩點．記直線，的斜率分別為，，求的最小值．9．已知橢圓C：左、右焦點分別、，長軸長為，且橢圓C的離心率與雙曲線的離心率乘積為1，P為橢圓C上一點，直線交橢圓C于另一點Q.(1)求橢圓C的方程；(2)若且，求的最大值.10．（23-24高二上·河南·期末）已知雙曲線的焦點到漸近線的的距離為3，離心率為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點為坐標(biāo)原點，求的取值范圍.11．（23-24高二上·吉林通化·月考）已知為橢圓的左?右焦點，點為其上一點，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程