專題拓展：圓錐曲線焦點三角形問題一、焦點三角形的定義與常用性質(zhì)1、定義：橢圓上一點與橢圓的兩個焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”。一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識，建立，，之間的關系，采用整體代入的方法解決焦點三角形的面積、周長及角的有關問題（設為θ）2、常用性質(zhì)性質(zhì)1：，（兩個定義）拓展：的周長為的周長為性質(zhì)2：（余弦定理）性質(zhì)3：當為短軸的端點時，最大推導：由性質(zhì)2得，.∵，當且僅當時，即點是短軸端點時取等號，∴.又∵在上單調(diào)遞減，∴當為短軸的端點時，最大。性質(zhì)4：當，即為短軸的端點時，的面積最大，最大值為推導：由性質(zhì)3的推導過程得,∴，∴二、雙曲線的焦點三角形1、如圖，、是雙曲線的焦點，設P為雙曲線上任意一點，記，則的面積.2、焦半徑公式：如圖，對于雙曲線，，對雙曲線，其焦半徑的范圍為.3、雙曲線中，焦點三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.證明：設內(nèi)切圓與的切點分別為，則由切線長定理可得,因為，，所以，所以點的坐標為，所以點的橫坐標為定值a.4、如圖，過焦點的弦的長為，則的周長為.考點一：焦點三角形的周長例1．（23-24高二上·天津·月考）已知橢圓：，過左焦點的直線交于A，兩點，則的周長為（

）A．12 B．16 C．20 D．32【變式1-1】（23-24高二上·江西·月考）已知橢圓，過作直線與交于兩點，則的周長為（

）A．24 B．20 C．16 D．12【變式1-2】（23-24高二下·江蘇鹽城·月考）已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，則的周長為（

）A．20 B．22 C．28 D．36【變式1-3】（23-24高二下·河北邢臺·期中）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，，點P在C的右支上，且的周長為，則（

）A． B． C． D．考點二：焦點三角形的面積例2.（23-24高二上·重慶·期末）若點在橢圓上，，分別是橢圓的兩焦點，且，則面積是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高二上·陜西西安·期中）已知點在橢圓上，點，分別為橢圓的左、右焦點，滿足，的面積為，橢圓的焦距為，則橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高二上·四川成都·月考）設，分別是雙曲線的下、上焦點，P是該雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A．12 B．24 C． D．【變式2-3】（23-24高二上·河南南陽·期末）若橢圓和雙曲線的共同焦點為，，是兩曲線的一個交點，則的面積值為（

）A．4 B．8 C．12 D．16考點三：焦點三角形的內(nèi)角例3.（23-24高二上·山西呂梁·期中）已知，分別是橢圓的左，右焦點，是橢圓上一點，且，則（

）A． B． C． D．【變式3-1】（23-24高二上·河北唐山·期中）橢圓的焦點為、，若點在上且滿足，則中最大角為（

）．A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高二上·河北衡水·月考）已知，分別是雙曲線的左、右兩個焦點，點在雙曲線的右支上，且，則（

）A． B． C． D．【變式3-3】（22-23高二下·貴州黔東南·期末）已知分別是雙曲線的左、右焦點，是坐標原點，點是雙曲線上一點，且，則（

）A． B． C． D．考點四：焦點三角形的內(nèi)切圓例4.（23-24高二上·吉林·期末）已知橢圓方程為，P為橢圓上一點，若，為的內(nèi)切圓，則（

）A． B． C． D．【變式4-1】（23-24高二上·全國·專題練習）已知一個離心率為，長軸長為4的橢圓，其兩個焦點為，，在橢圓上存在一個點P，使得，設的內(nèi)切圓半徑為r，則r的值為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（22-23高二上·陜西咸陽·月考）已知，為雙曲線的左，右焦點，為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，設的內(nèi)切圓半徑為，圓心為，若，則（

）A． B． C． D．【變式4-3】（22-23高二上·遼寧沈陽·期末）是雙曲線右支在第一象限內(nèi)一點，，分別為其左、右焦點，為右頂點，如圖圓是的內(nèi)切圓，設圓與，分別切于點，，當圓的面積為時，直線的斜率為（

）A． B．或0 C．0 D．考點五：焦點三角形的中位線例5.（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）焦點為的橢圓上有一點，若線段的中點落在軸上，則．【變式5-1】（23-24高二上·內(nèi)蒙古·期末）已知分別是橢圓的左?右焦點，為上一點，與的頂點不重合，分別為的中點，為坐標原點，且，則的焦距為．【變式5-2】（23-24高二上·貴州安順·期末）已知雙曲線的左焦點為F，點P在雙曲線C的右支上，M為線段FP的中點，若M到坐標原點的距離為7，則（

）A．8或20 B．20 C．6或22 D．22【變式5-3】（23-24高二下·福建南安·月考）已知雙曲線：的離心率為2，的左?右焦點分別為，，點在的右支上，的中點在圓：上，其中為半焦距，則（

）A． B． C． D．考點六：焦點三角形的角平分線例6.（23-24高二上·山東鄒平·月考）、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，過作的角平分線的垂線，垂足為，若則的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式6-1】（23-24高二下·河南鄭州·開學考試）已知為橢圓上的點，分別為橢圓的左、右焦點，橢圓的離心率為的平分線交線段于點，則（

）A．2 B． C． D．【變式6-2】（23-24高二上·福建廈門·月考）如圖所示，已知，是橢圓的左右焦點，P是橢圓上任意一點，過作的外角的角平分線的垂線，垂足為Q，則點Q的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【變式6-3】（22-23高二上·江蘇南通·月考）橢圓的左、右焦點分別為，，過作傾斜角為的直線交橢圓于點（在軸的上方），連接，再作的角平分線，點在上的投影為點，則（其中為坐標原點）的長度為（

）A． B．1 C． D．一、單選題1．（23-24高二上·江西撫州·月考）橢圓的兩個焦點分別為，，點在橢圓上運動，則的周長為（

）A．6 B． C．8 D．102．（23-24高二上·四川德陽·期末）設、是橢圓：的兩個焦點，點P在C上，若為直角三角形，則的面積為（

）A． B． C．或1 D．1或3．（23-24高二上·重慶·月考）已知橢圓C：的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在橢圓C上，當△MF1F2的面積最大時，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為（

）A．3 B．2 C． D．4．（22-23高二上·廣東·月考）已知橢圓，，是橢圓的左、右焦點，焦距為，是橢圓上一點，是的外角平分線，過作的垂線，垂足為，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高二上·湖南益陽·期末）已知是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，，且，則的值為（

）A． B．4 C．5 D．86．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的左，右焦點分別為為雙曲線右支上一點，且的中點在以為圓心，為半徑的圓上，則（

）A．6 B．4 C．2 D．1二、多選題7．（23-24高二上·遼寧沈陽·月考）已知P為雙曲線右支上的一個動點（不經(jīng)過頂點），，分別是雙曲線的左、右焦點，的內(nèi)切圓圓心為，過做，垂足為A，下列結論正確的是（

）A．的橫坐標為2 B．C． D．8．（23-24高二下·四川成都·開學考試）已知橢圓的左，右焦點分別為，，點P是橢圓C上的任意一點，則（

）A． B．的最大值為C．的最小值為4 D．的最大值為4三、填空題9．（23-24高二上·安徽安康·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則．10．（22-23高二下·四川遂寧·期末）設雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為．11．（23-24高二上·上海浦東新·期中）雙曲線的焦距是實軸長的倍，點是該雙曲線的兩焦點，P在雙曲線C上，