專題拓展：圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題一、橢圓與雙曲線的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有。證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。焦點(diǎn)在y軸：直線(存在斜率)過橢圓()上兩點(diǎn)、，線段中點(diǎn)為，則有。3、雙曲線的用點(diǎn)差法同理，可得二、拋物線的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法設(shè)直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)、，中點(diǎn)坐標(biāo)為代入拋物線方程，，，將兩式相減，可得，整理可得：三、點(diǎn)差法在圓錐曲線中的結(jié)論1、橢圓：2、雙曲線：3、拋物線：考點(diǎn)一：中點(diǎn)弦所在直線斜率(方程)例1．（22-23高二上·江西南昌·月考）已知直線交橢圓于兩點(diǎn)，若點(diǎn)為兩點(diǎn)的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】橢圓，依題意可知直線的斜率存在，設(shè)，則，兩式相減并化簡得，即，所以直線的斜率為.故選：D【變式1-1】（23-24高二上·天津和平·期末）直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，則直線l的斜率為代入，得，兩式相減得：.又線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)，則.則.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故選：D【變式1-2】（22-23高二下·湖北孝感·期中）過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A【變式1-3】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，代入拋物線，可得，兩式相減得，所以直線的斜率為，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，可得，所以，即直線的斜率為.故選：C.考點(diǎn)二：弦中點(diǎn)的坐標(biāo)求解例2.（23-24高二上·貴州六盤水·月考）已知橢圓，過點(diǎn)，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得又由，兩式相減得，則，得．故選：B.【變式2-1】（22-23高二上·四川成都·期末）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，設(shè)，因?yàn)樵跈E圓上，所以，兩式相減得，即，即，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，所以，經(jīng)檢驗(yàn)C、D不滿足，A、B選項(xiàng)均滿足，但在橢圓外，不符合條件，故選：A.【變式2-2】（23-24高二上·湖北·期中）若拋物線上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，且，則中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，故和直線垂直，所以，故，又，所以，故中點(diǎn)坐標(biāo)是，即故選：B【變式2-3】（23-24高二上·江西贛州·期中）已知A，B為雙曲線C：上的兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于直線：對稱，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】由題意可知：直線：的斜率為，可知直線的斜率，設(shè)，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，，因?yàn)锳，B為雙曲線C：上的兩點(diǎn)，則，兩式相減整理得，即，解得，即直線，聯(lián)立方程，解得，可知線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.考點(diǎn)三：求弦中點(diǎn)的軌跡問題例3.（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】(或).【解析】設(shè)直線為，與雙曲線交點(diǎn)為，聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點(diǎn)為，所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為(或).故答案為：(或)【變式3-1】（23-24高二上·江蘇蘇州·月考）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，所以，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，則，所以，，化簡可得.因此，線段的中點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.【變式3-2】（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)R（1，0）作動(dòng)弦MN，則弦MN中點(diǎn)P的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【解析】設(shè)，，P（x，y）,則，相減后可得：，將代入得，整理得，軌跡為橢圓．故選B．【變式3-3】（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）求過定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（或）.【解析】因?yàn)樵撝本€的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為，且設(shè)該直線被雙曲線截得的弦AB對應(yīng)的中點(diǎn)為，，.由得.則，即，且，所以，即，，且，，所以，.由，即，，代入消去k得.又，且，，故或.故弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為（或）.考點(diǎn)四：根據(jù)中點(diǎn)弦求曲線方程例4.（23-24高二上·安徽六安·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，設(shè)，代入橢圓方程，可得兩式相減可，變形可得，又過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，所以，代入上式可得，，又，解得，所以橢圓的方程為.故選：C【變式4-1】（23-24高二上·四川自貢·月考）已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為F（4，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯(lián)立解得．∴橢圓的方程為：．故選：C．【變式4-2】（23-24高二上·江西上饒·月考）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交雙曲線E于A、B兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則E的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，兩式相減得，即，化簡得，又，解得，所以雙曲線的方程為：.故選：D.【變式4-3】（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）若拋物線C：存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，請寫出一個(gè)滿足條件的拋物線方程為.【答案】（答案不唯一）【解析】拋物線存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則該點(diǎn)在拋物線開口內(nèi)，即當(dāng)時(shí)，.可取，則滿足條件的拋物線方程為.故答案為：（答案不唯一）考點(diǎn)五：根據(jù)中點(diǎn)弦求離心率例5.（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)A，直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若F恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，的中點(diǎn)為點(diǎn)，，兩式相減得，化解得，即，得，所以，，，由F恰好為的重心，則，即，得，，即，，所以，則，平方后得，，即，解得：或，由條件，得，即，得，所以.故選：A【變式5-1】（23-24高二下·廣東·月考）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，如圖，過點(diǎn)作傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，橢圓的左焦點(diǎn)為，，過作軸，垂足為，由，得，，則，設(shè)，則有，，由，兩式相減得，則有，所以.故選：B.【變式5-2】（23-24高二上·廣東深圳·期末）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè),因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，則，兩式相減可得：，整理得，即，所以，所以.故選：D.【變式5-3】（22-23高二上·浙江寧波·期末）過雙曲線內(nèi)一點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，弦恰好被平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，且，又因?yàn)?，所以，即有，所以，所以，所以，所以，所?故選：C.考點(diǎn)六：直線與曲線相交中點(diǎn)弦長例6.（23-24高二上·河北石家莊·月考）若橢圓的弦的中點(diǎn)為，則弦的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，可得，又因?yàn)樵跈E圓上，可得，兩式相減可得，可得，即直線的斜率為，所以弦的直線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，由弦長公式，可得.故選：A.【變式6-1】（23-24高二下·云南保山·月考）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，所以該直線的斜率不等于0，所以可假設(shè)直線方程為，設(shè)，聯(lián)立，整理得，所以所以，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以，所以，故選：B.【變式6-2】（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在雙曲線上，線段AB的中點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設(shè)，，從而，，由兩式相減可得，，又因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，從而，，故，即直線AB的斜率為，直線AB的方程為：，即，將代入可得，，從而，，故.故選：C.【變式6-3】（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，且離心率.(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)且P為AB的中點(diǎn)求弦長.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，又，，，所以橢圓的方程為.（2）由題知直線的斜率不為0，設(shè)，，代入橢圓方程得，作差得，即，可得，所以直線的斜率，故直線的方程為即.聯(lián)立，消去得，解得或，所以，,所以弦長.考點(diǎn)七：曲線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱例7.（23-24高二上·全國·月考）已知橢圓C：上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線對稱，且線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】設(shè)，，則，，兩式相減，得，即，，關(guān)于直線對稱，，又線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得．故選：A．【變式7-1】（22-23高二上·湖北荊州·月考）已知橢圓，若橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】橢圓，即：，設(shè)橢圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，中點(diǎn)為，則，，所以，∴，∴，代入直線方程得，即，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，∴，解得，即的取值范圍是．故選：A．【變式7-2】（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）已知拋物線上兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對稱，則直線AB的斜率為.【答案】2【解析】設(shè)，代入拋物線，得，則①，因?yàn)閮牲c(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對稱，則，所以由①得，直線AB的斜率為2.則直線AB：與代入拋物線聯(lián)立，得，，解得.所以直線AB的斜率為2.故答案為：2.【變式7-3】（23-24高二下·上?！て谥校┮阎趻佄锞€上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)為，，則，兩式相減得，由條件可知，，即，所以中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，即中點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知，中點(diǎn)應(yīng)在拋物線內(nèi)，即，得.故答案為：考點(diǎn)八：弦中點(diǎn)存在性探究問題例8.（22-23高二上·貴州貴陽·月考）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(1)求的方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，該直線方程為【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，依題意得，所以為定值，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，，，，，所以，所以橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，設(shè)，，則，兩式相減得，得，即，由點(diǎn)斜式得直線方程為，即.所以存在過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，且該直線方程為.【變式8-1】（22-23高二上·陜西西安·期末）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析【解析】（1）橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為得橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和得即所以橢圓的方程為（2）設(shè)直線l與橢圓C兩個(gè)不同的交點(diǎn)∵所以，點(diǎn)A在線段的中垂線，下面求的方程聯(lián)立方程去y，可得由，解得，設(shè)的中點(diǎn)為，有則的方程為即由于點(diǎn)A在直線的中垂線上，解得又∵，所以不存在實(shí)數(shù)m滿足題意．【變式8-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）雙曲線：的漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)是否存在直線，經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線于A，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若存在，求的方程；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【解析】（1）令，所以，又由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）假設(shè)存在，由題意知：該直線的斜率存在，設(shè)，，直線的斜率為，則，，又有，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，聯(lián)立直線與雙曲線方程得：，即直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，所以存在直線，其方程為.【變式8-3】（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，焦距為.（1）求該雙曲線方程.（2）是否定存在過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)若存在，請求出直線的方程，若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）設(shè)雙曲線方程為：由離心率，焦距為，則，，，則雙曲線方程為：；（2）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．設(shè)過的直線方程為：，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，則，，相減可得，由為的中點(diǎn)，則，，則，即有直線的方程：，即有，代入雙曲線方程，可得，，檢驗(yàn)判別式為，方程無解．故不存在過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．一、單選題1．（23-24高二上·安徽·月考）已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)以P為中點(diǎn)的弦端點(diǎn)，則，由，得，即，所以直線的斜率.故選：D2．（23-24高二上·廣西玉林·月考）已知雙曲線，過點(diǎn)且被平分的弦所在的直線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得到，因?yàn)檫^點(diǎn)且被平分，所以，代入上式可得，故選：C3．（23-24高三下·安徽·開學(xué)考試）已知拋物線的準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，且線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由拋物線的準(zhǔn)線為，可得，可得，所以，設(shè)，可得，且，兩式相減，可得，可得，所以直線的方程為，即.故選：A．4．（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)．若中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則(

)A．6 B．7 C．9 D．10【答案】D【解析】焦點(diǎn)為，p＝4，設(shè)的中點(diǎn)為，∴，∴，即，故，由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，故，故，∴，∴．故選：D．5．（23-24高二上·重慶·期末）直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段中點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，因?yàn)椋?，所以，設(shè)，則，兩式相減得，則，因?yàn)橹本€，為線段中點(diǎn)，，所以，，代入上式得，則，所以橢圓的離心率.故選：C.6．（23-24高三下·全國·月考）設(shè)直線與雙曲線分別交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，則該雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，得線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)是，設(shè)，由消去x得，，因此，整理得，顯然成立，所以該雙曲線的離心率.故選：A二、多選題7．（23-24高二上·江蘇·月考）設(shè)橢圓的方程為，斜率為k的直線不經(jīng)過原點(diǎn)O，而且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（

）A．直線AB與OM垂直B．若點(diǎn)M坐標(biāo)為，則直線方程為C．若直線方程為，則點(diǎn)M坐標(biāo)為D．若直線方程為，則【答案】ACD【解析】對于A：設(shè),則，相減可得，所以，故A錯(cuò)誤；對于B：根據(jù)，，所以，所以直線方程為，即，故B正確；對于C：若直線方程為，點(diǎn)，則，所以C錯(cuò)誤；對于D：若直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到，整理得：，解得，所以，故D錯(cuò)誤；故選：ACD．8．（23-24高二上·重慶·期末）已知拋物線上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與軸交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A：拋物線，即，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，A正確；對于B：，即①，又②，且③，④，將③④代入②可得代入①得，B正確；對于C：設(shè)的中點(diǎn)為，則，由，得，其在拋物線內(nèi)部，即，可得，C錯(cuò)誤；對于D：直線的方程為，令得，因?yàn)?，所以，D正確；故選：ABD三、填空題9．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知過點(diǎn)的直線與雙曲線：交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)，則，兩式相減得，若，則的中點(diǎn)在軸上，不合要求，若，則的中點(diǎn)在軸上，不合要求，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故，因?yàn)榈臐u近線方程為，要想直線與雙曲線：交于A、B兩點(diǎn)，則，即，解得，所以離心率.故答案為：10．（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知拋物線的弦斜率為1，則弦中點(diǎn)的軌跡方程