PAGEPAGE1《勾股定理的逆定理》教案【教學(xué)目標(biāo)】經(jīng)歷勾股定理的逆定理探索過程，知道它與勾股定理的聯(lián)系和區(qū)別，了解“構(gòu)造法”的證明思路；了解逆命題、逆定理的概念，知道原命題成立時，它的逆命題不一定成立．【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)是探索并證明勾股定理的逆定理．教學(xué)難點(diǎn)是探索并證明勾股定理的逆定理．【教學(xué)過程】教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計意圖環(huán)節(jié)一【知識回顧勾股定理 如圖如果直角三角形的兩條直邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．究等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角，再研究等腰三角形的判定方法（等角對等邊．而性質(zhì)與判定，從命題的角度來看，兩者的題設(shè)與結(jié)論的正好互換．什么是命題的題設(shè)與結(jié)論呢？題設(shè)：△ABC中，∠C=90°，結(jié)論：a2+b2=c2．（勾股定理題設(shè)：△ABC中，a2+b2=c2，結(jié)論：∠C=90°．通過對前面所學(xué)知識的回顧，利用以往研究幾何圖形來研究直角三角形的判定方法，從而引出課題．環(huán)節(jié)二【問題1】我們來看，這2個命題：命題1 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為斜互逆命題的概念，知道要寫邊長為c，那么a2+b2=c2．命題2 如果三角形的三邊長c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．1212就是命題1的逆命題．也就是說，要寫出一個命題的逆命題，只需把原命題確，因此需要我們?nèi)プC明．出命題的逆命題，只要把題設(shè)與結(jié)論互換即可．環(huán)節(jié)三【問題2】證明勾股定理的逆命題已知：如圖，△ABC中，三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，求證：△ABC是直角三角形．分析1CC=90°，但由已知條件，你能直接得到∠C=90°嗎？這個差距太大，無法入手。怎么辦？a2b2=c2否可以嘗試構(gòu)造一個直角三角形？使構(gòu)造出來的直角三角=90°，問題得以解決．）教師在此基礎(chǔ)是進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析，構(gòu)造Rt△A'B'C'，使得∠C'=90°，A'C'=AC，B'C'=BC，根據(jù)勾股定理得A'B'=AC2+BC2，又因?yàn)锳C2BC2AB2A'B'2=AB2A'B'AB，△ABC和△A'B'C'三邊對應(yīng)相等，可得兩個三角形全等，因此∠C=∠C'=90°，即勾股定理的逆命題正確．在本問題中，難以直接證明∠C=90°，聯(lián)想到三角形全等這一工具，通過構(gòu)造直角三角形，證明構(gòu)造的直角三角形與當(dāng)前三角形全等，從而證明當(dāng)前三角形是直角三角形．讓學(xué)生體會這種證明思路的合理性，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)．環(huán)節(jié)四【問題3】剛剛我們證明了勾股定理的逆命題是正確的，因此它就通過數(shù)學(xué)史的介紹，使學(xué)生意識到數(shù)學(xué)知識來源于生活實(shí)際，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．使學(xué)生明白要判斷一個命題的正確性，必須經(jīng)過證明．利用勾股定理的逆定理可以判定一個三角形是否為直角三角形，如何判斷，我們將在下一節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)．【相關(guān)數(shù)學(xué)史】相傳古埃及人曾用下面的方法畫直角：133個結(jié)間距，4個結(jié)間距、5個結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角．這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊長3，4，5，它們滿足關(guān)系：32+42=52，那么圍成的三角形是直角三角形．顯然，這是勾股定理的逆定理的一個特例．環(huán)節(jié)五【例題講解】例、下列各命題都成立，寫出它們的逆命題，這些逆命題成立嗎？同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；逆命題：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．成立．如果兩個角是直角，那么它們相等；逆命題：如果兩個角相等，那么這兩個角是直角．不成立．全等三角形的對應(yīng)邊相等；逆命題：三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．成立．如果兩個實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等．讓學(xué)生會寫出命題的逆命題，并判斷其正確性，進(jìn)一步讓學(xué)生理解任何一個命題都有逆命題，但是逆命題不一定都成立．環(huán)節(jié)六【課堂小結(jié)】通過小結(jié)，使學(xué)生了解原命題與逆命題，定理與逆定理之間的互逆關(guān)系.知能演練提升能力提升1.一個三角形的兩邊長分別為4和5,要使該三角形為直角三角形,則第三邊長為()A.3 B.41C.41或3 D.不確定2.滿足下列條件的三角形中,不是直角三角形的是()A.三內(nèi)角之比為1∶2∶3B.三邊長的平方之比為9∶25∶16C.三邊長之比為3∶4∶5D.三內(nèi)角之比為3∶4∶53.如圖,若每個小正方形的邊長都為1,A,B,C是小正方形的頂點(diǎn),則∠ABC的度數(shù)為()A.90° B.60°C.45° D.30°4.下列說法錯誤的是()A.任何命題都有逆命題B.任何定理都有逆定理C.真命題的逆命題不一定是真命題D.定理的逆定理一定是真命題5.若三角形的三邊長分別等于2,6,2,則此三角形的面積為(A.22 B.C.32 D.★6.如圖,該網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,則∠PAB+∠PBA=.(點(diǎn)A,B,P是網(wǎng)格線的交點(diǎn))

★7.如圖,每個小方格都是邊長為1的正方形,點(diǎn)A,B是方格紙的兩個格點(diǎn)(即正方形的頂點(diǎn)),在這個6×6的方格紙中,找出格點(diǎn)C,使△ABC是面積為1的直角三角形,點(diǎn)C的個數(shù)是.

8.如圖,在△ABC中,AB=17,BC=16,BC邊上的中線AD=15,△ABC是等腰三角形嗎?為什么?9.如圖,小明的家位于一條南北走向的河流MN的東側(cè)A處,某一天小明從家出發(fā)沿南偏西30°方向走60m到達(dá)河邊B處取水,然后沿另一方向走80m到達(dá)菜地C處澆水,最后沿第三方向走100m回到家A處.問小明在河邊B處取水后是沿哪個方向行走的?并說明理由.創(chuàng)新應(yīng)用★10.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載,將一根直尺折成一個直角,兩端連接得一個直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括為“勾三、股四、弦五”,因此“3,4,5”為一組勾股數(shù).(1)觀察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的“勾”都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過,計算12(9-1),12(9+1)與12(25-1),1(2)根據(jù)(1)的規(guī)律,用含n(n為奇數(shù),且n≥3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦,猜想它們之間的兩種相等關(guān)系,并對其中一種猜想加以說明;(3)繼續(xù)觀察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過,運(yùn)用類似上述探索的方法,直接用含m(m為偶數(shù),且m≥4)的代數(shù)式來表示它們的股和弦.

知能演練·提升能力提升1.C若5為最長邊,則第三邊長為52-42=3;若4和5都為直角邊,則第三邊長為52.D3.C連接AC(圖略).因?yàn)槊總€小正方形的邊長都為1,所以AB2=12+32=10,BC2=12+22=5,AC2=12+22=5,所以AB2=BC2+AC2,且BC=AC,所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°.4.B5.B由三邊長可確定這是直角三角形,兩直角邊分別為2,2,所以三角形面積為12×2×26.45°如圖,延長AP交網(wǎng)格于點(diǎn)D,連接BD.設(shè)小正方形網(wǎng)格的邊長為1,則PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,∴PD2+BD2=PB2,∴∠PDB=90°.∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°.7.6如圖,當(dāng)∠A為直角時,滿足面積為1的點(diǎn)是C1,C2;當(dāng)∠B為直角時,滿足面積為1的點(diǎn)是C3,C4;當(dāng)∠C為直角時,滿足面積為1的點(diǎn)是C5,C6,所以滿足條件的點(diǎn)共有6個.8.解△ABC是等腰三角形.理由:在△ABD中,∵AB2=172=289,AD2=152=225,BD2=12×162=64,∴AB2=AD2∴△ABD是直角三角形.∴AD⊥BC.∴△ADC為直角三角形.∴AC2=AD2+DC2=152+12×162∴AB=AC.故△ABC是等腰三角形.9.解沿南偏東60°方向行走的.理由如下:∵AB=60m,BC=80m,AC=100m,∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°.∵AD∥NM,∴∠NBA=∠BAD=30°.∴∠MBC=180°-90°-30°=60°.∴小明在河邊B處取水后是沿南偏東60°方向行走的.二、創(chuàng)新應(yīng)用10.解(1)∵12(9-1)=12(32-1)=4,12(9+1)=12(32+1)=5,12(25-1)=12(52-1)=12,12(25+1)=12(52+1)=13,∴7,24,25的股24的算式為12(49-1)=12(72-1),弦25的算式為1(2)當(dāng)n為奇數(shù)且n≥3時,勾、股、弦