《正弦定理》教學設(shè)計數(shù)學王小富正弦定理（第1課時）一、教學目標分析1、知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理；能理解其內(nèi)容的實質(zhì)和作用；會運用正弦定理解決一些簡單的三角度量問題。2、過程與方法：讓學生從實際問題出發(fā)，結(jié)合初中學習過的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理；在正弦定理的證明方法中，滲透分類討論思想和“從特殊到一般、一般到特殊”化歸轉(zhuǎn)化的思想方法。3、情感、態(tài)度與價值觀：以實際問題為背景，激發(fā)學生的好奇心與求知欲；又通過正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力。逐步培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學知識參與社會活動的意識和成就感二、教學重點、難點分析重點：通過對任意三角形邊、角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。難點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)及證明三、教學方法：本節(jié)課主要采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究內(nèi)容，以解決問題為落腳點，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應(yīng)用于對任意三角形中邊角關(guān)系的探究中去。讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。四、教學流程：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題問題呈現(xiàn)階段創(chuàng)設(shè)情境，提出問題問題呈現(xiàn)階段分析問題，建構(gòu)模型問題分析分析問題，建構(gòu)模型問題分析階段猜想驗證猜想驗證探究發(fā)現(xiàn)階段探究發(fā)現(xiàn)階段證明證明例題分析、演練反饋應(yīng)用鞏固例題分析、演練反饋應(yīng)用鞏固階段知識內(nèi)容總結(jié)反思、深化認識知識內(nèi)容總結(jié)反思、深化認識思想方法思想方法書面作業(yè)書面作業(yè)實踐與感悟布置作業(yè)、任務(wù)延伸實踐與感悟布置作業(yè)、任務(wù)延伸五、教學媒體：PPT和《幾何畫板》的使用，不僅形象直觀地呈現(xiàn)問題，而且可節(jié)省大量的時間、空間。六、教學過程設(shè)計：流程教學內(nèi)容與問題設(shè)計教與學的信息傳遞問題呈現(xiàn)階段如圖，為了測量太陽橋塔臂AB的長，工作人員測得傾斜角A=120，從A點前進100米至C點，測得塔頂?shù)难鼋荁=40，你根據(jù)以上測量幫助工作人員確定塔臂AB的長嗎？ABABC120o100m40o塔臂AB=？（多媒體播放）在學生進行思考、討論后，根據(jù)同學的思路，我會引導學生建立圖1的數(shù)學模型，然后開門見山地引入這一節(jié)的課題：正弦定理。引例與歸納總結(jié)中的問題4前后呼應(yīng)，既引出課題又間接給出正弦定理的實際應(yīng)用。如此返璞歸真（幾何起源于測量）有利于培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光分析并解決生活中的問題的意識和能力。問題分析轉(zhuǎn)化階段問題1：你能將上述實際問題，抽象概括，用數(shù)學語言敘述，從而轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題嗎？問題2：你以前學習過三角形邊角的哪些關(guān)系呢？將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，這是用數(shù)學解決實際問題的第一步：這是一個解三角形問題，教師便順勢給出解三角形的概念。通過問題2，使學生意識到以前學習知識的局限性，從而引出正弦定理，課題。發(fā)現(xiàn)探索階段應(yīng)用鞏固階段觀察猜想驗證問題3：在直角三角形中（如圖2），各角的正弦怎么表示？觀察各式的特點，你有怎樣的新發(fā)現(xiàn)？babacCAB圖2問題4：=1\*GB3①式是否對于任意三角形均成立？《幾何畫板》教師從學生已有的認知水平（直角三角形中各角的正弦分別為sinA=,sinB=,sinC=1）出發(fā)提出問題1，引導學生積極主動地觀察三個分式結(jié)構(gòu)上的共同特征（sinA=,sinB=,sinC=1=分母均為c）從而發(fā)現(xiàn)新結(jié)論（==），然后提出問題2引導學生進行大膽的猜想，最后再用《幾何畫板》加以驗證（不管三角形的形狀如何變化，比值：，，都會相等），使學生對正弦定理有了感性上的認識。為正弦定理的證明提供了“情感場”。證明問題5：如何證明LINKWord.Document.8C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\正弦定理教學設(shè)計韓婷1.docOLE_LINK16\a\r=1\*GB3①式LINKWord.Document.8C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\正弦定理教學設(shè)計韓婷1.docOLE_LINK11\a\r？證明猜想：===1\*GB3①在直角三角形中，（已證）=2\*GB3②在銳角三角形中，如圖3設(shè)，，作：，垂足為同理可得：=3\*GB3③在鈍角三角形中，如圖4設(shè)為鈍角，，，作交的延長線于在中， 在中， 同銳角三角形證明可知 綜上所述：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即我們將上述結(jié)論稱為正弦定理總結(jié)：正弦定理的實質(zhì)是三個等式，可根據(jù)每個等式解決“知三求一”的方程問題。AAEE圖1圖1CDBCDBEAEA圖2圖2DCBDCB由于綜合實踐活動課程的實施在中學階段已經(jīng)趨于成熟,學生已具備獨立思考、合作交流、尋求幫助的能力,為實現(xiàn)正弦定理的證明有了時間、空間和能力上的保障。所以教師可從學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”入手，引導學生在銳角三角形和鈍角三角形中構(gòu)造直角三角形（教師畫圖板演）。然后對學生進行分組，讓學生在獨立思考、小組合作和交流討論之后得出正弦定理。此時，教師對學生的活動進行參與和指導（因為學生可能對誘導公式有所遺忘，所以教師重點指導鈍角三角形），并由兩位學生上臺板演，最后通過學生互評、教師點評等形式達成共識，得出正弦定理。教師及時點出證明過程中所蘊含的數(shù)學思想和方法：分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想、等高法；以及正弦定理在結(jié)構(gòu)上具有對稱和諧美（數(shù)學美學的教育），內(nèi)容上則很好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。應(yīng)用舉例在中，試判斷下列哪幾個解三角形問題可用正弦定理解決？(1)已知，解三角形；(2)已知，解三角形；(3)已知，解三角形；(4)已知，解三角形；(5)已知，解三角形；(6)已知,解三角形；問題4：利用正弦定理可以解決哪幾類解三角形的問題？（1）已知兩角及一邊，求其它元素；（2）已知兩邊及一邊所對的角，求其它元素。例2、在中，已知，解三角形（其中角度精確到，邊長精確到）例1由學生合作交流后代表發(fā)言（突出主體）為問題4的回答做好鋪墊。由例1學生很容易總結(jié)正弦定理在解三角形中的作用。通過例2和演練反饋強化學生對正弦定理的應(yīng)用（1）的理解。學生梳理思路，教師板演規(guī)范做題的步驟，培養(yǎng)學生精煉準確地表達解題過程。通過對例題的分析、解決和板演突出本節(jié)課的重點演練反饋在△ABC中，已知下列條件，解三角形（教材P4練習1）（1）A=45°,C=120°,c=10cm（2）A=60°,B=45°,c=20cm解：（略）以P4的練習1鞏固所學知識。為了方便點評，叫兩個同學進行板書。教師巡視、指導。然后讓其他學生對兩位學生的板書進行點評。歸納總結(jié)1、正弦定理的證明的發(fā)現(xiàn)和探究的過程中所蘊含的數(shù)學思想和方法；2、正弦定理的內(nèi)容：3、正弦定理可以解以下兩類三角形：（1）已知兩角及一邊，求其他兩邊及一角；（2）已知兩邊及一邊所對的角4、你能用今天所學內(nèi)容解決引例中的問題嗎？通過幻燈片展示和師生的互動對話，再現(xiàn)本節(jié)課的重點內(nèi)容和思想方法，再次加深學生對正弦定理的認識前后呼應(yīng)，使課堂達到高潮。使學生體會到數(shù)學與生活的聯(lián)系。布置作業(yè)1、書面作業(yè)：習題A組第2題、第3題2、閱讀作業(yè):對于正弦定理，你用了什么方法去證明？還有別的方法嗎？你知道等面積法、向量法、外接圓法等都能簡潔的證明正弦定理嗎？查閱資料，了解更多正弦定理定理的證明方法，并與同學交流，或許從中你還會有別發(fā)現(xiàn)！3、實踐作業(yè):誰說書生百無一用，通過正弦定理的學習，體會數(shù)學是有用的，它來自生活，又服務(wù)于生活。你還能發(fā)現(xiàn)生活中其他測量問題可以用正弦定理解決嗎？作業(yè)的三種形式體現(xiàn)了作業(yè)的鞏固性、發(fā)展性和開放性原則，同時也考慮了學生的差異性。閱讀作業(yè)供學有余力的學生課后研究,并為下節(jié)課的學習重點——正弦定理的應(yīng)用二奠定基礎(chǔ)。實踐作業(yè)中的“你還能發(fā)現(xiàn)生活中其他測量問題可以用正弦定理解決嗎”與新課標提倡的“提高學生的綜合實踐能力”的要求是相吻合的。板