2024-2025學(xué)年度陽(yáng)春市東風(fēng)中學(xué)高中數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知全集，集合，則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集交集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，則，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，結(jié)合交集補(bǔ)集的定義是解決本題的關(guān)鍵．2.已知命題：，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槊}：，，則是“，”.故選：C.3.已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)C:()上,點(diǎn)M到拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)的距離是A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，求出，即得焦點(diǎn)，利用拋物線(xiàn)的定義，即可求出．【詳解】由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，可得，解得，即拋物線(xiàn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為．所以，點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.平面直角坐標(biāo)系中，為第四象限角，角的終邊與單位圓交于，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，得到，再根據(jù)二倍角公式，以及誘導(dǎo)公式，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，，，又，所以.故選：B.5.甲、乙分別從門(mén)不同課程中選修門(mén)，且人選修的課程不同，則不同的選法有（）種．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理直接求解即可.【詳解】甲從門(mén)課程中選擇門(mén)，有種選法；乙再?gòu)募孜催x的課程中選擇門(mén)，有種選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同的選法有種.故選：C.6.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為A.－15 B.20 C.15 D.－20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)，令冪指數(shù)為零，可求得，代入展開(kāi)式通項(xiàng)可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)：令得：常數(shù)項(xiàng)為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的系數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠熟練掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.7.如圖，在太極圖中，大圓半徑是小圓半徑的6倍，A，B分別為太極圖中的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，過(guò)A作黑色小圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合投影向量的定義分析求解.【詳解】如圖，設(shè)大圓、小圓的圓心分別為O，，小圓半徑為r，大圓半徑為R，則，因?yàn)锳C與圓相切，則，所以在上的投影向量為，又因?yàn)?，，即，所以在上的投影向量為．故選：B.8.若函數(shù)，，則對(duì)于不同的實(shí)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間個(gè)數(shù)不可能是（）.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.5個(gè)【答案】B【解析】【分析】先令，即可排除A；再將函數(shù)化為分段函數(shù)，并分段求其導(dǎo)數(shù)，得，最后利用分類(lèi)討論，通過(guò)畫(huà)出導(dǎo)數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)，排除法得正確答案.【詳解】由題意，①當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以所以③?dāng)時(shí)，因?yàn)椋詫?dǎo)數(shù)的圖象如圖所示，其中為圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，所以時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以在時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間．④當(dāng)時(shí)，，所以導(dǎo)數(shù)的圖象如圖所示（其中為時(shí)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，共有5個(gè)單調(diào)區(qū)間，由此可得A、C、D不正確.故選:B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值的函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的判定方法，利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的求解，準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的圖象、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，正確把握函數(shù)性質(zhì)的研究方法是解答的關(guān)鍵．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式B.以10為底的對(duì)數(shù)是常用對(duì)數(shù)C.對(duì)于，實(shí)數(shù)m的取值范圍是D.對(duì)數(shù)式中的底數(shù)必須大于0且不等于1【答案】BCD【解析】【詳解】負(fù)數(shù)的指數(shù)不能化成對(duì)數(shù)，例如不能寫(xiě)成對(duì)數(shù)，故A錯(cuò)誤；以10和e為底的對(duì)數(shù)都是常用對(duì)數(shù)，故B正確；對(duì)數(shù)要有意義，則其真數(shù)要大于0，即，即，故C正確；根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，對(duì)數(shù)式中的底數(shù)必須大于0且不等于0，故D正確．10.如圖，，，所在的平面均與所在的平面垂直，且四個(gè)三角形邊長(zhǎng)均為2的等邊三角形，下列選項(xiàng)正確的是（）A.是邊長(zhǎng)為1的正三角形 B.平面平面C.多面體的體積為 D.多面體的外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，分別取的中點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)可證得是邊長(zhǎng)為1的正三角形，判斷A；若平面平面，可得平面，顯然不正確，可判斷B；求得多面體的體積判斷C；求得多面體的外接球的表面積判斷D.【詳解】對(duì)于A，分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，由所在的平面與所在的平面垂直，即平面平面，又平面平面，所以平面，同理可證平面，平面，可得，又，所以可得四邊形是矩形，從而可得，所以，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以是邊長(zhǎng)為1等邊三角形，所以是邊長(zhǎng)為1的正三角形，故A正確；對(duì)于B，若平面平面，又平面平面，平面平面，則可得平面，又顯然不垂直于平面，故假設(shè)錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖所示，幾何體可由一個(gè)正三棱柱與三個(gè)相同的四棱錐空間組合而成，所以是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，易求得，由是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，所以可求得四棱錐的高為，所以幾何體的體積為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)底面的中心為，底面的中心為，也是的中心，多面體外接球的球心在直線(xiàn)上，設(shè)的長(zhǎng)為，又易得，，所以，解得，所以外接球的半徑，所以多面體的外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，若存在，使得成立，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】采用數(shù)形結(jié)合可知，，，然后簡(jiǎn)單計(jì)算可知，，，故可知結(jié)果.【詳解】如圖：可知，，，則，且，所以，即.因，所以，.故選:AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)參加市舉行的“我愛(ài)火星”知識(shí)競(jìng)賽，已知甲被選出，則乙也被選出的概率為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】由條件概率公式即可求解.【詳解】設(shè)“甲同學(xué)被選出”為事件，“乙同學(xué)被選出”為事件，則在甲同學(xué)被選出的情況下，乙同學(xué)也被選出的概率．故答案為：0.6.13.在銳角中，角的對(duì)邊分別是，若的面積為，則____；____．【答案】①.②.【解析】【分析】利用三角形面積公式可求解角，利用余弦定理可求解邊，利用正弦定理可求解.【詳解】解：由三角形面積可得，所以，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，，由余弦定理可得，所以，由正弦定理可得，所以.故答案為：；.14.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.已知：任何三次函數(shù)都有拐點(diǎn)，又有對(duì)稱(chēng)中心，且拐點(diǎn)就是對(duì)稱(chēng)中心.設(shè)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則_____.【答案】8【解析】【分析】由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即，即可得到結(jié)論．【詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，，，，，同理可得，，，，故答案為：8.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用條件求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是解決本題的關(guān)鍵，由此即可順利得解.四、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17題各15分，第18、19題17分，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.第11屆全國(guó)人大五次會(huì)議于2012年3月5日至3月14日在北京召開(kāi)，為了搞好對(duì)外宣傳工作，會(huì)務(wù)組選聘了16名男記者和14名記者擔(dān)任對(duì)外翻譯工作，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女記者中分別有10人和6人會(huì)俄語(yǔ).（I）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：

會(huì)俄語(yǔ)不會(huì)俄語(yǔ)總計(jì)男

女

總計(jì)

30并回答能否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為性別與會(huì)俄語(yǔ)有關(guān)？參考公式：＝，其中.參考數(shù)據(jù)：0.400.250.100.0100.7081.3232.7066.635（II）若從會(huì)俄語(yǔ)的記者中隨機(jī)抽取3人成立一個(gè)小組，則小組中既有男又有女的概率是多少？（III）若從14名女記者中隨機(jī)抽取2人擔(dān)任翻譯工作，記會(huì)俄語(yǔ)的人數(shù)為，求的期望.【答案】（Ⅰ）如下表：會(huì)俄語(yǔ)不會(huì)俄語(yǔ)總計(jì)男10616女6814總計(jì)161430在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.10的前提下不能判斷會(huì)俄語(yǔ)與性別有關(guān)；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析【解析】【分析】（Ⅰ）先根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再假設(shè)是否會(huì)俄語(yǔ)與性別無(wú)關(guān)，然后由已知數(shù)據(jù)可求得k2進(jìn)行判斷．（Ⅱ）從會(huì)俄語(yǔ)的記者中隨機(jī)抽取3人成立一個(gè)小組，有種選法，小組中既有男又有女的選法有種選法，由此能求出小組中既有男又有女的概率．（Ⅲ）會(huì)俄語(yǔ)的人數(shù)的取值分別為0，1，2．分別求出其概率，由此能求出的分布列和．詳解】（Ⅰ）如下表：會(huì)俄語(yǔ)不會(huì)俄語(yǔ)總計(jì)男10616女6814總計(jì)161430假設(shè)：是否會(huì)俄語(yǔ)與性別無(wú)關(guān),由已知數(shù)據(jù)可求得.所以在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.10的前提下不能判斷會(huì)俄語(yǔ)與性別有關(guān)；（Ⅱ）從會(huì)俄語(yǔ)的記者中隨機(jī)抽取3人成立一個(gè)小組，有種選法，小組中既有男又有女的選法有種選法，∴小組中既有男又有女的概率；（Ⅲ）會(huì)俄語(yǔ)的人數(shù)的取值分別為0，1，2．其概率分別為，，，所以的分布列為：012.16.已知雙曲線(xiàn)的方程為．（1）求該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)和離心率；（2）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)該雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)且斜率為，求直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)．【答案】（1）,2；（2）6【解析】【分析】（1）求出雙曲線(xiàn)的即得解；（2）由題得直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的方程得到韋達(dá)定理，即得解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意知雙曲線(xiàn)的方程為，則，，，所以該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，離心率為．【小問(wèn)2詳解】解：由題得直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立雙曲線(xiàn)及直線(xiàn)的方程，消去得，可得，設(shè)兩交點(diǎn)為，，則，，由弦長(zhǎng)公式得．17.如圖，在三棱柱中，平面，，分別為，的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證得，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理即可得證；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，D，E為的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，，在三角形中，，為中點(diǎn)，，，，平面，平面；【小問(wèn)2詳解】如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，在直角三角形中，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，所以；【小問(wèn)3詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，故點(diǎn)到平面的距離.18.過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，是拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，設(shè)，.（1）求的最小值；（2）求的最大值.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)出直線(xiàn)的方程，將其代入拋物線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)得，利用韋達(dá)定理以及拋物線(xiàn)方程，將轉(zhuǎn)化為.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出其最小值；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出向量、，將看成是向量與的夾角.通過(guò)韋達(dá)定理，逐步代換計(jì)算得，則根據(jù)向量夾角的范圍可知，為銳角或直角，故可得結(jié)果..【詳解】（1）設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程，由得，由韋達(dá)定理得：，，，令，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，（2）設(shè)，，由，得，則由韋達(dá)定理得：，，，為銳角或直角，當(dāng)時(shí)，最大，為直角.【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，向量的實(shí)際應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬于綜合性較強(qiáng)的題.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，把滿(mǎn)足條件的所有數(shù)列構(gòu)成的集合記為．（1）若數(shù)列的通項(xiàng)為，則是否屬于？（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍；（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，數(shù)列中是否存在無(wú)窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，若存在，給出一個(gè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)：若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）屬于；（2）；（3）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算，再，并結(jié)合不等式放縮即可得答案.（2）由題知，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可解得；（3）轉(zhuǎn)化條件得，即：，假設(shè)數(shù)列中存在無(wú)窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，不妨設(shè)該等差數(shù)列的第項(xiàng)為(為常數(shù))，則存在，使得，設(shè)，作差后可得，即：當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得關(guān)于的不等式有無(wú)窮多個(gè)解，顯然不成立，即可得解.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，即屬于．?）設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以?）特別的，當(dāng)時(shí)，，即，由（*）得，整理得，因?yàn)樯鲜霾坏仁綄?duì)一切恒