自考高數(shù)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\gt1\)B.\(x\geq1\)C.\(x\lt1\)D.\(x\leq1\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)的無(wú)窮小是（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\sinx\)D.\(1-\cosx\)3.函數(shù)\(y=x^3\)在點(diǎn)\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)4.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(x^3\)D.\(2x+C\)5.\(\intx^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x^2+C\)6.已知函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)與\(\int_{a}^f(t)dt\)的關(guān)系是（）A.相等B.互為相反數(shù)C.不確定D.沒(méi)有關(guān)系7.直線\(y=2x+1\)的斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(-1\)D.\(-2\)8.函數(shù)\(y=\lnx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(x\)C.\(-\frac{1}{x}\)D.\(x^2\)9.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}\)的值為（）A.\(0\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(\infty\)D.不存在10.曲線\(y=x^2\)與\(x\)軸及直線\(x=1\)所圍成的平面圖形的面積為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(2\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^3-1}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.極限\(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\inte^xdx=e^x+C\)C.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)D.\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)5.直線\(y=kx+b\)（\(k\)，\(b\)為常數(shù)）的特點(diǎn)有（）A.當(dāng)\(k\gt0\)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增B.當(dāng)\(k\lt0\)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減C.恒過(guò)點(diǎn)\((0,b)\)D.斜率為\(k\)6.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)7.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿(mǎn)足羅爾定理的條件有（）A.在\([a,b]\)上連續(xù)B.在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)有唯一駐點(diǎn)8.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)B.駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)C.函數(shù)在某點(diǎn)取得極值，該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)一定為0D.函數(shù)的最值點(diǎn)可能在端點(diǎn)處取得9.對(duì)于定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)，下列性質(zhì)正確的有（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）10.下列哪些函數(shù)是單調(diào)遞增的（）A.\(y=e^x\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\tanx\)（\(x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)）D.\(y=\lnx\)（\(x\gt0\)）三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定有定義。（）3.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)為\(0\)，所以\(x=0\)是函數(shù)的極值點(diǎn)。（）4.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)（\(f(x)\)為奇函數(shù)）。（）5.直線\(y=3x+2\)與直線\(y=3x-1\)平行。（）6.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是\(2\pi\)。（）7.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）8.函數(shù)\(y=\lnx\)在\((0,+\infty)\)上是凸函數(shù)。（）9.極限\(\lim_{x\to\infty}x\sinx\)不存在。（）10.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的駐點(diǎn)為\(x=\pm1\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，對(duì)\(y=x^3-3x^2+2\)求導(dǎo)，\(y^\prime=3x^2-6x\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：先求原函數(shù)，\(\int(x^2+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x+C\)，再代入定積分上下限，\((\frac{1}{3}\times1^3+1)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{4}{3}\)。3.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的間斷點(diǎn)。答案：當(dāng)\(x-1=0\)，即\(x=1\)時(shí)，函數(shù)無(wú)定義，所以\(x=1\)是函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的間斷點(diǎn)。4.簡(jiǎn)述函數(shù)極限的定義。答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對(duì)于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)，總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(x\)滿(mǎn)足\(0\lt|x-x_0|\lt\delta\)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿(mǎn)足\(|f(x)-A|\lt\varepsilon\)，那么就稱(chēng)常數(shù)\(A\)為函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時(shí)的極限。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)性與極值。答案：求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)遞增；當(dāng)\(-1\ltx\lt1\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)遞減。所以\(x=-1\)是極大值點(diǎn)，極大值為\(2\)；\(x=1\)是極小值點(diǎn)，極小值為\(-2\)。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式將二者相連。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，結(jié)果含常數(shù)\(C\)；定積分是數(shù)值，由積分上下限確定，與積分變量形式無(wú)關(guān)，計(jì)算結(jié)果是具體值。3.討論函數(shù)連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系。答案：可導(dǎo)一定連續(xù)，因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，其極限定義決定了在該點(diǎn)連續(xù)。但連續(xù)不一定可導(dǎo)，例如\(y=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)，但其左右導(dǎo)數(shù)不相等，不可導(dǎo)。4.討論如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。答案：對(duì)函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，若在某區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)大于\(0\)，則函數(shù)在該區(qū)間是凹函數(shù)；若二階導(dǎo)數(shù)小于\(0\)，則函數(shù)在該區(qū)間是凸函數(shù)。二階導(dǎo)數(shù)為\(0\)的點(diǎn)可能是拐點(diǎn)，需進(jìn)一步判斷兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)。答案一、單項(xiàng)