第第頁遼寧省沈陽市聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷一、單選題1．cos1560°A．12 B．?12 C．32．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=2?i2+A．35+45i B．353．如圖，一個(gè)水平放置的四邊形ABCD的斜二測(cè)畫法的直觀圖是矩形A'B'C'D'，AA．202 B．402 C．8024．已知0<α<π2，A．52 B．?212 C．215．已知△ABC的外接圓半徑為1，A=π3A．12 B．1 C．32 6．已知向量a、b滿足|a|=2，|b|=2，a?bA．12 B．?12 C．27．函數(shù)f(A． B．C． D．8．龍洗是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái)．如圖，現(xiàn)有一龍洗盆高15cm，盆口直徑為40cm，盆底直徑為20cm．往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深6cm時(shí)，盆內(nèi)水的體積近似為（）A．581πcm3 B．872πcm3二、多選題9．已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）A．iB．|C．若z=(1?2iD．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以O(shè)10．已知A，B為點(diǎn)，l，A．若m⊥l，n⊥l，則mB．若m⊥α，m//n，C．若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈αD．若m⊥n，m?α，n?β11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，cA．若A>B，則sinB．若b=acosC+cC．若(AB|D．若a=4，B=π6，符合條件的△12．如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，A．BD⊥平面B．平面PAD1C．三棱錐D?BCE的體積為1D．異面直線PC與AB所成的角為45°三、填空題13．若sinα+cosα14．已知復(fù)數(shù)z1=3+i，z2=?1+3i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z15．海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD=80，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為.16．已知四棱錐P?ABCD的底面四邊形ABCD是邊長為3的正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=3，點(diǎn)M為線段PC上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則當(dāng)三棱錐M?BCD的外接球的體積最小時(shí)，CM的長為四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z=(m2（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）當(dāng)m=3時(shí)，求iz+18．如圖，AB為半圓O的直徑，|AB|=2，C（1）用向量的方法證明AC⊥（2）若C是AB上更靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，Q為AC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），求QA?19．如圖，在正六棱錐S?ABCDEF中，O為底面中心，SO=8，OB=4．（1）若M，N分別是棱SB，SC的中點(diǎn)，證明：MN//平面SAD（2）若該正六棱錐的頂點(diǎn)都在球Q的表面上，求球Q的表面積和體積．20．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且2b（1）求角B；（2）若a+c=4，求△ABC周長的最小值，并求出此時(shí)△21．已知向量a=(cosx，cosx)（1）求函數(shù)f(（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，定義max{x1，x2}=x1，x122．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD//BC，AB⊥AC，AB=AC=2（1）已知點(diǎn)F在BC上，且CF=2FB，證明：平面PEF⊥平面PAC；（2）求點(diǎn)D到平面PAB的距離．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】cos故答案選：B.【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果.2．【答案】A【解析】【解答】∵z=2?i2+i=2?i2?3．【答案】A【解析】【解答】如圖，∵在直觀圖中△O'A'B'為等腰直角三角形，∴O'A'=A'B'=5，

∴O'又∵O'是A'D'的中點(diǎn)，

∴A'D'=2O'A'=25，

∴在平面圖形中AD=25，OB=2O'B'=210，

∴SABCD=AD×OB=2√5×2√10=202.4．【答案】C【解析】【解答】∵0<α∴π6<α+π6<2π∴tan(5π6?α)=tanπ-α+π5．【答案】D【解析】【解答】由正弦定理可得：ABsin∴AB=2sinC，AC=2sinB，

則AC·cosC+AB·【分析】利用正弦定理化邊為角，再利用兩角和的正弦公式結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得解.6．【答案】C【解析】【解答】∵|a|=2，|∴a→+b→=a→+b→故答案選：C.【分析】由已知條件，求出a+b及7．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)閒(π3)=tan(π6?π3)=tan-π6=-338．【答案】B【解析】【解答】如圖所示，畫出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長EC與FD于點(diǎn)G.

根據(jù)題意，AB=20cm，CD=10cm，AC=15cm，EC=6cm，

設(shè)CG=xcm，EF=ycm，得1020=解得x=15，y=14，∴V=13

【分析】由題意畫出軸截面圖，設(shè)CG=xcm，EF=ycm，再由相似關(guān)系列式求解x與y的值，然后利用圓臺(tái)體積公式求解.9．【答案】A,D【解析】【解答】對(duì)于A：i+i2+i3+i?=i-1-i+1=0，故A正確；

對(duì)于B：|2+i|=22+12=5，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：z=(1?2i)2=1-4i+4i2=-3-4i，，則10．【答案】B,C【解析】【解答】對(duì)于A，若m⊥l，n⊥l，可知直線m，n的位置關(guān)系可能平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，

∵m//n，m⊥α，

∴可推知n⊥α.

又∵n//β，

∴β內(nèi)存在一條直線l//n，

∴l(xiāng)⊥a；

由l?β，從而得到α⊥β，故B正確；

對(duì)于C，如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線也在此平面內(nèi)，

∵A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，

∴l(xiāng)?α，

故C正確；

對(duì)于D，由m⊥n，如下圖示m//m'，m'?β，此時(shí)α//β，故D錯(cuò)誤.

故答案為：BC.

【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置逐項(xiàng)分析判斷.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】對(duì)于A，在三角形中△ABC，由A>B可得a>b，根據(jù)正弦定理以及邊角互化可得sinA>sinB，故A正確；

對(duì)于B，因?yàn)閎=acosC+csinA，

由正弦定理以及邊角互化可得sinB=sinAcosC+sinCsinA=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

化簡得sinCsinA=cosAsinC，

∵在三角形中sinC>0，

∴sinA=cosA

即tanA=1，

又∵0°<A<180°，

∴A=45°，

故B正確；

對(duì)于C，由AB→|AB→|，AC→|AC→|分別為向量AB→、AC→方向上的單位向量，根據(jù)平行四邊形法則向量AB→|AB→|+AC12．【答案】A,B,C【解析】【解答】對(duì)于A，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接PO，如圖，∵由正方體的性質(zhì)可知PO⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，

∴PO⊥BD，

又∵四邊形ABCD為正方形，

∴AC⊥BD，

又∵PO∩AC=O，PO，AC?平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，

故A正確；

對(duì)于B，連接OE，

∵O，E分別是AC，PC的中點(diǎn)，

∴OE//PA，

又∵OE?平面PAD1，PA?平面PAD1，

∴OE//平面PAD1，

由題易得D1P//BD，

又∵BD?平面PAD1，D1P?平面PAD1，

∴BD//平面PAD1，

又∵OE∩BD=O，OE，BD?平面BDE，

∴平面PAD1//平面BDE，

故B正確；

對(duì)于C，因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以E到底面ABCD的距離為12PO=12，

則VD-BCE=VE-BCD=13cos∠DCP=1+6故答案為：ABC.

【分析】對(duì)于A，利用線面垂直的判定定理即可得解；對(duì)于B，利用線面平行與面面平行的判定定理即可得解；對(duì)于C，利用三棱錐的體積公式即可得解；對(duì)于D，利用異面直線的定義與余弦定理即可得解.13．【答案】9【解析】【解答】∵sinα+∴sinα+∴sin2α=故答案為：916【分析】利用sinα+14．【答案】0【解析】【解答】設(shè)復(fù)數(shù)z1=3+i，z2=?1+3i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，

∵Z1（3，1），Z2-1，3，

∴OZ1→=（3，1），O15．【答案】80【解析】【解答】如圖所示，

在△BCD中，CD=80，∠BDC=15°，∠BCD=∠ACB+∠DCA=120°+15°=135°，∴∠CBD=30°，由正弦定理得，BDsin135°=△ACD中，CD=80，∠DCA=15°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°+15°=150°，∴∠CAD=15°，

∴AD=CD=80；△ABD中，由余弦定理得，A∴AB=805，即A，B兩點(diǎn)間的距離為805，

故答案為：

【分析】先利用正弦定理得，BDsin135°=16．【答案】2【解析】【解答】∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴PA⊥AC，

連接MA，由題意可知三棱錐M-BCD的外接球即四棱錐M-ABCD的外接球，

則當(dāng)三棱錐M-BCD外接球的體積最小時(shí)，四棱錐M-ABCD外接球的半徑最小，

設(shè)四棱錐M-ABCD外接球的球心為O，半徑為R，連接AC與BD交于點(diǎn)O1，

當(dāng)O與O1不重合時(shí)，連接OO1，易知OO1⊥平面ABCD，O1C?平面ABCD，

∴OO1⊥O1C，

連接OC，在Rt△OO

當(dāng)O與O1重合時(shí)，R=OC=O1C，

所以當(dāng)三棱錐M-BCD的外接球的體積最小時(shí)，O與O1重合，R=O1C，設(shè)CM的中點(diǎn)為N，連接O1N，易知O1N⊥CM，則cos∠O1CN=CNCO1故答案為：2.

【分析】連接MA，由題意知三棱錐M-BCD的外接球即四棱錐M-ABCD的外接球，然后設(shè)四棱錐M-ABCD外接球的球心為O，半徑為R，連接AC與BD交于點(diǎn)O1，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征分析出當(dāng)O與O1重合時(shí)，三棱錐M-BCD的外接球的體積最小，然后設(shè)CM的中點(diǎn)為N，連接O1N，利用三角形相似求得CN，即可求得CM的長.17．【答案】（1）解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=(所以m2?m?20=0（2）解：當(dāng)m=3時(shí)z=?14?20i所以iz+【解析】【分析】(1)根據(jù)實(shí)部為0，虛部不為0得到方程(不等式)組m2(2)首先求出z，再求出z的共軛復(fù)數(shù)，據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則計(jì)算可得.18．【答案】（1）解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系.由題意可知|OB|=1，設(shè)∠COB=A(?1，0)得AC=(cosα所以AC?故AC⊥BC，即（2）解：由題意得∠COB=π3，則設(shè)∠QOB=β，則β∈(由（1）得CB=OB?所以QA?由β∈(π3，π)，得β故QA?CB的最大值為【解析】【分析】(1)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量垂直公式a?(2)利用坐標(biāo)表示出QA?19．【答案】（1）解：因?yàn)镸，N分別是棱SB，SC的中點(diǎn)，所以MN//BC，在正六邊形ABCDEF中，∠AOB=∠OBC=60°，所以所以MN//又MN?平面SAD，AD?平面SAD，所以MN//（2）解：依題意可知球心Q一定在直線SO上，設(shè)球Q的半徑為R，則QS=QB=R，又QB2=OQ2所以球Q的表面積S=4πR2【解析】【分析】(1)依題意可得MN//BC，再由正六邊形的性質(zhì)得到AD//BC，即可證MN//平面SAD(2)依題意可知球心Q一定在直線SO上，設(shè)球Q的半徑為R，利用勾股定理求出R，在根據(jù)球的表面積與體積公式計(jì)算可得.20．【答案】（1）解：因?yàn)?bsinA=atan由正弦定理可得2sin因?yàn)閟inA>0，sinB>0，所以2cos因?yàn)锽∈(0，（2）解：由余弦定理b2即3ac=16?b所以3ac=16?b2≤3(a+c2)當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào)，所以bmin即△ABC的周長的最小值為6，此時(shí)【解析】【分析】(1)先切化弦，將2bsinA=atan(2)利用余弦定理及基本不等式求出b的最小值，即可求出?ABC周長的最小值以及此時(shí)三角形的面積.21．【答案】（1）解：因?yàn)閍=(cosx，cos所以f(x所以函數(shù)f(x)因?yàn)閤∈R，所以sin(2x+故函數(shù)f(x)（2）解：若對(duì)于任意x1∈R，總存在x則{y因?yàn)間(當(dāng)3asinx≥acosx因?yàn)閍>0，則sin(x?π6)則g(同理當(dāng)3asinx<acosx綜上：g(x)又f(x)的值域?yàn)閇?1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0【解析】【分析】(1)由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換化簡求出f(x)的表達(dá)式，再由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f((2)求出f(x)，g(x)的值域，由題意可得關(guān)于a的不等式，求解即可.22．【答案】（1）解：由AB⊥AC且AB=AC=2且BC=A又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形，且∠ADC=90°，AD//所以，AD=DC=ACcos因?yàn)锽C=2，AE=2ED，CF=2FB，所以，AE=23AD=又因?yàn)锳D//BC，即AE//所以，四邊形AEFB為平行四邊形，即EF//又因?yàn)锳B⊥AC，故因?yàn)镻A⊥底面ABCD，EF?底面ABCD，所以，EF⊥PA，因?yàn)镻A∩AC=A，PA、AC?平面PAC，所以，EF因?yàn)镋F?平面PEF，因此，平面PEF⊥平面PAC.（2）解：取BC的中點(diǎn)G，連接DG，因?yàn)锳D//BG，AD=12BC=BG因?yàn)锳B?平面PAB，DG?平面PAB，所以