【高考數(shù)學(xué)】2026版53高考總復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)29函數(shù)模型及應(yīng)用2.9函數(shù)模型及應(yīng)用五年高考考點(diǎn)常見函數(shù)模型1.(2019北京,文7,理6,5分,易)在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2-m1=52lgE1E2,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽(yáng)的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10-10.1答案A2.(2022北京,7,4分,中)在北京冬奧會(huì)上,國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí),二氧化碳處于液態(tài)B.當(dāng)T=270,P=128時(shí),二氧化碳處于氣態(tài)C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當(dāng)T=360,P=729時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)答案D(多選)(2023新課標(biāo)Ⅰ,10,5分,中)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級(jí)Lp=20×lgpp0,其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值,p是實(shí)際聲壓.聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060~90混合動(dòng)力汽車1050~60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1,p2,p3,則()A.p1≥p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p2答案ACD4.(2020北京,15,5分,中)為滿足人民對(duì)美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=f(t),用-f(b)?f(a)b?a的大小評(píng)價(jià)在[給出下列四個(gè)結(jié)論:①在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);②在t2時(shí)刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);③在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo);④甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中,在[0,t1]的污水治理能力最強(qiáng).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①②③三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練1.(2025屆遼寧沈陽(yáng)市郊聯(lián)體開學(xué)考,5)通常用聲強(qiáng)來度量聲音的強(qiáng)弱,假設(shè)講話瞬間發(fā)出聲音的聲強(qiáng)為W0,則經(jīng)過t秒后這段聲音的聲強(qiáng)變?yōu)閃(t)=W0e?tτ,其中τ是一個(gè)常數(shù).定義聲音的聲強(qiáng)衰減到原來的10-3所需的時(shí)間為TR,則TR約為(附:ln2≈0.7,ln5≈1.6.A.148τB.6.9τC.13.8τD.6.72τ答案B2.(2025屆北京人大附中開學(xué)考,9)某農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)出售西紅柿,當(dāng)價(jià)格上漲時(shí),供給量相應(yīng)增加,而需求量相應(yīng)減少,具體調(diào)查結(jié)果如表:表一:市場(chǎng)供給量單價(jià)/(元/kg)22.42.83.23.64供給量/t506070758090表二:市場(chǎng)需求量單價(jià)/(元/kg)43.42.92.62.32需求量/t506065707580根據(jù)以上提供的信息,市場(chǎng)供需平衡點(diǎn)(即供給量和需求量相等時(shí)的單價(jià))應(yīng)在區(qū)間()A.(2.3,2.6)內(nèi)B.(2.4,2.6)內(nèi)C.(2.6,2.8)內(nèi)D.(2.8,2.9)內(nèi)答案C3.(2025屆廣東江門調(diào)研,7)金針菇被采摘后會(huì)很快失去新鮮度,甚至腐爛,所以超市銷售金針菇時(shí)需要采取保鮮膜封閉保存.已知金針菇失去的新鮮度h與其被采摘后時(shí)間t(天)滿足的函數(shù)解析式為h=mln(t+a)(a>0).若被采摘后1天,金針菇失去的新鮮度為40%;若被采摘后3天,金針菇失去的新鮮度為80%.現(xiàn)在金針菇失去的新鮮度為60%,則被采摘后的天數(shù)為()(結(jié)果保留一位小數(shù),2≈1.41)A.1.5B.1.8C.2.0D.2.1答案B4.(2025屆吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè),4)某學(xué)?？萍紕?chuàng)新小組準(zhǔn)備模擬東風(fēng)-31彈道導(dǎo)彈的發(fā)射過程,假設(shè)該小組采用的飛行器的飛行高度y(單位:米)與飛行時(shí)間x(單位:秒)之間的關(guān)系可以近似用函數(shù)y=alog3x+b來表示.已知飛行器發(fā)射后經(jīng)過2秒時(shí)的高度為10米,經(jīng)過6秒時(shí)的高度為30米,欲達(dá)到50米的高度,需要()A.15秒B.16秒C.18秒D.20秒答案C5.(2025屆北京人大附中質(zhì)檢,7)深度學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型之一是指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型:L=L0DGG0,其中,L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率,L0表示初始學(xué)習(xí)率,D表示衰減系數(shù),G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù),G0表示衰減速度.已知,某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5,衰減速度為18.經(jīng)過18輪迭代學(xué)習(xí)時(shí),學(xué)習(xí)率衰減為0.4,則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下所需要的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為((參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010)A.71B.72C.73D.74答案D6.(2025屆山東聊城期中,13)我國(guó)火力發(fā)電廠大氣污染物排放標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:排放廢氣中二氧化硫最高允許濃度為20mg/m3.已知我國(guó)某火力發(fā)電廠排放廢氣中二氧化硫的初始濃度為100mg/m3,現(xiàn)通過某種工藝對(duì)排放廢氣進(jìn)行過濾處理,處理后廢氣中剩余二氧化硫的濃度y(單位:mg/m3)與處理時(shí)間t(單位:分鐘)滿足關(guān)系式:y=N0910t,那么從現(xiàn)在起至少經(jīng)過分鐘才能達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,結(jié)果取整數(shù)答案167.(2025屆安徽合肥一六八中學(xué)月考,16)某地區(qū)上年度天然氣價(jià)格為2.8元/m3,年用氣量為am3.本年度計(jì)劃將天然氣單價(jià)下調(diào)到2.55元/m3至2.75元/m3之間.經(jīng)調(diào)查測(cè)算,用戶期望天然氣單價(jià)為2.4元/m3,下調(diào)單價(jià)后新增用氣量和實(shí)際單價(jià)與用戶的期望單價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為k).已知天然氣的成本價(jià)為2.3元/m3.(1)寫出本年度天然氣價(jià)格下調(diào)后燃?xì)夤镜氖找鎦(單位:元)關(guān)于實(shí)際單價(jià)x(單位:元/m3)的函數(shù)解析式;(收益=實(shí)際用氣量×(實(shí)際單價(jià)-成本價(jià)))(2)設(shè)k=0.2a,當(dāng)天然氣單價(jià)最低定為多少時(shí),仍可保證燃?xì)夤镜氖找姹壬夏甓戎辽僭黾?0%?解析(1)由題意得y=kx?2.4+a(x-2.3),x∈[2.55,2(2)由題意可知要同時(shí)滿足以下條件:0.2化簡(jiǎn)不等式可得x∴2.6≤x≤2.75,即單價(jià)最低定為2.6元/m3.

能力拔高練1.(多選)(2024重慶八中等多校適應(yīng)性考試,10)吸光度是指物體在一定波長(zhǎng)范圍內(nèi)透過光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通過物體的能量占發(fā)出光能量的比例.在實(shí)際應(yīng)用中,通常用吸光度A和透光率T來衡量物體的透光性能,它們之間的換算公式為T=110A,玻璃材料材料1材料2材料3T0.60.70.8設(shè)材料1、材料2、材料3的吸光度分別為A1、A2、A3,則()A.A1>2A2B.A2+A3>A1C.A1+A3>2A2D.A1A3<A答案BCD2.(多選)(2024山東部分學(xué)校開學(xué)聯(lián)考,11)某同學(xué)根據(jù)著名物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓的物體冷卻模型:若物體原來的溫度為θ0(單位:℃),環(huán)境溫度為θ1(θ1<θ0,單位:℃),物體的溫度冷卻到θ(θ>θ1,單位:℃)需用時(shí)t(單位:分鐘),推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系為t=f(θ)=1k[ln(θ0-θ1)-ln(θ-θ1)],k為正的常數(shù).現(xiàn)有一壺開水(100℃)放在室溫為20℃的房間里,根據(jù)該同學(xué)推出的函數(shù)關(guān)系研究這壺開水冷卻的情況,則(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.7)()A.函數(shù)關(guān)系θ=θ1+(θ0-θ1)ekt也可作為這壺開水的冷卻模型B.當(dāng)k=120時(shí),C.若f(60)=10,則f(30)=30D.這壺開水從100℃冷卻到70℃所需時(shí)間比從70℃冷卻到40℃所需時(shí)間短答案BCD專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算五年高考考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義1.(2024全國(guó)甲理,6,5分,易)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+2sinx1+x2,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,1A.1答案A2.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則()A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea答案D3.(2021全國(guó)甲理,13,5分,易)曲線y=2x?1x+2在點(diǎn)(-1,-3答案y=5x+24.(2022新高考Ⅱ,14,5分,中)曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,.

答案y=1ex;y=-1ex(5.(2024新課標(biāo)Ⅰ,13,5分,中)若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線,則a=.

答案ln26.(2022新高考Ⅰ,15,5分,中)若曲線y=(x+a)·ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是.

答案(-∞,-4)∪(0,+∞)7.(2021新高考Ⅱ,16,5分,難)已知函數(shù)f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A(x1,f(x1))和點(diǎn)B(x2,f(x2))處的兩條切線互相垂直,且分別交y軸于M,N兩點(diǎn),則|AM||BN|的取值范圍是答案(0,1)8.(2022全國(guó)甲文,20,12分,中)已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范圍.解析(1)由題意知,f(-1)=-1-(-1)=0,f'(x)=3x2-1,則f'(-1)=3-1=2,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(-1,0)處的切線方程為y=2(x+1),即y=2x+2,設(shè)該切線與曲線y=g(x)切于點(diǎn)(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,則g'(x2)=2x2=2,解得x2=1,則g(1)=1+a=2+2,解得a=3.(2)f'(x)=3x2-1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線方程為y-(x13-x1)=(3x12-1)·(x-x1),整理得y=(3x12設(shè)該切線與曲線y=g(x)切于點(diǎn)(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,則g'(x2)=2x2,則切線方程為y-(x22+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-x2則3x令h(x)=94x4?2x3?32x2+14,則h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)·(x-1),令令h'(x)<0,解得x<-13或0<x<1則x變化時(shí),h'(x),h(x)的變化情況如表:x?-1?0(0,1)1(1,+∞)h'(x)-0+0-0+h(x)↘5↗1↘-1↗則h(x)的值域?yàn)閇-1,+∞),故a的取值范圍為[-1,+∞).三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練1.(2024廣東佛山階段練,1)設(shè)limΔx→0f(2+Δx)?f(2?Δx)Δx=-2,則曲線y=f(x)在點(diǎn)A.-1B.-4C.1D.4答案A2.(2025屆重慶一中開學(xué)考,4)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)-2f(-x)=ex,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為()A.-1B.-13答案C3.(2025屆江蘇常州學(xué)情調(diào)研,4)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),則f'(x)A.(1,6)B.(1,4)C.(-∞,1)∪(6,+∞)D.(1,4)∪(6,+∞)答案D4.(2025屆北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)開學(xué)考,3)已知f(x)=-xx?2,則曲線y=f(x)在x=1處的切線方程是(A.2x-y+1=0B.x-2y+2=0C.2x-y-1=0D.x+2y-2=0答案C5.(2023江蘇無錫中學(xué)測(cè)試,3)已知函數(shù)f(x)與g(x)的部分圖象如圖所示,則()A.g'(-1)<0<f'(-1)B.0<f'(-1)<g'(-1)C.f'(-1)<0<g'(-1)D.f'(3)>g'(3)答案B6.(2024廣東佛山順德教學(xué)質(zhì)檢一,3)已知函數(shù)f(x)=12ax2+bx+1(a≠0)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線l:x+y-1=0垂直,則ab的最大值為(A.1B.1答案C7.(2024河北邢臺(tái)部分高中二模,5)已知函數(shù)f(x)=x2+2lnx的圖象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行,則下面等式可能成立的是()A.x1+x2=2B.x1+x2=10C.x1x2=2D.x1x2=10答案B8.(多選)(2024山東濰坊期中,9)下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是()A.(xex)'=ex+xexB.(x+1)'=C.sinxcosx'=?1cos2x答案ABD9.(多選)(2024山東菏澤模擬,9)若曲線f(x)=xsinx-1在x=π處的切線與直線ax+2y+1=0互相垂直,則()A.f'(x)=sinx-xcosxB.f'(x)=sinx+xcosxC.f'(π)=-πD.a=-2答案BCD10.(2025屆江蘇南京玄武高中開學(xué)考試,13)已知函數(shù)f(x)=ex-2,g(x)=ex+1-1,若直線y=kx+b是曲線y=f(x)與y=g(x)的公切線,則k=.

答案111.(2025屆江蘇南通模擬,13)已知函數(shù)f(x)=x2+2x和g(x)=-x2+a,如果直線l同時(shí)是曲線f(x)和g(x)的切線,稱l是曲線f(x)和g(x)的公切線,若曲線f(x)和g(x)有且僅有一條公切線,則a=.

答案-1能力拔高練1.(2024江西聯(lián)考期中,6)若函數(shù)f(x)=cosωx+aln|x|+bx2+c滿足f'π2=2π,則f'?πA.2答案B2.(2025屆重慶巴蜀中學(xué)月考,6)曲線f(x)=sinx-cosx,x∈?π2,π2的所有切線中,A.2xC.x+y+π2答案D3.(2025屆江蘇鹽城射陽(yáng)中學(xué)開學(xué)考,6)函數(shù)f(x)=1+lnx與g(x)=ex-1圖象的公切線的縱截距為()A.1或0B.-1或0C.1或eD.-1或e答案B4.(2025屆湖北武漢開學(xué)考試,6)若曲線y=ln(x+2a)的一條切線為y=ex-2b(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),其中a,b為正實(shí)數(shù),則1ea+1bA.[2,e)B.(e,4]C.[4,+∞)D.[e,+∞)答案C5.(多選)(2024浙江臺(tái)州期末,10)關(guān)于函數(shù)f(x)=x3的圖象的切線,下列說法正確的是()A.在點(diǎn)A(1,1)處的切線方程為y=3x-2B.經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)的切線方程為y=3x-2C.切線l:y=kx+b(k≠0)與y=f(x)的圖象必有兩個(gè)公共點(diǎn)D.在點(diǎn)P(x1,x13)處的切線過點(diǎn)Q(x0,x03)(x0≠x1),則x答案ACD6.(2025屆湖北開學(xué)考,13)M、N分別為曲線y=ex+2x與直線y=3x-1上的點(diǎn),則|MN|的最小值為.

答案107.(2025屆江蘇淮安十校聯(lián)考,14)函數(shù)y=kx,k>0的圖象與y=lnx和y=ex的圖象分別交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),設(shè)曲線y=lnx在A處的切線l1的傾斜角為α,曲線y=ex在B處的切線l2的傾斜角為β,若β=2α,則k=答案3創(chuàng)新風(fēng)向練1.(創(chuàng)新考法)(2024江蘇南通一中月考,6)牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法.如圖,方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)r,取初始值x0,f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,f(x)的圖象在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2,一直繼續(xù)下去,得到x1,x2,…,xn,它們?cè)絹碓浇咏黵.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx,x0=2,用牛頓迭代法得到x1=1619,則實(shí)數(shù)b=()A.1B.1答案D2.(創(chuàng)新知識(shí)交匯)(2025屆安徽部分學(xué)校聯(lián)考,14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M為曲線y=lnxx上一點(diǎn)且位于第一象限,將線段OM繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,得到一個(gè)圓錐的側(cè)面,再將其展開成扇形,則該扇形的圓心角的最大值為答案2π3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值五年高考考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.(2023新課標(biāo)Ⅱ,6,5分,中)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增,則a的最小值為()A.e2B.eC.e-1D.e-2答案C2.(2021全國(guó)乙理,12,5分,難)設(shè)a=2ln1.01,b=ln1.02,c=1.04-1,則()A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b答案B3.(2023新課標(biāo)Ⅰ,19,12分,中)已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)a>0時(shí),f(x)>2lna+32解析(1)由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=aex-1.①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0,f(x)在R上單調(diào)遞減;②當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,則x=ln1a當(dāng)x<ln1a時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減當(dāng)x>ln1a時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在?∞,ln1a上單調(diào)遞減,(2)證明:由(1)知,當(dāng)a>0時(shí),f(x)在?∞,ln1a上單調(diào)遞減,在ln1a,+∞上單調(diào)遞增,則f(x)min=要證明f(x)>2lna+32,只需證明1+a2+lna>2lna+3即證a2-lna-12>0令g(x)=x2-lnx-12(x>0),則g'(x)=2x-1當(dāng)0<x<22時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減當(dāng)x>22時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增∴g(x)min=g22=∴g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即a2-lna-12>0,∴f(x)>2lna+34.(2023全國(guó)甲文,20,12分,中)已知函數(shù)f(x)=ax-sinxcos2x(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)+sinx<0,求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x-sinxcos2xf'(x)=1-co=co=cos3所以函數(shù)f(x)在0,π2(2)令g(x)=sin=sinx則g'(x)=3cos因?yàn)閤∈0,π2,所以3cos2xsin2x+2sin4x>0,cos3x則g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)在0,π2g(0)=0,當(dāng)x→π2時(shí),g(x)→+∞因?yàn)閒(x)+sinx<0恒成立,所以sinxco即直線y=ax在0<x<π2時(shí)恒在g(x)的圖象下方,如圖所示由圖及g'(0)=0可得a≤0,即a的取值范圍為(-∞,0].5.(2023全國(guó)乙文,20,12分,中)已知函數(shù)f(x)=1x+aln(1+(1)當(dāng)a=-1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=1x?1ln(x則f(1)=0,且f'(x)=-1x2ln(x+1)+故f'(1)=-ln2,所以所求切線方程為y=-(x-1)ln2,即xln2+y-ln2=0.(2)∵f'(x)=ax+1x(1+x)?ln(1+x)x2,且f∴f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即ax+1x(1+x)≥ln(1+x其等價(jià)于x(ax+1)≥(1+x)ln(1+x)在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=(ax+1)x-(1+x)ln(1+x),則g'(x)=2ax-ln(1+x),令h(x)=g'(x),則h'(x)=2a-1x令H(x)=h'(x),則H'(x)=1(x故h'(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),因此h'(x)>h'(0)=2a-1在(0,+∞)上恒成立.①當(dāng)2a-1≥0,即a≥12時(shí),h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立此時(shí)g'(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),又g'(0)=0,∴g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),因此g(x)>g(0)=0,即(ax+1)x≥(1+x)·ln(1+x)在(0,+∞)上恒成立,從而f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.②當(dāng)2a-1<0,即a<12時(shí),必存在x0∈(0,+∞),使h'(x0)=0因此,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h'(x)<0,所以g'(x)在(0,x0)上為減函數(shù),又g'(0)=0,從而有當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g'(x)<0恒成立,此時(shí)g(x)在(0,x0)上為減函數(shù),又g(0)=0,故有g(shù)(x)<0在(0,x0)上恒成立,從而有f'(x)<0在(0,x0)上恒成立,與y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增不符,從而2a-1<0不合題意.綜上所述,a≥12考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值1.(多選)(2024新課標(biāo)Ⅰ,10,6分,中)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-4),則()A.x=3是f(x)的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)<f(x2)C.當(dāng)1<x<2時(shí),-4<f(2x-1)<0D.當(dāng)-1<x<0時(shí),f(2-x)>f(x)答案ACD2.(多選)(2022新高考Ⅰ,10,5分,中)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則()A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線答案AC3.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅱ,11,5分,中)若函數(shù)f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有極大值也有極小值,A.bc>0B.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<0答案BCD4.(2021新高考Ⅰ,15,5分,中)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為.

答案15.(2022全國(guó)乙理,16,5分,難)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1<x2,則a的取值范圍是.

答案16.(2021北京,19,15分,中)已知函數(shù)f(x)=3?2x(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)在x=-1處取得極值,求f(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其最大值與最小值.解析(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=3?2x∴f(1)=1,f'(x)=2x?6x3,故f'(故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=-4(x-1)+1,即4x+y-5=0.(2)由題意得f'(x)=2x2?6x?2a(x2+故8-2a=0,解得a=4,故f(x)=3?2xx2+4,則f'(x)=2x令f'(x)>0,得x>4或x<-1;令f'(x)<0,得-1<x<4,故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1)和(4,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-1,4).所以f(x)的極大值為f(-1)=1,f(x)的極小值為f(4)=-14又當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),3-2x>0,故f(x)>0;當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),3-2x<0,故f(x)<0,∴f(x)max=f(-1)=1,f(x)min=f(4)=-147.(2024新課標(biāo)Ⅱ,16,15分,中)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a3.(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)有極小值,且極小值小于0,求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,則切線斜率為k=f'(1)=e-1,又∵f(1)=e-1-1=e-2,∴切線方程為y-(e-2)=(e-1)(x-1),整理得y=(e-1)x-1.(2)∵f(x)=ex-ax-a3,∴f'(x)=ex-a.①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0恒成立,f(x)單調(diào)遞增,無極值,不符合題意,故a≤0時(shí)不成立.②當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,得x=lna,當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.∴x=lna時(shí)f(x)有極小值,極小值為f(lna)=elna-alna-a3=a-alna-a3.又∵極小值小于0,∴a-alna-a3<0,又∵a>0,∴1-lna-a2<0,設(shè)g(a)=1-lna-a2,a∈(0,+∞),∵g'(a)=-1a-2a<0,∴g(a)單調(diào)遞減又∵g(1)=0,∴a∈(1,+∞)時(shí),g(a)<0,即極小值f(lna)<0,∴a>1.綜上所述,a的取值范圍為(1,+∞).8.(2023新課標(biāo)Ⅱ,22,12分,難)(1)證明:當(dāng)0<x<1時(shí),x-x2<sinx<x;(2)已知函數(shù)f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點(diǎn),求a的取值范圍.解析(1)證明:令g(x)=x-x2-sinx,0<x<1,則g'(x)=1-2x-cosx,令G(x)=g'(x),得G'(x)=-2+sinx<0在區(qū)間(0,1)上恒成立,所以g'(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,因?yàn)間'(0)=0,所以g'(x)<0在區(qū)間(0,1)上恒成立,所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,所以g(x)<g(0)=0,即當(dāng)0<x<1時(shí),x-x2<sinx.令h(x)=sinx-x,0<x<1,則h'(x)=cosx-1<0在區(qū)間(0,1)上恒成立,所以h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,所以h(x)<h(0)=0,即當(dāng)0<x<1時(shí),sinx<x.綜上,當(dāng)0<x<1時(shí),x-x2<sinx<x.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1).當(dāng)a=0時(shí),f(x)=1-ln(1-x2),f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,x=0不是f(x)的極大值點(diǎn),所以a≠0.當(dāng)a>0時(shí),f'(x)=-asinax+2x1?x2,x∈(-1(i)當(dāng)0<a≤2時(shí),取m=min1a,1,x∈(0,m),則ax∈(0,由(1)可得f'(x)=-asinax+2x因?yàn)閍2x2>0,2-a2≥0,1-x2>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在(0,m)上單調(diào)遞增,不合題意.(ii)當(dāng)a>2時(shí),取x∈0,1a?(0,1),則ax∈(0,由(1)可得f'(x)=-asinax+2x1?x2<-a(ax-a2x=x1?x2(-a3x3+a2x2+a3x+2-設(shè)h(x)=-a3x3+a2x2+a3x+2-a2,x∈0,1則h'(x)=-3a3x2+2a2x+a3,因?yàn)閔'(0)=a3>0,h'1a=a3-a>0,且h'(x)的圖象是開口向下的拋物線,所以?x∈0,1a,均有h'(x)>0,所以h(x)在因?yàn)閔(0)=2-a2<0,h1a=2>0,所以h(x)在0,1當(dāng)x∈(0,n)時(shí),h(x)<0,又因?yàn)閤>0,1-x2>0.則f'(x)<x1?x2(-a3x3+a2x2+a3x+2-a2即當(dāng)x∈(0,n)?(0,1)時(shí),f'(x)<0,則f(x)在(0,n)上單調(diào)遞減.又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(x)在(-n,0)上單調(diào)遞增,所以x=0是f(x)的極大值點(diǎn).綜合(i)(ii)知a>2.當(dāng)a<0時(shí),由于將f(x)中的a換為-a所得解析式不變,所以a<-2符合要求.故a的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞).三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練1.(2025屆四川階段檢測(cè)聯(lián)考,6)已知函數(shù)f(x)=ax-ln(x+2)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增,則a的最小值為()A.1B.2C.1答案C2.(2024湖北孝感月考,7)函數(shù)f(x)=alnx+1x-2的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞),則a=A.1eB.1C.eD.e答案B3.(2025屆河北邢臺(tái)開學(xué)考,6)已知函數(shù)f(x)=lnx+mx+4在[1,+∞)上單調(diào)遞增,則m的取值范圍為A.(-5,0]B.(-∞,1]C.[0,1]D.(-5,1]答案D4.(2025屆重慶八中開學(xué)考,7)已知函數(shù)f(x)=2lnx-12ax2?2x在x∈1A.?C.(-∞,4)D.(-∞,4]答案C5.(2025屆北京中關(guān)村中學(xué)月考,6)已知函數(shù)f(x)=aex-x2有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.0,2eB.(0,C.(-∞,e)D.0,ln答案A6.(2025屆重慶一中開學(xué)考,6)已知函數(shù)f(x)=sinx+x3-ax是定義在R上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(-∞,2)D.(-∞,2]答案B7.(2025屆安徽名校聯(lián)盟聯(lián)考,13)若函數(shù)f(x)=exx2+bx+1在x=2時(shí)取得極小值,則f答案e能力拔高練1.(2025屆江蘇泰州中學(xué)調(diào)研,8)若函數(shù)f(x)=-12ax2+4x-2lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-1,0)B.(-∞,1)C.(0,2)D.(2,+∞)答案C2.(2025屆江蘇揚(yáng)州開學(xué)考,7)已知函數(shù)f(x)=2x-2x+lnx,若f(a)+f1b=0,則3b+1a的最小值為(A.23答案A3.(2025屆重慶第一次質(zhì)量檢測(cè),8)已知a>e2,b>0,c>0,當(dāng)x≥0時(shí),(ex-ax)(x2-bx+c)≥0恒成立,則acb3的最小值為(A.19答案B4.(多選)(2025屆山東泰安肥城開學(xué)考試,10)已知函數(shù)f(x)=aex-x+a2(a∈R),則()A.當(dāng)a≤0時(shí),f(x)是R上的減函數(shù)B.當(dāng)a>0時(shí),x=lna是f(x)的極小值點(diǎn)C.當(dāng)a=e時(shí),f(x)取到最小值e2+2D.當(dāng)a>0時(shí),f(x)>2lna+32答案ACD5.(2025屆安徽重點(diǎn)高中聯(lián)盟校摸底考,13)已知函數(shù)f(x)=sinωx+π6,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),f'(x)在0,π2上單調(diào)遞減,答案0,6.(2025屆河北唐山月考,14)已知函數(shù)f(x)=4sinx+2sin2x,則f(x)的最大值是.

答案337.(2025屆河北石家莊重點(diǎn)高中開學(xué)考,18)已知函數(shù)f(x)=12x2+(1-a)x-alnx(a∈R)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值.解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+