高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省曲靖市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，，所以.故選：D2.復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，則（）A.5 B. C.3 D.【答案】B【解析】復(fù)數(shù)，故選：B.3.已知向量，，且則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由向量，，且，，可得，所以.選A4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由得或，由得，因?yàn)榛蛲撇怀?，但能推出或成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.5.已知橢圓的離心率是，則橢圓的焦距為（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】若，則，解得，則，所以焦距是；若，則，解得，則，所以焦距是.故選：A6.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，排除D；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)趨向，趨向，排除A、C；故選：B7.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別取棱，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G為EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)G到平面的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】如圖所示，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為2，所以，∴平面，點(diǎn)G到平面的距離即為點(diǎn)E或F到平面的距離．方法1：等體積法∵為等邊三角形，∴，，設(shè)F到平面的距離為d，∵，∴，解得．方法2：向量法建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，得，可求得平面的法向量為，，∴．故選：D8.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意可得，，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以，即，即.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某高中為了調(diào)查本校學(xué)生一個(gè)月內(nèi)在學(xué)習(xí)用品方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為且支出在元的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.估計(jì)眾數(shù)為45 B.支出在的頻率為0.25C.估計(jì)平均數(shù)為43 D.估計(jì)分位數(shù)是【答案】BC【解析】對(duì)于A，最高的矩形為第三個(gè)矩形，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此估計(jì)眾數(shù)為，A正確；對(duì)于B，前三個(gè)矩形的面積和為，所有矩形面積之和為，則第四個(gè)矩形的面積為，因此支出在的頻率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平均數(shù)為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，第百分?jǐn)?shù)位于第四組，由，可以估計(jì)第百分?jǐn)?shù)為，D正確.故選：BC10.已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值為，且是的最小正零點(diǎn)，則（）A. B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.【答案】ACD【解析】令函數(shù)，得，則函數(shù)兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值為的周期，即，解得，又是的零點(diǎn)，則，即，于是，，解得，，又，則，，經(jīng)驗(yàn)證是的最小正零點(diǎn)，因此，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，，D正確．故選：ACD11.為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某校積極籌建數(shù)學(xué)興趣小組，小組成員仿照教材中等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，提出“等積數(shù)列”的概念：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之積為同一個(gè)常數(shù)（不為0）.已知數(shù)列是一個(gè)“等積數(shù)列”，，其前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.的一個(gè)通項(xiàng)公式為 D.【答案】ACD【解析】由“等積數(shù)列”定義得：，而，則，因此數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)相同，偶數(shù)項(xiàng)相同，又，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由，得，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，符合題意，C正確；對(duì)于D，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，滿足，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，滿足，D正確.故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是10，則____________.【答案】【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由，得，于是，所以.故答案為：13.已知雙曲線，其一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則____________.【答案】【解析】依題意，的漸近線方程為：，不妨取漸近線，則圓心,到的距離，由圓的性質(zhì)得，所以.故答案為：14.已知四邊形是邊長(zhǎng)為3的菱形，把沿折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P，則三棱錐體積最大時(shí)，其外接球半徑為_(kāi)______．【答案】【解析】取中點(diǎn)G，連接，如圖，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面平面，此時(shí)．設(shè)，則，所以，設(shè)，則，由，可得，因?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以時(shí)三棱錐的體積最大，此時(shí)，，所以.設(shè)E，F(xiàn)分別為與的外接圓圓心，圓的半徑為，過(guò)點(diǎn)E作平面的垂線，過(guò)點(diǎn)F作平面的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)O就是三棱錐的外接球球心，由正弦定理可知，即，可求得，故四邊形是正方形，，所以外接球半徑，所以三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球半徑.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的周長(zhǎng).解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，則，而，因此，而，所以.（2）由及正弦定理得，而，則，由余弦定理得，則，解得，所以的周長(zhǎng)是.16.如圖，在四棱錐中，底面，四邊形為正方形，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點(diǎn)，連接，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，.又四邊形為正方形，∴，，又∵為的中點(diǎn)，∴，，∴四邊形平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.17.某興趣小組為了研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，請(qǐng)一所中學(xué)校醫(yī)務(wù)室人員統(tǒng)計(jì)近期晝夜溫差情況和到該校醫(yī)務(wù)室就診的患感冒學(xué)生人數(shù)，如下是2021年10月、11月中的5組數(shù)據(jù)：日期10月8日10月18日10月28日11月8日11月18日晝夜溫差x（℃）8116155就診人數(shù)y131712199（1）通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合就診人數(shù)y與晝夜溫差x之間的關(guān)系，請(qǐng)用以上5組數(shù)據(jù)求就診人數(shù)關(guān)于晝夜溫差的線性回歸方程（結(jié)果精確到0.01）；（2）一位住校學(xué)生小明所患感冒為季節(jié)性流感，傳染給同寢室每個(gè)同學(xué)的概率為0.6．若該寢室的另3位同學(xué)均未患感冒，在與小明近距離接觸后有X位同學(xué)被傳染季節(jié)性流感，求的分布列和期望．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：，．解：（1）由表格中數(shù)據(jù)可得，，，∴∴．∴就診人數(shù)y關(guān)于晝夜溫差x的線性回歸方程為（2）的可能取值為0，1，2，3∵，∴∴的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216期望18.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線方程為，其頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且直線、的斜率之和為，試證明：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，直線必過(guò)定點(diǎn).解：（1），且拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，解得，因此，該拋物線的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，.直線的斜率為，同理直線的斜率為，由題意得，上式對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)都成立，則，解得，所以，直線的方程為，該直線過(guò)定點(diǎn).19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值