高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省涼山州2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無放；在草稿紙、試卷上答題無放．3．考試結(jié)束后，將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，所以.故選：B.2.復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.1 B. C.i D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以的虛部?故答案為：B.3.已知為正三角形的重心，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉檎切蔚闹匦?，則，且，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A.4.已知為拋物線上一點(diǎn)，且到拋物線焦點(diǎn)的距離為4，它到軸的距離為3，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由題意得，，即，解得.故選：.5.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】是定義在上的偶函數(shù)，則，，又在上單調(diào)遞增，，即，又在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，，，又在上單調(diào)遞減，故選：6.直線與圓交于兩點(diǎn)，使得恰好為正三角形，則的值為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離，若恰好為正三角形，則.故選：C.7.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，解得，所?故選：D8.給定函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱為函數(shù)的牛頓數(shù)列，若數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.數(shù)列通項(xiàng)公式為 B.數(shù)列的通項(xiàng)公式為C.數(shù)列的前項(xiàng)和為 D.數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】D【解析】因?yàn)?，則，可得，則，且，則，可得，即，且，可知數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，故A、B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，且，可知?shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，故D正確；故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列說法不正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若，則的最大值為2C.若不等式的解集為，則必有D.命題“，使得．”的否定為“，使得．”【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A：例如，則，即，滿足題意，但，即充分性不成立；例如，則，即，滿足題意，但，即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故A不正確；對于選項(xiàng)B：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最大值為12，故B不正確；對于選項(xiàng)C：若，則的解集不可能為兩數(shù)之間，不合題意；若，則的解集不可能為兩數(shù)之間，不合題意；綜上所述：若不等式的解集為，則必有，故C正確；對于選項(xiàng)D：命題“，使得．”的否定為“，使得”，故D不正確；故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.由樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必經(jīng)過樣本點(diǎn)中心B.若，則C.若，則D.和是分類變量，則值越大，則判斷“與獨(dú)立”的把握性越大【答案】AB【解析】對于A，由樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必經(jīng)過樣本點(diǎn)中心，所以A正確，對于B，因?yàn)?，所以，所以B正確，對于C，由，,得，，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以C錯(cuò)誤，對于D，和是分類變量，則值越大，則判斷“與獨(dú)立”的把握性越小，所以D錯(cuò)誤，故選：AB11.下列關(guān)于函數(shù)，說法正確有（）A.函數(shù)的最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值C.一定存在，使得是上的偶函數(shù)D.若在上恒成立，則【答案】AD【解析】對于選項(xiàng)A：函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，則，且在內(nèi)僅有一個(gè)極值，所以在內(nèi)僅有一個(gè)極值，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：若是上的偶函數(shù)，則，且，即，方程無解，所以不存在，使得是上的偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：若在上恒成立，則為的最大值點(diǎn)，可得，解得，且，可得，故D正確；故選：AD.12.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為B.點(diǎn)到平面的距離為C.四面體的體積為D.若線段的中點(diǎn)為，則一定平行于平面【答案】BD【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，對于選項(xiàng)A：設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；對于選項(xiàng)C：由題意可知：，所以四面體的體積為，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：由題意可知：，則，可得，可知，且平面，所以一定平行于平面，故D正確；故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．）13.在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是________.【答案】1【解析】令可得各項(xiàng)系數(shù)的和為.故答案為：114.某校從6名保安中選擇4名，分成2人一組，分別參加周六下午和周日上午的校園安全隱患排查工作，則不同的安排方法有______種．（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】90【解析】方法一：由題意可得先從6人中選2人排除，再將剩余4人分成2人一組，有種方法，然后將2小組分配到周六下午和周日上午，有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有種方法.方法二：從6人中任意排除2人，從剩余4人中任選2人安排在周六下午，另2人安排在周日上午，種方法.故答案為：9015.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作漸近線的垂線，垂足為，直線的斜率為，則雙曲線的離心率為______．【答案】或【解析】由題意可知：漸近線的斜率，則其垂線的斜率為，且，則直線：，聯(lián)立方程，解得，即，由直線的斜率可得，整理可得，解得或，即或，所以雙曲線的離心率為或.故答案為：或.16.在三棱錐中，，為銳角三角形，與底面所成角的正切值為，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑與外接球的半徑之比為______．【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，且，平面，可得平面，由平面，可得平面平面，且平面平面，由面面垂直性質(zhì)可知：點(diǎn)在平面的投影落在直線上，若點(diǎn)在平面的投影落在射線上，由題意可知：與底面所成角為，即，則，不妨設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，即，可知，即，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，且，且，即為銳角，可知為銳角三角形，符合題意，設(shè)該三棱錐內(nèi)切球的半徑為、外接球的半徑為，因?yàn)闉榈耐饨訄A圓心，可知外接球的球心在直線上，則，解得；又因?yàn)椋审w積關(guān)系可得：，解得，所以；若點(diǎn)在平面的投影落在射線的反向延長線上，由題意可知：與底面所成角為，即，則，，不妨設(shè)，則，則，，即，則，，此時(shí)，即為鈍角，可知為鈍角三角形，不合題意；綜上所述：.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算過程）17.高2025屆的學(xué)子們即將進(jìn)入高三，為了更加科學(xué)高效地進(jìn)行高考備考復(fù)習(xí)，避免低效的機(jī)械性刷題，某校高二數(shù)學(xué)備課組對該校高二學(xué)生每天的數(shù)學(xué)作業(yè)完成時(shí)長進(jìn)行調(diào)研，他們在該校高二學(xué)生中隨機(jī)選取了100人，調(diào)研結(jié)果如下表所示：時(shí)長（分鐘）人數(shù)1015353010（1）用表格中的頻率估計(jì)概率，從該校高二學(xué)生中隨機(jī)選取1人，估計(jì)該生可以在40分鐘內(nèi)完成數(shù)學(xué)作業(yè)的概率；（2）從樣本“完成數(shù)學(xué)作業(yè)的總時(shí)長在45分鐘內(nèi)”的學(xué)生中按分層抽樣的方式選取5人，再從這5人中隨機(jī)選取3人，有X人可以在40分鐘內(nèi)完成數(shù)學(xué)作業(yè)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）由表中的數(shù)據(jù)可知，隨機(jī)選取的100人中，可以在40分鐘內(nèi)完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有10人，所以從該校高二學(xué)生中隨機(jī)選取1人，該生可以在40分鐘內(nèi)完成數(shù)學(xué)作業(yè)的概率為；（2）由題意可知，按照分層抽樣方式選取5人，其中分鐘內(nèi)完成數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)為人，分鐘內(nèi)完成數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)為人，則的可能取值為0，1，2，，，，所以的分布列為012所以.18.在中，角的對邊分別為．（1）求；（2）若的面積邊上的中線，求的周長．解：（1）因?yàn)?，整理可得，由正弦定理可得，又因?yàn)椋?，且，則，可得，即，且，所以.（2）因?yàn)榈拿娣e，即，又因?yàn)闉檫吷系闹芯€，則，可得，則，即，可得，即，由余弦定理可得：，即，所以的周長為.19.如圖,在多面體中,四邊形是菱形,平面，，，．（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得∥平面？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請說明理由．解：（1）連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面；?）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，假設(shè)存在點(diǎn)，使得∥平面，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，由，得，此時(shí)與重合，平面，所以存在點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，使得∥平面.20.各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列首項(xiàng)為1，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，且，求的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，則，即，整理可得，解得或（舍去），所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式.（2）因?yàn)椋?，此時(shí)，即，且滿足上式，所以.可得；所以.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）設(shè)，若對，都有恒成立，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，故，令f'x>0，解得，令f'故在-1,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，在處取得極小值，極小值為，無極大值；（2），，由于在上恒成立，故，令，則，令，，則，故在上單調(diào)遞增，故，故h'所以h