高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市2025屆高三第三次診斷性檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，所以，故選：D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.A.第一象限. B.第二象限. C.第三象限. D.第四象限.【答案】C【解析】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，因此可表示為：所以，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第三象限.故選：.3.設(shè),則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí),,此時(shí);當(dāng)時(shí),,此時(shí)或；所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又時(shí)，，所以，且恒成立，則，所以只有D滿足.故選：D5.已知?jiǎng)訄A與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓圓心且與圓切于點(diǎn)P，圓圓心與圓切于點(diǎn)Q，由題意得：，，其中，所以，由橢圓定義可知：動(dòng)圓圓心C的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)，則，解得：，故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為.故選：A6.已知正四棱臺(tái)的上底面邊長為4，下底面邊長為8，側(cè)棱長為，則其體積為（）A.108 B.112 C.120 D.124【答案】B【解析】取正四棱臺(tái)過側(cè)棱的軸截面，上、下底面中心分別為，如下圖所示：依題意可得，因此可得，所以其體積為.故選：B7.已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】兩邊取對(duì)得，則且，即同號(hào)或，所以，當(dāng)時(shí)，不成立，A錯(cuò)；由，B對(duì)；由，若時(shí)，，C錯(cuò)；由，且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，D錯(cuò).故選：B8.在中，，的角平分線AD交BC于點(diǎn)D，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】，則，設(shè)，則，在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，因，兩式相比，可得，所以，所以，由正弦定理得，所以，所以，化簡得，所以或（舍去），又，所以，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知某地社交媒體用戶的日活躍時(shí)長（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布，則（）A.，B.若，則C.D.【答案】ACD【解析】因?yàn)椋▎挝唬盒r(shí)）服從正態(tài)分布，，根據(jù)正態(tài)分布知識(shí)，，，A正確；若，則，得，B錯(cuò)誤；，根據(jù)原則，可得，C正確；，，由對(duì)稱性可知，所以，D正確.故選：ACD10.對(duì)于空間中一組向量，若存在不全為零的實(shí)數(shù)使得，則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱這組向量線性無關(guān).則（）A.若，，，則，，線性相關(guān)B.若，，，則，，線性無關(guān)C.若，，線性無關(guān)，則，，線性相關(guān)D.對(duì)于非零向量，，，若存在實(shí)數(shù)，使得，則，，線性相關(guān)【答案】AB【解析】若，，，根據(jù)題意，設(shè)，即，所以，解得，取，所以，A正確；若，，，根據(jù)題意，設(shè)，即，所以，解得，所以，，線性無關(guān)，B正確；假設(shè)，，線性相關(guān)，則存在不全為零的實(shí)數(shù)使得，則，因?yàn)?，，線性無關(guān)，則，得，與假設(shè)矛盾，C錯(cuò)誤；對(duì)于非零向量，，，若存在實(shí)數(shù)，使得，即，所以，但不能確定，，是否線性相關(guān)，D錯(cuò)誤.故選：AB11.聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音一般都是純音合成的復(fù)合音.已知純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動(dòng)，產(chǎn)生頻率為的基音的同時(shí)，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振動(dòng)，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動(dòng)頻率的倍數(shù)，如2f，3f，4f等.即我們聽到的聲音的函數(shù)是.則（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱 B.在上有2個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)C. D.在上恒成立【答案】ABD【解析】，所以對(duì)任意有，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以A正確；，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在和處有極大值，在出有極小值，所以B在正確；，疊加項(xiàng)可正可負(fù)，故的范圍比范圍大，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在先正后負(fù)，但振幅逐漸減小，所有項(xiàng)疊加后，正項(xiàng)占主導(dǎo)地位，所以函數(shù)值始終為正，由周期性，結(jié)論推廣到，所以D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的離心率為_________．【答案】2【解析】13.若函數(shù)值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)在上的值域?yàn)榈淖蛹?dāng)時(shí)，，則，由可得，由可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上的值域?yàn)?，由題意可得，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.如圖，一電路中，為未閉合的開關(guān)，為能正常工作的燈泡，現(xiàn)每次等可能地閉合一個(gè)未閉合的開關(guān)，直到7個(gè)開關(guān)全部閉合，則最先亮起的概率為__________.【答案】【解析】先考慮最先亮起的概率，則中至少有一個(gè)開關(guān)閉合在亮起之后，中也至少有一個(gè)開口閉合亮起之后，下面分三種情況討論，情況1：都閉合在亮起之后，這種情況相當(dāng)于全排列，依次閉合，再將剩余的四個(gè)開關(guān)全排列之后依次閉合，可能的情況有種；情況2：和中都恰好有1個(gè)開關(guān)閉合在亮起之后，這種情況要求中有一個(gè)開關(guān)閉合順序排在第5位，其余兩個(gè)排在前四位，前四位剩下的兩個(gè)空位分別在和中各選一個(gè)進(jìn)行排列，剩下的兩個(gè)排在末兩位，可能的情況有種，情況3：中恰好有三個(gè)開關(guān)閉合在亮起之后，這種情況要求中有一個(gè)開關(guān)閉合順序排在第四位，其余兩個(gè)排在前三位，剩下四個(gè)開關(guān)全排列，可能的情況有種，7個(gè)開關(guān)依次全部閉合共有種情況，故最先亮起的概率為，而和的情況是一樣的，故兩者最先亮起的概率相等，所以最先亮起的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)、黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展等區(qū)域重大戰(zhàn)略實(shí)施取得新成效，城鄉(xiāng)融合和區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展繼續(xù)推進(jìn)，年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率增長至.下圖為年年末常住人口城鎮(zhèn)化率的折線圖.（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合常住人口城鎮(zhèn)化率與年份代碼的關(guān)系.請(qǐng)建立關(guān)于的回歸方程；（2）從這年中任取年，記常住人口城鎮(zhèn)化率超過的年數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法公式分別為：，.解：（1）設(shè)年份代碼的平均數(shù)為，則.設(shè)常住人口城鎮(zhèn)化率的平均數(shù)為，則.因?yàn)?，，所?所以.所以關(guān)于的回歸方程為.（2）由圖可知，第、、年常住人口城鎮(zhèn)化率超過，由題意可知，的取值可能為、、，因?yàn)?；?所以的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望為.16.已知正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)的和為，且.（1）求，；（2）證明：是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)的和.（1）解：由，令，有，因?yàn)?，所?令，有，即，由，解得.所以，.（2）證明：當(dāng)時(shí)，由，代入，化簡得，即，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（3）解：由（2）可知.因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以，從而.由，所以.所以數(shù)列的前項(xiàng)的和.17.如圖，在矩形中，，，為EC中點(diǎn)，將沿AD翻折至，使得.（1）證明：平面平面；（2）線段PB上是否存在一點(diǎn)，使得AT與平面PAD所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）證明：如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，連接，，，依題意，，則，由，得，而，，是梯形的中位線，于是，，而平面，，則平面，而平面，于是，又平面，且和一定相交，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）解：依題意，，則，即，由（1）知平面，平面，則，由平面，，得平面，過作平面，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，令，則，由平面，得平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù).（i）求實(shí)數(shù)取值范圍；（ii）記較小的一個(gè)零點(diǎn)為，證明：.（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（i）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)；若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)，函數(shù)在單調(diào)遞增.因?yàn)椋慕饧癁?綜上所述，的取值范圍是.（ii）因?yàn)?，由，結(jié)合（i）知，要證，即證，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，不等式恒成立；?dāng)時(shí)，由得.即證.即證.即證.設(shè)，，由，所以在單調(diào)遞增.所以，故原不等式成立.所以.19.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且滿足.（1）求的值；（2）已知點(diǎn)，直線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，直線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).拋物線在，處的切線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線，分別交直線KD，于點(diǎn)，.（i）求證：點(diǎn)為定點(diǎn)；（ii）記，的面積分別為，，求的最小值.解：（1）由題意，直線斜率必存在，設(shè)，，，聯(lián)立得，.所以，.