高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市靜安區(qū)2025屆高三下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（高考二模）數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12小題，滿分54分）第1小題至第6小題每個空格填對得4分，第7小題至第12小題每個空格填對得5分，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號后填寫答案，否則一律得零分．1.已知全集為，集合，則______．【答案】或【解析】因集合，所以或.故答案為：或.2.不等式的解集為_____________．【答案】.【解析】由得：，解得：，不等式的解集為.故答案為：.3.橢圓的離心率是______．【答案】【解析】在橢圓中，，，，因此，橢圓的離心率是.故答案為：.4.已知隨機變量X服從二項分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，則P=__________．【答案】【解析】隨機變量X服從二項分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，則p=，故答案為．5.已知，則______．（請用含的代數(shù)式表達）【答案】【解析】由題意得，.故答案為：.6.已知，則sin2x的值為________.【答案】【解析】〖祥解〗∵，，則sin2x＝，故答案為：.7.設(shè)一個罐子中有大小與質(zhì)地相同的黑、白、紅三個球，不放回的每次摸一個球，設(shè)第一次沒有摸到黑球是事件A，第二次沒有摸到黑球是事件B，則的值為______．【答案】【解析】第一次沒有摸到黑球，則還剩下一個黑球，一個不是黑球，共兩個球，所以.故答案為：.8.設(shè)某港口水的深度y（米）關(guān)于時間t（時）的函數(shù)近似滿足．根據(jù)某一天的測量，港口水的深度在早上3點達到最大值18米，之后持續(xù)減少，并在上午9點達到最小值14米．則該港口水的深度y（米）關(guān)于時間t（時）的函數(shù)的近似表達式為______．【答案】【解析】由題意可知，解得，，所以，所以，所以，又當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，所以，所以，所以，所以.故答案為：.9.用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，且容器底面的長邊比短邊長0.5m（不計損耗）．若要使該容器的容積最大，則容器的高為______m．【答案】【解析】設(shè)底面短邊長為，則長邊長為，高為，則，解得，則容器的容積，，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，所以要使該容器的容積最大，則容器的高為.故答案為：.10.已知，且，則的最小值是_________．【答案】【解析】因為，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是．故答案為：.11.從m個男生和n個女生（）中任選2個人當(dāng)隊長，假設(shè)事件A表示選出的2人性別相同，事件B表示選出的2人性別不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值為______．【答案】【解析】因為，所以，即，整理得，因為，所以，即，所以，又因為都是正整數(shù)，所以，當(dāng)時，此時，所以（舍去），當(dāng)時，此時，所以，綜上所述，，所以.故答案為：.12.在邊長為1的正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，若沿線段DE折疊該三角形時，頂點A恰好落在邊BC上．則線段AD的長度的最小值為______．【答案】【解析】由題意可得兩點關(guān)于折線對稱，連結(jié)，設(shè)，則，，．中，．在中，，由正弦定理知：，即，所以．因為，即，當(dāng)，即時，，此時取得最小值，且．所以的最小值為．故答案為：.二、選擇題（本大題共4小題，滿分18分）第13題、14題各4分，第15題、16題各5分．每題有且僅有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑．13.“”是“一元二次不等式的解集為R”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題根據(jù)一元二次不等式的解集為R，可得，所以“”是“一元二次不等式的解集為R”的必要不充分條件.故選：B.14.若復(fù)數(shù)（a、，是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第二象限，則（）A.且 B.且 C.且 D.且【答案】D【解析】，因為復(fù)數(shù)（a、，是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第二象限，所以，解得.故選：D.15.設(shè)是一個三次函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).圖中所示的是的圖像的一部分.則的極大值與極小值分別是（）.A.與 B.與 C.與 D.與【答案】C【解析】易知，有三個零點因為為二次函數(shù)，所以，它有兩個零點由圖像易知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故是極小值類似地可知，是極大值.故答案為C16.設(shè)函數(shù)的定義域為，若，且對任意，滿足，，則的值為（）A. B. C. D.以上答案均不對【答案】A【解析】由，可得，因為，所以，又因為，所以，則，所以．故選：A.三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.已知向量、，記．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)（其中常數(shù)）為奇函數(shù)，求的值．解：（1），所以函數(shù)的最小正周期；（2），因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，解得，又因為，所以.18.某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力情況，該校從高三六個班的300名學(xué)生中以班為單位（每班學(xué)生50人），每班按隨機抽樣方法抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù).其中高三（1）班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表：視力數(shù)據(jù)4.04.14.24.3444.54.64.74.84.95.05.15.25.3人數(shù)22211（1）用上述樣本數(shù)據(jù)估計高三（1）班學(xué)生視力的平均值；（2）已知其余五個班學(xué)生視力的平均值分別為4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若從這六個班中任意抽取兩個班學(xué)生視力的平均值作比較，求抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的絕對值不小于0.2的概率.解：（1）高三文科（1）班抽取的8名學(xué)生視力的平均值為．據(jù)此估計高三文科（1）班學(xué)生視力的平均值約為．（2）因為高三文科六個班學(xué)生視力的平均值分別為、、、、、，所以任意抽取兩個文科班學(xué)生視力的平均值數(shù)對有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情形．其中抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的絕對值不小于的有，，，，，，，，，，共10種所以抽取的兩個班學(xué)生視力的平均值之差的絕對值不小于的概率為．考19.如圖，在正三棱柱中，，延長CB至D，使，是線段的中點．（1）求證：①直線平面；②；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：①在正三棱柱中，，因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，面，所以平面；②因為，是線段的中點，所以，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：在中，由于，所以，則，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，因為軸垂直平面，則可取平面的法向量為，則，所以二面角的正弦值為．20.如圖，在直角坐標平面xOy中，中（）為正三角形，且滿足，．（1）求點的橫坐標關(guān)于正整數(shù)n的表達式；（2）求證：點，，…，…在拋物線：上；（3）過（2）中拋物線：的焦點F作兩條互相垂直的弦AC和BD，求四邊形ABCD面積的最小值．（1）解：由，可得；（2）證明：設(shè)點的坐標為，則，即，所以，所以點，，，在拋物線上；（3）解：拋物線的焦點為，互相垂直的弦和顯然都不垂直坐標軸，設(shè)直線的方程為，代入，得，則有，所以，將上式中的用代換，得，于是當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以四邊形面積的最小值為18．21.若存在實數(shù)常數(shù)k，m，對任意，不等式恒成立，則稱直線是函數(shù)和函數(shù)在上的分界線．（1）請寫出函數(shù)和函數(shù)在上的一條斜率為1的分界線；（不必證明）（2）求證：函數(shù)和函數(shù)在上過坐標原點的分界線有且只有一條；（3）試探究函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）和函數(shù)在上是否存在分界線．若存在，求出分界線方程；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意直線是函數(shù)和函數(shù)在上的一條分界線，則在上恒成立，即在上恒成立，因為，所以，令，則，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，綜上所述，，所以滿足題意的直線可以是；（答案不唯一，滿足的均可）（