第15課時二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.(2024·河北二模)一種線型合成材料,其成本y(元)與材料長度x(米)的平方成正比.已知材料長度為2米時,成本為4元;若材料長度為4×103米,則該材料的成本用科學(xué)記數(shù)法表示為 ()A.16×105元 B.1.6×106元 C.16×106元 D.1.6×107元2.如圖,某農(nóng)場計劃修建三間矩形飼養(yǎng)室,飼養(yǎng)室一面靠現(xiàn)有墻(墻可用長不大于20m),中間用兩道墻隔開,已知計劃中的修筑材料可建圍墻總長為60m,設(shè)飼養(yǎng)室寬為xm,占地總面積為ym2,則三間飼養(yǎng)室總面積y有 ()A.最小值200m2 B.最小值225m2C.最大值200m2 D.最大值225m23.(2024·天津)從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(單位:m)與小球的運(yùn)動時間t(單位:s)之間的關(guān)系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列結(jié)論:①小球從拋出到落地需要6s;②小球運(yùn)動中的高度可以是30m;③小球運(yùn)動2s時的高度小于運(yùn)動5s時的高度.其中,正確結(jié)論的個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.34.(2024·泰安)如圖,小明的父親想用長為60米的柵欄,再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園.已知房屋外墻長40米,則可圍成的菜園的最大面積是平方米.

5.(2024·甘肅)如圖1為一汽車停車棚,其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分,如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y(單位:m)與距離停車棚支柱AO的水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.02x2+0.3x+1.6的圖象,點(diǎn)B(6,2.68)在圖象上.若一輛廂式貨車需在停車棚下避雨,貨車截面看作長CD=4m,高DE=1.8m的矩形,則可判定貨車完全停到車棚內(nèi)(填“能”或“不能”).

圖1圖26.(2024·廣西)如圖,壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球,出手(點(diǎn)P處)的高度OP是74m,出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行,到達(dá)最高點(diǎn)時,水平距離是5m,高度是4m.若實(shí)心球落地點(diǎn)為M,則OM=m7.(2024·邢臺威縣三模)古往今來,橋給人們的生活帶來便利,解決跨水或者越谷的交通,便于運(yùn)輸工具或行人在橋上暢通無阻,中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形,坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝,距今已有約1400年的歷史,是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敞肩石拱橋,趙州橋的主橋拱便是圓弧形.圖1圖2圖3(1)某橋A主橋拱是圓弧形(如圖1中ABC),已知跨度AC=40m,拱高BD=10m,則這座橋主橋拱的半徑是m.

(2)某橋B的主橋拱是拋物線形(如圖2),若水面寬MN=10m,拱頂P(拋物線頂點(diǎn))距離水面4m,求主橋拱拋物線的解析式.(3)如圖3,某時橋A和橋B的橋下水位均上升了2m,求此時兩橋的水面寬度.1.一個裝滿水的水杯豎直放置在水平桌面MN上時的縱向截面如圖1所示,其左右輪廓線AC,BD都是拋物線L的一部分,已知水杯底部AB寬為43cm,水杯高度為12cm,杯口直徑CD為83cm,且CD∥MN,以杯底AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,以MN所在的直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)輪廓線AC,BD所在的拋物線L的解析式為.

(2)將水杯繞點(diǎn)A傾斜倒出部分水,杯中水面CE∥MN,如圖2,當(dāng)傾斜角∠BAN=30°時,水面寬度CE=cm.

圖1圖22.(2024·石家莊模擬)如圖是南水北調(diào)某段河道的截面圖.河道輪廓為某拋物線的一部分,嘉淇在枯水期測得河道寬度OA=20米,河水水面截痕BC=10米,水面到河岸水平線OA的距離為7.5米.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,解決如下問題:(1)求河道輪廓的函數(shù)解析式,并求此時最大水深為多少米?(2)在豐水期,測得水面到OA的距離為3.6米.①求此時水面截痕DE的長;②嘉淇乘坐小船游弋到河道正中央時,向右側(cè)河岸拋出一個小球,小球恰好落在點(diǎn)E處,小球飛行過程中到水面最大距離是8米,若嘉淇拋球的力道和角度不改變,要想讓小球飛到河岸(即點(diǎn)A右側(cè))上,直接寫出嘉淇的小船至少要向右劃行多少米?

【詳解答案】基礎(chǔ)夯實(shí)1.D解析:根據(jù)題意,設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx2,把x=2,y=4代入解析式,得4k=4,解得k=1,∴y與x之間的函數(shù)解析式為y=x2,當(dāng)x=4×103時,y=(4×103)2=16×106=1.6×107.故選D.2.C解析:根據(jù)題意,三間飼養(yǎng)室的長為(60-4x)m,∵現(xiàn)有墻可用長不大于20m,∴60-4x≤20,解得x≥10,而y=x(60-4x)=-4x2+60x=-4(x-7.5)2+225,∴拋物線對稱軸為直線x=7.5,在對稱軸右側(cè),y隨x增大而減小,∴當(dāng)x=10時,y取最大值-4×(10-7.5)2+225=200,∴三間飼養(yǎng)室總面積y有最大值200m2.故選C.3.C解析:①令h=0,則30t-5t2=0,解得t1=0,t2=6,∴小球從拋出到落地需要6s,故①正確;②h=30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45,∵-5<0,∴當(dāng)t=3時,h有最大值,最大值為45,∴小球運(yùn)動中的高度可以是30m,故②正確;③t=2時,h=30×2-5×4=40(m),t=5時,h=30×5-5×25=25(m),∴小球運(yùn)動2s時的高度大于運(yùn)動5s時的高度,故③錯誤.故選C.4.450解析:由題意,設(shè)垂直于墻的邊長為x米,則平行于墻的邊長為(60-2x)米,又墻長為40米,∴0<60-2x≤40.∴10≤x<30.又菜園的面積S=x(60-2x)=-2x2+60x=-2(x-15)2+450,∴當(dāng)x=15時,可圍成的菜園的最大面積是450平方米,即垂直于墻的邊長為15米時,可圍成的菜園的最大面積是450平方米.5.能解析:∵CD=4m,B(6,2.68),∴6-4=2,在y=-0.02x2+0.3x+1.6中,當(dāng)x=2時,y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12,∵2.12>1.8,∴貨車能完全停到車棚內(nèi).6.353解析:如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OM所在直線為x軸,OP所在直線為y由題意可知,P0,74,B設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-5)2+4,將P0,74代入上式得25a+4=74,解得∴拋物線的解析式為y=-9100(x-5)2+當(dāng)y=0時,-9100(x-5)2+解得x1=353,x2=-5∴OM=353m7.解:(1)25解析:設(shè)主橋拱所在的圓弧形圓心為O,連接OD,OA,如圖1:圖1由拱高的定義可知,B,D,O三點(diǎn)共線,設(shè)主橋拱的半徑是rm,在Rt△ADO中,AD=12AC=20m,DO=BO-BD=(r∵AD2+DO2=AO2,∴202+(r-10)2=r2,解得r=25.(2)以P為原點(diǎn),平行水面的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖2:圖2設(shè)主橋拱拋物線的解析式為y=ax2,∵水面寬MN=10m,拱頂P(拋物線頂點(diǎn))距離水面4m,∴M(-5,-4),∴-4=25a,解得a=-425∴主橋拱拋物線的解析式為y=-425x2(3)橋A的橋下水位上升了2m,如圖3:圖3根據(jù)題意,OF=25m,OE=OB-BE=25-(10-2)=17(m),∴EF=OF421(m),∴此時橋A的水面寬度為821m.橋B的橋下水位上升了2m,在y=-425x2中,令y得-2=-425x2解得x=522或x=-∵522-∴此時橋B的水面寬度為52m.能力提升1.(1)y=13x2-4(2)14解析:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+c把點(diǎn)B(23,0),D(43,12)代入y=ax2+c中,得12a+∴y=13x2即拋物線L的解析式為y=13x2-4(2)根據(jù)題意可知,∠DCE=30°,如圖,設(shè)CE與y軸的交點(diǎn)為P,CD與y軸交于點(diǎn)Q,在Rt△CPQ中,CQ=43,∠PCQ=30°,∴PQ=4,∴PO=8,∴P(0,8),設(shè)直線CE的解析式為y=kx+m,將C(-43,12),P(0,8),代入,得-43∴直線CE的解析式為y=-33x+令13x2-4=-33解得x=-43(舍去)或x=33,∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為33,當(dāng)x=33時,y=-33×33+∴E(33,5).∴CE=(332.解:(1)如圖,過點(diǎn)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G,由二次函數(shù)圖象的對稱性可得OG=OA-∵BG=7.5,∴B(5,-7.5),∵OA=20,∴A(20,0),設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax(x-20),將B(5,-7.5)代入得-7.5=a·5×(-15),解得a=110∴二次函數(shù)的解析式為y=110x2-2x∵y=110x2-2x=110(x-10)∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-10,此時水深為10-7.5=2.5(米).(2)①∵豐水期時水面到OA的距離是3.6米,令y=-3.6,即110x2-2x=-3.解得x1=2,x2=18,∴x2-x1=16,即DE的長為16米.②嘉淇的小船至少要向右劃行6-2解析:由題易知小球的軌跡是拋物線,如圖,設(shè)DE的中點(diǎn)為F,小球軌跡的頂點(diǎn)是點(diǎn)M,∴F(10,-3.6),由①知E(18,-3.6),∵小球飛行過程中到