領(lǐng)航高中聯(lián)盟2024—2025學(xué)年下學(xué)期第一次聯(lián)合考試高一數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．考查范圍：必修第一冊(cè)第五章占20%，必修第二冊(cè)第六章至第八章第五節(jié)占80%．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡指定位置上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，進(jìn)而求出z的虛部.【詳解】依題意，，所以z的虛部為.故選：A2.已知向量，若，則（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算和數(shù)量積公式列方程即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故選：D.3.下列命題中為真命題的是（）A.圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形B.用任意一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體是棱柱D.五棱錐共有6個(gè)頂點(diǎn)，11條棱【答案】C【解析】【分析】利用圓臺(tái)、棱臺(tái)、棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)的一部分，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，用平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由棱柱的定義知，C正確；對(duì)于D，五棱錐共有6個(gè)頂點(diǎn)，10條棱，D錯(cuò)誤.故選：C4.若銳角，滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由題意得，再結(jié)合三角恒等變換即可求解.【詳解】由題意設(shè)，因?yàn)?，所以，所以?故選：B.5.已知向量，若向量滿足，則可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)夾角相等，即夾角余弦值相等，得出，然后逐一判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】設(shè)，又，所以因?yàn)樗?，即，所以，?duì)于A，，滿足，故A正確；對(duì)于B，，不滿足，故B不正確；對(duì)于C，，不滿足，故C不正確；對(duì)于D，，不滿足，故D不正確；故選：A6.如圖，某校高一幾位同學(xué)測(cè)量平地上某建筑物CP的高度，從地面上一點(diǎn)A觀察建筑物頂部P的仰角為，朝建筑物方向向前20m到達(dá)點(diǎn)B，從點(diǎn)B觀察P的仰角為，則建筑物CP的高度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過(guò)兩次不同位置的仰角，建立建筑物高度與水平距離的三角函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)兩點(diǎn)間水平距離差列方程，化簡(jiǎn)求值.【詳解】設(shè)建筑物高度為，點(diǎn)到建筑物底部的水平距離點(diǎn)到的水平距離，由題意可知，米，且，因此，三角恒等變換得：，化簡(jiǎn)得：，即，則.故選：A7.用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖如圖所示，在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足，且，則中AB邊上的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】涉及余弦定理以及斜二測(cè)畫法的相關(guān)知識(shí).首先，根據(jù)已知條件，利用余弦定理求出角$A'$的大小.然后，由斜二測(cè)畫法的性質(zhì)，得到原三角形的相關(guān)信息，進(jìn)而求出邊上的高.【詳解】已知在中，，移項(xiàng)可得.根據(jù)余弦定理，將代入可得：.因?yàn)?，所?

已知，即，那么中邊上的高.

根據(jù)斜二測(cè)畫法的性質(zhì)，在斜二測(cè)畫法中，平行于軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，那么原三角形中邊上的高.將代入可得.

所以中邊上的高為.故選：C.8.現(xiàn)有一塊棱長(zhǎng)為2的正四面體木料，用平行于該木料底面的一個(gè)平面將木料截成兩部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在木料上的截面面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)該正三角形與底面的相似比為k，結(jié)合正四面體的性質(zhì)，根據(jù)相似比求得截面面積為，根據(jù)正三棱臺(tái)的表面積公式和正四面體的表面積列式求出，即可得解.【詳解】由正四面體木料知，底面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，故底面面積為，因?yàn)槠矫嫫叫杏谠撃玖系酌?，故該平面在木料上的截面也為正三角形，設(shè)該正三角形與底面的相似比為k，則該平面在木料上的截面面積為，截下部分一部分為小四面體，一部分為正三棱臺(tái)，其中小四面體部分的表面積即，正三棱臺(tái)表面積為，故，解得，所以該平面在木料上的截面面積為.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知圓錐的底面半徑，母線長(zhǎng)，設(shè)該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形AOB，O為扇形圓心，則（）A.扇形AOB的圓心角為B.圓錐的高h(yuǎn)為C.圓錐的表面積為D.從點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)的最短距離為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式，以及側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用，逐項(xiàng)求解，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A中，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖所得扇形的圓心角為，可得，即，解得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，圓錐的高為，所以B正確；對(duì)于C中，由圓錐的側(cè)面積為，底面積為，所以圓錐的表面積為，所以C正確；對(duì)于D中，如圖所示，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中，可得，即從點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)的最短距離為，所以D正確.故選：BCD.10.定義復(fù)數(shù)運(yùn)算：，已知復(fù)數(shù)，w滿足，則（）A.w可以是 B.的最小值為C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第二象限 D.的實(shí)部是5【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，則由題設(shè)條件可得，據(jù)此利用反證法判斷AC，取特例判斷B，利用復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算后判斷D.【詳解】設(shè)，則，整理得，故即，對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，故B成立；對(duì)于C，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則，此時(shí)不成立，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第二象限，故C正確；對(duì)于D，，故的實(shí)部是5，故D正確故選：BCD.11.記是的外接圓，且，，，則（）A. B.C.的面積為 D.圓O的周長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由是的外接圓和符合，可知在的中垂線上，推出矛盾即可判斷；對(duì)于B，由數(shù)量積定義計(jì)算即可；對(duì)于C，對(duì)等式兩邊同時(shí)乘以，可求，進(jìn)而得到，利用面積公式即可求；對(duì)于D，由余弦定理可得，由正弦定理可求圓的半徑即可得周長(zhǎng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭堑耐饨訄A，所以是的外心，在的中垂線上，若符合，則也應(yīng)在的中垂線上，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槭峭庑?，所以在的中垂線上，所以，故B正確；對(duì)于C，對(duì)等式兩邊同時(shí)乘以，則，所以，解得，故，，所以的面積為，故C正確；對(duì)于D，由余弦定理可得，解得，由正弦定理，，所以圓的半徑為，其周長(zhǎng)為，故D正確，故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用純虛數(shù)的定義列式求解.【詳解】由為純虛數(shù)，得，所以.故答案為：313.______．【答案】【解析】【分析】利用和角的余弦公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即得.【詳解】.故答案為：14.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題意得或，整理得，，由此即可得解.【詳解】由題意等價(jià)于，所以或，解得，或，所以，，故所求范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知在正方形ABCD中，，．（1）設(shè)，，用，表示；（2）若AC上一點(diǎn)R滿足，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由向量的線性運(yùn)算即可分解向量；（2）由題意得，且可設(shè)，結(jié)合不共線，即可求解.【小問(wèn)1詳解】，【小問(wèn)2詳解】由題意，設(shè)，因?yàn)椴还簿€，從而，解得.16.如圖，已知圓錐OP的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，點(diǎn)C是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，D是PB的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)Q滿足．（1）證明：平面PQC；（2）設(shè)球M與圓錐的側(cè)面和底面均相切，求球M的半徑；（3）證明：“平面ABC”是“”充要條件．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用平行公理及線面平行的判定推理得證.（2）根據(jù)給定條件，求出圓錐軸截面等腰三角形內(nèi)切圓半徑即可.（3）利用線面平行的判定、性質(zhì)及充要條件的定義推理得證.【小問(wèn)1詳解】依題意，是的中點(diǎn)，而D是PB的中點(diǎn)，則，而，因此，而平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由球M與圓錐的側(cè)面和底面均相切，得圓錐軸截面等腰內(nèi)切圓是球M的截面大圓，圓錐的母線，設(shè)球M的半徑為，由，得，所以球M半徑是.【小問(wèn)3詳解】由，得點(diǎn)四點(diǎn)共面，平面平面，由平面，平面，得，因此四邊形是平行四邊形，則；反之，由，，得四邊形是平行四邊形，則，而平面，平面，因此平面，所以“平面”是“”的充要條件17.已知在面積為S的中．（1）證明：；（2）若，求S的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知，利用數(shù)量積的定義及余弦定理推理得證.（2）由（1）中信息，結(jié)合基本不等式可得，再利用三角形面積公式及同角公式求解.【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理，得，由，得,所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然為銳角，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以S的最大值為.18.設(shè)函數(shù)，其部分圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)如圖所示．（1）若，，，求；（2）在中，記內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（?。┳C明：是等腰三角形；（ⅱ）若，求當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒槎嗌贂r(shí)，的中線BD能取得最大值．【答案】（1）（2）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）最小正周期，BD取得最大值為.【解析】【分析】（1）先求得到的值，再令，根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)求出，進(jìn)而得到、坐標(biāo).然后分別算出與，最后用兩角和正切公式算出.（2）把余弦定理代入已知等式化簡(jiǎn)，根據(jù)條件判斷得出.對(duì)向量等式兩邊平方，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系得到關(guān)于的式子，設(shè)，利用均值不等式求最大值，進(jìn)而得到最大值和的值.【小問(wèn)1詳解】已知，當(dāng)時(shí)，，所以.令，即，則（為整數(shù)）.解得.當(dāng)，，得；當(dāng)，，得.，.根據(jù)公式.【小問(wèn)2詳解】（?。┯?，代入得：，化簡(jiǎn)得.若，則，與圖知條件矛盾，所以.所以是等腰三角形；（ⅱ），兩邊平方.因?yàn)?，，由正弦定理可得：?代入得設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).此時(shí)，周期，BD最大值為.19.設(shè)的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，且內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，定義的值為的“徑比”．（1）若為等腰直角三角形，求的徑比f(wàn)；（2）證明：；（3）若，求f的最值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）最小值為，無(wú)最大值.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直角邊長(zhǎng)為，得到斜邊長(zhǎng)為，求得外接圓的半徑為和周長(zhǎng)，得到，即可求得的值；（2）利用正弦定理和三角形的面積公式，得到和的周長(zhǎng)為，結(jié)合，得到，即可得證；（3）根據(jù)題意，利用三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到，求得，得