§2.7

函數(shù)的圖象第二章

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ基礎知識

自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎知識自主學習1.描點法作圖方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)的解析式；(3)討論函數(shù)的性質即奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢)；(4)描點連線，畫出函數(shù)的圖象.2.圖象變換(1)平移變換知識梳理f(x)+kf(x+h)f(x-h)f(x)-k－f(x)f(－x)－f(－x)logax(a>0且a≠1)f(ax)af(x)|f(x)|f(|x|)1.關于對稱的三個重要結論(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關于直線x＝a對稱.(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)中心對稱.(3)若函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.2.函數(shù)圖象平移變換八字方針(1)“左加右減”，要注意加減指的是自變量.(2)“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值.【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)當x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同.(

)(2)函數(shù)y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同.(

)(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于原點對稱.(

)(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.(

)基礎自測×××1234567√題組二教材改編2.[P35例5(3)]函數(shù)f(x)＝x＋

的圖象關于A.y軸對稱

B.x軸對稱C.原點對稱

D.直線y＝x對稱12456解析函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故選C.7√33.[P23T2]小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖象是√1245673解析小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學校越來越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.故選C.12456734.[P75A組T10]如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是_______.1245673(－1,1]解析在同一坐標系內(nèi)作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的圖象(如圖).由圖象知不等式的解集是(－1,1].1245673√6.將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)_________的圖象.12456解析圖象向右平移1個單位，是將f(－x)中的x變成x－1.73f(－x＋1)7.設f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，則ab的取值范圍是_________.1245673(4，＋∞)解析畫出函數(shù)f(x)＝|lg(x－1)|的圖象如圖所示.由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，所以ab>4.題型分類深度剖析題型一作函數(shù)的圖象自主演練(2)y＝|log2(x＋1)|；解將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移1個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②實線部分.再向上平移2個單位得到，如圖③實線部分.先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據(jù)對稱性作出(－∞，0)上的圖象，如圖④實線部分.(4)y＝x2－2|x|－1.圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x＋

的函數(shù).(2)若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序.思維升華題型二函數(shù)圖象的辨識師生共研典例(1)(2017·嘉興一中測試)已知函數(shù)f(x)＝ln|x|，g(x)＝－x2＋3，則f(x)·g(x)的圖象為√解析由f(x)·g(x)為偶函數(shù)，排除A，D，當x＝e時，f(x)·g(x)＝－e2＋3<0，排除B.(2)已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為√解析方法一由y＝f(x)的圖象知，當x∈[0,2]時，2－x∈[0,2]，方法二當x＝0時，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；當x＝1時，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.觀察各選項，可知應選B.函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.(5)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.思維升華√(2)函數(shù)y＝log2(|x|＋1)的圖象大致是√解析y＝log2(|x|＋1)是偶函數(shù)，當x≥0時，y＝log2(x＋1)是增函數(shù)，其圖象是由y＝log2x的圖象向左平移1個單位得到，且過點(0,0)，(1,1)，只有選項B滿足.題型三函數(shù)圖象的應用多維探究命題點1研究函數(shù)的性質典例(1)已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是A.f(x)是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)B.f(x)是偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)C.f(x)是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－1,1)D.f(x)是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)√解析

將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對值得畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1,1)上單調(diào)遞減.(2)已知函數(shù)f(x)＝|log3x|，實數(shù)m，n滿足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則

＝___.解析作出函數(shù)f(x)＝|log3x|的圖象，觀察可知0<m<1<n且mn＝1.若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，從圖象分析應有f(m2)＝2，9命題點2解不等式典例函數(shù)f(x)是定義在[－4,4]上的偶函數(shù)，其在[0,4]上的圖象如圖所示，那么不等式

<0的解集為_________________.結合y＝f(x)在x∈[0,4]上的圖象知，(0,1]解析作出函數(shù)y＝f(x)與y＝k的圖象，如圖所示，由圖可知k∈(0,1].(2)設函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________.[－1，＋∞)解析如圖作出函數(shù)f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖象，觀察圖象可知，當且僅當－a≤1，即a≥－1時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞).(1)注意函數(shù)圖象特征與性質的對應關系.(2)方程、不等式的求解可轉化為函數(shù)圖象的交點和上下關系問題.思維升華跟蹤訓練(1)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是______.解析先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當直線g(x)＝kx與直線AB平行時斜率為1，

幾何畫板展示(2)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是圓x2＋y2＝2上的兩段弧，如圖所示，則不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是__________________.解析由圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故原不等式可等價轉化為f(x)>－x.在同一直角坐標系中分別畫出y＝f(x)與y＝－x的圖象，(－1,0)∪高考中的函數(shù)圖象及應用問題高頻小考點高考中考查函數(shù)圖象問題主要有函數(shù)圖象的識別，函數(shù)圖象的變換及函數(shù)圖象的應用等，多以小題形式考查，難度不大，常利用特殊點法、排除法、數(shù)形結合法等解決.熟練掌握高中涉及的幾種基本初等函數(shù)是解決前提.考點分析一、函數(shù)的圖象和解析式問題典例1

(1)(2014·浙江)在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是√解析冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象不過(0,1)點，排除A；B項中由對數(shù)函數(shù)g(x)＝logax的圖象知0<a<1，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯，D對；C項中由對數(shù)函數(shù)g(x)＝logax的圖象知a>1，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應是增長越來越快的變化趨勢，故C錯.(2)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是√解析由函數(shù)圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，應排除B，C.二、函數(shù)圖象的變換問題典例2

若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為√解析由y＝f(x)的圖象得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，需要先將y＝f(x)的圖象關于x軸對稱得到y(tǒng)＝－f(x)的圖象，然后再向左平移一個單位得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，根據(jù)上述步驟可知C正確.√由正弦曲線的對稱性可知a＋b＝1，而1<c<2018，所以2<a＋b＋c<2019，故選C.(3，＋∞)解析如圖，當x≤m時，f(x)＝|x|；當x>m時，f(x)＝x2－2mx＋4m在(m，＋∞)上為增函數(shù)，若存在實數(shù)b，使方程f(x)＝b有三個不同的根，則m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.

幾何畫板展示課時作業(yè)基礎保分練123456789101112131415161.函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是√解析易知x→＋∞時，y→＋∞，排除C；x→－∞時，y→－∞，排除D；又當x＝2和x＝4時，y＝0，故選A.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析方法一畫出y＝f(x)的圖象，再作其關于y軸對稱的圖象，得到y(tǒng)＝f(－x)的圖象，再將所得圖象向右平移1個單位，得到y(tǒng)＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的圖象.方法二∵y＝f(1－x)過點(0,3)，可排除A；過點(1,1)，可排除B；12345678910111213141516√解析∵f(x)＝ex＋e－x，∴f(x)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱.4.已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5，則方程f(x)＝g(x)的根的個數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3√12345678910111213141516解析在平面直角坐標系內(nèi)作出f(x)，g(x)的圖象如圖所示，由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其頂點為(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知點(2,1)位于函數(shù)f(x)＝2lnx圖象的下方，故函數(shù)f(x)＝2lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象有2個交點.5.函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位，所得圖象與曲線y＝ex關于y軸對稱，則f(x)的解析式為A.f(x)＝ex＋1

B.f(x)＝ex－1C.f(x)＝e－x＋1

D.f(x)＝e－x－112345678910111213141516√解析與y＝ex的圖象關于y軸對稱的函數(shù)為y＝e－x.依題意，f(x)的圖象向右平移一個單位，得y＝e－x的圖象.∴f(x)的圖象由y＝e－x的圖象向左平移一個單位得到.∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.123456789101112131415166.對于函數(shù)f(x)＝lg(|x－2|＋1)，給出如下三個命題：①f(x＋2)是偶函數(shù)；②f(x)在區(qū)間(－∞，2)上是減函數(shù)，在區(qū)間(2，＋∞)上是增函數(shù)；③f(x)沒有最小值.其中正確的個數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.0√解析作出f(x)的圖象，可知f(x)在(－∞，2)上是減函數(shù)，在(2，＋∞)上是增函數(shù)；由圖象可知函數(shù)存在最小值0.所以①②正確.7.函數(shù)f(x)＝|x|－cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)有___個零點.123456789101112131415162解析在同一坐標系內(nèi)畫出兩個函數(shù)y1＝|x|和y2＝cosx的圖象如圖所示.這兩個函數(shù)的圖象有且只有2個交點，即函數(shù)f(x)有2個零點.123456789101112131415168.設函數(shù)y＝f(x＋1)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上是減函數(shù)，且圖象過點(1,0)，則不等式(x－1)f(x)≤0的解集為________________.{x|x≤0或1<x≤2}解析畫出f(x)的大致圖象如圖所示.由圖可知符合條件的解集為{x|x≤0或1<x≤2}.12345678910111213141516(4,5)解析作出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的圖象如圖所示，由于直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個交點，數(shù)形結合可得m的取值范圍為(4,5).123456789101112131415160解析

方程f(x)＝c有三個不同的實數(shù)根等價于y＝f(x)與y＝c的圖象有三個交點，畫出函數(shù)f(x)的圖象(圖略)，易知c＝1，且方程f(x)＝c的一根為0，令lg|x|＝1，解得x＝－10或10，故方程f(x)＝c的另兩根為－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.1234567891011121314151611.函數(shù)y＝ln|x－1|的圖象與函數(shù)y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于___.6解析作出函數(shù)y＝ln|x－1|的圖象，又y＝－2cosπx的最小正周期為T＝2，如圖所示，兩圖象都關于直線x＝1對稱，且共有6個交點，由中點坐標公式可得所有交點的橫坐標之和為6.12.已知f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；12345678910111213141516解當x2－4x＋3≥0時，x≤1或x≥3，∴f(x)的圖象為12345678910111213141516(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其單調(diào)性；解由函數(shù)的圖象可知f(x)的單調(diào)區(qū)間是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是單調(diào)減區(qū)間；(1,2]，[3，＋∞)是單調(diào)增區(qū)間.(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個不相等的實根}.解由f(x)的圖象知，當0<m<1時，f(x)＝m有四個不相等的實根，所以M＝{m|0<m<1}.技能提升練12345678910111213141516√解析函數(shù)f(x)的圖象如圖實線部分所示，且f(－x)＝f(x)，從而函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.12345