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文檔簡介
/廣東省廣州市三校聯(lián)考2024_2025學(xué)年高二下冊4月期中“三校聯(lián)考”數(shù)學(xué)試卷一、單選題(本大題共8小題)1.已知數(shù)列的通項公式是,則122是該數(shù)列的(
)A.第10項 B.第11項 C.第12項 D.第13項2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(
)A. B.C. D.3.已知數(shù)列中,,則(
)A.2 B. C. D.14.在送課下鄉(xiāng)支教活動中,某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教師到三所薄弱學(xué)校支教,每所學(xué)校至少安排一名教師,且甲、乙兩名教師安排在同一學(xué)校支教,丙、丁兩名教師不安排在同一學(xué)校支教,則不同的安排方法總數(shù)為(
)A.20 B.24 C.30 D.365.若的展開式中只有第6項的系數(shù)最大,則該展開式中的常數(shù)項為(
)A.10 B.210 C.252 D.4636.記為等差數(shù)列的前項和,若,,則(
)A.40 B.60 C.76 D.887.在的展開式中,的系數(shù)是()A.690 B. C.710 D.8.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù),對任意實數(shù),都有,當(dāng)時,,若,則實數(shù)的最小值是(
)A. B. C. D.二、多選題(本大題共3小題)9.已知等差數(shù)列的前項和為,若,,則下列結(jié)論正確的是(
)A.?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)取得最大值時, D.10.已知,則()A.的值為2B.的值為80C.的值為D.11.“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.從第行開始,第行從左至右的數(shù)字之和記為,如,,,的前項和記為,依次去掉每一行中所有的構(gòu)成的新數(shù)列、、、、、、、、、、,記為,的前項和記為,則下列說法正確的有(
)A. B.的前項和為C. D.三、填空題(本大題共3小題)12..13.將1,2,3,…,9這9個數(shù)填入如圖所示的格子中(要求每個數(shù)都要填入,每個格子中只能填一個數(shù)),記第1行中最大的數(shù)為,第2行中最大的數(shù)為,第3行中最大的數(shù)為,則的填法共有種.14.對任意,函數(shù)恒成立,則a的取值范圍為.四、解答題(本大題共5小題)15.已知函數(shù)在處取得極小值,且極小值為.(1)求的值;(2)求在上的最值.16.如圖,在四棱錐中,平面的中點(diǎn),.(1)求證:四邊形是直角梯形.(2)求直線與平面所成角的正弦值.17.已知數(shù)列的前項和為,且(1)求,并證明數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和為(3)若,求正整數(shù)的所有取值.18.已知橢圓過點(diǎn),焦距為,過作直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn),直線分別與直線交于E,F.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)記直線的斜率分別為,證明是定值;(3)是否存在實數(shù),使恒成立.若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.19.已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求在曲線上的點(diǎn)處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)若有兩個極值點(diǎn),,證明:.
答案1.【正確答案】B【詳解】令,解得(舍去負(fù)值),所以,,即122是該數(shù)列的第11項.故選B.2.【正確答案】C【詳解】對于A中,由,所以A錯誤;對于B中,由,所以B錯誤;對于C中,由,所以C正確;對于D中,由,所以D錯誤.故選C.3.【正確答案】A【詳解】由已知可得,,,,,,所以,數(shù)列是一個以3為周期的數(shù)列,.故選A.4.【正確答案】C【分析】依題意去三所學(xué)校的教師人數(shù)可能為(、、)或(、、)兩種情況,先分組,再分配,最后根據(jù)分類加法計數(shù)原理計算可得.【詳解】依題意去三所學(xué)校的教師人數(shù)可能為(、、)或(、、)兩種情況,若是、、,則有種安排,若是、、,則種安排,綜上可得一共有種安排.故選C.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題意,分兩步分析:①將5人分成3組,②將分好的3組安排到3個學(xué)校,由分布計數(shù)原理計算可得答案.5.【正確答案】B【分析】寫出其通項公式,根據(jù)展開式中只有第6項的系數(shù)最大,可求,令的指數(shù)為,即可求得常數(shù)項.【詳解】展開式的通項公式為,因為展開式中只有第6項的系數(shù)最大,所以,令,所以,所以展開式中的常數(shù)項為.故選.6.【正確答案】D【分析】設(shè)首項為,公差為,根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到方程組,解得、,再由求和公式計算可得.【詳解】設(shè)首項為,公差為,由,,可得,解得,所以.故選D7.【正確答案】D【詳解】觀察原式,這是首項為,公比為(),項數(shù)為的等比數(shù)列的和.根據(jù)等比數(shù)列求和公式要求原式展開式中的系數(shù),即求展開式中的系數(shù).根據(jù)二項式展開式的通項公式分別求出和展開式中的系數(shù).對于,,令,則的系數(shù)為.對于,,令,則的系數(shù)為.所以展開式中的系數(shù)為,即原式展開式中的系數(shù)為.
故選D.8.【正確答案】A【詳解】構(gòu)造函數(shù),對任意實數(shù),都有,則,所以,函數(shù)為偶函數(shù),.當(dāng)時,,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增,,即,即,則有,由于函數(shù)在上單調(diào)遞增,,即,解得,因此,實數(shù)的最小值為,故選A.9.【正確答案】CD【詳解】ABD選項,設(shè)的公差為,,故,,故,所以,且,,即是遞減數(shù)列,AB錯誤,D正確.C選項,由于是遞減數(shù)列,,,故當(dāng)取得最大值時,,C正確.故選CD.10.【正確答案】ACD【詳解】對于A,令,可得,故A正確;對于B,含的項為,所以,故B錯誤,對于C,令得,,令,,所以,,所以,故C正確;對于D,令,可得,兩邊同乘以,可得,故D正確;故選ACD.11.【正確答案】BCD【詳解】對于A選項,,所以,,A錯;對于B選項,,,所以,數(shù)列的前項和為,B對;對于C選項,將數(shù)列、、、、、、、、、、變成以下數(shù)陣則該數(shù)陣第有個數(shù),第行最后一項位于原數(shù)列第項,因為,所以,位于該數(shù)陣第行第個數(shù),則,C對;對于D選項,對于C選項中的數(shù)陣,由題意可知,該數(shù)陣第行所有數(shù)為“楊輝三角”數(shù)陣中第行去掉首、尾兩個得到,而“楊輝三角”數(shù)陣中第行所有數(shù)之和為,所以,該數(shù)陣第行所有數(shù)之和為,所以,,D對.故選BCD.12.【正確答案】【詳解】.13.【正確答案】60480【詳解】第3行,,可選的位置有3個,其余2個位置任取2個數(shù),共有種情況.第2行,取剩下6個數(shù)中最大的數(shù)為,可選的位置有3個,其余2個位置任取2個數(shù),共有種情況,第1行,剩下3個數(shù)任意排列,則有種情況,故共有種填法.14.【正確答案】【詳解】由題意得,因為,所以,即,令,則恒成立,因為,令得,,單調(diào)遞增,令得,,單調(diào)遞減,且當(dāng)時,恒成立,當(dāng)時,恒成立,因為,所以恒成立,故,當(dāng)時,,此時滿足恒成立,當(dāng),即時,由于在上單調(diào)遞增,由得,令,,則,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,故在處取得極大值,也是最大值,,故,即,所以,a的取值范圍是.15.【正確答案】(1)(2)最大值為,最小值為【詳解】(1)因為,由題知,解得,所以,當(dāng)時,,時,,則的增區(qū)間為,減區(qū)間為,所以滿足題意.(2)由(1)知,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,又,,,所以在上的最大值為,最小值為.16.【正確答案】(1)證明見解析(2).【詳解】(1)平面平面..又,得.又平面平面,又平面,則.又.又四邊形是直角梯形.(2)過作的垂線交于點(diǎn).平面平面.以為原點(diǎn),分別為軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則.的中點(diǎn),.設(shè)平面的法向量為,則,令,得.設(shè)直線與平面所成的角為,.直線與平面所成角的正弦值為.17.【正確答案】(1),證明見解析(2)(3)可取1,2,3【詳解】(1)當(dāng)時,有,解得.當(dāng)時,有,,作差可得,所以有,所以有.又,所以數(shù)列為以為首項,為公差的等差數(shù)列,所以.(2)由(1)可知,,則.所以,,則,作差可得,,所以,.(3)由(1)(2)可知,,.所以,,.由可得,,整理可得.令,易知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,所以,在上單調(diào)遞增.又,,,,所以,當(dāng)時,有,即在時不成立.所以可取1,2,3.18.【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)存在;【詳解】(1)因為橢圓過點(diǎn),焦距為,所以,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明:設(shè),直線的斜率一定存在,設(shè)為,則,消去得到,,,故是定值.(3)設(shè)存在實數(shù),使恒成立,由,,設(shè)到直線的距離為,到直線的距離為,則,①因為,所以,②把①代入②并化簡可得,由上問可知,代入上式可得,所以.19.【正確答案】(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出;(2)求出導(dǎo)函數(shù),在定義域內(nèi)分類討論解含參不等式即可求出;(3)由題意得,,,而,只需證明,即證:,即證:對任意的恒成立即可.【詳解】(1)由題可知,當(dāng)時,,,,切點(diǎn)為,切線的斜率為,切線方程為:,即;(2)對函數(shù)求導(dǎo)可得,.當(dāng)時,.則在上單調(diào)
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