/廣東省廣州市三校聯(lián)考2024_2025學(xué)年高二下冊(cè)4月期中“三校聯(lián)考”數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則122是該數(shù)列的（

）A．第10項(xiàng) B．第11項(xiàng) C．第12項(xiàng) D．第13項(xiàng)2．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．3．已知數(shù)列中，，則（

）A．2 B． C． D．14．在送課下鄉(xiāng)支教活動(dòng)中，某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教師到三所薄弱學(xué)校支教，每所學(xué)校至少安排一名教師，且甲、乙兩名教師安排在同一學(xué)校支教，丙、丁兩名教師不安排在同一學(xué)校支教，則不同的安排方法總數(shù)為（

）A．20 B．24 C．30 D．365．若的展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．10 B．210 C．252 D．4636．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．40 B．60 C．76 D．887．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（）A．690 B． C．710 D．8．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)取得最大值時(shí)， D．10．已知，則（）A．的值為2B．的值為80C．的值為D．11．“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第行開(kāi)始，第行從左至右的數(shù)字之和記為，如，，，的前項(xiàng)和記為，依次去掉每一行中所有的構(gòu)成的新數(shù)列、、、、、、、、、、，記為，的前項(xiàng)和記為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．的前項(xiàng)和為C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．．13．將1，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)填入如圖所示的格子中（要求每個(gè)數(shù)都要填入，每個(gè)格子中只能填一個(gè)數(shù)），記第1行中最大的數(shù)為，第2行中最大的數(shù)為，第3行中最大的數(shù)為，則的填法共有種.14．對(duì)任意，函數(shù)恒成立，則a的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)在處取得極小值，且極小值為．(1)求的值；(2)求在上的最值.16．如圖，在四棱錐中，平面的中點(diǎn)，.(1)求證：四邊形是直角梯形.(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為(3)若，求正整數(shù)的所有取值．18．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，焦距為，過(guò)作直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn)，直線分別與直線交于E,F．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記直線的斜率分別為，證明是定值；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立．若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在曲線上的點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．

答案1．【正確答案】B【詳解】令，解得（舍去負(fù)值），所以，，即122是該數(shù)列的第11項(xiàng).故選B.2．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A中，由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，所以C正確；對(duì)于D中，由，所以D錯(cuò)誤.故選C.3．【正確答案】A【詳解】由已知可得，，，，，，所以，數(shù)列是一個(gè)以3為周期的數(shù)列，.故選A.4．【正確答案】C【分析】依題意去三所學(xué)校的教師人數(shù)可能為（、、）或（、、）兩種情況，先分組，再分配，最后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】依題意去三所學(xué)校的教師人數(shù)可能為（、、）或（、、）兩種情況，若是、、，則有種安排，若是、、，則種安排，綜上可得一共有種安排.故選C.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題意，分兩步分析：①將5人分成3組，②將分好的3組安排到3個(gè)學(xué)校，由分布計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.5．【正確答案】B【分析】寫出其通項(xiàng)公式，根據(jù)展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，可求，令的指數(shù)為，即可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)檎归_(kāi)式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，所以，令，所以，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選.6．【正確答案】D【分析】設(shè)首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到方程組，解得、，再由求和公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由，，可得，解得，所以.故選D7．【正確答案】D【詳解】觀察原式，這是首項(xiàng)為，公比為（），項(xiàng)數(shù)為的等比數(shù)列的和.根據(jù)等比數(shù)列求和公式要求原式展開(kāi)式中的系數(shù)，即求展開(kāi)式中的系數(shù).根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式分別求出和展開(kāi)式中的系數(shù).對(duì)于，，令，則的系數(shù)為.對(duì)于，，令，則的系數(shù)為.所以展開(kāi)式中的系數(shù)為，即原式展開(kāi)式中的系數(shù)為.

故選D.8．【正確答案】A【詳解】構(gòu)造函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，即，則有，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，解得，因此，實(shí)數(shù)的最小值為，故選A.9．【正確答案】CD【詳解】ABD選項(xiàng)，設(shè)的公差為，，故，，故，所以，且，，即是遞減數(shù)列，AB錯(cuò)誤，D正確.C選項(xiàng)，由于是遞減數(shù)列，，，故當(dāng)取得最大值時(shí)，，C正確.故選CD.10．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，令，可得，故A正確；對(duì)于B，含的項(xiàng)為，所以，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，令得，，令，，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D，令，可得，兩邊同乘以，可得，故D正確；故選ACD.11．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，將數(shù)列、、、、、、、、、、變成以下數(shù)陣則該數(shù)陣第有個(gè)數(shù)，第行最后一項(xiàng)位于原數(shù)列第項(xiàng)，因?yàn)?，所以，位于該?shù)陣第行第個(gè)數(shù)，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于C選項(xiàng)中的數(shù)陣，由題意可知，該數(shù)陣第行所有數(shù)為“楊輝三角”數(shù)陣中第行去掉首、尾兩個(gè)得到，而“楊輝三角”數(shù)陣中第行所有數(shù)之和為，所以，該數(shù)陣第行所有數(shù)之和為，所以，，D對(duì).故選BCD.12．【正確答案】【詳解】.13．【正確答案】60480【詳解】第3行，，可選的位置有3個(gè)，其余2個(gè)位置任取2個(gè)數(shù)，共有種情況.第2行，取剩下6個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為，可選的位置有3個(gè)，其余2個(gè)位置任取2個(gè)數(shù)，共有種情況，第1行，剩下3個(gè)數(shù)任意排列，則有種情況，故共有種填法.14．【正確答案】【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以，即，令，則恒成立，因?yàn)?，令得，，單調(diào)遞增，令得，，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，所以恒成立，故，?dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足恒成立，當(dāng)，即時(shí)，由于在上單調(diào)遞增，由得，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，故，即，所以，a的取值范圍是.15．【正確答案】(1)(2)最大值為，最小值為【詳解】（1）因?yàn)椋深}知，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，則的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以滿足題意.（2）由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，，所以在上的最大值為，最小值為.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【詳解】（1）平面平面..又，得.又平面平面，又平面，則.又.又四邊形是直角梯形.（2）過(guò)作的垂線交于點(diǎn).平面平面.以為原點(diǎn)，分別為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則.的中點(diǎn)，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)直線與平面所成的角為，.直線與平面所成角的正弦值為.17．【正確答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)(3)可取1，2，3【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，有，解得.當(dāng)時(shí)，有，，作差可得，所以有，所以有.又，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可知，，則.所以，，則，作差可得，，所以，.（3）由（1）（2）可知，，.所以，，.由可得，，整理可得.令，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增.又，，，，所以，當(dāng)時(shí)，有，即在時(shí)不成立.所以可取1，2，3.18．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)存在；【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，焦距為，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)，直線的斜率一定存在，設(shè)為，則，消去得到，，，故是定值.（3）設(shè)存在實(shí)數(shù)，使恒成立，由，，設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，則，①因?yàn)?，所以，②把①代入②并化?jiǎn)可得，由上問(wèn)可知，代入上式可得，所以.19．【正確答案】(1)；(2)詳見(jiàn)解析；(3)詳見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)分類討論解含參不等式即可求出；（3）由題意得，，，而，只需證明，即證：，即證：對(duì)任意的恒成立即可．【詳解】（1）由題可知，當(dāng)時(shí)，，，，切點(diǎn)為，切線的斜率為，切線方程為：，即；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，．當(dāng)時(shí)，．則在上單調(diào)