進(jìn)階6解析幾何中的定直線問題定直線問題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問題，解決這類問題，一般可以套用求軌跡方程的通用方法，也可以根據(jù)其本身特點(diǎn)的獨(dú)特性采用一些特殊方法.解決定直線問題的核心在于確定定點(diǎn)的軌跡.主要方法有：(1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程.(2)待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程，待定系數(shù)法求解出系數(shù).(3)驗(yàn)證法：通過特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對(duì)一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.題型一點(diǎn)在定直線上例1在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，右支與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，其中一條漸近線的傾斜角為π3(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)T(2，0)作直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，在線段AB上取一點(diǎn)E滿足|AE|·|TB|=|EB|·|AT|，證明：點(diǎn)E在一條定直線上.思維升華證明點(diǎn)在定直線上的一般方法(1)聯(lián)立方程消去參數(shù).(2)挖掘圖形的對(duì)稱性，解出動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo).(3)將橫、縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消去參數(shù).(4)設(shè)點(diǎn)，對(duì)方程變形解得定直線.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在△ABC中，|BC|=23，|AB|+|AC|=4，若以BC所在直線為x軸，以線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)動(dòng)頂點(diǎn)A(x，y).(1)求頂點(diǎn)A的軌跡方程；(2)記第(1)問中所求軌跡為M，設(shè)D1(-2，0)，D2(2，0)，過點(diǎn)(1，0)作動(dòng)直線l與曲線M交于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在x軸下方).求證：直線D1P與直線D2Q的交點(diǎn)E在一條定直線上.題型二三角形內(nèi)心(外心、重心、垂心)在定直線上例2已知R是圓M：(x+3)2+y2=8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(3，0)，直線NR與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為S，點(diǎn)L在直線MR上，MS∥NL，動(dòng)點(diǎn)L的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)P(-2，0)的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B都在x軸上方，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得△QAB的內(nèi)心在一條定直線上？請(qǐng)你給出結(jié)論并證明.思維升華三角形內(nèi)切圓的圓心在三角形的角平分線上，角平分線是角的關(guān)系，因此找角與斜率的關(guān)系即可.跟蹤訓(xùn)練2(2025·衡水模擬)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M(1，1)是橢圓C上一點(diǎn)，且點(diǎn)M到點(diǎn)F1，(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為12的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則△MAB的外心是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請(qǐng)說明理由答案精析例1(1)解根據(jù)題意，設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(a由題知a=1，ba=tanπ可得b=3所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y23(2)證明易知T(2，0)為雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖所示，由題知直線l的斜率存在，設(shè)斜率為k，則-3<k<3故直線l的方程為y=k(x-2)，代入雙曲線方程得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0，Δ>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-4x1x2=-4且x1≤-1，1≤x2<2，設(shè)E(x0，y0)，點(diǎn)E在線段AB上，所以x1<x0<x2，由|AE|·|TB|=|EB|·|AT|可得1+k2(x0-x1)·1+k2(=1+k2(x2-x0)·1+k2(2-化簡(jiǎn)得4x0-(2+x0)(x1+x2)+2x1x2=0，代入x1+x2和x1x2并化簡(jiǎn)可得x0=1即存在點(diǎn)E滿足條件，并且點(diǎn)E在定直線x=12上跟蹤訓(xùn)練1(1)解由|AB|+|AC|=4>|BC|=23可知點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的橢圓(去掉(-2，0)，(2，0)兩點(diǎn))，且該橢圓的長軸長為2a=4，a=2，該橢圓的焦距為2c=23，c=即b=a2-故頂點(diǎn)A的軌跡方程為x24+y2=1(y≠0(2)證明直線l的方程可設(shè)為x=my+1，聯(lián)立x消去x可得(m2+4)y2+2my-3=0，Δ=4m2+12(m2+4)>0顯然成立，設(shè)Q(x1，y1)，P(x2，y2)，y1>0，y2<0，則y1+y2=-2y1y2=-3即2my1y2=3(y1+y2)，設(shè)直線D2Q：y=y1x1-2(直線D1P：y=y2x2+2(聯(lián)立上述兩方程，消去y可得y1x1-2(x-2)=y2y1x1-2x-y2y1=2y1(x2+2)+2y2(x1-2)，又x2=my2+1，x1=my1+1，則y1(my2+3)-y2(my1-1)x=2y1((3y1+y2)x=4my1y2+6y1-2y2，由4my1y2=6(y1+y2)，則(3y1+y2)x=6(y1+y2)+6y1-2y2=12y1+4y2，3y1+y2不恒為0，解得x=4，綜上所述，交點(diǎn)E在定直線x=4上.例2解(1)圓M的圓心坐標(biāo)為M(-3，0)，半徑r=2因?yàn)镸S∥NL，所以△MSR∽△LNR，又因?yàn)閨MR|=|MS|，所以|LR|=|LN|，所以||LM|-|LN||=||LM|-|LR||=|MR|=r=22<23=|MN|，所以點(diǎn)L在以M，N為焦點(diǎn)，22為實(shí)軸長的雙曲線上，設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a則2a=22，2c=23所以a=2，c=3，b又L不可能在x軸上，所以曲線C的方程為x22-y2=1(y≠0(2)在x軸上存在定點(diǎn)Q(-1，0)，使得△QAB的內(nèi)心在一條定直線上.證明如下：由條件可設(shè)l：x=my-2.代入x22-y2得(m2-2)y2-4my+2=0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x1|>2，|x2|>則m得m2≠2，所以y1+y2=4mmy1y2=2m2所以y1+y2=2my1y2，取Q(-1，0)，則kAQ+kBQ=y1x=y1m=2my又A，B都在x軸上方，所以∠AQB的平分線為定直線x=-1，所以在x軸上存在定點(diǎn)Q(-1，0)，使得△QAB的內(nèi)心在定直線x=-1上.跟蹤訓(xùn)練2解(1)由題意，得2a=2故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y(2)△MAB的外心在定直線2x-y-1=0上.理由如下：由題意設(shè)直線l的方程為y=12x+t因?yàn)橹本€l不能過點(diǎn)M(1，1)，所以t≠1聯(lián)立y得3x2+4tx+4t2-6=0，所以Δ=16t2-12(4t2-6)>0，即-32<t<32，且t設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=-4t3，x1x若直線MA⊥x軸，則A(1，-1)，代入直線l：y=12x+t得t=-32，不符合題意，故x1≠同理可得x2≠1，所以直線MA，MB的斜率一定存在，則kMA+kMB=y1-1x12=x=4t2即直線MA與MB的斜率互為相反數(shù).設(shè)直線MA的方程為y-1=k(x-1)，即y=kx+1-k.若k=0，則直線MA：y=1，此時(shí)A(-1，1)，代入直線l：y=12x+t則t=32，不符合題意，故k≠聯(lián)立x得(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-3=0，由Δ=4(2k+1)2>0得k≠-1則k≠-12且k≠0則x1+1=-4設(shè)線段MA的中點(diǎn)為N(x0，y0)，所以x0=x1