2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第七章立體幾何與空間向量考試要求1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.【知識(shí)梳理】1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖的斜二測畫法(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l4.簡單幾何體的表面積和體積公式幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等(祖暅原理).2.直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.【診斷自測】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線.()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()(3)菱形的直觀圖仍是菱形.()(4)兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線，(1)錯(cuò)誤.(2)反例：如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐，(2)錯(cuò)誤.(3)用斜二測畫法畫水平放置的菱形的直觀圖是平行四邊形，但鄰邊不一定相等，(3)錯(cuò)誤.(4)球的體積之比等于半徑比的立方，故(4)錯(cuò)誤.2.(必修二P106T8改編)如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′∥FG，則剩下的幾何體是()A.棱臺(tái) B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱答案C解析由于平面ABFEA′∥平面DCGHD′，且AD，BC，F(xiàn)G，EH，A′D′相互平行且相等，所以剩下的幾何體是五棱柱.3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為()A.2 B.2eq\r(2) C.4 D.4eq\r(2)答案B解析設(shè)圓錐的母線長為l，因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為eq\r(2)，側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，所以2π×eq\r(2)＝πl(wèi)，解得l＝2eq\r(2).4.(必修二P120T5改編)一個(gè)長方體的頂點(diǎn)都在球面上，且長方體的棱長分別為1，2，3，則球的表面積為________.答案14π解析設(shè)球的半徑為R，則2R＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，則R＝eq\f(\r(14),2)，故球的表面積為S＝4πR2＝14π.考點(diǎn)一基本立體圖形角度1結(jié)構(gòu)特征例1(多選)下列說法中正確的是()A.以直角梯形垂直于底面的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺(tái)B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱C.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)答案AD解析由圓臺(tái)定義知，以直角梯形垂直于底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，故A正確；由棱柱定義可知，棱柱是有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊都互相平行的幾何體，故B錯(cuò)誤；底面是正多邊形的棱錐，但不能保證頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故C錯(cuò)誤；棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，故D正確.感悟提升空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(2)通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.角度2直觀圖例2(1)對(duì)于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述不正確的是()A.三角形的直觀圖仍然是一個(gè)三角形B.90°的角的直觀圖一定會(huì)變?yōu)?5°的角C.與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话隓.由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同答案B解析對(duì)于A，根據(jù)斜二測畫法，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個(gè)三角形，故A正確；對(duì)于B，90°的角的直觀圖可以變?yōu)?5°或135°的角，故B錯(cuò)誤；C，D顯然正確.(2)如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A.2＋eq\r(2) B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2) D.1＋eq\r(2)答案A解析因?yàn)樾倍y直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，所以原圖形為直角梯形，其上底為1，下底為1＋eq\r(2)，高為2，所以S＝eq\f(1,2)×(1＋eq\r(2)＋1)×2＝2＋eq\r(2).感悟提升1.在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段：“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原平面圖形面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.角度3展開圖例3(2024·郴州模擬)已知圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為300π，AB為圓臺(tái)的一條母線(點(diǎn)B在圓臺(tái)的上底面圓周上)，M為AB的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)，繞圓臺(tái)側(cè)面爬行一周到點(diǎn)M，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為()A.30 B.40 C.50 D.60答案C解析圓臺(tái)上底面半徑為10，下底面半徑為5，設(shè)母線長為l，∴側(cè)面積S＝πl(wèi)(10＋5)＝15πl(wèi)＝300π，解得l＝20.將圓臺(tái)所在圓錐的側(cè)面展開如圖所示，且設(shè)扇形所在圓的圓心為O.線段M1B就是螞蟻經(jīng)過的最短距離.設(shè)OA＝R，扇形的圓心角是α，則由題意知2×5π＝αR，①2×10π＝α(20＋R)，②由①②解得α＝eq\f(π,2)，R＝20，∴OM＝OM1＝30，OB1＝OB＝40，則M1B＝eq\r(OB2＋OMeq\o\al(2,1))＝50，故選C.感悟提升在解決空間曲線或折線(段)最短問題時(shí)一般要考慮幾何體的側(cè)面展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化.訓(xùn)練1(1)(2024·棗莊調(diào)研)給出下列四個(gè)命題，正確的是()A.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱B.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C.側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體D.底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱答案D解析對(duì)于A，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故A錯(cuò)；對(duì)于B，等腰三角形的腰不是側(cè)棱時(shí)不一定成立(如圖)，故B錯(cuò)；對(duì)于C，若底面不是矩形，則C錯(cuò)；對(duì)于D，可知側(cè)棱垂直于底面，故D正確.(2)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長為()A.4eq\r(2)＋4 B.4eq\r(6)＋4C.8eq\r(2) D.8答案B解析根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，其中OA＝2eq\r(2)，OD＝4，AB＝CD＝2，則AD＝eq\r(OA2＋OD2)＝2eq\r(6)，故原平面圖形的周長為2＋2＋2eq\r(6)＋2eq\r(6)＝4eq\r(6)＋4.(3)(2023·福州檢測)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F(xiàn)是線段A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，則AF＋FC1的最小值為________.答案eq\r(6)＋eq\r(2)解析將正三棱柱ABC－A1B1C1(如圖1)中的△A1B1C1沿A1B1翻折至平面ABB1A1上，如圖2所示，在圖2中，連接AC1，則AF＋FC1≥AC1，因?yàn)锳A1＝A1C1＝2，且∠AA1C1＝90°＋60°＝150°，所以AC1＝2AA1·sineq\f(∠AA1C1,2)＝2×2sin75°＝4sin(30°＋45°)＝4×(sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°)＝eq\r(6)＋eq\r(2)，所以當(dāng)A，F(xiàn)，C1共線時(shí)，AF＋FC1取得最小值，為eq\r(6)＋eq\r(2).考點(diǎn)二面積與體積角度1表面積與側(cè)面積例4(1)(2024·濰坊模擬)如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為60°的扇形.把該圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺(tái)的上底面半徑為eq\f(1,3)，則圓臺(tái)的側(cè)面積為________.答案eq\f(16π,3)解析設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長為l，則R＝1，設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r，母線長為l1，則r＝eq\f(1,3).由已知可得，eq\f(π,3)l＝2πR，所以l＝6.如圖，作出圓錐、圓臺(tái)的軸截面，則有eq\f(l－l1,l)＝eq\f(r,R)＝eq\f(1,3)，解得l1＝4.所以圓臺(tái)的側(cè)面積為π(R＋r)l1＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))π＝eq\f(16π,3).(2)(2024·蘭州診斷)攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，蘭州市著名景點(diǎn)三臺(tái)閣(如圖1)的屋頂部分是典型的攢尖結(jié)構(gòu).如圖2所示是某研究性學(xué)習(xí)小組制作的三臺(tái)閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺(tái)和正三棱柱的組合體，已知正四棱臺(tái)上底邊、下底邊、側(cè)棱的長度(單位：dm)分別為2，6，4，正三棱柱各棱長均相等，則該結(jié)構(gòu)的表面積為________dm2.答案34eq\r(3)＋8解析正三棱柱的側(cè)面積為2×2×2＝8(dm2)，底面積為2×eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝2eq\r(3)(dm2).正四棱臺(tái)中，側(cè)面梯形的高為eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－2,2)))\s\up12(2))＝2eq\r(3)(dm)，所以正四棱臺(tái)的側(cè)面積為4×eq\f(（2＋6）×2\r(3),2)＝32eq\r(3)(dm2).所以該結(jié)構(gòu)的表面積為8＋2eq\r(3)＋32eq\r(3)＝(34eq\r(3)＋8)(dm2).角度2體積例5(1)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺(tái)的體積為________.答案eq\f(7\r(6),6)解析法一如圖所示，設(shè)點(diǎn)O1，O分別為正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1上、下底面的中心，連接B1D1，BD，則O1，O分別為B1D1，BD的中點(diǎn).連接O1O，則O1O即正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的高.過點(diǎn)B1作B1E⊥BD，垂足為E，則B1E＝O1O.因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，所以O(shè)B＝eq\r(2)，O1B1＝eq\f(\r(2),2)，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝eq\f(\r(2),2)，又AA1＝eq\r(2)，所以BB1＝eq\r(2)，所以B1E＝eq\r(BBeq\o\al(2,1)－BE2)＝eq\r(2－\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2)，所以O(shè)1O＝eq\f(\r(6),2)，所以V正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1＝eq\f(1,3)×(22＋12＋eq\r(22×12))×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(7\r(6),6).法二如圖，將正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1補(bǔ)形成正四棱錐P－ABCD.因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，又A1A＝eq\r(2)，所以PA＝2eq\r(2)，即PB＝2eq\r(2).連接BD，取BD的中點(diǎn)為O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，易知BO＝eq\r(2)，所以PO＝eq\r(PB2－BO2)＝eq\r(6)，所以正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的高為eq\f(\r(6),2)，所以V正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1＝eq\f(1,3)×(22＋12＋eq\r(22×12))×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(7\r(6),6).(2)(2024·南寧質(zhì)檢)木楔子在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足.楔子是一種簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長為2的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝4，則該木楔子的體積為________.答案eq\f(8\r(2),3)解析如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH.易得EG＝HF＝1，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\r(3).取AD的中點(diǎn)O，連接GO，易得GO＝eq\r(2)，∴S△ADG＝S△BCH＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2).∴該木楔子的體積V＝V三棱錐E－ADG＋V三棱錐F－BCH＋V三棱柱ADG－BCH＝2V三棱錐E－ADG＋V三棱柱ADG－BCH＝2×eq\f(1,3)×eq\r(2)×1＋eq\r(2)×2＝eq\f(8\r(2),3).(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1－D1MN的體積為________.答案1解析如圖，由正方體棱長為2及M，N分別為BB1，AB的中點(diǎn)，得S△A1MN＝2×2－2×eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(3,2)，又易知D1A1為三棱錐D1－A1MN的高，且D1A1＝2，∴VA1－D1MN＝VD1-A1MN＝eq\f(1,3)·S△A1MN·D1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝1.感悟提升1.空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.2.求空間幾何體的體積的常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進(jìn)行求解；(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體；(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.訓(xùn)練2(1)在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因?yàn)榱耸侵袊说募麛?shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如圖為一個(gè)正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm，底面邊長為7cm(數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù))，用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為()A.120cm2 B.162.7cm2C.785.4cm2 D.1570.8cm2答案C解析根據(jù)正六棱柱的底面邊長為7cm，得正六棱柱的側(cè)面積為6×7×18.7＝785.4(cm2)，所以至少需要絨布的面積為785.4cm2.(2)如圖，在平面五邊形ABCDE中，AB＝DE＝1，BC＝CD＝2，AE＝eq\r(2)，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝90°，則五邊形ABCDE繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為________.答案eq\f(23π,3)解析由圖可知，五邊形ABCDE可看作正方形BCDF切去一個(gè)等腰直角三角形AEF，將五邊形ABCDE繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐.所求幾何體的體積V＝V圓柱－V圓錐＝22π×2－eq\f(1,3)×12×π×1＝eq\f(23π,3).【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.一個(gè)菱形的邊長為4cm，一內(nèi)角為60°，用斜二測畫法畫出的這個(gè)菱形的直觀圖的面積為()A.2eq\r(3)cm2 B.2eq\r(6)cm2C.4eq\r(6)cm2 D.8eq\r(3)cm2答案B解析直觀圖的面積為eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),2)×42＝2eq\r(6)(cm2).2.下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是()A.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C.直平行六面體是長方體D.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體答案D解析A中，不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體，A不正確；B中，當(dāng)平面與圓柱的母線平行或垂直時(shí)，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，B不正確；C中，直平行六面體是平行六面體的側(cè)棱與底面垂直，所以底面可以是平行四邊形，它不是長方體，C不正確；D中，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的四面體C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形，D正確.3.(2024·沈陽質(zhì)監(jiān))刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.由曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.則如圖所示正八面體(八個(gè)面均為正三角形)的總曲率為()A.2π B.4π C.6π D.8π答案B解析因?yàn)檎嗣骟w每一個(gè)頂點(diǎn)都是4個(gè)正三角形的交點(diǎn)，所以正八面體每個(gè)頂點(diǎn)處的曲率為2π－eq\f(π,3)×4＝eq\f(2π,3)，又正八面體有6個(gè)頂點(diǎn)，所以正八面體的總曲率為eq\f(2π,3)×6＝4π，故選B.4.(2024·濟(jì)南模擬)用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截得的圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為2，且該圓臺(tái)的側(cè)面積為3eq\r(5)π，則原圓錐的母線長為()A.2 B.eq\r(5) C.4 D.2eq\r(5)答案D解析設(shè)圓臺(tái)的母線長為l，因?yàn)樵搱A臺(tái)的側(cè)面積為3eq\r(5)π，所以由圓臺(tái)側(cè)面積公式可得πl(wèi)(1＋2)＝3πl(wèi)＝3eq\r(5)π，解得l＝eq\r(5).設(shè)原圓錐的母線長為l′，由三角形相似可得eq\f(l′－l,l′)＝eq\f(1,2)，解得l′＝2eq\r(5)，所以原圓錐的母線長為2eq\r(5).故選D.5.(2024·重慶診斷)在古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作《幾何原本》中，把軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱為直角圓錐.在直角圓錐SO中，點(diǎn)S與底面圓O都在同一個(gè)球面上，若球的表面積為4π，則圓錐的側(cè)面積為()A.4eq\r(2)π B.4π C.eq\r(2)π D.π答案C解析由題意，設(shè)直角圓錐SO的底面圓的半徑為r，則直角圓錐SO的高為r，又在直角圓錐SO中，點(diǎn)S與底面圓O都在同一個(gè)球面上，設(shè)球的半徑為R，則r＝R，又因?yàn)榍虻谋砻娣e為4π，則4πR2＝4π，解得R＝1，即r＝1，所以圓錐的母線長為eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以圓錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(2)＝eq\r(2)π.故選C.6.如圖，AB，CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且AB⊥CD.O1，O2分別為上、下底面圓的圓心，若圓柱的軸截面為正方形，且三棱錐A－BCD的體積為4eq\r(3)，則該圓柱的側(cè)面積為()A.9π B.10π C.12π D.14π答案C解析設(shè)圓柱的母線長為2a，且圓柱的軸截面為正方形，則圓柱的底面圓的半徑為a，連接O1C，O1D，O1O2，如圖，由題意可知VA－BCD＝2VA－O1CD＝2×eq\f(1,3)×AO1×S△O1CD＝2×eq\f(1,3)×AO1×eq\f(1,2)×O1O2×CD＝2×eq\f(1,3)×a×eq\f(1,2)×2a×2a＝eq\f(4,3)a3＝4eq\r(3)，解得a＝eq\r(3)，所以該圓柱的側(cè)面積S＝2π×a×2a＝2π×eq\r(3)×2eq\r(3)＝12π.故選C.7.(2023·全國甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A.1 B.eq\r(3) C.2 D.3答案A解析如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD?平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP－ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1，故選A.8.(2023·全國乙卷)已知圓錐PO的底面半徑為eq\r(3)，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝eq\f(2π,3)，若△PAB的面積等于eq\f(9\r(3),4)，則該圓錐的體積為()A.π B.eq\r(6)π C.3π D.3eq\r(6)π答案B解析在△AOB中，AO＝BO＝eq\r(3)，∠AOB＝eq\f(2π,3)，由余弦定理得AB＝eq\r(3＋3－2×\r(3)×\r(3)×（－\f(1,2)）)＝3.設(shè)等腰三角形PAB底邊AB上的高為h，則S△PAB＝eq\f(1,2)×3h＝eq\f(9\r(3),4)，解得h＝eq\f(3\r(3),2)，由勾股定理得母線PA＝eq\r(（\f(3,2)）2＋（\f(3\r(3),2)）2)＝3，則該圓錐的高PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(6)，所以該圓錐的體積為eq\f(1,3)×3π×eq\r(6)＝eq\r(6)π.9.如圖是水平放置的正方形ABCO，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為________.答案eq\f(\r(2),2)解析利用斜二測畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖，在坐標(biāo)系x′O′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.過點(diǎn)B′作x′軸的垂線，垂足為點(diǎn)D′.在Rt△B′D′C′中，B′D′＝B′C′sin45°＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).10.(2024·佛山調(diào)研)如圖，有一個(gè)圓錐形糧堆，其軸截面是邊長為8m的等邊三角形ABC，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是________m.答案4eq\r(5)解析如圖所示，根據(jù)題意可得△ABC是邊長為8m的正三角形，所以BC＝8m，所以圓錐底面周長為π×8＝8π(m).設(shè)圓錐側(cè)面展開后的扇形圓心角為θ，點(diǎn)B在展開圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B′，連接AB′，B′P.根據(jù)底面圓的周長等于展開后扇形的弧長，可得8θ＝8π，故θ＝π，則∠B′AC＝eq\f(π,2)，所以B′P＝eq\r(64＋16)＝4eq\r(5)(m)，所以小貓所經(jīng)過的最短路程是4eq\r(5)m.11.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中B，C分別是上、下底面圓的圓心，且AC＝3AB＝3BD，則該陀螺下半部分的圓柱的側(cè)面積與上半部分的圓錐的側(cè)面積的比值是________.答案2eq\r(2)解析設(shè)AB＝BD＝m，則AD＝eq\r(2)m，因?yàn)锳C＝3AB＝3m，所以BC＝2m，則圓柱的側(cè)面積S1＝2π·BD·BC＝4πm2，圓錐的側(cè)面積S2＝π·BD·AD＝eq\r(2)πm2，故eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πm2,\r(2)πm2)＝2eq\r(2).12.某同學(xué)的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個(gè)相同的正四棱柱組成.已知正四棱柱的底面邊長為3cm，則這兩個(gè)正四棱柱的公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為________，體積為________cm3.答案818eq\r(2)解析易知兩個(gè)正四棱柱的公共部分為兩個(gè)正四棱錐拼接而成，且兩個(gè)正四棱錐的底面重合，所以公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為8，因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L為3，則公共部分的兩個(gè)正四棱錐的底面邊長為3eq\r(2)，高為eq\f(3\r(2),2)，所以體積V＝2×eq\f(1,3)×(3eq\r(2))2×eq\f(3\r(2),2)＝18eq\r(2)(cm3).【B級(jí)能力提升】13.(2024·邢臺(tái)質(zhì)檢)如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，DA⊥AB，∠D＝45°，AB＝2，BC＝2eq\r(2)，AD＝6，現(xiàn)將該四邊形沿AB旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積為()A.(16eq\r(2)＋16)π B.(28eq\r(2)＋4)πC.(36eq\r(2)＋36)π D.(36eq\r(2)＋40)π答案C解析連接BD，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，所以BD是四邊形ABCD外接圓的直徑，所以∠DCB＝90°，則∠ABC＝135°.延長AB，過點(diǎn)C作CE垂直AB的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，則∠CBE＝45°，所以△BCE是等腰直角三角形，所以BE＝CE＝2.作出四邊形ABCD關(guān)于直線AB對(duì)稱的圖形，如圖所示.由于CE∥AF，AE∥CF，∠DAB＝90°，所以四邊形AECF是矩形，AF＝CE＝2，DF＝CF＝AE＝4，所以在等腰直角三角形CDF中，CD＝4eq\r(2).將該四邊形沿AB旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是一個(gè)圓臺(tái)挖掉一個(gè)圓錐，其表面積為π×62＋π×(2＋6)×4eq\r(2)＋π×2×2eq\r(2)＝(36eq\r(2)＋36)π.故選C.14.(多選)(2024·營口質(zhì)檢)如圖，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，PA＝BC＝2BE＝2AB＝2，記三棱錐P－CDE，E－PBC，E－PAC的體積分別為V1，V2，V3，則下列說法正確的是()A.該幾何體的體積為eq\f(4,3)B.V3＝2V2C.3V1＝2V2D.V1＋V2＝V3答案BD解析因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BE∥PA，所以BE⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以BC⊥BE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以BC⊥AB，又AB∩BE＝B，AB，BE?平面ABEP，所以BC⊥平面ABEP，同理可證得CD⊥平面PAD，故該幾何體的體積V＝VC－ABEP＋VP－ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×2＝eq\f(5,3)，故A錯(cuò)誤；如圖，取PA的中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)C，F(xiàn)D，因?yàn)锽E∥PA，PA＝2BE，所以AF∥BE且AF＝BE，所以四邊形ABEF為平行四邊形，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，因?yàn)镋F?平面PCD，CD?平面PCD，所以EF∥平面PCD，所以點(diǎn)E，F(xiàn)到平面PCD的距離相等，所以V1＝VP－CDE＝VE－PCD＝VF－PCD＝VC－PDF＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×1×2＝eq\f(1,3)，V2＝VE－PBC＝VC－PBE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).因?yàn)锽E∥PA，BE?平面PAC，PA?平面PAC，所以BE∥平面PAC，所以點(diǎn)B，E到平面PAC的距離相等，所以V3＝VE－PAC＝VB－PAC＝VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×2＝eq\f(2,3)，所以V3＝2V2，3V1≠2V2，V1＋V2＝V3，故B，D正確，C錯(cuò)誤.故選BD.15.(2023·新高考Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為________.答案28解析如圖所示，正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，用平行于底面的平面截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐P－A′B′C′D′后，得到正四棱臺(tái)A′B′C′D′－ABCD，且A′B′＝2，AB＝4.記O′，O分別為正四棱臺(tái)A′B′C′D′－ABCD上、下底面的中心，H′，H分別為A′B′，AB的中點(diǎn)，則P，O′，O三點(diǎn)共線，P，H′，H三點(diǎn)共線.連接PO，PH，O′H′，OH，則PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2.易知△PO′H′∽△POH，所以eq\f(PO′,PO)＝eq\f(O′H′,OH)，即eq\f(3,PO)＝eq\f(1,2)，解得PO＝6，所以O(shè)O′＝PO－PO′＝3，所以該正四棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)×3×(22＋2×4＋42)＝28.16.(2024·淮安段測)如圖，一個(gè)正三棱錐P－ABC的底面邊長為1，高為2，則此三棱錐的體積為________.若一個(gè)正三棱柱A1B1C1－A0B0C0的頂點(diǎn)A1，B1，C1分別在該三棱錐的三條棱上，A0，B0，C0在該三棱錐的底面ABC上，則此三棱柱側(cè)面積的最大值為________.答案eq\f(\r(3),6)eq\f(3,2)解析由三角形面積公式可得S△ABC＝eq\f(1,2)×1×1×sin60°＝eq\f(\r(3),4).設(shè)三棱錐P－ABC的高為h，VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×2＝eq\f(\r(3),6).由題意得，三棱錐P－A1B1C1為正三棱錐，設(shè)其高為h1，則A1A0＝2－h(huán)1.設(shè)A1B1＝x(0<x<1)，則C1B1＝C1A1＝x，由相似知識(shí)得，eq\f(x,1)＝eq\f(h1,2)，故h1＝2x，則A1A0＝2－h(huán)1＝2－2x.三棱柱的側(cè)面積S＝3x(2－2x)＝－6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,2).因?yàn)?<x<1，所以當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，三棱柱的側(cè)面積取得最大值，最大值為eq\f(3,2).第2節(jié)與球有關(guān)的切、接問題考試要求1.能根據(jù)多面體、旋轉(zhuǎn)體的幾何性質(zhì)確定內(nèi)切、外接球的球心.2.會(huì)解決幾何體的內(nèi)切球、外接球相關(guān)問題.考點(diǎn)一外接球角度1補(bǔ)形法——存在側(cè)棱與底面垂直例1(2024·湖州調(diào)研)已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A.eq\r(6)π B.6π C.24π D.8eq\r(6)π答案A解析設(shè)PA＝PB＝PC＝2x，E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，∴EF∥PB，EF＝eq\f(1,2)PB＝x，AE＝eq\f(1,2)PA＝x.連接CF，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴CF＝eq\r(3)，又∠CEF＝90°，∴CE＝eq\r(3－x2).在△AEC中，由余弦定理得cos∠EAC＝eq\f(x2＋4－（3－x2）,2×2x)＝eq\f(2x2＋1,4x).過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D.∵PA＝PC，∴D為AC的中點(diǎn)，∴cos∠EAC＝eq\f(AD,PA)＝eq\f(1,2x)，∴eq\f(2x2＋1,4x)＝eq\f(1,2x)，解得x＝eq\f(\r(2),2)(負(fù)值舍去)，∴PA＝PB＝PC＝eq\r(2)，又AB＝BC＝AC＝2，∴PA，PB，PC兩兩垂直，即三棱錐P－ABC是以PA，PB，PC為棱的正方體的一部分，∴球O的直徑2R＝eq\r(2＋2＋2)＝eq\r(6)，解得R＝eq\f(\r(6),2)，則球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\f(6\r(6),8)＝eq\r(6)π，故選A.角度2補(bǔ)形法——對(duì)棱相等例2(2024·濟(jì)南質(zhì)檢)若正四面體的表面積為8eq\r(3)，則其外接球的體積為________.答案4eq\r(3)π解析設(shè)正四面體的棱長為a，則正四面體的表面積為4×eq\f(\r(3),4)a2＝8eq\r(3)，解得a＝2eq\r(2).法一將正四面體放入正方體內(nèi)，則正四面體的棱為正方體的面對(duì)角線，故正方體的棱長x滿足eq\r(2)x＝a，解得x＝2.易知正四面體的外接球即正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則R滿足2R＝eq\r(3)x，故R＝eq\r(3)，∴外接球的體積為eq\f(4π,3)R3＝4eq\r(3)π.法二易求得正四面體的高h(yuǎn)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)a))\s\up12(2))＝eq\f(4,\r(3))，設(shè)正四面體的外接球半徑為R，則R＝eq\f(3,4)h＝eq\r(3)，∴外接球的體積為eq\f(4π,3)R3＝4eq\r(3)π.法三易求得正四面體的高h(yuǎn)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)a))\s\up12(2))＝eq\f(4,\r(3))，設(shè)正四面體的外接球半徑為R，則R2＝(h－R)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)a))eq\s\up12(2)，解得R＝eq\r(3)，∴外接球的體積為eq\f(4π,3)R3＝4eq\r(3)π.角度3借助三角形外心確定球心位置例3若半徑為1的球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面為正方形，則該正三棱柱的體積為________，表面積為________．答案eq\f(18\r(7),49)eq\f(36＋6\r(3),7)解析如圖，記正三棱柱為三棱柱ABC－DEF，O為外接球的球心，G為底面△DEF的重心，連接OG，則OG⊥底面DEF，連接DG，OD.設(shè)正三棱柱的底面邊長為a，則由題意知，DG2＋OG2＝DO2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a×\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＝1，得a＝eq\f(2\r(21),7)，故正三棱柱的體積為eq\f(1,2)a2×eq\f(\r(3),2)×a＝eq\f(18\r(7),49)，表面積為3a2＋2×eq\f(1,2)a2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(36,7)＋eq\f(6\r(3),7)＝eq\f(36＋6\r(3),7).感悟提升1.補(bǔ)形法的解題策略(1)側(cè)面為直角三角形或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以放到正方體或長方體中去求解；(2)直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解.2.正方體與球的切、接問題的常用結(jié)論正方體的棱長為a，球的半徑為R，(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.3.若長方體的共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).訓(xùn)練1(1)在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則三棱錐A－BCD的外接球的體積為________.答案eq\r(6)π解析在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，將其補(bǔ)成長方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長方體的體對(duì)角線就是球的直徑.設(shè)長方體同一頂點(diǎn)處的三條棱長分別為a，b，c，由題意得ab＝eq\r(6)，ac＝eq\r(3)，bc＝eq\r(2)，解得a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，c＝1，所以球的直徑為eq\r(（\r(3)）2＋（\r(2)）2＋1)＝eq\r(6)，它的半徑為eq\f(\r(6),2)，球的體積為eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\r(6)π.(2)(2023·焦作模擬)已知三棱錐P－ABC的每條側(cè)棱與它所對(duì)的底面邊長相等，且PA＝3eq\r(2)，PB＝PC＝5，則該三棱錐的外接球的表面積為________.答案34π解析根據(jù)題意，三棱錐P－ABC可以嵌入一個(gè)長方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對(duì)角線，設(shè)長方體交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，如圖所示，則a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，解得a＝3，b＝3，c＝4.所以該三棱錐的外接球的半徑R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)＝eq\f(\r(32＋32＋42),2)＝eq\f(\r(34),2)，所以該三棱錐的外接球的表面積S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(34),2)))eq\s\up12(2)＝34π.(3)如圖，在四面體ABCD中，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AB＝eq\r(2)，∠BAD＝∠CBD＝eq\f(π,2)，平面ABD⊥平面CBD，則四面體ABCD外接球的表面積為________．答案8π解析如圖所示，取BD，CD中點(diǎn)M，N，連接AM，MN，AN，BN.在等腰直角△ABD中，AB＝eq\r(2)，∠BAD＝eq\f(π,2)，∴AM⊥BD，AM＝BM＝DM＝1，在等腰直角△BCD中，∠CBD＝eq\f(π,2)，∴MN⊥BD，MN＝1，BC＝2，CN＝ND＝BN＝eq\r(2)，又平面ABD⊥平面CBD，∴AM⊥MN，∴AN＝eq\r(2)，即N為四面體ABCD外接球的球心，R＝eq\r(2)，則四面體ABCD外接球的表面積為4πR2＝8π.考點(diǎn)二內(nèi)切球例4一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)是四個(gè)半徑為eq\r(3)且兩兩外切的球的球心，則該多面體內(nèi)切球的半徑為________；內(nèi)切球的體積為_________．答案eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2)π,3)解析設(shè)這四個(gè)球心分別為A，B，C，D，由球的幾何性質(zhì)可知，四個(gè)半徑為eq\r(3)且兩兩外切的球的球心A，B，C，D可構(gòu)成邊長為2eq\r(3)的正四面體ABCD，設(shè)頂點(diǎn)A在底面BCD的射影為P，如圖所示，則P為等邊三角形BCD的中心，由正弦定理可得BP＝eq\f(2\r(3),2sin\f(π,3))＝2，∴AP＝eq\r(AB2－BP2)＝2eq\r(2)，S△BCD＝eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×sineq\f(π,3)＝3eq\r(3)，VA－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·AP，設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O，該內(nèi)切球的半徑為r，則VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD＝4VO－BCD＝4×eq\f(1,3)S△BCD×r＝eq\f(1,3)S△BCD·AP，∴r＝eq\f(1,4)AP＝eq\f(\r(2),2)，∴正四面體ABCD的內(nèi)切球的體積為V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(2),3)π.感悟提升簡單多面體內(nèi)切球問題(1)利用內(nèi)切球的定義直接找球心和半徑的關(guān)系；(2)利用等體積法直接來求半徑(球內(nèi)切于多面體，則球心到各個(gè)面的距離相等)．(3)常見幾何體內(nèi)切球半徑的求法：①棱長為a的正方體內(nèi)切球半徑為eq\f(a,2).②棱長為a的正四面體內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，即高的eq\f(1,4).訓(xùn)練2如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一塊石材，測量可得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為()A.eq\f(32π,3)，4 B.eq\f(9π,2)，3C.6π，4 D.eq\f(32π,3)，3答案D解析依題意知，當(dāng)健身手球與直三棱錐的三個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，健身手球的體積最大.易知AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10，設(shè)健身手球的最大半徑為R，則eq\f(1,2)×(6＋8＋10)×R＝eq\f(1,2)×6×8，解得R＝2.則健身手球的最大直徑為4.因?yàn)锳A1＝13，所以最多可加工3個(gè)健身手球.于是一個(gè)健身手球的最大體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為()A.eq\r(3) B.3eq\r(3) C.3 D.eq\f(1,3)答案C解析設(shè)正方體的外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，棱長為1，則正方體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線長，即2R＝eq\r(3)，所以R＝eq\f(\r(3),2)，正方體內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，即2r＝1，即r＝eq\f(1,2)，所以eq\f(R,r)＝eq\r(3)，所以正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為eq\f(4πR2,4πr2)＝eq\f(R2,r2)＝3.2.若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1，則圓錐的體積為()A.π B.2π C.3π D.4π答案C解析過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得△ABC及其內(nèi)切圓⊙O1和外接圓⊙O2，且兩圓同圓心，即△ABC的內(nèi)心與外心重合，易得△ABC為正三角形，由題意得⊙O1的半徑為r＝1，∴△ABC的邊長為2eq\r(3)，∴圓錐的底面半徑為eq\r(3)，高為3，∴V＝eq\f(1,3)×π×3×3＝3π.3.已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為eq\f(4π,3)的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是()A.6eq\r(3) B.12eq\r(3) C.18eq\r(3) D.24eq\r(3)答案C解析根據(jù)已知可得球的半徑等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形內(nèi)切圓的半徑等于1，即底面三角形的高等于3，邊長等于2eq\r(3)，所以這個(gè)三棱柱的表面積等于3×2eq\r(3)×2＋2×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝18eq\r(3).4.已知棱長為1的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為()A.eq\f(\r(6),8)π B.eq\f(\r(6),4)π C.eq\f(\r(3),8)π D.eq\f(\r(3),4)π答案A解析如圖將棱長為1的正四面體B1－ACD1放入正方體ABCD－A1B1C1D1中，且正方體的棱長為1×cos45°＝eq\f(\r(2),2)，所以正方體的體對(duì)角線AC1＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),2)，所以正方體外接球的半徑R＝eq\f(AC1,2)＝eq\f(\r(6),4)，所以正方體外接球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6),8)π，因?yàn)檎拿骟w的外接球即為正方體的外接球，所以正四面體的外接球的體積為eq\f(\r(6),8)π.5.(2024·青島調(diào)研)一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱(底面為等邊三角形，側(cè)棱與底面垂直)的兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面都相切，若棱柱的體積為48eq\r(3)，則球的表面積為()A.16π B.4π C.8π D.32π答案A解析由題意，設(shè)正三棱柱的底面邊長為a，則其內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),6)a，所以正三棱柱的高h(yuǎn)＝2r＝eq\f(\r(3),3)a.棱柱的體積V＝eq\f(\r(3),4)a2·h＝eq\f(\r(3),4)a2·eq\f(\r(3),3)a＝eq\f(a3,4)＝48eq\r(3)，得a＝4eq\r(3)，所以球的表面積S＝4πr2＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(π,3)a2＝16π.故選A.6.(2024·福建聯(lián)合測評(píng))已知在正三棱錐P－ABC中，O為△ABC的中心，AB＝6，∠APB＝2∠PAO，則該正三棱錐的外接球的表面積為()A.49π B.36π C.32π D.28π答案A解析設(shè)正三棱錐P－ABC的側(cè)棱長為x.易知OA＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×6＝2eq\r(3)，則cos∠PAO＝eq\f(OA,PA)＝eq\f(2\r(3),x)，cos∠APB＝eq\f(x2＋x2－36,2x2)＝eq\f(x2－18,x2).因?yàn)椤螦PB＝2∠PAO，所以cos∠APB＝cos2∠PAO，所以eq\f(x2－18,x2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),x)))eq\s\up12(2)－1，解得x＝eq\r(21)(負(fù)值舍去)，所以O(shè)P＝eq\r(PA2－OA2)＝3.設(shè)外接球球心為M，半徑為R，則MP＝MA＝R，MO＝|3－R|.因?yàn)镸A2＝MO2＋OA2，所以R2＝(3－R)2＋(2eq\r(3))2，解得R＝eq\f(7,2)，所以外接球表面積S＝4πR2＝49π.故選A.7.(2024·金華質(zhì)檢)在Rt△ABC中，CA＝CB＝eq\r(2)，以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為()A.eq\f(\r(2)π,3) B.eq\f(8\r(2)π,3) C.2π D.eq\f(2π,3)答案A解析如圖所示，旋轉(zhuǎn)體的軸截面為邊長為eq\r(2)的正方形，設(shè)O為內(nèi)切球的球心.內(nèi)切球半徑r＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，所以該幾何體的內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(2)π,3)，故選A.8.(2024·南陽調(diào)研)已知等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在球O的表面上，且AC＝eq\r(2)AB＝8eq\r(2)，連接CO并延長交球O的表面于點(diǎn)D，連接DA，DB.若球O的體積為288π，則直線AC，BD所成角的正切值為()A.eq\f(2\r(34),17) B.eq\f(\r(34),4) C.eq\f(\r(6),2) D.eq\f(\r(6),3)答案C解析由題意可知，BC＝AB＝8，且CD為球的直徑，所以BD⊥BC，AC⊥AD.因?yàn)榍騉的體積為eq\f(4,3)πR3＝288π(R為球O的半徑)，所以R＝6，所以CD＝12，由勾股定理可得BD＝eq\r(CD2－BC2)＝4eq\r(5).設(shè)直線AC，BD所成角為θ，則cosθ＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(BD,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·（\o(AD,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))）|,|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(BD,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(BD,\s\up6(→))|)＝eq\f(|0－8\r(2)×8×cos45°|,8\r(2)×4\r(5))＝eq\f(\r(10),5)，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(\r(15),5)，所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(\r(6),2)，故選C.9.在三棱錐A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為________.答案20π解析根據(jù)題意得，BC⊥平面ABD，則BC⊥BD，即AD，BC，BD三條線兩兩垂直，所以可將三棱錐A－BCD放置于長方體內(nèi)，如圖所示，該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，球心為長方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，即外接球的半徑為長方體體對(duì)角線長的一半，此時(shí)AC為長方體的體對(duì)角線，即為外接球的直徑，所以該球的表面積S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.10.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的體積與球的體積之比為________，圓柱的表面積與球的表面積之比為________.答案eq\f(3,2)eq\f(3,2)解析由題意，知圓柱底面半徑為r，球的半徑為R，則R＝r，圓柱的高h(yuǎn)＝2R，則V球＝eq\f(4,3)πR3，V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.∴eq\f(V柱,V球)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).又∵S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2.∴eq\f(S柱,S球)＝eq\f(6πR2,4πR2)＝eq\f(3,2).11.(2024·寶雞質(zhì)檢)如圖，在正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分別是正方形ABCD，A1B1C1D1的中心.若以O(shè)1為球心，O1A1為半徑的球與平面ABCD相切，且O是該四棱臺(tái)的外接球的球心，則該四棱臺(tái)的體積與其外接球的體積之比為________.答案eq\f(2＋3\r(2),8π)解析連接OA1(圖略)，設(shè)A1B1＝a，AB＝b，OO1＝h，因?yàn)橐設(shè)1為球心，O1A1為半徑的球與平面ABCD相切，所以h＝eq\f(\r(2),2)a.因?yàn)镺是該四棱臺(tái)外接球的球心，所以O(shè)A1＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)b，即b＝eq\r(2)a，所以四棱臺(tái)的體積V1＝eq\f(1,3)h·(a2＋b2＋ab)＝eq\f(2＋3\r(2),6)a3，其外接球的體積V2＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)b))eq\s\up12(3)＝eq\f(4,3)πa3，則eq\f(V1,V2)＝eq\f(2＋3\r(2),8π).12.在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AB＝2eq\r(3)，AC＝4，∠BAC＝30°，則該三棱錐外接球的體積為________.答案9eq\r(2)π解析如圖所示，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝(2eq\r(3))2＋42－2×2eq\r(3)×4·cos30°＝4.所以AB2＋BC2＝16＝AC2，即△ABC為直角三角形.故△ABC外