2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第八章進(jìn)階篇圓錐曲線中的綜合問題進(jìn)階6解析幾何中的定直線問題進(jìn)階6解析幾何中的定直線問題定直線問題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動而產(chǎn)生的動點(diǎn)在定直線上的問題，解決這類問題，一般可以套用求軌跡方程的通用方法，也可以根據(jù)其本身特點(diǎn)的獨(dú)特性采用一些特殊方法.解決定直線問題的核心在于確定定點(diǎn)的軌跡.主要方法有：(1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程.(2)待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程，待定系數(shù)法求解出系數(shù).(3)驗(yàn)證法：通過特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.題型一點(diǎn)在定直線上例1在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，右支與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，其中一條漸近線的傾斜角為π3(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)T(2，0)作直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，在線段AB上取一點(diǎn)E滿足|AE|·|TB|=|EB|·|AT|，證明：點(diǎn)E在一條定直線上.思維升華證明點(diǎn)在定直線上的一般方法(1)聯(lián)立方程消去參數(shù).(2)挖掘圖形的對稱性，解出動點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo).(3)將橫、縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消去參數(shù).(4)設(shè)點(diǎn)，對方程變形解得定直線.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在△ABC中，|BC|=23，|AB|+|AC|=4，若以BC所在直線為x軸，以線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)動頂點(diǎn)A(x，y).(1)求頂點(diǎn)A的軌跡方程；(2)記第(1)問中所求軌跡為M，設(shè)D1(-2，0)，D2(2，0)，過點(diǎn)(1，0)作動直線l與曲線M交于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在x軸下方).求證：直線D1P與直線D2Q的交點(diǎn)E在一條定直線上.題型二三角形內(nèi)心(外心、重心、垂心)在定直線上例2已知R是圓M：(x+3)2+y2=8上的動點(diǎn)，點(diǎn)N(3，0)，直線NR與圓M的另一個交點(diǎn)為S，點(diǎn)L在直線MR上，MS∥NL，動點(diǎn)L的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)P(-2，0)的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B都在x軸上方，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得△QAB的內(nèi)心在一條定直線上？請你給出結(jié)論并證明.思維升華三角形內(nèi)切圓的圓心在三角形的角平分線上，角平分線是角的關(guān)系，因此找角與斜率的關(guān)系即可.跟蹤訓(xùn)練2(2025·衡水模擬)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M(1，1)是橢圓C上一點(diǎn)，且點(diǎn)M到點(diǎn)F1(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為12的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則△MAB的外心是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請說明理由答案精析例1(1)解根據(jù)題意，設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(由題知a=1，ba=tanπ可得b=3所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y23(2)證明易知T(2，0)為雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖所示，由題知直線l的斜率存在，設(shè)斜率為k，則-3<k<3故直線l的方程為y=k(x-2)，代入雙曲線方程得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0，Δ>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-4x1x2=-4且x1≤-1，1≤x2<2，設(shè)E(x0，y0)，點(diǎn)E在線段AB上，所以x1<x0<x2，由|AE|·|TB|=|EB|·|AT|可得1+k2(x0-x1)·1+k2(=1+k2(x2-x0)·1+k2(化簡得4x0-(2+x0)(x1+x2)+2x1x2=0，代入x1+x2和x1x2并化簡可得x0=1即存在點(diǎn)E滿足條件，并且點(diǎn)E在定直線x=12上跟蹤訓(xùn)練1(1)解由|AB|+|AC|=4>|BC|=23可知點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的橢圓(去掉(-2，0)，(2，0)兩點(diǎn))，且該橢圓的長軸長為2a=4，a=2，該橢圓的焦距為2c=23，c=即b=a2-故頂點(diǎn)A的軌跡方程為x24+y2=1(y≠0(2)證明直線l的方程可設(shè)為x=my+1，聯(lián)立x消去x可得(m2+4)y2+2my-3=0，Δ=4m2+12(m2+4)>0顯然成立，設(shè)Q(x1，y1)，P(x2，y2)，y1>0，y2<0，則y1+y2=-2y1y2=-3即2my1y2=3(y1+y2)，設(shè)直線D2Q：y=y1x1-2直線D1P：y=y2x2+2聯(lián)立上述兩方程，消去y可得y1x1-2(x-2)=yy1x1-2x-y2y1=2y1(x2+2)+2y2(x1-2)，又x2=my2+1，x1=my1+1，則y1(my2+3)-y2(my1-1)x=2y1(3y1+y2)x=4my1y2+6y1-2y2，由4my1y2=6(y1+y2)，則(3y1+y2)x=6(y1+y2)+6y1-2y2=12y1+4y2，3y1+y2不恒為0，解得x=4，綜上所述，交點(diǎn)E在定直線x=4上.例2解(1)圓M的圓心坐標(biāo)為M(-3，0)，半徑r=2因?yàn)镸S∥NL，所以△MSR∽△LNR，又因?yàn)閨MR|=|MS|，所以|LR|=|LN|，所以||LM|-|LN||=||LM|-|LR||=|MR|=r=22<23=|MN|，所以點(diǎn)L在以M，N為焦點(diǎn)，22為實(shí)軸長的雙曲線上，設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(則2a=22，2c=23所以a=2，c=3，b又L不可能在x軸上，所以曲線C的方程為x22-y2=1(y≠0(2)在x軸上存在定點(diǎn)Q(-1，0)，使得△QAB的內(nèi)心在一條定直線上.證明如下：由條件可設(shè)l：x=my-2.代入x22-y2得(m2-2)y2-4my+2=0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x1|>2，|x2|>則m得m2≠2，所以y1+y2=4mmy1y2=2m2所以y1+y2=2my1y2，取Q(-1，0)，則kAQ+kBQ=y1x=y1m=2my又A，B都在x軸上方，所以∠AQB的平分線為定直線x=-1，所以在x軸上存在定點(diǎn)Q(-1，0)，使得△QAB的內(nèi)心在定直線x=-1上.跟蹤訓(xùn)練2解(1)由題意，得2a=2故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y(2)△MAB的外心在定直線2x-y-1=0上.理由如下：由題意設(shè)直線l的方程為y=12x+t因?yàn)橹本€l不能過點(diǎn)M(1，1)，所以t≠1聯(lián)立y得3x2+4tx+4t2-6=0，所以Δ=16t2-12(4t2-6)>0，即-32<t<32，且t設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=-4t3，x1x若直線MA⊥x軸，則A(1，-1)，代入直線l：y=12x+t得t=-32，不符合題意，故x1≠同理可得x2≠1，所以直線MA，MB的斜率一定存在，則kMA+kMB=y1-1x12=x=4t2即直線MA與MB的斜率互為相反數(shù).設(shè)直線MA的方程為y-1=k(x-1)，即y=kx+1-k.若k=0，則直線MA：y=1，此時A(-1，1)，代入直線l：y=12x+t則t=32，不符合題意，故k≠聯(lián)立x得(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-3=0，由Δ=4(2k+1)2>0得k≠-1則k≠-12且k≠0則x1+1=-4設(shè)線段MA的中點(diǎn)為N(x0，y0)，所以x0=x1+1所以y0=kx0+1-k=k·-2k(1-k即N-所以線段MA的垂直平分線的方程為y-1-k2即y=-1kx+k-1直線MB的方程為y-1=-k(x-1)，k≠0，且k≠1同理可得線段MB的垂直平分線的方程為y=1kx-k+1聯(lián)立①②，得x即2x-y-1=0，故△MAB的外心在定直線2x-y-1=0上.§2.1函數(shù)的概念及其表示課標(biāo)要求1.了解函數(shù)的含義.2.在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單的應(yīng)用.1.函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A.

2.函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：、、.

(2)如果兩個函數(shù)的相同，并且完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).

3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有、圖象法和.

4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)若兩個函數(shù)的定義域和值域相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).()(2)任何一個函數(shù)都可以用圖象法表示.()(3)直線y=a與函數(shù)y=f(x)的圖象可以有多個交點(diǎn).()(4)函數(shù)f(x)=x-1，x≥0，x22.以下圖形中，不是函數(shù)圖象的是()3.(多選)下列選項(xiàng)中，表示的不是同一個函數(shù)的是()A.y=x+33-x與B.y=x2與y=(x-1)2C.y=x2與y=D.y=1與y=x04.已知函數(shù)f(x)=x2，x≤1，log防范四個易錯點(diǎn)(1)求函數(shù)定義域之前，盡量不要對函數(shù)的解析式進(jìn)行變形，以免引起定義域的變化.(2)用換元法求值域或解析式時，一定要根據(jù)原函數(shù)和定義域求出新變量的范圍.(3)f(φ(x))的定義域是指x的取值范圍而不是φ(x)的取值范圍.(4)分段求解是解決分段函數(shù)的基本原則，已知函數(shù)值求自變量值時，易因忽略自變量的取值范圍而出錯.題型一函數(shù)的概念例1(1)(多選)下列選項(xiàng)中正確的是()A.函數(shù)f(x)=1x+1-x的定義域?yàn)閇0，+B.函數(shù)f(x)的圖象與y軸最多有一個交點(diǎn)C.函數(shù)y=x2-1x+1與函數(shù)D.對于任何一個函數(shù)，如果因變量y的值不同，則自變量x的值一定不同(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，3)，則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?

思維升華函數(shù)的含義及判斷兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的方法(1)函數(shù)概念中有兩個要求：①A，B是非空的實(shí)數(shù)集；②第一個集合A中的每個元素在第二個集合B中有且只有一個元素與之對應(yīng).(2)兩個函數(shù)滿足定義域和對應(yīng)關(guān)系相同時，才是同一個函數(shù).跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)=1x-2+ln(A.(1，+∞) B.(1，2)∪(2，+∞)C.(-∞，1) D.(0，2)∪(2，+∞)(2)(多選)下列命題中是假命題的是()A.函數(shù)y=2x(x∈N)的圖象是一條直線B.f(x)=x-3+2-C.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1，2)，則函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)?0，3)D.f(x)=x+1x和g(t)=t+1題型二函數(shù)的解析式例2(1)已知f(1-sinx)=cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx2+1x2=x4+1(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式；(4)若對任意實(shí)數(shù)x，均有f(x)-2f(-x)=9x+2，求f(x)的解析式.思維升華函數(shù)解析式的求法(1)配湊法.(2)待定系數(shù)法.(3)換元法.(4)解方程組法.跟蹤訓(xùn)練2(多選)下列命題中正確的有()A.若一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))=4x+3，則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2x+1B.若f(3x)=x2+4x，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)C.若fx-1x=x3-1x3，則函數(shù)f(x)的解析式為f(xD.若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)+2f1x=3x，則f(x)=2x題型三分段函數(shù)例3(1)(多選)已知函數(shù)f(x)=x2，-2≤x<1，A.f(x)的定義域?yàn)镽B.f(x)的值域?yàn)?-∞，4]C.若f(x)=2，則x的值是-2D.f(x)<1的解集為(-1，1)(2)定義max{a，b}=a，a≥b，b，b>a，設(shè)函數(shù)f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，記函數(shù)F(x)=max{f(x)，g(x)}，且函數(shù)FA.1 B.32 C.74 D思維升華分段函數(shù)求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn).跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)=2則“f(x)=2”是“x=-1”成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)(多選)(2024·朝陽模擬)函數(shù)D(x)=1，xA.D(D(2))=D(D(2))B.D(x)的值域與函數(shù)f(x)=x+C.D(x)≠D(-x)D.對任意實(shí)數(shù)x，都有D(x+1)=D(x)答案精析落實(shí)主干知識1.唯一確定2.(1)定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域(2)定義域?qū)?yīng)關(guān)系3.解析法列表法自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.A3.BCD4.1探究核心題型例1(1)ABD[對于A，由題意x+1≠0，x≥0，解得對于B，由函數(shù)的定義知，函數(shù)圖象至多與y軸有一個交點(diǎn)，B正確；對于C，函數(shù)y=x2-1x+1的定義域?yàn)?-∞，-1)∪(-1，+∞)，函數(shù)y=x-1的定義域?yàn)閷τ贒，函數(shù)中一個x值只能對應(yīng)一個y值，如果y值不同，則x的值一定不同，D正確.](2)1解析若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，3)，則在f(2x)中2x∈(1，3)，解得x∈12跟蹤訓(xùn)練1(1)B(2)ABC[對于A，因?yàn)楹瘮?shù)y=2x(x∈N)的定義域?yàn)镹，所以其圖象是由離散的點(diǎn)(整點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù))組成的，A錯誤；對于B，因?yàn)橐?-x與x-3有意義，則2-x≥0，x-3≥0，不等式組無解，所以由函數(shù)的定義可得f(對于C，由f(x)的定義域?yàn)?-1，2)可得-1<x+1<2，即-2<x<1，故f(x+1)的定義域?yàn)?-2，1)，C錯誤；對于D，兩函數(shù)的定義域都是(-∞，0)∪(0，+∞)，且對應(yīng)關(guān)系相同，故這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)，D正確.]例2解(1)(換元法)設(shè)1-sinx=t，t∈[0，2]，則sinx=1-t，∵f(1-sinx)=cos2x=1-sin2x，∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2，t∈[0，2].即f(x)=2x-x2(0≤x≤2).(2)(配湊法)fx2+1x2=x2+又x2+1x2≥2x當(dāng)且僅當(dāng)x2=1x即x=±1時等號成立.設(shè)t=x2+1x2，則t≥∴f(t)=t2-2(t≥2)，∴f(x)=x2-2(x≥2).(3)(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，∴a=2，5∴f(x)=2x+7(x∈R).(4)(解方程組法)∵f(x)-2f(-x)=9x+2，①∴f(-x)-2f(x)=9(-x)+2，②由①+2×②得-3f(x)=-9x+6，∴f(x)=3x-2(x∈R).跟蹤訓(xùn)練2BCD[對于A，設(shè)f(x)=kx+b，則f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b，因?yàn)閒(f(x))=4x+3，所以k解得k=2，b故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3，A錯誤；對于B，令t=3x，則x=log3t(t>0)，則f(t)=(log3t)2+4log3故函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)，B正確；對于C，fx-1x=x=x=x-且x-1x的取值范圍是R所以f(x)=x(x2+3)=x3+3x，C正確；對于D，由f(x)+2f1x=3x得f1x+2f(x)=3聯(lián)立解得f(x)=2x-x，D正確.例3(1)BC[函數(shù)f(x)=x的定義域是[-2，+∞)，故A錯誤；當(dāng)-2≤x<1時，f(x)=x2，值域?yàn)閇0，4]，當(dāng)x≥1時，f(x)=-x+2，值域?yàn)?-∞，1]，故f(x)的值域?yàn)?-∞，4]，故B正確；當(dāng)x≥1時，令f(x)=-x+2=2，無解，當(dāng)-2≤x<1時，令f(x)=x2=2，解得x=-2，故C正確；當(dāng)-2≤x<1時，令f(x)=x2<1，解得x∈(-1，1)，當(dāng)x≥1時，令f(x)=-x+2<1，解得x∈(1，+∞)，故f(