2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第七章必刷小題13立體幾何必刷小題13立體幾何[分值：73分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)1.如圖，△O'A'B'是由斜二測畫法得到的水平放置的△OAB的直觀圖，則△OAB的面積是()A.6 B.32C.62 D.12答案D解析由直觀圖畫法規(guī)則，可得△OAB是一個(gè)直角三角形，如圖，直角邊OA=6，OB=4，∴S△OAB=12OA·OB=12×62.已知三個(gè)不同的平面α，β，γ，α∩β=a，γ∩β=b，則“α∥γ”是“a∥b”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析因?yàn)棣痢桅?，α∩?a，γ∩β=b，所以由面面平行的性質(zhì)定理可得a∥b，則充分性成立；因?yàn)閍∥b，α∩β=a，γ∩β=b，所以a?γ,b?γ,則a∥γ，又b?α,a?α,則b∥綜上所述，“α∥γ”是“a∥b”的充分不必要條件.3.若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°、半徑為4的扇形，則這個(gè)圓錐的體積是()A.433π B.C.83π D.43π答案B解析設(shè)圓錐底面圓半徑為r，依題意，2πr=4π，解得r=2，而圓錐的母線長l=4，因此圓錐的高h(yuǎn)=l2-所以這個(gè)圓錐的體積V=13πr2h=13π×22×23=4.(2024·咸陽模擬)已知各棱長都為1的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，AB，AD兩兩的夾角均為π3，則異面直線BA1與CBA.π4 B.π6 C.π3答案C解析在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1D，BD，A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，則四邊形A1B1CD是平行四邊形，B1C∥A1D，于是∠BA1D或其補(bǔ)角是異面直線BA1與CB1所成的角，由AA1=AB=AD=1，棱AA1，AB，AD兩兩的夾角均為π3，得△ABD，△ABA1，△ADA1都是正三角形，即A1B=BD=A1D=1，則∠BA1D=π3，所以異面直線BA1與CB5.(2025·白銀模擬)如圖所示，多面體ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體，M，N分別是棱A1B1，B1C1上的中點(diǎn)，P是棱AD上的一點(diǎn)，2AP=DP，過點(diǎn)P，M，N的平面交上底面ABCD于PQ，點(diǎn)Q在棱CD上，則PQ等于()A.2 B.322 C.22答案C解析連接A1C1，AC(圖略)，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1，且MN?平面A1B1C1D1，所以MN∥平面ABCD，因?yàn)槠矫鍼MNQ∩平面ABCD=PQ，MN?平面PMNQ，所以MN∥PQ，又M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥A1C1，又A1C1∥AC，所以PQ∥AC，因?yàn)?AP=DP，所以2CQ=DQ，所以DQ=DP=2，故在Rt△PDQ中，PQ=DP2+DQ6.(2025·安順模擬)已知在正四面體OABC中，OA=1，則直線OA與平面OBC所成角的正弦值為()A.24 B.12 C.33答案D解析如圖，在正四面體OABC中，設(shè)H為△OBC的中心，取BC的中點(diǎn)P，連接OP，由正四面體的性質(zhì)可知AH⊥平面OBC，且OH=23OP，則∠AOH即為直線OA與平面OBC因?yàn)镺A=1，則BP=CP=1故OP=OC2故OH=23OP=由勾股定理得AH=AO2故sin∠AOH=AHAO=即直線OA與平面OBC所成角的正弦值為637.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AD的中點(diǎn)，P為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C1P⊥A1C時(shí)，C1P的長為()A.3142 B.2143 C.答案B解析如圖，連接DC1，BC1，BD，AC，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，由BD?平面ABCD，得BD⊥AA1，又BD⊥AC，AA1∩AC=A，AA1，AC?平面A1AC，所以BD⊥平面A1AC，由A1C?平面A1AC，得A1C⊥BD，同理A1C⊥BC1，又BC1∩BD=B，BC1，BD?平面BDC1，所以A1C⊥平面BDC1，記BD∩CE=P，所以C1P⊥A1C，由△DPE∽△BPC，得DEBC=PECP所以CP=23CE=23DE2+DC2=28.(2024·濟(jì)南模擬)已知正三棱錐P-ABC的底面△ABC的邊長為23，若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐P-ABCA.2 B.22 C.3 D.23答案A解析因?yàn)榍蚺c該正三棱錐的各棱均相切，所以平面ABC截球得到的截面圓與△ABC的三邊均相切，所以該球的球心在過截面圓圓心且與平面ABC垂直的直線上，又△ABC的邊長為23，所以△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r'=tanπ6·12AB=33又因?yàn)榍虻陌霃絩=1，即r'=r，所以棱切球的球心即為△ABC的中心點(diǎn)O，如圖，過球心O作PA的垂線交PA于H，則H為棱切球在PA上的垂足，所以O(shè)H=r=1，又因?yàn)镺A=12ABcosπ所以cos∠AOH=OHOA=因?yàn)椤螦OH∈0，π2，所以∠又由題意可知，PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，所以∠POH=π所以PO=OHcosπ6=所以V三棱錐P-ABC=13×12×23×23×32二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)9.(2025·婁底模擬)已知a，b，c是空間中三條不同的直線，α，β是空間中兩個(gè)不同的平面，下列命題不正確的是()A.若a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，則a⊥αB.若α⊥β，a⊥α，則a∥βC.若a∥b，a∥c，a∥α，則b∥α或c∥αD.若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α∥β答案ABC解析對(duì)于A，若b∥c，則a與α相交或平行，或a?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若α⊥β，a⊥α，則a∥β或a?β，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，有可能b?α且c?α且b∥c，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α∥β，故D正確.10.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2，4，母線與底面所成的角為π4A.該圓臺(tái)的母線長為22B.該圓臺(tái)的表面積為122πC.該圓臺(tái)的體積為56πD.該圓臺(tái)的外接球的表面積為80π答案ACD解析設(shè)圓臺(tái)上底面的半徑為r1=2，下底面的半徑為r2=4.對(duì)于A中，由于母線與底面所成的角為π4，則母線長l=r2-r對(duì)于B中，圓臺(tái)的表面積S=πr12+πr22+πr1l+πr2l=4π+16π+π×2×22+π×4×22=(20+122)對(duì)于C中，由圓臺(tái)的母線長l=22，且母線與底面所成的角為可得圓臺(tái)的高h(yuǎn)=22sinπ4=2則體積V=13π(r12+r22+r1r2)·h=13π(4+16+2×對(duì)于D中，設(shè)圓臺(tái)外接球的半徑為R，球心到下底面的距離為h1，若外接球的球心在圓臺(tái)下底面的下方，可得R2=此時(shí)圓臺(tái)外接球的表面積S=4πR2=80π；若外接球的球心在圓臺(tái)上、下底面之間，可得R2綜上可得，圓臺(tái)外接球的表面積為80π，所以D正確.11.在菱形ABCD中，AB=23，∠ABC=60°.將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成大小為θ(0°<θ<180°)的二面角B-AC-D，若折成的四面體ABCD內(nèi)接于球OA.四面體ABCD的體積的最大值是33B.BD的取值范圍是(32，C.四面體ABCD的表面積的最大值是6+63D.當(dāng)θ=60°時(shí)，球O的體積為5239答案AD解析對(duì)于A，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，則△ABC為等邊三角形，取AC的中點(diǎn)E，連接BE，DE，如圖，則BE⊥AC，同理得，△ACD為等邊三角形，則DE⊥AC，且BE=DE=23sin60°=3，S△ABC=12AC·BE=3于是二面角B-AC-D的平面角為θ=∠BED，設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為d，則d=DEsinθ=3sinθ，V三棱錐D-ABC=13S△ABC·d=13×33×3sinθ=33sinθ≤33，當(dāng)且僅當(dāng)θ=90°時(shí)取等號(hào)，即四面體ABCD的體積的最大值是3對(duì)于B，由余弦定理得BD2=BE2+DE2-2BE·DEcosθ=18-18cosθ∈(0，36)，因此BD的取值范圍是(0，6)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，S△ACD=S△ABC=33，由AB=AD=BC=CD，BD=BD，得△ABD≌△CBD則S△CBD=S△ABD=12AB·ADsin∠BAD=6sin∠BAD≤6因此四面體ABCD的表面積的最大值是2×33+2×6=12+63，C對(duì)于D，設(shè)M，N分別為△ABC，△ACD的外心，則EN=EM=13BE=1在平面BDE內(nèi)過點(diǎn)M作BE的垂線與過點(diǎn)N作DE的垂線交于點(diǎn)O，由BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE=E，BE，DE?平面BDE，得AC⊥平面BDE，而OM?平面BDE，則OM⊥AC，又OM⊥BE，BE∩AC=E，BE，AC?平面ABC，于是OM⊥平面ABC，同理得ON⊥平面ACD，則O為四面體ABCD的外接球球心，連接OE，OA，由EM=EN，OE=OE，∠OME=∠ONE=90°，得△OME≌△ONE，因此∠OEM=θ2=30°，OE=EMcos30°而AC⊥平面BDE，OE?平面BDE，則OE⊥AC，則OA=OE2+AE2=393，即球O的半徑為R=393，球O的體積為V=4三、填空題(每小題5分，共15分)12.圓錐軸截面頂角為120°，母線長為3，過圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐，則截面三角形面積的最大值為.

答案9解析因?yàn)閳A錐軸截面頂角為2π所以任意兩條母線夾角的范圍是0，設(shè)母線長為l，兩條母線的夾角是θ，所以過圓錐頂點(diǎn)的截面三角形面積S=12l2sinθ=92sin因?yàn)棣取?，2π3，所以sinθ∈(0所以截面三角形面積的最大值是9213.在正四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱C1C，C1D1，DD1，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足條件時(shí)，有MN∥平面B1BDD1.

答案M∈線段FH解析如圖所示，取B1C1的中點(diǎn)Q，連接QN，QF，F(xiàn)H，HN，由已知得QN，F(xiàn)H與CC1，BB1都平行且相等，因此FH與QN平行且相等，從而四邊形FQNH是平行四邊形，又H，N分別是CD，CB的中點(diǎn)，則HN∥BD，HN?平面B1BDD1，BD?平面B1BDD1，∴HN∥平面B1BDD1，同理NQ∥平面B1BDD1，而HN∩NQ=N，HN，NQ?平面FQNH，∴平面FQNH∥平面BB1D1D，因此只要M∈線段FH，就有MN∥平面B1BDD1.14.(2025·長沙模擬)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為△A1BD內(nèi)一點(diǎn)，且AP=2，則BP+C1P的最大值為.答案26解析如圖，連接AC1與平面A1BD交于點(diǎn)O，易知BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C且AC，CC1?平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1，又AC1?平面ACC1，所以BD⊥AC1，因?yàn)锳1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，AB1∩B1C1=B1且AB1，B1C1?平面AB1C1，所以A1B⊥平面AB1C1，又AC1?平面AB1C1，所以A1B⊥AC1，又因?yàn)锽D∩A1B=B，BD，A1B?平面A1BD，則AC1⊥平面A1BD，又因?yàn)镺P?平面A1BD，所以AC1⊥OP，而AO=13AC1=233，所以O(shè)P=(2)△A1BD是邊長為22的正三角形，其內(nèi)切圓半徑r=6所以點(diǎn)P在△A1BD的內(nèi)切圓上，因?yàn)锳C1⊥平面A1BD，且點(diǎn)C1到平面A1BD的距離為23AC1=所以C1P=632當(dāng)點(diǎn)P為A1D的中點(diǎn)時(shí)，BP最大，最大值為32A1B=所以BP+C1P的最大值為26.§3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算課標(biāo)要求1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記作f'(x0)或y'|xf'(x0)＝limΔ(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))f'(x)＝y(tǒng)'＝limΔ2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0).3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f'(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f'(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf'(x)＝cosxf(x)＝cosxf'(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f'(x)＝axlnaf(x)＝exf'(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f'(x)＝1f(x)＝lnxf'(x)＝14.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f'(x)，g'(x)存在，則有[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x)；[f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)；f(x)g(x)'＝f'[cf(x)]'＝cf'(x).5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x＝y(tǒng)'u·u'x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)f'(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率.(×)(2)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.(×)(3)f'(x0)＝[f(x0)]'.(×)(4)(e－x)'＝－e－x.(√)2.若函數(shù)f(x)＝lnx－2x＋1，則f'12等于(A.0 B.12 C.32 答案A解析f'(x)＝1x－2所以f'12＝2－2＝3.(2024·開封模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x，則函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為()A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0C.x·ln2－y－1＝0 D.x·ln2－y＋1＝0答案D解析函數(shù)f(x)＝2x，求導(dǎo)得f'(x)＝2xln2，則f'(0)＝ln2，而f(0)＝1，所以所求切線方程為y－1＝ln2·(x－0)，即x·ln2－y＋1＝0.4.設(shè)曲線y＝e2ax在點(diǎn)(0，1)處的切線與直線2x－y＋1＝0垂直，則a的值為.

答案－1解析∵y＝e2ax，∴y'＝e2ax·(2ax)'＝2a·e2ax，∴在點(diǎn)(0，1)處的切線斜率k＝y(tǒng)'|x＝0＝2ae0＝2a，又∵切線與直線2x－y＋1＝0垂直，∴2a×2＝－1，∴a＝－141.巧記兩個(gè)常用結(jié)論(1)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f'(x)|反映了變化的快慢，|f'(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡峭”.2.明確兩點(diǎn)不同區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)處的切線：在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條.過點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條.3.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中，每一步求導(dǎo)分不清哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo)而致誤.(2)牢記導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，切忌記錯(cuò)記混.題型一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例1(1)(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.(ln7)'＝1B.[(x2＋2)sinx]'＝2xsinx＋(x2＋2)cosxC.x2exD.[ln(3x＋2)]'＝1答案BC解析(ln7)'＝0，故A錯(cuò)誤；[(x2＋2)sinx]'＝2xsinx＋(x2＋2)cosx，故B正確；x2ex'＝2[ln(3x＋2)]'＝33x＋2(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且f(x)＝2xf'π3＋sinx，則f

π3等于(A.32-πC.32 D.－答案A解析因?yàn)閒(x)＝2xf'π3＋sinx所以f'(x)＝2f'π3＋cosx令x＝π則f'π3＝2f'π3＋cosπ3，則f(x)＝－x＋sinx，所以f

π3＝－π3＋sin思維升華(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.跟蹤訓(xùn)練1(多選)下列命題正確的有()A.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，若f'(1)＝2，則limΔxB.cosxx'C.已知函數(shù)f(x)＝ln(2x＋1)，若f'(x0)＝1，則x0＝1D.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且f(x)＝x2＋3xf'(2)＋lnx，則f'(2)＝－9答案CD解析對(duì)于A，limΔx→0f(1＋2Δx)-f(1)Δ對(duì)于B，cosxx'＝-對(duì)于C，f'(x)＝12x＋1(2x＋1)'＝22x＋1，若f'(x0)＝1，則22對(duì)于D，f'(x)＝2x＋3f'(2)＋1x，故f'(2)＝4＋3f'(2)＋12，故f'(2)＝－9題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題點(diǎn)1求切線方程例2(2023·全國甲卷)曲線y＝exx＋1A.y＝e4x B.y＝eC.y＝e4x＋e4 D.y＝e2答案C解析因?yàn)閥＝e所以y'＝e所以k＝y(tǒng)'|x＝1＝e所以曲線y＝exx＋y－e2＝e4(x－1)，即y＝e命題點(diǎn)2求參數(shù)的值(范圍)例3若函數(shù)f(x)＝lnx＋2x2－ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案[2，＋∞)解析函數(shù)f(x)＝lnx＋2x2－ax存在與直線2x－y＝0平行的切線，即f'(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f'(x)＝1x＋4x－a即1x＋4x－a＝2在(0，＋∞得a＝1x＋4x－2在(0，＋∞∵1x＋4x≥24＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1∴a≥4－2＝2，∴a的取值范圍是[2，＋∞).命題點(diǎn)3切線的應(yīng)用例4(2025·廣州模擬)設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝ex上，點(diǎn)Q在直線y＝1ex上，則|PQ|的最小值為(A.1e2＋C.ee2＋答案B解析令y'＝ex＝1e，得x＝－1，代入曲線y＝ex中，得P-1，1e，所以|PQ|的最小值即為點(diǎn)-1，1e到直線y＝思維升華(1)處理與切線有關(guān)的問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.(2)注意區(qū)分“在點(diǎn)P處的切線”與“過點(diǎn)P的切線”.跟蹤訓(xùn)練2(1)牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法.如圖，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)r，取初始值x0，f(x)的圖象在橫坐標(biāo)為x0的點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，f(x)的圖象在橫坐標(biāo)為x1的點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，一直繼續(xù)下去，得到x1，x2，…，xn，它們?cè)絹碓浇咏黵.若f(x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，則用牛頓迭代法得到的r的近似值x2約為()A.1.438 B.1.417 C.1.416 D.1.375答案B解析由f(x)＝x2－2(x>0)，求導(dǎo)得f'(x)＝2x，而x0＝2，則f'(x0)＝4，又f(x0)＝2，于是函數(shù)f(x)的圖象在橫坐標(biāo)為x0＝2的點(diǎn)處的切線方程為y－2＝4(x－2)，令y＝0，得x1＝3則f'(x1)＝3，f(x1)＝322－2因此函數(shù)f(x)的圖象在橫坐標(biāo)為x1＝32的點(diǎn)處的切線方程為y－14＝令y＝0，得x2＝1712≈1.417所以x2約為1.417.(2)若點(diǎn)A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，則A，B兩點(diǎn)間距離|AB|的最小值為.

答案2解析點(diǎn)A(a，a)在直線y＝x上，點(diǎn)B(b，eb)在曲線y＝ex上，即求|AB|的最小值等價(jià)于求直線y＝x上的點(diǎn)到曲線y＝ex上的點(diǎn)的距離的最小值，過y＝ex上的點(diǎn)(m，em)作y＝ex的切線，可得y－em＝em(x－m)，令em＝1，可得m＝0，故該切線為y＝x＋1，則直線y＝x＋1與y＝x的距離即為|AB|的最小值，此時(shí)|AB|＝11＋1＝22，即題型三兩曲線的公切線例5(2025·廣州模擬)若直線l既和曲線C1相切，又和曲線C2相切，則稱l為曲線C1和C2的公切線.已知曲線C1：f(x)＝ex－1和曲線C2：g(x)＝1＋lnx，請(qǐng)寫出曲線C1和C2的一條公切線方程：.

答案y＝x(答案不唯一，或填y＝ex－1)解析設(shè)公切線與C1：f(x)＝ex－1相切的切點(diǎn)為(x1，ex1－1)，與C2：g(x)＝1＋lnx相切的切點(diǎn)為(x2，1＋lnx由f'(x)＝ex，則f'(x1)＝ex1，則公切線方程為y＝ex1(x－x1)即y＝ex1x＋(1－x1)ex由g'(x)＝1x，則g'(x2)＝1x2，則公切線方程為y＝1x2(x－x2)＋即y＝1x2·x＋lnx所以e解得x1＝故曲線C1和C2的公切線方程為y＝x或y＝ex－1.思維升華公切線問題應(yīng)根據(jù)兩曲線在切點(diǎn)處切線的斜率相等，且切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組求解.或者分別求出兩曲線的切線，利用兩切線重合列方程組求解.跟蹤訓(xùn)練3(2024·福州模擬)已知直線y＝kx＋b既是曲線y＝lnx的切線，也是曲線y＝－ln(－x)的切線，則()A.k＝1e，b＝0 B.k＝1，bC.k＝1e，b＝－1 D.k＝1，b答案A解析設(shè)直線與曲線y＝lnx的切點(diǎn)為(x1，lnx1)且x1>0，與曲線y＝－ln(－x)的切點(diǎn)為(x2，－ln(－x2))且x2<0，又y'＝(lnx)'＝1x，y'＝[－ln(－x)]'則直線y＝kx＋b與曲線y＝lnx的切線方程為y－lnx1＝1x1(x－x1)，即y＝1x1x＋lnx直線y＝kx＋b與曲線y＝－ln(－x)的切線方程為y＋ln(－x2)＝－1x2(x－x2)，即y＝－1x2x＋1－ln(則1x1故k＝1x1＝1e，b＝ln課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.若f(x)＝ln(－x)，則f'(－2026)等于()A.－12026 B.－2026 C.12026答案A解析f'(x)＝1x，則f'(－2026)＝－2.一個(gè)做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位移s(m)與時(shí)間t(s)的關(guān)系式為s＝100t－5t2，則該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為0m/s時(shí)，t等于()A.50s B.20s C.10s D.5s答案C解析由題意知s＝100t－5t2，則s'＝100－10t，令s'＝0，則t＝10，即當(dāng)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為0m/s時(shí)，時(shí)間t＝10s.3.設(shè)函數(shù)f(x)＝xex的圖象與x軸相交于點(diǎn)P，則該曲線在點(diǎn)P處的切線方程為()A.y＝ex B.y＝xC.y＝ex＋1 D.y＝x＋1答案B解析函數(shù)f(x)＝xex，由f(x)＝0，得x＝0，則點(diǎn)P(0，0)，由f(x)＝xex，求導(dǎo)得f'(x)＝(x＋1)ex，則f'(0)＝1，所以該曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y＝x.4.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)－f(2)B.0<f'(3)<f(3)－f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)－f(2)D.0<f(3)－f(2)<f'(3)<f'(2)答案B解析由函數(shù)f(x)的圖象可知f'(3)>0，f'(2)>0，設(shè)A(2，f(2))，B(3，f(3))，則直線AB的斜率為f(3)-f(2)3-2＝f(3)－由于曲線是上升的，故f(3)>f(2)，∴f(3)－f(2)>0，作出曲線在x＝2，x＝3處的切線，設(shè)為l1，l3，直線AB為l2，l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，結(jié)合圖象可得l1，l2，l3的斜率滿足k3<k2<k1，即0<f'(3)<f(3)－f(2)<f'(2).5.(2025·漢口模擬)已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為x－2y＋1＝0，記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，則f'(－1)等于()A.－12 B.12 C.－2答案A解析因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，兩邊求導(dǎo)，可得[f(x)]'＝[f(－x)]'?f'(x)＝f'(－x)·(－x)'?f'(x)＝－f'(－x).又f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為x－2y＋1＝0，所以f'(1)＝12所以f'(－1)＝－f'(1)＝－126.直線l與曲線y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，則l的斜率為()A.12 B.1 C.2 答案B解析由y＝ex＋1，可得y'＝ex；由y＝ex＋1，可得y'＝ex＋1，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，ex1＋1)和(x2，ex2故x1＝x2＋1，即x1≠x2，所以k＝ex2＋即直線l的斜率為1.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.若y＝(x＋1)lnx，則y'＝lnx＋1x＋B.cosπ3'＝－C.xx＋1-2x'D.(ln2x)'＝1答案AC解析對(duì)于A，若y＝(x＋1)lnx，則y'＝lnx＋x＋1x＝lnx＋1x＋對(duì)于B，cosπ3'＝0對(duì)于C，xx＋1-2x'＝xx＋1'－2xln2＝對(duì)于D，(ln2x)'＝22x＝18.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)，其導(dǎo)函數(shù)分別為f'(x)，g'(x)，f(1－x)＝6－g'(1－x)，f(1－x)－g'(1＋x)＝6，且g(x)＋g(－x)＝4，則()A.g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)中心對(duì)稱B.g'(x＋4)＝g'(x)C.f'(6)＝f'(2)D.f(1)＋f(3)＝12答案BCD解析由題意可得f兩式相減可得g'(1＋x)＝－g'(1－x)，①所以g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)中心對(duì)稱，A錯(cuò)誤；由g(x)＋g(－x)＝4，②②式兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得g'(x)＝g'(－x)，可知g'(x)是偶函數(shù)，以1＋x替換①中的x可得g'(2＋x)＝－g'(－x)＝－g'(x)，可得g'(4＋x)＝－g'(2＋x)＝g'(x)，所以g'(x)是周期為4的周期函數(shù)，B正確；因?yàn)閒(x)＝6－g'(x)，可知f(x)也是周期為4的周期函數(shù)，即f(x＋4)＝f(x)，兩邊求導(dǎo)可得f'(x＋4)＝f'(x)，所以f'(6)＝f'(2)，C正確；因?yàn)間'(1＋x)＝－g'(1－x)，令x＝0，則g'(1)＝－g'(1)，即g'(1)＝0，又因?yàn)間'(x)是偶函數(shù)，所以g'(－1)＝g'(1)＝0，又因?yàn)間'(x)是周期為4的周期函數(shù)，則g'(3)＝g'(－1)＝0，由f(x)＝6－g'(x)可得f所以f(1)＋f(3)＝12，D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)，那么在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f(b)－f(a)＝f'(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)f(x)＝x3－2x在[－2，2]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為.

答案2解析∵f(2)-f(-2)2-(-2)＝4＋44＝2，f'(令3x2－2＝2，解得x＝－233∈[－2，2]或x＝233∈[－∴f(x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.10.(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)若曲線y＝ex＋x在點(diǎn)(0，1)處的切線也是曲線y＝ln(x＋1)＋a的切線，則a＝.

答案ln2解析由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，當(dāng)x＝0時(shí)，y'＝e0＋1＝2，故曲線y＝ex＋x在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y＝2x＋1.由y＝ln(x＋1)＋a得y'＝1設(shè)切線與曲線y＝l