2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二章§2.1函數(shù)的概念及其表示§2.1函數(shù)的概念及其表示課標(biāo)要求1.了解函數(shù)的含義.2.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù),并會(huì)簡單的應(yīng)用.1.函數(shù)的概念一般地,設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作y＝f(x),x∈A.2.函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同,那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上,因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域相同,則這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).(×)(2)任何一個(gè)函數(shù)都可以用圖象法表示.(×)(3)直線y＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象可以有多個(gè)交點(diǎn).(√)(4)函數(shù)f(x)＝x-1,x≥0,x22.以下圖形中,不是函數(shù)圖象的是()答案A解析根據(jù)函數(shù)的定義,對于每一個(gè)自變量都有唯一確定的函數(shù)值與之對應(yīng),A選項(xiàng)中存在一個(gè)自變量對應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值,所以A不是函數(shù)圖象.3.(多選)下列選項(xiàng)中,表示的不是同一個(gè)函數(shù)的是()A.y＝x＋33-x與B.y＝x2與y＝(x－1)2C.y＝x2與y＝D.y＝1與y＝x0答案BCD解析對于A選項(xiàng),y＝x＋33-x的定義域是[－3,3),y＝x＋33-x的定義域是[對于B選項(xiàng),兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同,所以不是同一個(gè)函數(shù)；對于C選項(xiàng),y＝x2＝|x|對于D選項(xiàng),y＝1的定義域是R,y＝x0的定義域是{x|x≠0},兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,所以不是同一個(gè)函數(shù).4.已知函數(shù)f(x)＝x2,x≤1,log4答案1解析因?yàn)閒(－2)＝(－2)2＝4,所以f(f(－2))＝f(4)＝log44＝1.防范四個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)(1)求函數(shù)定義域之前,盡量不要對函數(shù)的解析式進(jìn)行變形,以免引起定義域的變化.(2)用換元法求值域或解析式時(shí),一定要根據(jù)原函數(shù)和定義域求出新變量的范圍.(3)f(φ(x))的定義域是指x的取值范圍而不是φ(x)的取值范圍.(4)分段求解是解決分段函數(shù)的基本原則,已知函數(shù)值求自變量值時(shí),易因忽略自變量的取值范圍而出錯(cuò).題型一函數(shù)的概念例1(1)(多選)下列選項(xiàng)中正確的是()A.函數(shù)f(x)＝1x＋1－B.函數(shù)f(x)的圖象與y軸最多有一個(gè)交點(diǎn)C.函數(shù)y＝x2-1x＋1與函數(shù)D.對于任何一個(gè)函數(shù),如果因變量y的值不同,則自變量x的值一定不同答案ABD解析對于A,由題意x＋1≠0,x≥0,解得對于B,由函數(shù)的定義知,函數(shù)圖象至多與y軸有一個(gè)交點(diǎn),B正確；對于C,函數(shù)y＝x2-1x＋1的定義域?yàn)?－∞,－1)∪(－1,＋∞),函數(shù)y＝x－1的定義域?yàn)閷τ贒,函數(shù)中一個(gè)x值只能對應(yīng)一個(gè)y值,如果y值不同,則x的值一定不同,D正確.(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,3),則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?

答案1解析若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,3),則在f(2x)中2x∈(1,3),解得x∈12思維升華函數(shù)的含義及判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的方法(1)函數(shù)概念中有兩個(gè)要求：①A,B是非空的實(shí)數(shù)集；②第一個(gè)集合A中的每個(gè)元素在第二個(gè)集合B中有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng).(2)兩個(gè)函數(shù)滿足定義域和對應(yīng)關(guān)系相同時(shí),才是同一個(gè)函數(shù).跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)＝1x-2＋ln(x－1)的定義域?yàn)?A.(1,＋∞) B.(1,2)∪(2,＋∞)C.(－∞,1) D.(0,2)∪(2,＋∞)答案B解析因?yàn)閒(x)＝1x-2＋ln(x所以要使函數(shù)有意義,則x解得x>1且x≠2,所以f(x)的定義域?yàn)?1,2)∪(2,＋∞).(2)(多選)下列命題中是假命題的是()A.函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線B.f(x)＝x-3C.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,2),則函數(shù)f(x＋1)的定義域?yàn)?0,3)D.f(x)＝x＋1x和g(t)＝t＋1答案ABC解析對于A,因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x(x∈N)的定義域?yàn)镹,所以其圖象是由離散的點(diǎn)(整點(diǎn),橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù))組成的,A錯(cuò)誤；對于B,因?yàn)橐?-x與x-3有意義,則2-x≥0,x-3≥0,不等式組無解,所以由函數(shù)的定義可得對于C,由f(x)的定義域?yàn)?－1,2)可得－1<x＋1<2,即－2<x<1,故f(x＋1)的定義域?yàn)?－2,1),C錯(cuò)誤；對于D,兩函數(shù)的定義域都是(－∞,0)∪(0,＋∞),且對應(yīng)關(guān)系相同,故這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù),D正確.題型二函數(shù)的解析式例2(1)已知f(1－sinx)＝cos2x,求f(x)的解析式；(2)已知f

x2＋1x2＝x4＋(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式；(4)若對任意實(shí)數(shù)x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式.解(1)(換元法)設(shè)1－sinx＝t,t∈[0,2],則sinx＝1－t,∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x,∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).(2)(配湊法)f

x2＋1x2＝又x2＋1x2≥2x當(dāng)且僅當(dāng)x2＝1x2,即x設(shè)t＝x2＋1x2,則t≥2,∴f(t)＝t2－2(t∴f(x)＝x2－2(x≥2).(3)(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù),可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0),∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17,即ax＋(5a＋b)＝2x＋17,∴a＝2,5∴f(x)＝2x＋7(x∈R).(4)(解方程組法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2,①∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2,②由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6,∴f(x)＝3x－2(x∈R).思維升華函數(shù)解析式的求法(1)配湊法.(2)待定系數(shù)法.(3)換元法.(4)解方程組法.跟蹤訓(xùn)練2(多選)下列命題中正確的有()A.若一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))＝4x＋3,則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2x＋1B.若f(3x)＝x2＋4x,則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,＋∞)C.若f

x-1x＝x3－1x3,則函數(shù)f(x)的解析式為fD.若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)＋2f

1x＝3x,則f(x)＝2x答案BCD解析對于A,設(shè)f(x)＝kx＋b,則f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b,因?yàn)閒(f(x))＝4x＋3,所以k解得k＝2,b故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3,A錯(cuò)誤；對于B,令t＝3x,則x＝log3t(t>0),則f(t)＝(log3t)2＋4log3故函數(shù)的定義域?yàn)?0,＋∞),B正確；對于C,fx-1x＝x且x－1x的取值范圍是R所以f(x)＝x(x2＋3)＝x3＋3x,C正確；對于D,由f(x)＋2f

1x＝3得f

1x＋2f(x)聯(lián)立解得f(x)＝2x－x,D正確題型三分段函數(shù)例3(1)(多選)已知函數(shù)f(x)＝x2,-2≤x<1,A.f(x)的定義域?yàn)镽B.f(x)的值域?yàn)?－∞,4]C.若f(x)＝2,則x的值是－2D.f(x)<1的解集為(－1,1)答案BC解析函數(shù)f(x)＝x2,-2≤x<1,-x＋2,當(dāng)－2≤x<1時(shí),f(x)＝x2,值域?yàn)閇0,4],當(dāng)x≥1時(shí),f(x)＝－x＋2,值域?yàn)?－∞,1],故f(x)的值域?yàn)?－∞,4],故B正確；當(dāng)x≥1時(shí),令f(x)＝－x＋2＝2,無解,當(dāng)－2≤x<1時(shí),令f(x)＝x2＝2,解得x＝－2,故C當(dāng)－2≤x<1時(shí),令f(x)＝x2<1,解得x∈(－1,1),當(dāng)x≥1時(shí),令f(x)＝－x＋2<1,解得x∈(1,＋∞),故f(x)<1的解集為(－1,1)∪(1,＋∞),故D錯(cuò)誤.(2)定義max{a,b}＝a,a≥b,b,b>a,設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,記函數(shù)F(x)＝max{f(x),g(x)},且函數(shù)FA.1 B.32 C.74答案D解析令f(x)≥g(x),即x＋1≥(x＋1)2,解得－1≤x≤0；令f(x)<g(x),即x＋1<(x＋1)2,解得x<－1或x>0,所以F(x)＝max{f(x),g(x)}＝(F(x)的圖象如圖所示,又F(0)＝F(－2)＝1,F(－1)＝0,要使函數(shù)F(x)在區(qū)間[m,n]內(nèi)的值域?yàn)閇0,1],當(dāng)n＝0時(shí),－2≤m≤－1；當(dāng)m＝－2時(shí),－1≤n≤0,則當(dāng)n＝0,m＝－2時(shí),n－m取得最大值2.思維升華分段函數(shù)求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗(yàn).跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)＝2則“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)f(x)＝2時(shí),若x≤0,則有2－x＝2,解得x＝－1；若x>0,則有l(wèi)nx＝2,解得x＝e2.即由f(x)＝2可得x＝－1或x＝e2,不一定能推出x＝－1,故“f(x)＝2”不是“x＝－1”成立的充分條件；反之,當(dāng)x＝－1時(shí),代入解析式可得f(－1)＝2,即“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要條件,綜上,“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要不充分條件.(2)(多選)(2024·朝陽模擬)函數(shù)D(x)＝1,x∈QA.D(D(2))＝D(D(2))B.D(x)的值域與函數(shù)f(x)＝x＋C.D(x)≠D(－x)D.對任意實(shí)數(shù)x,都有D(x＋1)＝D(x)答案ABD解析對于A,根據(jù)狄利克雷函數(shù)定義可知D(D(2))＝D(1)＝1,D(D(2))＝D(0)＝1,所以A正確；對于B,易知D(x)的值域?yàn)閧0,1},函數(shù)f(x)＝x＋x2x的定義域?yàn)?－∞,0)∪(0當(dāng)x∈(－∞,0)時(shí),f(x)＝x＋x2x＝0；當(dāng)x∈(0,＋∞)時(shí),f(x)＝x＋x2x＝1,即函數(shù)f(x)＝對于C,若x∈Q,則－x∈Q,則D(x)＝D(－x)＝1,若x∈?RQ,則－x∈?RQ,則D(x)＝D(－x)＝0,綜上可得D(x)＝D(－x),所以C錯(cuò)誤；對于D,當(dāng)x∈Q時(shí),x＋1∈Q,此時(shí)D(x＋1)＝D(x)＝1；當(dāng)x∈?RQ時(shí),x＋1∈?RQ,此時(shí)D(x＋1)＝D(x)＝0,所以D正確.課時(shí)精練[分值：84分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分,共40分)1.(2025·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝4-xx的定義域?yàn)锳,函數(shù)g(x)＝log2x,x∈12,4的值域?yàn)锽,則A∩A.(0,2) B.(0,2]C.(－∞,4] D.(－1,4]答案B解析f(x)＝4-則4-xx≥0,∴x(x－4)≤0且x≠可得A＝{x|0<x≤4},g(x)的值域B＝{x|－1≤x≤2},∴A∩B＝{x|0<x≤2}.2.已知f(x)＝log2x,x>0,A.1 B.2 C.22 D.4答案B解析由題意,得f

-5π4＝2sin-5π4＋3＝2sin故f

f-5π4＝f(43.已知f(x＋1)＝2x,且f(m)＝4,則m等于()A.2 B.3 C.4 D.5答案B解析由題意知f(x＋1)＝2x,且f(m)＝4,用x－1代換x,則f(x)＝2(x－1),即f(m)＝2(m－1)＝4,∴m＝3.4.圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”,是甘肅禮縣出土的先秦時(shí)期的青銅器皿.科研人員為了測量其容積,以恒定的流速向其內(nèi)注水,恰好用時(shí)30秒注滿,設(shè)注水過程中,壺中水面高度為h,注水時(shí)間為t,則下面選項(xiàng)中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是()答案A解析水壺的結(jié)構(gòu)：底端與上端細(xì)、中間粗,所以在注水速度恒定的情況下,開始水的高度增加的由快變慢,中間增加的最慢,最后增加的由慢變快,由圖可知選項(xiàng)A符合.5.記無理數(shù)e＝2.7182…5904523536…小數(shù)點(diǎn)后第x位上的數(shù)字是y,則y是x的函數(shù),記作y＝f(x),定義域?yàn)镸,值域?yàn)镹,則下列說法正確的是()A.f(4)＝8B.x不是y的函數(shù)C.N?MD.y＝f(x)是周期函數(shù)答案B解析由題意可得M＝N*,N＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},則N不是M的子集,C不正確；無理數(shù)e小數(shù)點(diǎn)后第4位上的數(shù)字為2,故f(4)＝2,A不正確；當(dāng)y＝2時(shí),對應(yīng)的x的值不是唯一確定的,根據(jù)函數(shù)的定義可知x不是y的函數(shù),B正確；由于e為無理數(shù),所以y＝f(x)不是周期函數(shù),D不正確.6.已知f(x)＝-x2＋2x,x≥0,x2＋2x,A.(－∞,－2)∪(0,2)B.(－∞,－2)∪(2,＋∞)C.(－2,0)∪(0,2)D.(－2,0)∪(2,＋∞)答案D解析由題意可知,a≠0.當(dāng)a<0時(shí),f(a)＝a2＋2a,f(－a)＝－a2－2a,所以由f(a)<f(－a)可得a2＋2a<－a2－2a,即a2＋2a<0,解得－2<a<0,當(dāng)a>0時(shí),f(a)＝－a2＋2a,f(－a)＝a2－2a,所以由f(a)<f(－a)可得－a2＋2a<a2－2a,即a2－2a>0,解得a>2,所以a的取值范圍是(－2,0)∪(2,＋∞).7.設(shè)函數(shù)f(x)＝x,0<x<1,2(x-1),x≥1,若f(a)＝A.14 B.12 C.2答案D解析易得f(x)在(0,1)和[1,＋∞)上單調(diào)遞增,∴0<a<1,∴f(a)＝a,∴f(a＋1)＝2a由f(a)＝f(a＋1)得a＝2a,解得a＝14或a＝0則f

1a＝f(48.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋2x,x≥0,-x2＋2x,A.[2－1,＋∞) B.(－∞,－2－1]C.[－3,1] D.[1,＋∞)答案A解析因?yàn)閒(x)＝x令f(a)＝t,則f(f(a))≥3可化為f(t)≥3,當(dāng)t≥0時(shí),t2＋2t≥3,解得t≥1(負(fù)值舍去),即f(a)≥1；當(dāng)t<0時(shí),－t2＋2t≥3,即t2－2t＋3≤0,而t2－2t＋3＝(t－1)2＋2>0,故上述不等式無解,綜上,f(a)≥1,若a≥0,則a2＋2a≥1,解得a≥2－1(負(fù)值舍去)；若a<0,則－a2＋2a≥1,解得a＝1(舍去),綜上,a≥2－1.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分,共18分)9.下列說法正確的是()A.f(x)＝|x|,φ(t)＝t2B.y＝1＋x·1-x與y＝C.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇0,2]D.若函數(shù)的定義域中只含有一個(gè)元素,則值域中也只含有一個(gè)元素答案ABD解析φ(t)＝t2＝|t|,故f(x)與φ(t)有相同的定義域及對應(yīng)關(guān)系,故表示同一個(gè)函數(shù),故Ay＝1＋x·1-x＝(1＋x)(1-x)＝1-x2的定義域需滿足1＋x≥0,1-x≥0,解得－1≤x≤1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2],由0≤2x≤2,得0≤x≤1,則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇0,1],故C錯(cuò)誤；由函數(shù)的定義知,若函數(shù)的定義域中只含有一個(gè)元素,則值域中也只有唯一一個(gè)元素與之對應(yīng),故D正確.10.已知函數(shù)f(x＋1)＝x＋2x,則(A.f(x)＝x2－1(x∈R)B.f(x)的最小值為－1C.f(2x－3)的定義域?yàn)閇2,＋∞)D.f1x的值域?yàn)閇0,＋∞答案CD解析依題意,f(x＋1)＝(x)2＋2x＝(x＋1)2－1,則f(x)＝x2當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào),B錯(cuò)誤；在f(2x－3)中,2x－3≥1,解得x≥2,因此f(2x－3)的定義域?yàn)閇2,＋∞),C正確；顯然f

1x＝1x2－1,0<x≤1,于是1x2∈[1,＋∞),因此f

111.(2024·南陽模擬)黎曼函數(shù)(Riemannfunction)是一個(gè)特殊的函數(shù),由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出,其基本定義是：R(x)＝1q,xA.R6B.黎曼函數(shù)的定義域?yàn)閇0,1]C.黎曼函數(shù)的最大值為1D.若f(x)是奇函數(shù),且是周期為2的周期函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)＝R(x),則f

865＋f(32答案BC解析R68＝R34因?yàn)閜,q∈N*,pq是既約真分?jǐn)?shù),x＝pq,0,1或(0,1)上的無理數(shù),所以黎曼函數(shù)的定義域?yàn)閇0,又p,q∈N*,pq為既約真分?jǐn)?shù),所以1q的最大值為因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),并且是以2為周期的周期函數(shù),f

865＝f

18-45＝f

-45＝－f

45＝－15,f(32＋6)＝f(42)＝f(42－6)＝－f(6－42)＝0,所以f三、填空題(每小題5分,共15分)12.函數(shù)f(x)＝2-xlnx的定義域?yàn)榇鸢?0,1)∪(1,2]解析要使函數(shù)f(x)有意義,則2-x≥0,lnx≠0,x>0,解得故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,2].13.(2025·昆明模擬)已知函數(shù)f(x-1)＝x＋2,若f(a)＝4,則a＝.答案1解析令x-1＝t,t≥0則x＝t2＋1(t≥0),f(t)＝t2＋3,故f(a)＝a2＋3＝4(a≥0),解得a＝1.14.已知函數(shù)f(x)＝2x＋1,x<1,x2,x≥1,則f

f12＝答案4(－1,1)∪(1,＋∞)解析因?yàn)閒

12＝2×1所以f

f12＝f(2)當(dāng)a≥1時(shí),f(a)>a?a2>a,解得a>1；當(dāng)a<1時(shí),f(a)>a?2a＋1>a,解得－1<a<1,所以不等式的解集為(－1,1)∪(1,＋∞).15題6分,16題5分,共11分15.(多選)對?x∈R,[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[3.14]＝3,[0.618]＝0,[－2.71828]＝－3,我們把y＝[x],x∈R叫做取整函數(shù),也稱之為高斯(Gaussian)函數(shù).以下關(guān)于“高斯函數(shù)”的命題,其中是真命題的有()A.?x∈R,[|x|]＝|[x]|B.?x,y∈R,[x－y]<[x]－[y]C.?x,y∈R,若[x]＝[y],則x－y<1D.不等式2[x]2－[x]－3≥0的解集為(－∞,0)∪[2,＋∞)答案BCD解析對于A,[|－2.5|]＝[2.5]＝2,|[－2.5]|＝|－3|＝3,A為假命題；對于B,[2－1.1]＝[0.9]＝0,[2]－[1.1]＝2－1＝1,0<1,B為真命題；對于C,因?yàn)閇x]＝[y],所以x,y∈[n,n＋1),n∈Z,所以x－y<1,C為真命題；對于D,不等式2[x]2－[x]－3≥0,解得[x]≤－1或[x]≥32,所以不等式的解集為(－∞,0)∪[2,＋∞),D16.已知函數(shù)f(x)＝mx2-(m-2)x＋m-1.若其定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是；若函數(shù)f(答案233解析若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,則有m>0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0,解得m≥2所以m的取值范圍是23當(dāng)m＝0時(shí),f(x)＝mx2-(m-2)x令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1,g(x)≥0,當(dāng)m<0時(shí),g(x)的圖象開口向下,故f(x)的值域不會(huì)是[0,＋∞),不滿足條件；當(dāng)m>0時(shí),g(x)的圖象開口向上,只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0,即(m－2)2－4m(m－1)≥0,解得－233≤m又m>0,所以0<m≤2綜上,0≤m≤2所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是0,23課標(biāo)要求1.借助函數(shù)圖象,會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值,理解實(shí)際意義.2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用.1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí),我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí),我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值前提一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈D,都有f(x)≤M；(2)?x0∈D,使得f(x0)＝M(1)?x∈D,都有f(x)≥M；(2)?x0∈D,使得f(x0)＝M結(jié)論M是函數(shù)y＝f(x)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)滿足f(－3)<f(2),則f(x)在[－3,2]上單調(diào)遞增.(×)(2)若函數(shù)f(x)在(－2,3)上單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－2,3).(×)(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上一定有最值.(√)(4)函數(shù)y＝1x的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,0)∪(0,＋∞).(×2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,＋∞)上單調(diào)遞增的是()A.y＝－x＋1 B.y＝(x－1)2C.y＝|lnx| D.y＝x答案D解析y＝－x＋1在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,不符合題意；y＝(x－1)2在(0,＋∞)上不單調(diào),不符合題意；因?yàn)閥＝|lnx|＝-lnx,0<x<1,lnx,x≥1,則yy＝x在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,符合題意.3.函數(shù)y＝－1xA.－13 B.－C.－1 D.不存在答案A解析y＝－1x＋1在(－1,＋∞)上單調(diào)遞增,則y＝－1x＋1在區(qū)間[所以ymax＝－12＋1＝－14.函數(shù)f(x)是定義在[0,＋∞)上的減函數(shù),則滿足f(2x－1)>f

13的x的取值范圍是答案1解析∵f(x)的定義域是[0,＋∞),∴2x－1≥0,即x≥1又∵f(x)是定義在[0,＋∞)上的減函數(shù),∴2x－1<13,即x則x的取值范圍為121.熟記與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的常用結(jié)論(1)若?x1,x2∈I(x1≠x2),則①f(x1)-f(x2)x1-x2>0(或(x1－x2)[f(x②f(x1)-f(x2)x1-x2<0(或(x1－x2)[f(x(2)y＝x＋1x的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞,－1]和[1,＋∞(3)在區(qū)間I上,兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù),兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù).(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”.2.解題時(shí)謹(jǐn)防以下易誤點(diǎn)(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用不等式表示.(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí),必須先求函數(shù)的定義域.(3)一個(gè)函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”連接,不能用“∪”連接.(4)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念,顯然N?M.題型一確定函數(shù)的單調(diào)性命題點(diǎn)1函數(shù)單調(diào)性的判斷例1(多選)下列說法中,正確的是()A.函數(shù)y＝e－x－1x2在(－B.若f(x),g(x)都是R上的增函數(shù),則h(x)＝f(x)＋g(x)也是R上的增函數(shù)C.函數(shù)y＝2|x＋1|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,－1]D.函數(shù)f(x)＝2-x2答案ABC解析在(－∞,0)上函數(shù)y＝e－x與y＝－1x2都單調(diào)遞減,所以y＝e－x－1x2在(－∞,兩增函數(shù)的和為增函數(shù),故B正確；作出函數(shù)y＝2|x＋1|的圖象,如圖所示,由圖象可知,函數(shù)y＝2|x＋1|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,－1],故C正確；由判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的方法“同增異減”可得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞,1],故D錯(cuò)誤.命題點(diǎn)2利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例2試討論函數(shù)f(x)＝axx-1(a解方法一定義法設(shè)－1<x1<x2<1,因?yàn)閒(x)＝a·x-1＋1x-1所以f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1由于－1<x1<x2<1,所以x2－x1>0,x1－1<0,x2－1<0,故當(dāng)a>0時(shí),f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí),f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增.方法二導(dǎo)數(shù)法f'(x)＝(ax)'故當(dāng)a>0時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增.思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法.(2)導(dǎo)數(shù)法.(3)圖象法.(4)性質(zhì)法.跟蹤訓(xùn)練1(1)下列函數(shù)中,滿足“對任意x1,x2∈(0,＋∞),當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2)”的是()A.f(x)＝|x| B.f(x)＝xC.f(x)＝－x2＋2x D.f(x)＝ex答案B解析對任意x1,x2∈(0,＋∞),當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,f(x)＝|x|在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故A錯(cuò)誤；f(x)＝x-13在(0,＋∞f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(0,＋∞)上不單調(diào),故C錯(cuò)誤；f(x)＝ex在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故D錯(cuò)誤.(2)(2024·唐山模擬)函數(shù)f(x)＝log12(2x2－3x－2)的單調(diào)遞增區(qū)間為答案-解析令2x2－3x－2>0,解得x>2或x<－1則f(x)的定義域?yàn)?∞,-12∪(2由y＝log12x在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,y＝2x2－3x－2在-∞,-12根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞題型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1比較函數(shù)值的大小例3定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有f(A.f(－2)<f(3)<f(4)B.f(－2)>f(3)>f(4)C.f(3)<f(4)<f(－2)D.f(4)<f(－2)<f(3)答案A解析因?yàn)閷θ我獾膞1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有f(x所以f(x)在(－∞,0]上單調(diào)遞減,又f(x)為偶函數(shù),所以f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,則f(2)<f(3)<f(4),又f(－2)＝f(2),所以f(－2)<f(3)<f(4).命題點(diǎn)2求函數(shù)的最值例4函數(shù)y＝1x-1－1＋x(x≥3)的最小值為答案5解析設(shè)t＝x－1,t≥2,則y＝1x-1－1＋x＝t＋1t(t又函數(shù)y＝t＋1t在[2,＋∞所以當(dāng)t＝2,即x＝3時(shí),函數(shù)有最小值2＋12求函數(shù)的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)求值域問題.(2)單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所給定義域來確定函數(shù)的值域.(3)數(shù)形結(jié)合法.(4)換元法：引進(jìn)一個(gè)(幾個(gè))新的量來代替原來的量，實(shí)行這種“變量代換”.(5)分離常數(shù)法：分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數(shù)分離成一個(gè)常數(shù)和一個(gè)分式和的形式.典例(多選)下列函數(shù)中，值域正確的是()A.當(dāng)x∈[0，3)時(shí)，函數(shù)y＝x2－2x＋3的值域?yàn)閇2，6)B.函數(shù)y＝2x＋1C.函數(shù)y＝2x－x-1的值域?yàn)镈.函數(shù)y＝x＋1＋x-1的值域?yàn)閇答案ACD解析對于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖①所示)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇2，6).對于B，(分離常數(shù)法)y＝2x＋1x-3＝2(x-3)＋7x-3＝2＋故函數(shù)的值域?yàn)?－∞，2)∪(2，＋∞).對于C，(換元法)設(shè)t＝x-1，則x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2t由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖②所示)，可得函數(shù)的值域?yàn)?58對于D，函數(shù)的定義域?yàn)閇1，＋∞)，∵y＝x＋1與y＝x-1在[1，＋∞)上均單調(diào)遞增，∴y＝x＋1＋x-1∴當(dāng)x＝1時(shí)，ymin＝2，即函數(shù)的值域?yàn)閇2，＋∞).命題點(diǎn)3解函數(shù)不等式例5(2025·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x,則使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.(－1,0) B.(－1,＋∞)C.(－1,1) D.(1,＋∞)答案C解析函數(shù)y＝ex為增函數(shù),函數(shù)y＝e－x為減函數(shù),所以函數(shù)f(x)＝ex－e－x為增函數(shù),所以f(|x|)<f(－3x2＋4)?|x|<－3x2＋4,即3|x|2＋|x|－4<0,(|x|－1)(3|x|＋4)<0,得0≤|x|<1,解得－1<x<1,所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－1,1).命題點(diǎn)4求參數(shù)的值(范圍)例6(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝-x2-2ax-A.(－∞,0] B.[－1,0]C.[－1,1] D.[0,＋∞)答案B解析因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增,且x≥0時(shí),f(x)＝ex＋ln(x＋1)單調(diào)遞增,則需滿足-解得－1≤a≤0,即a的取值范圍是[－1,0].思維升華(1)比較函數(shù)值的大小時(shí),先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)求解函數(shù)不等式時(shí),由條件脫去“f”,轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系,應(yīng)注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍).根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降,再結(jié)合圖象求解.對于分段函數(shù),要注意銜接點(diǎn)的取值.跟蹤訓(xùn)練2(1)若函數(shù)f(x)＝x＋a-3x-1在(a,＋∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)答案[1,2)解析f(x)＝x＋a∵f(x)在(a,＋∞)上單調(diào)遞增,∴a-2<0,a≥1?(2)(多選)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對任意的實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2),滿足x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1),下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)是減函數(shù)B.f(－5)<f(0)<f(1)C.f(0)＝0D.不等式f(2x－1)<f(3－x)的解集為-答案BD解析由x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1),得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0,因此f(x)是增函數(shù),A錯(cuò)誤；由－5<0<1,得f(－5)<f(0)<f(1),B正確；不一定有f(0)＝0,如f(x)＝2x在R上為增函數(shù),f(0)＝1,C錯(cuò)誤；由f(2x－1)<f(3－x),得2x－1<3－x,解得x<43,D課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分,共30分)1.下列函數(shù)中,在(0,＋∞)上單調(diào)遞減的是()A.y＝x B.y＝－1C.y＝12x＋1 D.y答案C解析y＝x＝x12,因?yàn)?2>0,所以y＝x在(0因?yàn)閥＝1x在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,所以y＝－1x在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故因?yàn)?<12<1,所以y＝12x＋1在(0,＋因?yàn)?>1,所以y＝log2x在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故D錯(cuò)誤.2.已知f(x)＝2x＋x,則“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x,y＝x在R上為增函數(shù),則函數(shù)f(x)＝2x＋x在R上為增函數(shù),則“f(x1)＝f(x2)”可以推出“x1＝x2”,“x1＝x2”也可推出“f(x1)＝f(x2)”,故“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的充要條件.3.函數(shù)f(x)＝|x|(x－1)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(－∞,0) B.0,C.12,1 D.(1,＋答案B解析f(x)＝x作出圖象,如圖所示,可以得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0,14.已知函數(shù)f(x)＝2xx-1,則A.125 B.3 C.4 答案C解析∵f(x)＝2xx-1＝2＋2x-1∴f(x)max＝f(2)＝4.5.已知函數(shù)f(x)＝(a-2)x-1,x≤1,logax,xA.(1,2) B.(2,3)C.(2,3] D.(2,＋∞)答案C解析函數(shù)f(x)＝(a-2)x由對任意x1≠x2,都有f(x得函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),于是a-2>0,a>1,a-3≤所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,3].6.已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽,對任意x1,x2且x1≠x2,都有f(A.y＝f(x)＋x是增函數(shù)B.y＝f(x)＋x是減函數(shù)C.y＝f(x)是增函數(shù)D.y＝f(x)是減函數(shù)答案A解析不妨令x1<x2,∴x1－x2<0,∵f(x1)-f(x2)x1-x2>－1?f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)?f(x1令g(x)＝f(x)＋x,∴g(x1)<g(x2),又x1<x2,∴g(x)＝f(x)＋x是增函數(shù).二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分,共12分)7.已知函數(shù)f(x)＝2x-12A.f(－x)＝f(x)B.函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－1,1]C.?x1,x2∈R,且x1≠x2,有f(D.?x∈R,“a≥1”是“f(a2)≥f(sinx)”的充分不必要條件答案CD解析f(－x)＝2-x-12-x＋1由f(x)＝2x-12x＋1＝1－22x＋1,因?yàn)?2x＋1由f(x)＝2x-12x＋1＝1－22x＋1,對于?x1,x2則f(x2)－f(x1)＝1－22x因?yàn)閤1<x2,所以2x2>2x1又因?yàn)?2x1＋1)(2x2所以f(x2)－f(x1)>0,所以函數(shù)f(x)在其定義域R上為增函數(shù),所以?x1,x2∈R且x1≠x2,有f(x2)-充分性：當(dāng)a≥1時(shí),因?yàn)椋?≤sinx≤1,由f(x)為增函數(shù),所以f(a2)≥f(sinx),故充分性成立；必要性：由f(x)為增函數(shù),當(dāng)f(a2)≥f(sinx)恒成立時(shí),因?yàn)椋?≤sinx≤1,所以a2≥1,解得a≥1或a≤－1,故必要性不成立,綜上可知“a≥1”是“f(a2)≥f(sinx)”的充分不必要條件,故D正確.8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對任意a,b∈R,都有f(a)f(b)＝f(a＋b),f(0)≠0且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1,則()A.?x∈R,都有f(x)＝－1B.當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1C.f(x)是減函數(shù)D.若f(3)＝12,則不等式f(2t2－5t)>1答案BCD解析令a＝0,b＝1,則f(0)f(1)＝f(1),易知0<f(1)<1,所以f(0)＝1.當(dāng)x<0時(shí),－x>0,所以0<f(－x)<1,又f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1,所以f(x)＝1f(-x),即f(x)>1設(shè)x1<x2,且x1,x2∈R,則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)f(x2)－f(x2)＝f(x2)[f(x1－x2)－1],又x1<x2,所以x1－x2<0,所以f(x1－x2)>1,又當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1,當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1,f(0)＝1,所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)是減函數(shù),C正確；因?yàn)閒(3)＝1所以f(12)＝f(6)f(6)＝[f(3)]4＝1所以f(2t2－5t)>1即f(2t2－5t)>f(12),又f(x)是減函數(shù),所以2t2－5t<12,解得－32<t<4所以不等式f(2t2－5t)>f(12)的解集為-32,4三、填空題(每小題5分,共10分)9.函數(shù)f(x)＝4x-32x答案-解析f(x)＝4x-3由2x＋3≠0,得x≠－3當(dāng)x∈-∞,-32時(shí),f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈-32,＋∞時(shí),f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞10.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法國數(shù)學(xué)家.我們把函數(shù)方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)稱為柯西方程,滿足該方程的函數(shù)f(x)稱為“加性函數(shù)”.請寫出一