/湖北省十堰市六縣市區(qū)聯(lián)考2024-2025學年高二下冊3月聯(lián)考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知在等差數(shù)列中，，，則（）A4 B.6 C.8 D.10【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，則，即.故選：C.2.設(shè)，為實數(shù)，若直線與圓相切，則點與圓的位置關(guān)系是（）A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.不能確定【正確答案】C【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到方程，求出，確定點與圓的位置關(guān)系.【詳解】由圓，圓心為，半徑為2，因為直線與圓相切，故，故，所以點在圓內(nèi).故選：C3.在等比數(shù)列中，是方程兩根，若，則的值為（）A. B. C.3 D.9【正確答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得,再由根與系數(shù)的關(guān)系計算可得結(jié)果.【詳解】由是方程兩根可得，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，解得或（舍）；所以.故選：D4.已知是函數(shù)的導函數(shù)，且，則（）A.1 B.2 C. D.【正確答案】A【分析】求導，即可代入求解.【詳解】由可得，故，解得，故選：A5.已知等差數(shù)列的首項為1，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項和為（）A. B. C.505 D.1013【正確答案】A【分析】利用給定條件結(jié)合分類討論確定公差，再將目標數(shù)列求出，利用并項求和法求和即可.【詳解】設(shè)公差為，因為成等比數(shù)列，所以，則，解得或，當時，，此時與成等比數(shù)列矛盾，故排除，當時，，此時令，而其前項和為，，故A正確.故選：A6.已知橢圓：，直線：，若點為上的一點，則點到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)橢圓的方程，采用三角代換，利用點到直線的距離公式表示出點到直線：的距離，結(jié)合輔助角公式即可求得答案.【詳解】由，可得其參數(shù)方程為（為參數(shù)），可設(shè)，點到直線：的距離為，則有，其中，，故當時，，取得最小值，此時，，即當?shù)淖鴺藶闀r，有最小值為.故選：B.7.已知函數(shù)，若至少有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由函數(shù)零點的意義，把問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象至少有3個交點，作出圖象，利用導數(shù)求出相切的情況，然后數(shù)形結(jié)合求得.【詳解】由，得，函數(shù)至少有3個不同的零點，等價于直線與函數(shù)的圖象至少有3個交點，直線過原點，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)的圖象與直線，當直線與曲線相切時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，由，求導得，設(shè)切點坐標為，則切線方程為，而切線過原點，則，解得，此時切線的斜率，當時，直線與函數(shù)的圖象有2個交點，不符合題意；當時，直線與函數(shù)的圖象最多有2個交點，不符合題意；當時，直線與函數(shù)的圖象有4個交點，符合題意，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D8.如圖是瑞典數(shù)學家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是:從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原三角形(圖①)的邊長為1，記第個圖形的周長為，數(shù)列的前項和為，則使得成立的的最小值為（）（參考數(shù)據(jù):）A.6 B.7 C.8 D.9【正確答案】C【分析】分析可得數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，計算，利用即可得到結(jié)果.【詳解】觀察圖形知，從第二個圖形開始，每一個圖形的邊數(shù)是前一個圖形的4倍，邊長是前一個圖形的，因此從第二個圖形開始，每一個圖形的周長是前一個圖形周長的，∴數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴，由得，，∴，即，∴，即，解得，∴使得成立的的最小值為8.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某高校無人機興趣小組通過數(shù)學建模的方式測得了自主研發(fā)的無人機在關(guān)閉發(fā)動機的情況下自由垂直下降的距離（單位：m）與時間（單位：s）之間滿足函數(shù)關(guān)系，則（）A.在這段時間內(nèi)的平均速度為10m/sB.在這段時間內(nèi)的平均速度為12m/sC.在s時的瞬時速度為18m/sD.在s時的瞬時速度為16m/s【正確答案】BC【分析】應(yīng)用平均速度計算判斷A，B，應(yīng)用導函數(shù)計算瞬時速度判斷C，D.【詳解】在這段時間內(nèi)的平均速度為m/s，故A錯誤，B正確；因為，所以，即在s時瞬時速度為18m/s，故C正確，D錯誤.故選:BC.10.已知等比數(shù)列的公比為，且，設(shè)該等比數(shù)列的前項和為，前項積為，下列選項正確的是（）A.B.當時，為遞增數(shù)列C.單調(diào)遞增的充要條件為D.當時，滿足的的最小值為9【正確答案】ABC【分析】分析可知.對于A：利用基本不等式分析判斷；對于C：分析可知單調(diào)遞增，等價于，結(jié)合等比數(shù)列通項公式分析判斷；對于BD：結(jié)合等比數(shù)列通項公式判斷B；分析可知當時，；當時，；結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)判斷D.【詳解】因為，可知，對于選項A：因為，且，則，當且僅當，即時，等號成立，所以，故A正確；對于選項C：若單調(diào)遞增，等價于，又因為數(shù)列為等比數(shù)列，則，即對任意恒成立，等價于，即單調(diào)遞增，等價于，所以單調(diào)遞增的充要條件為，故C正確；對于選項BD：若，則，且，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故B正確；當時，；當時，；當時，為遞減數(shù)列，且；當時，為遞增數(shù)列，且；綜上所述：當時，；當時，；所以滿足的的最小值為10，故D錯誤；故選：ABC.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，且，過點且斜率為的直線交于點，交的一條漸近線于點，則（）A.若以為直徑的圓經(jīng)過點，則的離心率為2B.若以為直徑的圓經(jīng)過點，則的離心率為C.若，則的漸近線方程為D.若點不在圓外，則的漸近線的斜率的絕對值不大于1【正確答案】ACD【分析】由題意寫出直線的方程，與漸近線方程聯(lián)立求出點的坐標,對于A，由圓的性質(zhì)得，結(jié)合向量數(shù)量積坐標運算求得間的等量關(guān)系，結(jié)合離心率定義求出離心率，；對于B，由三角函數(shù)求出，，結(jié)合雙曲線定義求得的值，由此可求離心率，對于C，由知為線段的中點，求出點的坐標，代入雙曲線方程求得的值，由此可求漸近線方程；對于D，由雙曲線的定義及余弦定理的推論求出，由條件建立不等式可求的取值范圍，再求的取值范圍.【詳解】如圖，連接，由題意知直線的方程為，即，直線與雙曲線的漸近線平行，所以，則，，聯(lián)立方程，解得，即，對于A，因為以為直徑的圓經(jīng)過點，則，因為，，所以，解得，則的離心率，所以A正確；對于B，因為以為直徑的圓經(jīng)過點，則，則，，所以由雙曲線的定義知，可得，所以的離心率，所以B不正確；對于C，若，則為線段的中點，所以，于是由在雙曲線上，得，即，解得，所以，則的漸近線方程為，所以C正確；對于D，因為，所以，由余弦定理的推論得，即，解得，因為點不在圓外，所以，即，解得，所以的漸近線的斜率的絕對值不大于，所以D正確．故選：ACD．方法點睛：求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：（1）求出，代入公式；（2）只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范圍）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則_______．【正確答案】4【分析】由，的關(guān)系即可求解；【詳解】由，故4．13.過點的所有直線中，與原點距離最大的直線方程為______．【正確答案】【分析】由幾何關(guān)系直接求解即可.【詳解】設(shè)，由幾何關(guān)系知，當直線與垂直時，原點到直線的距離最大，，故直線斜率為，直線方程為，整理得：故14.數(shù)列：，，則______.【正確答案】990【分析】分奇偶對n討論，再分組后利用等差數(shù)列求和公式得解.【詳解】當為奇數(shù)時，，，則，當為偶數(shù)時，，，兩式相加得，則，故990四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；（2）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由條件可得切線的斜率為，利用導數(shù)的幾何意義列方程求；（2）條件可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再分離變量，結(jié)合基本不等式求結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)曲線在點處的切線的斜率，直線斜率為，因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以，即，又的導函數(shù)，所以，所以，所以，【小問2詳解】由若在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，由（1）可得在上恒成立，所以在上恒成立，所以，其中，又當時，，當且僅當時等號成立，所以，所以，所以的取值范圍為.16.如圖，在三棱錐中，，，.（1）證明：平面；（2）若，是棱上一點且，求平面與平面的夾角.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)可得線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定，可得答案；（2）由題意建立空間直角坐標系，求得兩平面法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【小問1詳解】在中，由，，則，由，為公共邊，則，所以，由圖可知，則，即，，因為，平面，所以平面.【小問2詳解】在中，由，則，由，則，即兩兩垂直，以以原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如下圖：在中，由，，則，設(shè)，則，，，，取，，，，由，則，可得，設(shè)平面的法向量，則；令，則，，所以平面的一個法向量.平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成角的大小為，.17.森林資源是全人類共有的寶貴財富，其在改善環(huán)境，保護生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮著重要的作用.2020年12月12日，主席在全球氣候峰會上通過視頻發(fā)表題為《繼往開來，開啟全球應(yīng)對氣候變化的新征程》的重要講話，宣布“到2030年，我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實現(xiàn)這一目標，某地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃.經(jīng)統(tǒng)計，本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風和發(fā)展經(jīng)濟的需要，每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設(shè)為自2021年開始，第年末的森林蓄積量.（1）請寫出一個遞推公式，表示二間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數(shù)；（3）為了實現(xiàn)本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標，每年的砍伐量最大為多少萬立方米？（精確到1萬立方米）（可能用到的數(shù)據(jù)：，，）【正確答案】（1）；（2）.；（3）19萬立方米.【分析】（1）由題意得到；（2）若遞推公式寫成，則，再與遞推公式比較系數(shù)；（3）若實現(xiàn)翻兩番的目標，則，根據(jù)遞推公式，計算的最大值.【詳解】解：（1）由題意，得，并且.①（2）將化成，②比較①②的系數(shù)，得解得所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）因為，且，所以，由（2）可知，所以，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，其通項公式為：，所以.到2030年底的森林蓄積量為該數(shù)列的第10項，即.由題意，森林蓄積量到2030年底要達到翻兩番的目標，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.方法點睛：遞推公式求通項公式，有以下幾種方法：1.型如：的數(shù)列的遞推公式，采用累加法求通項；2.形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項；3.形如：的遞推公式，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，4.形如：的遞推公式，兩邊同時除以，轉(zhuǎn)化為的形式求通項公式；5.形如：，可通過取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求通項公式.18.已知拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點F在x軸的正半軸上，過焦點F作斜率為k的直線交拋物線C于A，B兩點，且.（1）求拋物線C的標準方程；（2）設(shè)點，直線AD，BD分別交準線l于點G，H，則在x軸的正半軸上是否存在定點M，使得？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）存，【分析】（1）設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，用韋達定理表示出向量的數(shù)量積即可；（2）設(shè)，表示出兩直線的斜率，再由點斜式得到直線AD的方程，進而得到，由坐標表示數(shù)量積為零求解即可；【小問1詳解】由題意，知，設(shè)拋物線C的標準方程為，直線AB的方程為，聯(lián)立，消去x，得，，設(shè)A，B，則，所以，解得或（舍去），所以拋物線C的標準方程為.【小問2詳解】假設(shè)在x軸的正半軸上存在定點，使，設(shè)，由（1）知，顯然直線AD，BD的斜率存在，將其分別設(shè)為，則，，則直線AD的方程為，令，得，同理，得，故，由，得，即，故，解得或（舍去），即在x軸的正半軸上存在定點M，使得，且定點M的坐標為.19.已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項之積為，且．（1