高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2025年高考模擬卷押題卷數(shù)學(xué)（三）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某同學(xué)8次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為94，89，90，92，87，93，96，85，則這組成績(jī)的分位數(shù)為（）A.88 B.93 C.94 D.93.5【答案】D【解析】將成績(jī)從小到大重新排列為85，87，89，90，92，93，94，96，又，故這組成績(jī)的分位數(shù)為.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，若集合，則的子集個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】方法一：由，復(fù)數(shù)，，即，，解得，所以，所以集合，含有兩個(gè)元素，所以A的子集有個(gè)；方法二：，所以由求根公式得，所以集合，含有兩個(gè)元素，所以A的子集有個(gè)；方法三：因?yàn)?，∴有且僅有2個(gè)虛數(shù)根，所以含有兩個(gè)元素，所以A的子集有個(gè).故選：C.3.現(xiàn)將一個(gè)表面積為的實(shí)心銅球熔鑄成一個(gè)圓錐形狀的實(shí)心銅錠（熔鑄過程中不計(jì)損耗），若圓錐形狀的實(shí)心銅錠的底面半徑為8cm，則該銅錠的高為（）A. B. C.3cm D.4cm【答案】D【解析】設(shè)實(shí)心銅球半徑為，體積為，則，解得，，設(shè)圓錐形狀的實(shí)心銅錠的高為，由，得.故選：D.4.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即①，又②，由①②解得，，所以.故選：A.5.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，又，可得，所以，解得，所以.令，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值2.故選：B.6.已知函數(shù)為冪函數(shù)，若，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由為冪函數(shù)，得∴，所以，所以，又，所以，又，所以，由換底公式得，，所以，又，所以，得.又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以.綜上，.故選：B7.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由題，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，，解得，，又，所以只有當(dāng)時(shí)，不等式有解，解集為，所以的最大值為.故選:A.8.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，和的定義域均為，若，，，，則（）A. B. C. D.28【答案】C【解析】由，求導(dǎo)得，又，所以，令得，又，所以，又，所以，又，所以.綜上，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以；由，易得，又，所以，即，因?yàn)?，，所以，，，，，，，即，所?故選：C.二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，和平面，，且，，則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（）A.若，則過可作唯一平面與垂直B.若與所成角為60°，則過可作唯一平面與垂直C.若，則過可作唯一平面與垂直D.若，則過可作唯一平面與平行【答案】BC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則過可以作無數(shù)個(gè)平面與垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)閙與所成角為60°，，所以與不垂直，所以與不垂直，所以過可作唯一平面與垂直，故B正確；對(duì)于C，D項(xiàng)，由，，，得與的關(guān)系是或，所以過可作唯一平面與垂直，故C項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，過的平面與相交或重合，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.下圖造型為的曲線C被稱為伯努利雙紐線，該曲線體現(xiàn)出對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)美，同時(shí)也具有特殊的藝術(shù)美.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之積為4，則（）A. B.當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，C.點(diǎn)在上 D.當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，得，所以，由圖知在原點(diǎn)左側(cè)，所以，故A項(xiàng)正確.對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)是曲線C上任意一點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得，由得，解得或，由圖可知，故B項(xiàng)正確.對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D項(xiàng)，由，得關(guān)于y的方程，所以，設(shè)，則，又，所以，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值為1，即，故D項(xiàng)正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是不存在極值點(diǎn)的充要條件B.若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則C.過坐標(biāo)原點(diǎn)只能作曲線的一條切線D.若有兩個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】由題意得的定義域?yàn)?，且，若，則，所以在上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，此時(shí)有極值點(diǎn).故A項(xiàng)正確.不妨設(shè)，由上可知，，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)為切點(diǎn)，則切線的斜率，切線方程，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，方程有唯一解為，所以過坐標(biāo)原點(diǎn)只能作曲線的一條切線，故C項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，只有當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，解得，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為_______.【答案】【解析】由，，得，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：.13.已知甲、乙兩名同學(xué)在限定時(shí)間內(nèi)解答同一道數(shù)學(xué)難題，甲同學(xué)解出的概率為，乙同學(xué)解出的概率為，且甲、乙兩同學(xué)解出該難題與否相互獨(dú)立，若該難題在限定時(shí)間內(nèi)被解出，則這兩名同學(xué)都解出了該難題的概率為_______.【答案】【解析】記事件M為“該數(shù)學(xué)難題被解出”，事件N為“這兩名同學(xué)都解出了該難題”，則，，若該難題在限定時(shí)間內(nèi)被解出，則這兩名同學(xué)都解出了該難題的概率.故答案為：.14.已知拋物線：，雙曲線：，直線交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，，分別是的左、右焦點(diǎn)，過的直線與的右支交于M，N兩點(diǎn)，，的內(nèi)切圓半徑為，且，則的離心率為_______.【答案】【解析】設(shè)，，聯(lián)立，整理得，所以，因?yàn)?，所以，即，得，解得或（舍去），所?如圖，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，，，和圓分別切于點(diǎn)P，R，Q，由，得，又切線段長(zhǎng)相等，即，，，所以，得，所以與重合，又，，，所以四邊形為正方形，所以，故，又，所以，因?yàn)椋?，即，解得，又，即，所以，所?故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿.（1）求C；（2）若，求外接圓的半徑；（3）已知角C的平分線交于點(diǎn)，且，當(dāng)取最小值時(shí)，求的面積.解：（1）由已知得，在中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，即，又，所以，所以，又，所以.（2）由（1）和余弦定理得，所以.設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理得，所以.（3）由（1）得，因?yàn)榻堑钠椒志€交于點(diǎn)，所以，又，所以，又，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值，由，解得，，所以.16.已知數(shù)列滿足，，記，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)?，，，所以，即，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.（2）解：由（1）可知，所以.（3）解：由（2）得，設(shè)，其前n項(xiàng)和為，則，，兩式相減得，所以，所以.17.某公司統(tǒng)計(jì)了該公司銷售部員工工齡（單位：年）與一年中的月均銷售額（單位：萬元）的數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.15.14.8424.294.9155.582.5表中.（1）由散點(diǎn)圖知，可用經(jīng)驗(yàn)回歸方程擬合y與x的關(guān)系，試根據(jù)提供的有關(guān)數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)月均銷售額超過20萬元的工齡最小值；（2）該公司為激勵(lì)銷售部員工，規(guī)定每月的銷售冠軍獎(jiǎng)勵(lì)1萬元，其他名次無獎(jiǎng)勵(lì).甲為該公司銷售部的員工，他在第一季度（每年的前3個(gè)月）的第一個(gè)月成為銷售冠軍的概率為，從第二個(gè)月開始，若上個(gè)月不是銷售冠軍，則這個(gè)月為銷售冠軍的概率為；若上個(gè)月為銷售冠軍，則這個(gè)月仍為銷售冠軍的概率為.求他在第一季度所得獎(jiǎng)勵(lì)金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，，，，，.解：（1）設(shè)，則，則，，因?yàn)椋?，所以?jīng)驗(yàn)回歸方程為，因?yàn)?，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以預(yù)測(cè)月均銷售額超過20萬元的工齡最小值為12.（2）由題意得的可能取值為0，1，2，3，記甲在第一季度的第月成為銷售冠軍為事件，則，，，的分布列為0123，所以甲在第一季度所得獎(jiǎng)勵(lì)金額的數(shù)學(xué)期望為0.87萬元.18.已知?jiǎng)訄AE與x軸相切于點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作動(dòng)圓E的異于x軸的切線，，記，的交點(diǎn)M的軌跡為曲線C.過的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于另一點(diǎn)D，直線與C交于另一點(diǎn)R.（1）求C的方程；（2）證明：直線過定點(diǎn)；（3）若直線，的斜率，都存在，試判斷是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.（1）解：如圖，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為Q，P，則，，，所以，，則，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，又圓的半徑不能為0和無窮，所以的方程為.（2）證明：設(shè)，，，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，因?yàn)锳，B，三點(diǎn)共線，所以，化簡(jiǎn)得，則直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立，整理得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，，同理，.又直線的方程為，令，則，所以直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，D，R關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)，可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，所以直線過定點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).（3）解：是定值，證明如下：由（2）得，又，所以.19.如圖①，圓柱的底面直徑和母線的長(zhǎng)均為2，過，兩點(diǎn)與底面所成角為的平面與圓柱的交線為曲線，若沿母線將其側(cè)面剪開并展平，以母線的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖②所示，曲線在平面直角坐標(biāo)系中為函數(shù)圖象的一部分.（1）在圖①中，為弧的中點(diǎn)，直線與該圓柱體的內(nèi)切球（與上、下底面和側(cè)面均相切的球）的球面交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（2）求的解析式；（3）已知，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.解：（1）如圖，設(shè)，分別為圓柱上、下底面的圓心，連接，，，由題意得的中點(diǎn)為，因?yàn)闉榛〉闹悬c(diǎn)，所以，在中，，，所以與圓柱的底面所成角的正切值為，連接，，，，由，得，取的中點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)椋?，所以，由及，得G也是的中點(diǎn)，所以.（2）由題意在圖①中與圓柱底面平行的截面圓對(duì)應(yīng)圖②中的軸，為的中點(diǎn)，如圖，設(shè)與該截面圓的交線為，過與平行的直線與的交點(diǎn)為，由，且，得，由題知平面與截面圓所成角為，所以為二面角的平面角，所以，.設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，過作截面圓的垂線，交該截面于點(diǎn)，過向引垂線，交于點(diǎn)，連接，，，由題意得，，由上可知，