高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省遼陽市2025屆高考二模數(shù)學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)的虛部為（）A.6 B. C. D.【答案】A【解析】，所以復數(shù)的虛部為6．故選：A2.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】A【解析】由，得是真命題，是假命題；當時，，則，則是真命題，是假命題．綜上，和都是真命題.故選：A3.已知為第一象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】．因為為第一象限角，所以．故選：C4.已知是奇函數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】D【解析】當時，，則，因為是奇函數(shù)，所以，即時，，則．故選：D5.函數(shù)圖象上一點到直線的最短距離為（）A. B. C.D.【答案】C【解析】設與直線平行且與曲線相切的直線的切點坐標為．因為，所以，解得，則切點坐標為．最短距離為點到直線的距離，即．故選：C6.已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：245683040605070若和線性相關，則關于的回歸直線方程為（）（附：回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得,因為，所以，，故回歸直線方程為,故選：D.7.一個盒子中有5個白色乒乓球和4個橘黃色乒乓球．現(xiàn)從盒子中任取3個乒乓球，記取出的3個乒乓球中的顏色為橘黃色的個數(shù)為，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】盒中有兩種顏色的球，任取3個，橘黃色的可能有0個，1個，2個，3個，屬于超幾何分布，取出的3個乒乓球中的顏色為橘黃色的個數(shù)為，則．故選：C.8.已知雙曲線的焦距為，左、右焦點分別為，過點作斜率不為0的直線與雙曲線的左、右支分別交于兩點．若的內切圓與直線相切于點，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設的內切圓分別切于點，則，，因為，所以，得，所以，即，①因為，所以，即，②，所以①②，得，得，因為，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.的定義域為 B.的值域為C.是奇函數(shù) D.在上單調遞減【答案】BCD【解析】的定義域為，值域為，A錯誤，B正確．是奇函數(shù)，C正確．當時，，函數(shù)上單調遞減，函數(shù)在上單調遞增，所以在上單調遞減，D正確．故選：BCD10.已知，且為等比數(shù)列，公比為，記，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由等比數(shù)列的性質得，A正確共有項，則2，即，B正確．若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，由得．若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，由得，C錯誤．當為偶數(shù)，，所以，當為奇數(shù)時，，，當為奇數(shù)時，，，綜上D正確．故選：ABD11.已知曲線，則下列結論正確的是（）A.曲線關于軸對稱B.曲線上的點到軸的距離的最大值為1C.若，且點在上，則D.若曲線與圓只有2個公共點，則的取值范圍為【答案】ABC【解析】把點關于軸對稱的點代入軌跡方程成立，A正確．因為，所以，所以曲線上的點到軸的距離的最大值為1，正確．因為，所以．當時，因為點在上，所以．因為，所以，即．當時，因為點在上，所以．因為，所以．故1，C正確．聯(lián)立得．當時，，當時，，即是曲線與圓的2個公共點．因為曲線與圓只有2個公共點，所以方程除外沒有其他解．因為，所以4，所以，D錯誤．故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知向量，若，則__________．【答案】【解析】由，可得，解得，則，所以．故答案為：.13.甲、乙等5人站成一排拍照，已知甲沒有站在最中間，則甲、乙相鄰的概率為__________．【答案】【解析】設事件為甲沒有站在最中間，事件表示甲、乙相鄰，則甲沒有站在最中間的概率為，即，甲沒有站在最中間，且甲，乙相鄰的概率為，即，所以．故答案為：14.如圖，在棱長為6的正四面體中，點滿足，則四面體的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】在正四面體中，取的中點為，連接．易知平面．設四面體的外接球的球心為，則點在平面上．設在平面上的射影分別為，顯然為的重心，則．在中，，則．以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則．設，外接球的半徑為，則，即，即解得即，則所求外接球的表面積．四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，內角所對的邊分別為，已知．（1）求角大小；（2）若的周長為，證明：為等邊三角形．（1）解：由及正弦定理，得．因為，所以，則，得．（2）證明：由余弦定理得．因為周長為，即，所以，即，所以，故為等邊三角形．16.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，求的取值范圍．解：（1）當時，，．故曲線在點處的切線方程為．（2）因為，所以．令，則，所以在上單調遞減，，所以，即的取值范圍為．17.在矩形中，為上兩個不同的三等分點，如圖1．將和分別沿向上翻折，使得點重合，記重合后的點為，如圖2．已知，四棱錐的體積為．（1）求；（2）求平面與平面所成角的正弦值．解：（1）取的中點分別為，連接，過點作，垂足為，設，則，為等邊三角形，，在中，，在中，，，又梯形的面積，所以四棱錐的體積為，解得（舍去），即；（2）由（1）可得．以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以．．設平面的法向量為，則取，得．設平面的法向量為，則取，得．所以，，所以平面與平面所成角的正弦值為．18.已知分別為橢圓的左、右頂點，均為橢圓上異于頂點的點，為橢圓上的點，直線經(jīng)過左焦點，直線經(jīng)過右焦點．（1）求橢圓的標準方程．（2）試問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由．（3）設的面積與的面積分別為，求的最小值．解：（1）依題意可得：，解得，，所以橢圓的標準方程（2）易得，，設，，則，所以得，，同理可得，則.（3）由（2）易得由，得因為所以，解得或(舍去)，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.19.已知集合，集合滿足，當取不同值時，各不相同．記的所有元素之和為，將數(shù)列的所有項重新排列為，使得．（1）當時，求．（2）當時，證明：成等差數(shù)列．（3）設，證明：．（1）解：當時，集合，其子集及其對應的為：①空集：；②：；③：；④：；重新排列之后：；（2）證明：當時，設，其中，，由得，去除的相同元素，設剩余元素中最大的元素為，設剩余