專題09分式方程及應(yīng)用知識點(diǎn)一分式方程的概念分式方程的定義：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據(jù)．【典例1】（2023秋?宣化區(qū)期末）在①＝5；②（x﹣1）+（x+1）＝4；③﹣＝1；④+＝﹣1；⑤（3x﹣7）中，分式方程有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓(xùn)練】1．（2022秋?綏中縣期末）下列方程中，是分式方程的是（）A． B． C．3x＝x﹣5 D．2x﹣y＝12．（2023春?成華區(qū)校級期中）下列方程：（1）＝5，其中是分式方程的有（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）3．（2023春?蘇家屯區(qū)期中）在①x2﹣x+，②﹣3＝a+4，③+5x＝6，④＝1中，其中關(guān)于x的分式方程的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023秋?寧江區(qū)校級期末）有下列方程：①，②，③（m為不等于2的常數(shù)），其中，屬于分式方程的有（填序號）．知識點(diǎn)二分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．注意：解分式方程過程中，易錯點(diǎn)有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．【典例2】（2024春?桐柏縣校級月考）解分式方程：（1）（2）＝【變式訓(xùn)練】1．（2023秋?郴州期末）將關(guān)于x的分式方程＝0去分母可得（）A．3x+（x﹣2）＝0 B．3x﹣（x﹣2）＝0 C．3（x﹣2）+x＝0 D．3（x﹣2）﹣x＝02．（2023秋?交口縣期末）解方程，去分母后正確的是（）A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1） B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1） C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1） D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）3．（2023秋?林州市期末）對于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“?”為：a?b＝，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：1?3＝＝﹣．則方程x?（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝74．（2023春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）以下是小明同學(xué)解方程的過程．【解析】方程兩邊同時乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2…第一步解得x＝4…第二步檢驗(yàn)：當(dāng)x＝4時，x﹣3＝4﹣3＝1≠0…第三步所以，原分式方程的解為x＝4…第四步①小明的解法從第步開始出現(xiàn)錯誤；出錯的原因是；②解分式方程的思想是利用的數(shù)學(xué)思想，把分式方程化為整式方程．A．?dāng)?shù)形結(jié)合；B．特殊到一般；C．轉(zhuǎn)化；D．類比．③寫出解方程的正確過程．5．（2024春?碑林區(qū)校級月考）解分式方程：（1）；（2）．6．（2023秋?廣陽區(qū)校級期末）解下列分式方程：（1）；（2）．知識點(diǎn)三分式方程的解及增根問題【典例3】（2023秋?臨邑縣期末）已知關(guān)于x的分式方程的增根是x＝2，則m的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋?新鄉(xiāng)期末）已知關(guān)于y的方程的解為y＝1，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．22．（2023秋?萬年縣期末）關(guān)于x的分式方程有解，則字母a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠3 B．a(chǎn)≠0 C．a(chǎn)≠3且a≠0 D．a(chǎn)＝3且a＝13．（2023秋?寧津縣期末）若關(guān)于x的分式方程+1＝有增根，則k＝．4．（2021秋?青云譜區(qū)校級期末）若關(guān)于x的方程有正數(shù)解，則（）A．m＞0且m≠3 B．m＜6且m≠3 C．m＜0 D．m＞65．（2023秋?黃石港區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程+＝無解，則m的值為．知識點(diǎn)四分式方程的應(yīng)用（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個問題中涉及到三個量的關(guān)系，如：工作時間＝，時間＝等．（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答【典例4】（2023秋?信州區(qū)期末）某縣為了落實(shí)中央的“強(qiáng)基惠民工程”，計(jì)劃將某村的居民自來水管道進(jìn)行改造．該工程若由甲隊(duì)單獨(dú)施工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成；若乙隊(duì)單獨(dú)施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的3倍．如果由甲、乙隊(duì)先合做15天，那么余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成還需10天．（1）這項(xiàng)工程的規(guī)定時間是多少天？（2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為6500元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊(duì)合做來完成．則該工程施工費(fèi)用是多少？【變式訓(xùn)練】1．（2023秋?溫嶺市期末）一臺收割機(jī)的工作效率相當(dāng)于一個農(nóng)民工作效率的150倍，用這臺機(jī)器收割10公頃小麥比100個農(nóng)民人工收割這些小麥要少用1小時，設(shè)這臺收割機(jī)每小時收割x公頃小麥，則所列方程正確的是（）A．B．C． D．2．（2023秋?趙縣期末）為了踐行“綠色生活”的理念，甲、乙兩人每天騎自行車出行，甲勻速騎行40千米的時間與乙勻速騎行35千米的時間相同，已知甲每小時比乙每小時多騎行2千米，設(shè)甲每小時騎行x千米，根據(jù)題意列出的方程正確的是（）A． B． C． D．3．（2023秋?新興縣期末）“孔子周游列國”是流傳很廣的故事．有一次孔子和學(xué)生們到距離他們住的驛站15公里的書院參觀，學(xué)生們步行出發(fā)，1小時后，孔子乘牛車出發(fā)，牛車的速度是步行的速度的1.5倍，若孔子和學(xué)生們同時到達(dá)書院，設(shè)學(xué)生們步行的速度為每小時x公里，則可列方程．4．（2023秋?泰山區(qū)期末）中秋節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃月餅的習(xí)俗，某商場在中秋節(jié)來臨之際購進(jìn)A、B兩種汾陽月餅共1500個，已知購進(jìn)A種月餅和B種月餅的費(fèi)用分別為2000元和3000元，且A種月餅的單價比B種月餅單價多1元，求A、B兩種月餅的單價各是多少？設(shè)A種月餅單價為x元，根據(jù)題意，列方程是．5．（2023秋?澄海區(qū)期末）某工廠搬運(yùn)貨物，為了提高搬運(yùn)速度，安裝了1臺傳送帶．已知1臺傳送帶的工作效率相當(dāng)于1名搬運(yùn)工人的20倍．若用這臺傳送帶搬運(yùn)1500箱貨物要比15名搬運(yùn)工人搬運(yùn)這些貨物少半小時．求這臺傳送帶每小時搬運(yùn)貨物多少箱？6．（2023秋?白水縣期末）某地區(qū)以移動互聯(lián)和大數(shù)據(jù)技術(shù)支持智慧課堂，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自主、個性和多元學(xué)習(xí)，全區(qū)學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)上課全部使用平板電腦．某商場用6萬元購進(jìn)甲種型號的平板，很快銷售一空．該商場又用12.8萬元購進(jìn)了乙種型號的平板，所購數(shù)量是甲型平板購進(jìn)數(shù)量的2倍，但單價貴了40元，甲型平板和乙型平板售價都是700元，但最后剩下的50件乙型平板按售價的八折銷售，很快售完．（1）該該商場購進(jìn)甲型平板和乙型平板的單價各多少元？（2）售完這兩種平板，商場共盈利多少元？7．（2023秋?綿陽期末）第十一屆中國科技博覽會于2023年1