基于波的干涉的節(jié)點(diǎn)角度測量算法分析目錄TOC\o"1-3"\h\u25732基于波的干涉的節(jié)點(diǎn)角度測量算法分析 1196981.1波的干涉的基本概念 1171291.2基于波的干涉的節(jié)點(diǎn)定位算法 352961.3仿真及結(jié)果 81.1波的干涉的基本概念一般地說，振動(dòng)方向、頻率、振幅、相位均不相同的幾列波在空間相遇時(shí)，其合成波是很復(fù)雜的。而振動(dòng)方向相同、頻率相同、相位差恒定的兩個(gè)波源發(fā)出的兩列波在空間相遇時(shí)，形成的空間各點(diǎn)的合振動(dòng)各具有一定振幅，這些不同振幅的振動(dòng)在空間的分布不隨時(shí)間變化，這種現(xiàn)象稱為波的干涉[31]。這樣的兩列波稱為干涉波，相應(yīng)的波源稱為相干波源。圖2-1水面波的干涉現(xiàn)象如圖2-1所示，使兩個(gè)小球同步地、周期性地振動(dòng)水面，形成兩列水面波，在兩列波相遇的區(qū)域，有的地方合振動(dòng)始終較強(qiáng)，有的地方合振動(dòng)始終較弱（水質(zhì)元幾乎不振動(dòng)），這就是水面波的干涉現(xiàn)象。根據(jù)波的疊加原理，可以對(duì)波的干涉加以分析。如圖2-2所示，設(shè)有兩個(gè)以相同頻率振動(dòng)的相干波源S1和S2，振動(dòng)方向相同，其振動(dòng)方程為(3-1)(3-2)兩波源發(fā)出的波在Ｐ點(diǎn)相遇，Ｐ點(diǎn)距Ｓ1和Ｓ2分別為r1和r2，在Ｐ點(diǎn)兩波的振動(dòng)方程為(3-3)(3-4)兩波在P點(diǎn)的相位差為(3-5)在P點(diǎn)兩波的振動(dòng)合成為(3-6)其中振幅Ａ由下式確定：(3-7a)由于波的強(qiáng)度正比于振幅平方，于是上式又可寫成(3-7b)可見，合振動(dòng)的強(qiáng)度Ｉ決定于兩波傳到Ｐ點(diǎn)的強(qiáng)度Ｉ1、I2和相位差。式中稱為干涉項(xiàng)，正是該項(xiàng)決定了各處合振動(dòng)的強(qiáng)度分布，從而反映了干涉的結(jié)果。中是波源的初相差，它是僅僅由波源決定的恒定值，而是由于兩波的傳播路徑r1和r2（簡稱波程）不同而引起的相位差，其中稱為波程差。不同的空間點(diǎn)，由于波程差不同而引起不同，最后導(dǎo)致Ｉ不同，這就是干涉現(xiàn)象。顯然，若(3-8)則相應(yīng)于該點(diǎn)的波的強(qiáng)度有最大值（稱為相長干涉）：或(3-9)則相應(yīng)于該點(diǎn)的波的強(qiáng)度有最小值（稱為相消干涉）：或如果波源振動(dòng)初相相同，則，此時(shí)：（１）在處，Ｉ＝Ｉmax(3-10)即波程差為波長的整數(shù)倍處，有相長干涉；（２）在處，Ｉ＝Ｉmin(3-11)即波程差為半波長的奇數(shù)倍處，有相消干涉。以上k值稱為相應(yīng)干涉極大（相長干涉）或干涉極?。ㄏ嘞缮妫┑募?jí)次。兩列相干波相遇時(shí)會(huì)出現(xiàn)波的干涉現(xiàn)象。若相遇的兩列波不滿足相干條件，即兩列非相干波相遇時(shí)，則在空間任一點(diǎn)，波疊加的結(jié)果是一會(huì)兒加強(qiáng)，一會(huì)兒減弱，整個(gè)空間內(nèi)得不到穩(wěn)定的圖像。非相干波的情況不在我們討論的范圍之內(nèi)。1.2基于波的干涉的節(jié)點(diǎn)定位算法本節(jié)詳細(xì)講述了該節(jié)點(diǎn)定位算法的基本原理，測量方法及角度與頻率關(guān)系的公式推導(dǎo)，接著對(duì)該算法進(jìn)行了仿真并給出了結(jié)果。1.2．1基于波的干涉的節(jié)點(diǎn)角度測量算法本方法充分利用了波的干涉原理來確定節(jié)點(diǎn)的角度。與AOA不同，該方法不是在接收節(jié)點(diǎn)安裝兩個(gè)或多個(gè)超聲波接收機(jī)，而是在發(fā)射節(jié)點(diǎn)即信標(biāo)節(jié)點(diǎn)安裝兩個(gè)超聲波發(fā)射機(jī)。由于未知節(jié)點(diǎn)是大量的，而信標(biāo)節(jié)點(diǎn)是少量的，所以該方法對(duì)節(jié)點(diǎn)的尺寸要求是合理的，而且更節(jié)省節(jié)點(diǎn)的能量，可以更好的應(yīng)用于無線傳感器網(wǎng)絡(luò)。在信標(biāo)節(jié)點(diǎn)，兩個(gè)距離為2r的發(fā)射機(jī)發(fā)出頻率相同，相位相同的波，則這兩列波會(huì)發(fā)生如圖2-2所示的干涉現(xiàn)象。圖2-2波的干涉現(xiàn)象根據(jù)波的干涉理論，處于發(fā)射波范圍內(nèi)的未知節(jié)點(diǎn)處的合成波強(qiáng)度是固定的。如圖2-3，設(shè)有兩個(gè)頻率相同的波源S1和S2，振幅均為Ａ0，初相位均為φ0其振動(dòng)表達(dá)式為：

(3－12)(3－13)傳播到P點(diǎn)引起的振動(dòng)為：

(3－14)(3－15)在P點(diǎn)的合成振動(dòng)為：(3－16)其合成振動(dòng)的振幅，由下式?jīng)Q定(3－17)因波的強(qiáng)度正比于振幅的平方，則合成波的強(qiáng)度I為(3－18)其中△φ為兩波在Ｐ點(diǎn)處的相位差(3－19)該相位差是由于兩波自波源到Ｐ點(diǎn)的傳播路程不同而產(chǎn)生的相位差。對(duì)空間給定點(diǎn)Ｐ，波程差（l2–l1）是一定的，因此兩波在Ｐ點(diǎn)的相位差△φ和振幅也將保持恒定。由以上討論可知，兩個(gè)相干波源所發(fā)出的兩列相干波疊加的結(jié)果，其合成振幅Ａ將在空間形成一種穩(wěn)定的分布，即在某些點(diǎn)處△φ＝２k，k=0,1,2…時(shí)Ａ最大，振動(dòng)始終加強(qiáng)；而在另外一些點(diǎn)處△φ＝(２k+1)，k=0,1,2…時(shí)Ａ最小，振動(dòng)始終減弱。圖2-3信標(biāo)節(jié)點(diǎn)與未知節(jié)點(diǎn)位置示意圖設(shè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)發(fā)射機(jī)S1與S2的中垂線為基準(zhǔn)軸，各點(diǎn)與基準(zhǔn)軸的夾角為。逐步增大發(fā)射頻率，此時(shí)各點(diǎn)合成波的強(qiáng)度會(huì)隨之發(fā)生變化，但是角度不同，各點(diǎn)的變化頻率是不同的。不失一般性，我們只討論第一象限內(nèi)的情況。||越小，該點(diǎn)強(qiáng)度的變化越緩慢；||越大，該點(diǎn)強(qiáng)度的變化越快。在＝0的各點(diǎn)處，強(qiáng)度不發(fā)生變化，振幅總是最強(qiáng)的，即強(qiáng)度變化的頻率為0；在||＝π/2的各點(diǎn)處，強(qiáng)度變化頻率最快。也就是說各未知節(jié)點(diǎn)在發(fā)射頻率增大的過程中，隨著角的增大，其合成波強(qiáng)度的變化頻率也是不斷增大的。因此根據(jù)各點(diǎn)合成波強(qiáng)度的變化頻率我們就可以測得該點(diǎn)相對(duì)于信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的角度?，F(xiàn)以光波的干涉波紋來對(duì)其原理進(jìn)行說明。如圖2-4、圖2-5，設(shè)起始頻率為f0，逐步增加到2f0，我們?nèi)∪齻€(gè)點(diǎn)來進(jìn)行觀察：第一條暗紋上的點(diǎn)Ａ，第一條明紋上的點(diǎn)Ｂ，第三條明紋和第四條暗紋之間的點(diǎn)Ｃ。在頻率由f0增加到2f0的過程中，Ａ點(diǎn)由暗變明，強(qiáng)度變化了半個(gè)周期；Ｂ點(diǎn)由明變暗又變明，強(qiáng)度變化了一個(gè)周期；Ｃ點(diǎn)強(qiáng)度則經(jīng)過了明暗交替的三個(gè)周期多一點(diǎn)。這里的光波的明暗變化也代表了其它波的強(qiáng)度變化，即各點(diǎn)處合成波的強(qiáng)度也在頻率變化的過程中經(jīng)歷了周期性的強(qiáng)弱變化，同時(shí)||越大變化頻率越快。從直觀感覺上來說，就好象明暗條紋由||＝處向||＝0處不斷合攏，角度越大的點(diǎn)，經(jīng)歷的明暗變化越多。|1.2．2公式推導(dǎo)下面討論各點(diǎn)合成波強(qiáng)度的變化頻率與角度的關(guān)系。設(shè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的起始頻率為f0，終止頻率為f1，變化時(shí)間段為（0，t0），變化過程是勻速的，則頻率的增加速率(3－20)瞬時(shí)頻率為(3－21)P點(diǎn)與兩個(gè)發(fā)射機(jī)的距離分別為(3－22)(3－23)當(dāng)l>>r時(shí)，有，設(shè)v為波的傳播速率，則瞬時(shí)相位差為(3－24)圖2-4r=8λ時(shí)的干涉圖樣圖2-5r=１６λ時(shí)的干涉圖樣圖2-6頻率由f0增大至2其中(3－25)(3－26)由(3-18)、(3-24)式可知，Ω是P點(diǎn)合成波強(qiáng)度變化的角頻率，Ψ是其初相位。而，將該式帶入(3-25)式，可得(3－27)由上式可見，只要測出合成波強(qiáng)度的變化周期T或頻率F，由于其它參數(shù)都是已知的，就可以求出該點(diǎn)相對(duì)于信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的角度。1.3仿真及結(jié)果1.3．1算法誤差未知節(jié)點(diǎn)處的相位差是由式?jīng)Q定的，由(3－11)、(3－12)式可知，當(dāng)時(shí)，有?l=|l2?l1|≈2?表2-1算法誤差l/r5o15o25o45o65o85o50.97520.98491.00600.98950.97211.0251100.97520.98491.00600.98950.97211.0251200.97520.98491.00600.98950.97211.02511000.97520.98491.00600.98950.97211.0251表2-1中的值是測量角度與真實(shí)角度θ的比值?？梢钥闯?在θ角過大或者過小時(shí),誤差比中間的值要大，中間的角度測量效果最好；同時(shí)，隨著lr比值的增大，誤差沒有變化。這是因?yàn)槭褂肕ATLAB仿真時(shí)，直接使用式（3-14）（3-15）（3-22）（3-23）計(jì)算出在待測點(diǎn)處的合成波，故而是精準(zhǔn)測量，不受傳播過程中的各種影響因素的干擾。所以仿真得到的比值不隨著lr的變化而改變。所以在以后的分析中，取固定的l1.3．2仿真模型在使用MATLAB仿真時(shí)，對(duì)待測點(diǎn)處的合成信號(hào)，如（3-16）所示，進(jìn)行包絡(luò)檢波以得到A，這一步采用MATLAB自帶hilbert函數(shù)進(jìn)行濾波來實(shí)現(xiàn)；然后對(duì)合成信號(hào)強(qiáng)度進(jìn)行測頻以得到F，如（3-17）（3-18）（3-24）所示，這一步采用FFT算法來實(shí)現(xiàn)；最后一步，將所測得的F帶入式（3-27）得到角度θ。圖2-7仿真模型仿真模型如圖2-7，將環(huán)境中的各種干擾和噪聲抽象為白噪聲,將白噪聲加入到合成波中,整流濾波后，通過抽樣取得周期值,計(jì)算出θ。1.3．3實(shí)驗(yàn)參數(shù)實(shí)驗(yàn)中[33]，取r=0.17m,波速為v=340m/s,起始頻率f0=20KHz,終止頻率f1=40KHz,時(shí)間t0=1s,信噪比分別取SNR=2dB,5dB,15dB,25dB。每次實(shí)驗(yàn)運(yùn)行40次然后取平均。結(jié)果如表2-2。表2-2中的值為測量角度與實(shí)際角度的差值，即的值。1.3．4仿真結(jié)果表2-2不同信噪比情況下各角度測量誤差SNR５o1５o２５o４５o６５o８５o25dB0.1240o0.2264o0.1507o2.1564o4.2281o12.4851o15dB0.1240o0.2264o0.1507o2.1564o4.2281o12.4851o5dB0.1240o0.2264o0.1507o2.1564o4.2281o12.4851o2dB0.1240o0.2264o0.1507o2.1564o4.2281o12.4851o由表2-2可以看出，在不同的信噪比條件下，測量角度的誤差沒有變化。這是因?yàn)椴扇FT算法來測量頻率，加入白噪聲只會(huì)使幅頻特性曲線的底部變得不平整光滑，而不會(huì)影響頻率的測量，除非白噪聲的強(qiáng)度大到超過包絡(luò)信號(hào)的強(qiáng)度，但這不在我們討論的范圍內(nèi)。故而在以后的分析中都不再討論信噪比的影響。通過觀察表2-2我們同樣可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)角度增大到一定程度，測量誤差是比較大的，故而對(duì)較大和較小的角度進(jìn)行進(jìn)一步測量，如表2-3和表2-4所示，可以看到，雖然較小的角度中有不少差值較大，但是與較大的角度相比較，顯得不值一提。因此對(duì)于較大的角我們需要其他的測量方法來修正，本文采取硬件補(bǔ)償?shù)姆椒▉斫鉀Q這一問題，具體的分析將在第五章中給出。表2-3較小角度情況下的頻率和測量誤差θF/Hz|θF/Hz|1°0.51.436°11°21.212°2°0.50.436°12°2.50.269°3°0.50.564°13°2.50.731°4°10.876°14°30.774°5°10.124°15°30.226°6°11.124°16°31.226°7°1.50.325°17°3.50.307°8°1.50.675°18°3.50.692°9°20.788°19°40.877°10°20.212°20°40.123°表2-4較大角度情況下的頻率和測量誤差θF/Hz