必刷小題5導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用[分值：73分]一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1.下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果正確的是()A.x＋1x'＝1＋1x2 B.(xlnx)'C.(sinπ)'＝cosπ D.exx'答案B解析對于A，x＋1x'＝1－對于B，(xlnx)'＝x'lnx＋(lnx)'x＝lnx＋1x·x＝lnx＋1，故B對于C，(sinπ)'＝0，故C錯誤；對于D，exx'＝(e2.函數(shù)y＝12x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為(A.(0，e) B.(0，1)C.[1，＋∞) D.(0，＋∞)答案B解析由題意知，x>0，y'＝x－1令y'<0，得0<x<1，所以其單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1).3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的大致圖象可能是()答案D解析由題意知f'(x)與x軸有三個交點(diǎn)，不妨設(shè)為x1，x2，x3，且x1<x2＝0<x3，當(dāng)x∈(－∞，x1)時，f'(x)<0，當(dāng)x∈(x1，0)時，f'(x)>0，當(dāng)x∈(0，x3)時，f'(x)<0，當(dāng)x∈(x3，＋∞)時，f'(x)>0，所以f(x)在區(qū)間(－∞，x1)，(0，x3)上單調(diào)遞減，故A，C錯誤；在區(qū)間(x1，0)，(x3，＋∞)上單調(diào)遞增，故B錯誤，D正確.4.若函數(shù)f(x)＝x－2x－alnx存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為(A.(22，＋∞) B.(－∞，－22C.[－22，22] D.(－∞，22答案A解析因為f(x)＝x－2x－alnx存在單調(diào)遞減區(qū)間所以f'(x)＝1＋2x2-ax<0在(0，即a>2x＋x在(0，＋∞)上有解2x＋x≥22x·x當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時等號成立，所以2x＋x故a>22.5.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種液體材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑.已知每售出1mL的液體材料，制造商可獲利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為8cm，則當(dāng)每瓶液體材料的利潤最大時，瓶子的半徑為()A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm答案A解析依題意知，每瓶液體材料的利潤f(r)＝0.3×43πr3－0.1πr4＝0.1π(4r3－r4)，0<r≤8則f'(r)＝0.4πr2(3－r)，令f'(r)＝0，得r＝3，當(dāng)r∈(0，3)時，f'(r)>0，當(dāng)r∈(3，8]時，f'(r)<0，因此函數(shù)f(r)在(0，3)上單調(diào)遞增，在(3，8]上單調(diào)遞減，即當(dāng)r＝3時，f(r)取最大值，所以當(dāng)每瓶液體材料的利潤最大時，r＝3.6.若函數(shù)f(x)＝(x－3)ex＋12x2－2x＋1在區(qū)間(2m－2，3＋m)上存在最值，則m的取值范圍是(A.(－∞，－1) B.(2，＋∞)C.(－1，2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案C解析f'(x)＝(x－2)ex＋x－2＝(x－2)(ex＋1)，則當(dāng)x>2時，f'(x)>0，當(dāng)x<2時，f'(x)<0，即f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，即f(x)在x＝2處取得最值，則有2m－2<2<3＋m，解得－1<m<2.7.已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞減，若a＝f(ln1.04)，b＝f(1.04)，c＝f(e0.04)，則()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b答案A解析因為f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，ln1.04<lne＝1<1.04，即ln1.04<1.04；令h(x)＝ex－(x＋1)，當(dāng)x>0時，h'(x)＝ex－1>0，則h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(0.04)＝e0.04－(0.04＋1)＝e0.04－1.04>h(0)＝0，即e0.04>1.04，所以e0.04>1.04>ln1.04.而f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故有f(ln1.04)<f(1.04)<f(e0.04)，即a<b<c.8.已知a>0，b>1，且e2a＋2lnb＋1＝b2＋2a，則一定有()A.b>ea B.lnb<aC.a＋lnb>1 D.a＋lnb＝1答案A解析因為e2a＋2lnb＋1＝b2＋2a，所以e2a－2a＝b2－2lnb－1＝elnb2－lnb2所以elnb2－lnb2－1>e2a－2a令f(x)＝ex－x－1，則f'(x)＝ex－1，f(lnb2)>f(2a)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f'(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因為a>0，b>1，所以2a>0，lnb2>0，則lnb2>2a，所以lnb>a，即b>ea，故A正確，B錯誤；因為lnb>a，所以a＋lnb>2a，因為a>0，所以a＋lnb與1的大小關(guān)系不確定，故C，D錯誤.二、多項選擇題(每小題6分，共18分)9.下列說法中正確的有()A.(sin2x)'＝cos2xB.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f'(1)＝1，則limΔxC.一質(zhì)點(diǎn)A沿直線運(yùn)動，位移s(單位：m)與時間t(單位：s)之間的關(guān)系為s(t)＝t2＋1，則該質(zhì)點(diǎn)在t＝2s時的瞬時速度是4m/sD.若h(x)＝f(x)·g(x)，則h'(x)＝f'(x)·g'(x)答案BC解析對于A選項，(sin2x)'＝2cos2x，故A錯誤；對于B選項，由導(dǎo)函數(shù)定義可知limΔx→0f(1＋Δx)-f對于C選項，s'(t)＝2t，故s'(2)＝4，故該質(zhì)點(diǎn)在t＝2s時的瞬時速度是4m/s，故C正確；對于D選項，若h(x)＝f(x)·g(x)，則h'(x)＝f'(x)·g(x)＋f(x)·g'(x)，故D錯誤.10.已知f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時，有f(x)－xf'(x)>0恒成立，則下列不等式一定成立的是()A.f12>2f14 B.f12C.f12>2f(1) D.2f12>f(答案BD解析構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)x則g'(x)＝xf'(x所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，對于A，B選項，g12<g即2f12<4f14，可得f12<2f14對于C，D選項，g12>g(1)即2f12>f(1)，D對，C無法判斷11.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x－1，則()A.f(x)在x＝－1處取得極小值B.f(x)有3個零點(diǎn)C.f(x)在區(qū)間(－2，2)上的值域為(－3，1)D.函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為點(diǎn)(0，－1)答案ABD解析由f'(x)＝－3x2＋3，令f'(x)>0，解得－1<x<1；令f'(x)<0，解得x<－1或x>1，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，1)上單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝－1處取得極小值，故A正確；又f(－2)＝1，f(－1)＝－3，f(1)＝1，f(2)＝－3，所以f(－2)·f(－1)<0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上有且僅有一個零點(diǎn)，同理函數(shù)f(x)在(－1，1)上有且僅有一個零點(diǎn)，在(1，＋∞)上有且僅有一個零點(diǎn)，即函數(shù)f(x)共有3個零點(diǎn)，故B正確；由前面得f(x)在(－2，2)上的值域為[－3，1]，故C錯誤；設(shè)g(x)＝－x3＋3x，x∈R，g(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝x3－3x＝－g(x)，所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對稱，又f(x)＝－x3＋3x－1的圖象是由g(x)的圖象向下平移1個單位長度得到的，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為點(diǎn)(0，－1)，故D正確.三、填空題(每小題5分，共15分)12.函數(shù)f(x)＝12x－cosx，x∈-π2，答案-解析因為f(x)＝12x－cosx，x∈所以f'(x)＝12＋sinx當(dāng)－π2<x<－π6時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)－π6<x<π2時，f'(x)>0，f(所以f(x)min＝f-π6又f-π2＝－π4從而f(x)max＝fπ所以函數(shù)f(x)＝12x－cosx，x∈-π213.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(－e，－1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，切線方程為.

答案(e，1)y＝xe解析設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0＝lnx0.又y'＝1x，當(dāng)x＝x0時，y'曲線y＝lnx在點(diǎn)A處的切線方程為y－y0＝1x0(x－x0)，即y－lnx0＝xx代入點(diǎn)(－e，－1)，得－1－lnx0＝-ex0－即x0lnx0＝e，記H(x)＝xlnx，當(dāng)x∈(0，1)時，H(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，H(x)>0，且H'(x)＝lnx＋1，當(dāng)x>1時，H'(x)>0，H(x)單調(diào)遞增，又H(e)＝e，故x0lnx0＝e存在唯一的實數(shù)根x0＝e，此時y0＝1，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e，1)，切線方程為y＝xe14.定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，滿足f'(x1)＝f'(x2)＝f(b)-f(a)b-a，則稱函數(shù)f(x)是[a，b]上的“雙中值函數(shù)”.已知函數(shù)f(