§2.11函數(shù)的圖象課標(biāo)要求1.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).2.會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象.3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問(wèn)題.1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的步驟：列表、描點(diǎn)、連線.2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱變換①y＝f(x)y＝－f(x).②y＝f(x)y＝f(－x).③y＝f(x)y＝－f(－x).④y＝ax(a>0,且a≠1)y＝logax(a>0,且a≠1).(3)翻折變換①y＝f(x)y＝|f(x)|.②y＝f(x)y＝f(|x|).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝|f(x)|為偶函數(shù).(×)(2)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象,可由y＝f(－x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.(√)(3)當(dāng)x∈(0,＋∞)時(shí),函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同.(×)(4)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(×)2.函數(shù)y＝21－x的大致圖象為()答案A3.函數(shù)f(x)＝-xln(x2答案D解析要使函數(shù)f(x)有意義,即x2＋1≠1,所以x≠0,故f(x)的定義域?yàn)?－∞,0)∪(0,＋∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)閒(－x)＝xln(x2＋1)＝－f(x),所以f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),－x<0,ln(x2＋1)>ln1＝0,所以f(x)<0,排除選項(xiàng)A.4.函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,再把y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象,則g(x)＝.

答案e－x＋1解析由題意可知f(x)＝e－x,把y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1的圖象.謹(jǐn)記三個(gè)圖象變換的注意點(diǎn)(1)“左加右減”只針對(duì)x本身,與x的系數(shù)沒(méi)有關(guān)系,如從y＝f(－2x)的圖象到y(tǒng)＝f(－2x＋1)的圖象是向右平移12個(gè)單位長(zhǎng)度,即將x變成x－1(2)“上加下減”只針對(duì)函數(shù)值f(x).(3)對(duì)稱變換的對(duì)稱是指兩個(gè)函數(shù)的圖象特征,而與奇偶性有關(guān)的對(duì)稱,是指一個(gè)函數(shù)圖象自身的特征.題型一作函數(shù)的圖象例1作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y＝2x(2)y＝|x2－4x－5|；(3)y＝12x-1解(1)原函數(shù)解析式可化為y＝2＋1x-1,故函數(shù)圖象可由函數(shù)y＝1x的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到(2)y＝|x2－4x－5|的圖象可由函數(shù)y＝x2－4x－5的圖象保留x軸上方的部分不變,將x軸下方的部分翻折到x軸上方得到,如圖所示.(3)y＝12x-1|－1,其圖象可看作由函數(shù)y＝12x的圖象向右平移1而y＝12x＝12x,x≥0,2后將該部分關(guān)于y軸對(duì)稱得到,則y＝12x-1|思維升華函數(shù)圖象的常見(jiàn)畫(huà)法及注意事項(xiàng)(1)直接法：對(duì)于熟悉的基本函數(shù),根據(jù)函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn),直接作圖.(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的,去掉絕對(duì)值符號(hào),轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)畫(huà).(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、伸縮、翻折、對(duì)稱得到,則可利用圖象變換作圖.(4)畫(huà)函數(shù)的圖象一定要注意定義域.跟蹤訓(xùn)練1作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y＝x2－2|x|－3；(2)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝x2－2|x|－3＝x2-2x(2)y＝|log2(x＋1)|,其圖象可由y＝log2x的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再保留x軸上方部分不變,將x軸下方部分翻折到x軸上方得到,如圖所示.題型二函數(shù)圖象的識(shí)別例2(1)函數(shù)f(x)＝21＋ex-1cos答案B解析依題意,函數(shù)f(x)＝1-ex1＋ex·cosx的定義域?yàn)镽,f(－x)＝1-e-x1＋e-x·cos(－即函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,選項(xiàng)A,C不滿足；當(dāng)x∈0,π2時(shí),1-ex1＋ex<0,cosx>0,即f(x)(2)已知某函數(shù)圖象如圖所示,則該函數(shù)解析式可能為()A.f(x)＝ln|x|－1B.f(x)＝ln|x|＋1C.f(x)＝1x＋ln|xD.f(x)＝1x－ln|x答案D解析對(duì)于A,f(1)＝ln1－11＝－1,顯然不滿足圖象,故A對(duì)于B,f(－1)＝ln|－1|＋1|-1|＝1,顯然不滿足圖象,對(duì)于C,當(dāng)x→＋∞時(shí),f(x)→＋∞,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,經(jīng)檢驗(yàn),f(x)＝1x－ln|x|滿足對(duì)應(yīng)圖象,故D正確思維升華識(shí)別函數(shù)的圖象的主要方法(1)利用函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷.(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等判斷.(3)利用特殊函數(shù)值判斷.跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)＝ln|x|·cosxx的圖象大致為答案A解析由函數(shù)f(x)＝ln|x|·cosxx可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x由f(－x)＝ln|-x|·cos(-x)-x＝－ln|x|·cosxx＝－f(x),可知函數(shù)f又由f(2)＝ln2·cos22<0可得C項(xiàng)不合題意,故(2)已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為()A.f(x)＝ex－e－xB.f(x)＝1－2C.f(x)＝xxD.f(x)＝x答案D解析根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象,知f(1)≈1,而對(duì)A選項(xiàng),f(1)＝e－e－1>2,排除A；對(duì)B選項(xiàng),f(x)＝1－2ex＋1,因?yàn)閑x＋1>1,則2ex＋1∈(0,2),則f(x)＝1－2ex＋1∈根據(jù)C選項(xiàng)的解析式,f(2)＝22≈2.8,而根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象,知f(2)≈1,排除C.題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用命題點(diǎn)1利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)例3(多選)對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,定義min{a,b}＝a,a≤b,b,a>b,若f(x)＝2－x2,g(x)＝x2,下列關(guān)于函數(shù)F(x)＝min{f(x)A.函數(shù)F(x)是偶函數(shù)B.方程F(x)＝0有三個(gè)解C.函數(shù)F(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞增D.函數(shù)F(x)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間答案ABD解析根據(jù)函數(shù)f(x)＝2－x2與g(x)＝x2,畫(huà)出函數(shù)F(x)＝min{f(x),g(x)}的圖象,如圖.由圖象可知,函數(shù)F(x)＝min{f(x),g(x)}的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以A項(xiàng)正確；函數(shù)F(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),所以方程F(x)＝0有三個(gè)解,所以B項(xiàng)正確；函數(shù)F(x)在(－∞,－1]上單調(diào)遞增,在[－1,0]上單調(diào)遞減,在[0,1]上單調(diào)遞增,在[1,＋∞)上單調(diào)遞減,所以C項(xiàng)錯(cuò)誤,D項(xiàng)正確.命題點(diǎn)2利用圖象解不等式例4已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0,＋∞)上的圖象如圖所示,則不等式x2f(x)>2f(x)的解集為()A.(－2,0)∪(2,B.(－∞,－2)∪(2,＋∞)C.(－∞,－2)∪(－2,0)∪(2,D.(－2,－2)∪(0,2)∪(2,＋∞答案C解析根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征,作出f(x)在(－∞,0)上的圖象,如圖所示,由x2f(x)>2f(x),得(x2－2)f(x)>0,則x2-2>0,解得x<－2或2<x<2或－2<x<0,故不等式的解集為(－∞,－2)∪(－2,0)∪(2,2命題點(diǎn)3利用圖象求參數(shù)的取值范圍例5已知函數(shù)f(x)＝sinπx,0≤x≤1,log2024x,x>1,若實(shí)數(shù)a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(答案(2,2025)解析函數(shù)f(x)＝sinπx,0不妨令a<b<c,可知a＋b＝1,而1<c<2024,所以2<a＋b＋c<2025.思維升華當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難,但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí),常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問(wèn)題,從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.跟蹤訓(xùn)練3(1)把函數(shù)f(x)＝ln|x－a|的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,所得函數(shù)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,則a的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析把函數(shù)f(x)＝ln|x－a|的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)g(x)＝ln|x＋2－a|的圖象,則函數(shù)g(x)在(a－2,＋∞)上單調(diào)遞增,又因?yàn)樗煤瘮?shù)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以a－2≤0,即a≤2.所以a的最大值為2.(2)已知f(x)＝x2＋2x＋3,x≤0,1＋lnx,x>0,若存在x1<x2<x3使得f(x1)＝f(x2答案(2,3]解析作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,因?yàn)榇嬖趚1<x2<x3使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m,所以f(－1)<m≤f(0),即2<m≤3.課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分,共30分)1.(2024·南昌模擬)函數(shù)f(x)＝x2x-2答案A解析f(－x)＝|-x2-x-2x＝－f(x),且函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x當(dāng)x>0時(shí),2x－2－x>0,所以f(x)>0,排除B,經(jīng)檢驗(yàn)A選項(xiàng)符合題意.2.(2025·岳陽(yáng)模擬)函數(shù)y＝21-x的大致圖象為(答案D解析因?yàn)閥＝21-x,所以當(dāng)x＝0時(shí),y＝21-x＝2,故排除A又y＝21-x＝－2x-1的圖象可由函數(shù)y＝－2x的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到3.已知函數(shù)f(x)＝x-2,x<0,x12,x≥0,答案C解析結(jié)合題意可得,當(dāng)x<0時(shí),f(x)＝x－2＝1x2,f(x)在(－∞,當(dāng)x≥0時(shí),易知f(x)＝x12＝x,f(x)在[0,故函數(shù)f(x)＝x-2,要得到y(tǒng)＝－f(x)的圖象,只需將y＝f(x)的圖象沿x軸對(duì)稱即可得到,C中圖象符合題意.4.已知函數(shù)f(x)＝2x,x≤1,log12x,答案C解析方法一畫(huà)出f(x)的大致圖象如圖所示.要得到y(tǒng)＝f(2－x)的圖象,只需將y＝f(x)的圖象沿y軸對(duì)稱,再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度即可.方法二設(shè)g(x)＝f(2－x),則g(1)＝f(1)＝2,從而排除A,B,D.5.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式最有可能是()A.f(x)＝x2＋1B.f(x)＝xsinxC.f(x)＝sinx－xcosxD.f(x)＝x-1x答案C解析由題圖可得0在定義域內(nèi),A,D選項(xiàng)的解析式的定義域?yàn)閧x|x≠0},故A,D錯(cuò)誤；B選項(xiàng),f(x)＝xsinx的定義域?yàn)镽,且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x),故f(x)＝xsinx為偶函數(shù),故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng),f(x)＝sinx－xcosx的定義域?yàn)镽,f(－x)＝sin(－x)－(－x)cos(－x)＝－sinx＋xcosx＝－f(x),故f(x)＝sinx－xcosx為奇函數(shù),滿足要求.6.已知函數(shù)f(x)＝|2x-1|,x≤2,3x-1,x>2,若方程A.(1,3) B.(0,1) C.(0,3) D.[0,1]答案B解析方程f(x)＝a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a有三個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示,f(2)＝3,由圖可得,0<a<1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分,共12分)7.設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx,則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y＝ln(－x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱B.函數(shù)f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.函數(shù)|f(x＋1)|的圖象在(0,＋∞)上單調(diào)遞增D.f13<|f(4答案BCD解析函數(shù)f(x)＝lnx的圖象如圖1所示,對(duì)于A,由函數(shù)圖象變換可知,y＝ln(－x)的圖象如圖2所示,函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由函數(shù)圖象變換可知,f(|x|)的圖象如圖3所示,函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故B正確；對(duì)于C,由函數(shù)圖象變換可知,|f(x＋1)|的圖象如圖4所示,函數(shù)圖象在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故C正確；對(duì)于D,即f13＝ln13＝ln3,|f(4)|＝|ln∵y＝lnx在定義域上單調(diào)遞增,∴l(xiāng)n3<ln4,則f13<|f(4)|,故D8.設(shè)函數(shù)f(x)＝12x2＋2x＋2,x≤0,|lnx|,x>0,若關(guān)于x的方程f(x)＝a有四個(gè)不同的解x1,x2,x3,x4,A.x1x2>4B.0<a≤2C.x3＋x4>2D.1<x4<e2答案BC解析如圖,作出函數(shù)f(x)的圖象,由題意,直線y＝a與f(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn),由圖象可知0<a≤2,故B正確；且x1＋x2＝－4,－2<x2≤0,－lnx3＝lnx4,所以ln(x3x4)＝0,即x3x4＝1,則x3＋x4>2x3x4＝2,x1x2＝(－4－x2)x2＝－x22－4x2＝－(x2＋2)2＋4∈[當(dāng)f(x4)＝f(0)＝2時(shí),lnx4＝2,x4＝e2,又0<x3<1<x4,所以1<x4≤e2,故D錯(cuò)誤.三、填空題(每小題5分,共10分)9.將函數(shù)y＝ex的圖象先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y＝的圖象,再把圖象作關(guān)于y軸對(duì)稱,得到函數(shù)y＝的圖象.

答案ex－1e－x－1解析將函數(shù)y＝ex的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y＝ex－1的圖象,將y＝ex－1的圖象再作關(guān)于y軸對(duì)稱,得到函數(shù)y＝e－x－1的圖象.10.若函數(shù)f(x)＝x(|x|－2)在[m,n]上的最小值是－1,最大值是3,則n－m的最大值為.

答案4＋2解析作出函數(shù)f(x)＝x(|x|－2)＝x(x-2),x當(dāng)x≥0時(shí),令x(x－2)＝3,得x1＝－1(舍),x2＝3,當(dāng)x<0時(shí),令x(－x－2)＝－1,得x3＝－1－2,x4＝－1＋2(舍)結(jié)合圖象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－2)＝4＋2.四、解答題(共28分)11.(13分)畫(huà)出下列函數(shù)的大致圖象：(1)y＝log2|x|；(6分)(2)y＝－log2(－x).(7分)解(1)y＝log2|x|＝log2x,x>0,log2(-x),x<0,(2)把y＝log2x的圖象先關(guān)于y軸對(duì)稱,再關(guān)于x軸對(duì)稱,即可得y＝－log2(－x)的圖象,如圖2所示.12.(15分)已知函數(shù)f(x)＝|(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(6分)(2)討論方程f(x)－m＝0根的情況.(9分)解(1)當(dāng)x≤0時(shí),0<2x≤1,則f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2),作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示.(2)由f(x)－m＝0可得m＝f(x),則方程f(x)－m＝0的根的個(gè)數(shù)即為直線y＝m與函數(shù)y