高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，且，則（）A. B.1 C. D.0【答案】A【解析】因?yàn)榧?，且，則，解得.故選：A.2.若與角終邊相同，則是第（）象限角.A.一 B.二 C.三 D.四【答案】C【解析】因?yàn)榕c角終邊相同，所以，則，所以是第三象限角.故選：C.3.已知函數(shù)則（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】易知，所以.故選：D.4.已知扇形的半徑為2，面積為4，則圓心角為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】記圓心角為，因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?，面積為4，所以，則.故選：C.5.已知函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)閒x=lnx的定義域?yàn)閷?duì)于選項(xiàng)AD：例如，則，，即，且，故AD錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：例如，則，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋蔅正確.故選：B.6.已知命題，命題，若均為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若命題為真命題，可得即可，即；若命題為真命題，可得，即可得，因此若均為真命題，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.7.用總長(zhǎng)為的籬笆圍成一塊矩形菜地，其中一邊空出的缺口作為進(jìn)出通道.若要使菜地的面積最大，則有缺口的一邊的籬笆長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)有缺口的一邊的籬笆長(zhǎng)為米，則矩形的另一邊長(zhǎng)為米，菜地的面積為平方米，則，即，則，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最大面積，所以當(dāng)有缺口的一邊的籬笆長(zhǎng)為米時(shí)，菜地的面積最大.故選：C.8.設(shè)為上的奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，“單調(diào)遞增”是“”的（）條件.A.充要 B.必要不充分C.充分不必要 D.不充分不必要【答案】D【解析】若，如圖：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增不能推出；若，如圖：當(dāng)時(shí)，不能推出單調(diào)遞增；所以“單調(diào)遞增”是“”的不充分不必要條件.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列集合表示圖中陰影部分的為（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】易知圖中的陰影部分表示在集合中去除兩集合的交集部分，即可表示為，即A正確；還可表示為集合的補(bǔ)集與集合的交集，即，即D正確.故選：AD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到B.的最小正周期是的2倍C.與的單調(diào)性一致，且零點(diǎn)相同D.正切函數(shù)是增函數(shù)，且是奇函數(shù)【答案】AC【解析】對(duì)于A，將圖象向左平移個(gè)單位可以得到，即A正確；對(duì)于B，的最小正周期是，而的最小正周期是；因此的最小正周期是的倍，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知與的單調(diào)性一致，且零點(diǎn)相同，即C正確；對(duì)于D，正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不是增函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，是奇函數(shù)，因此D錯(cuò)誤.故選：AC.11.對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.，且D.，且【答案】ABD【解析】因?yàn)楹瘮?shù).對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，由零點(diǎn)存在性定理可知，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性特征可知：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：假設(shè)，且，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)?，可知在?nèi)不單調(diào)，兩者相矛盾，假設(shè)不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，所以對(duì)，且，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則__________.【答案】0【解析】由奇函數(shù)可得，又，所以.13.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若角與的終邊關(guān)于__________對(duì)稱(chēng)（請(qǐng)?jiān)凇拜S”，“軸”，“原點(diǎn)”中任選一個(gè)填寫(xiě)），則__________.【答案】軸或軸或原點(diǎn)（選填其中一個(gè)）（當(dāng)空1填軸時(shí)）；（當(dāng)空1填軸時(shí)）；（當(dāng)空1填原點(diǎn)時(shí)）【解析】由角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得；若選擇“軸”，則可得角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，因此可得；所以；若選擇“軸”，則可得角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，因此可得；所以；若選擇“原點(diǎn)”，則可得角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，因此可得；所以.14.設(shè).若，則__________.（結(jié)果用表示）【答案】【解析】由可得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)榛?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，或.（2）由（1）可得，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件，則，所以且，則，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上的圖象交于點(diǎn).（1）求、；（2）若，求的值.解：（1）由題意可得，則，即，整理可得，即，因?yàn)?，則，解得，所以，.（2）因?yàn)?，所?17.為了提升某水域的生態(tài)環(huán)境，科研人員于2020年初在該水域投放一種微生物，投放量為1個(gè)單位數(shù)量.這種微生物在開(kāi)始的4年內(nèi)繁殖速度越來(lái)越快，隨后越來(lái)越慢，設(shè)投放年后這種微生物的數(shù)量為個(gè)單位.已知與的關(guān)系擬合后的分段函數(shù)的圖象如圖所示：請(qǐng)從①；②；③中選擇合適的兩個(gè)確定關(guān)于的函數(shù)解析式，并求該水域生態(tài)環(huán)境最佳的時(shí)長(zhǎng).（注：微生物的數(shù)量在個(gè)單位之間生態(tài)環(huán)境最佳）解：易知模型③在上單調(diào)遞減，因此可排除；因?yàn)檫@種微生物在開(kāi)始的4年內(nèi)繁殖速度越來(lái)越快，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得①符合題意；又隨后越來(lái)越慢，由冪函數(shù)性質(zhì)可得②符合題意；因此在時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；結(jié)合圖象可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)；即，解得，即；函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，解得，即；因此符合題意的兩函數(shù)解析式為①和②；因?yàn)槲⑸锏臄?shù)量在個(gè)單位之間生態(tài)環(huán)境最佳，當(dāng)時(shí)，令，解得；當(dāng)時(shí)，令，解得；綜上可得，當(dāng)時(shí)，滿足題意；因此該水域生態(tài)環(huán)境最佳的時(shí)長(zhǎng)為.18.對(duì)于定義域?yàn)锳的函數(shù)，如果存在，對(duì)任意的，都有，那么稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，求證：為定值；（3）若函數(shù)具有性質(zhì)，求的最小值.解：（1）假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且的定義域?yàn)?，又滿足存在，對(duì)任意，都有，所以，又，所以滿足，此方程無(wú)解，所以數(shù)不具有性質(zhì).（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，且函數(shù)定義域?yàn)?，+∞所以存在，對(duì)任意的x∈0，+∞即，所以，故為定值.（3）因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)，定義域?yàn)?，+∞所以存在，對(duì)任意的x∈0，+∞即，所以，即，所以，令，所以或，又，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為4.19.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）記函數(shù)的零點(diǎn)為為函數(shù)的圖象上橫坐標(biāo)分別為的兩點(diǎn)，點(diǎn)，求證：（i）；（ii）.解：（1）因?yàn)椋?/p>