PAGEPAGE10直線與圓【2024年高考考綱解讀】考查重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系(特殊是弦長問題)．此類問題難度屬于中低檔，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】一、直線的方程及應(yīng)用1．兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．2．求直線方程要留意幾種直線方程的局限性．點(diǎn)斜式、斜截式方程要求直線不能與x軸垂直，兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線．3．兩個(gè)距離公式(1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)．(2)點(diǎn)(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)．二、圓的方程及應(yīng)用1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特殊地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2＋y2＝r2.2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．三、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，推斷的方法主要有點(diǎn)線距離法和判別式法．(1)點(diǎn)線距離法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則d<r?直線與圓相交，d＝r?直線與圓相切，d>r?直線與圓相離．(2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2．圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離．設(shè)圓C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)，圓C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)，兩圓心之間的距離為d，則圓與圓的五種位置關(guān)系的推斷方法如下：(1)d>r1＋r2?兩圓外離．(2)d＝r1＋r2?兩圓外切．(3)|r1－r2|<d<r1＋r2?兩圓相交．(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)切．(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)含．【高考題型示例】題型一、直線的方程及應(yīng)用例1、已知點(diǎn)P(3,2)與點(diǎn)Q(1,4)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為()A．x－y＋1＝0B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0【解析】由題意知直線l與直線PQ垂直，所以kl＝－eq\f(1,kPQ)＝－eq\f(1,\f(4－2,1－3))＝1.又直線l經(jīng)過PQ的中點(diǎn)(2,3)，所以直線l的方程為y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.【答案】A【方法技巧】(1)求解兩條直線平行的問題時(shí)，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要留意代入檢驗(yàn)，解除兩條直線重合的可能性．(2)判定兩直線平行與垂直的關(guān)系時(shí)，假如給出的直線方程中存在字母系數(shù)，不僅要考慮斜率存在的狀況，還要考慮斜率不存在的狀況.【變式探究】(1)已知直線l1：x·sinα＋y－1＝0，直線l2：x－3y·cosα＋1＝0，若l1⊥l2，則sin2α等于()A.eq\f(2,3)B．±eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5)D.eq\f(3,5)答案D解析因?yàn)閘1⊥l2，所以sinα－3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,5).(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：kx－y＋2＝0與直線l2：x＋ky－2＝0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k改變時(shí)，點(diǎn)P到直線x－y－4＝0的距離的最大值為________．答案3eq\r(2)【感悟提升】(1)求解兩條直線的平行或垂直問題時(shí)要考慮斜率不存在的狀況．(2)對(duì)解題中可能出現(xiàn)的特殊狀況，可用數(shù)形結(jié)合的方法分析探討．【變式探究】(1)直線ax＋(a－1)y＋1＝0與直線4x＋ay－2＝0相互平行，則實(shí)數(shù)a＝________.答案2解析當(dāng)a≠0時(shí)，eq\f(a,4)＝eq\f(a－1,a)≠eq\f(1,－2)，解得a＝2.當(dāng)a＝0時(shí)，兩直線明顯不平行．故a＝2.(2)圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0的圓心到直線x－ay＋1＝0的距離為2，則a等于()A．－1B．0C．1D．2答案B解析因?yàn)?x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2))2＝2，所以eq\f(|1－2a＋1|,\r(1＋a2))＝2，所以a＝0.題型二圓的方程及應(yīng)用例2、(2024·天津)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________．答案x2＋y2－2x＝0解析方法一設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,2＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝0.))∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0.方法二畫出示意圖如圖所示，則△OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，∴所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.【變式探究】(1)圓心為(2,0)的圓C與圓x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，則C的方程為()A．x2＋y2＋4x＋2＝0B．x2＋y2－4x＋2＝0C．x2＋y2＋4x＝0D．x2＋y2－4x＝0答案D解析圓x2＋y2＋4x－6y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－3)2＝9，圓心為(－2,3)，半徑為3.設(shè)圓C的半徑為r.由兩圓外切知，圓心距為eq\r(2＋22＋0－32)＝5＝3＋r，所以r＝2.故圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4，綻開得x2＋y2－4x＝0.(2)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3))2＋(y－1)2＝1B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋1))2＝1C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋1))2＝1D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3))2＋(y－1)2＝1答案C解析到兩直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))兩平行線之間的距離為2，所以半徑為1，從而圓M的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋1))2＝1.故選C.【感悟提升】解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法(1)幾何法：通過探討圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程．(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．【變式探究】已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________．答案(－2，－4)5解析由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時(shí)，方程不滿意表示圓的條件，故舍去．當(dāng)a＝－1時(shí)，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，5為半徑的圓．【變式探究】已知點(diǎn)A是直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，則△A．x2＋(y－3)2＝5B．x2＋(y＋3)2＝5C．(x－3)2＋y2＝5D．(x＋3)2＋y2＝5解析：由題意得2a＝－4，∴a∴圓的半徑為eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(－4＋22＋－2－22),2)＝eq\r(5)，圓心為(－3,0)，∴圓的方程為(x＋3)2＋y2＝5，故選D.答案：D題型三直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系例3、(1)[2024·全國卷Ⅰ]直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.【解析】由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圓心C(0，－1)，半徑r＝2.圓心C(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)(2)[2024·山東卷]已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離【解析】方法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2ay＝0,x＋y＝0))得兩交點(diǎn)為(0,0)，(－a，a)．∵圓M截直線所得線段長度為2eq\r(2)，∴eq\r(a2＋－a2)＝2eq\r(2).又a>0，∴a＝2.∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑r1＝2.又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1，∴|MN|＝eq\r(0－12＋2－12)＝eq\r(2).∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交．方法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a.依題意，有eq\f(a,\r(2))＝eq\r(a2－2)，解得a＝2.以下同方法一．【答案】B【舉一反三】[2024·江蘇卷]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(CD,\s\up10(→))＝0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為________．解析：設(shè)A(a,2a)，則a又B(5,0)，故以AB為直徑的圓的方程為(x－5)(x－a)＋y(y－2a由題意知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋5,2)，a)).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5x－a＋yy－2a＝0，,y＝2x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝2a.))∴D(1,2)．又eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(CD,\s\up10(→))＝0，eq\o(AB,\s\up10(→))＝(5－a，－2a)，eq\o(CD,\s\up10(→))＝(1－eq\f(a＋5,2)，2－a)，∴(5－a，－2a)·(1－eq\f(a＋5,2)，2－a)＝eq\f(5,2)a2－5a－eq\f(15,2)＝0，解得a＝3或a＝－1.又a＞0，∴a＝3.答案：3【方法技巧】弦長的求解方法(1)依據(jù)平面幾何學(xué)問構(gòu)建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l＝2eq\r(r2－d2)(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)．(2)依據(jù)公式：l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)．(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解.【變式探究】(1)設(shè)圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是()A．外離 B．外切C．相交 D．內(nèi)含答案A解析圓心距為eq\r(22＋－22)＝2eq\r(2)>1＋1，故兩圓外離．(2)已知直線4x－3y＋a＝0與⊙C：x2＋y2＋4x＝0相交于A，B兩點(diǎn)，且∠ACB＝120°，則實(shí)數(shù)a的值為()A．3 B．10C．11或21 D．3或13答案D解析圓的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程即(x＋2)2＋y2＝4，作CD⊥AB于點(diǎn)D，由圓的性質(zhì)可知△ABC為等腰三角形，其中|CA|＝|CB|，則|CD|＝|CA|×sin30°＝2×eq\f(1,2)＝1，即圓心(－2,0)到直線4x－3y＋a＝0的距離為d＝1，據(jù)此可得eq\f(|－8＋0＋a|,\r(42＋－32))＝1，即|a－8|＝5，解得a＝3或a＝13.【感悟提升】(1)探討直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要留意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)找尋解題途徑，