PAGEPAGE1課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(八)“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(時(shí)間45分鐘)題型對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間20分鐘)題組一與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題1．楊輝三角如圖所示，楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外，均能被5整除，則具有類似性質(zhì)的行是()A．第6行 B．第7行C．第8行 D．第9行[解析]由題意，第6行為1615201561，第7行為172135352171，故第7行除去兩端數(shù)字1以外，均能被7整除．[答案]B2．如圖數(shù)表滿意：①第n行首尾兩數(shù)均為n；②圖中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則第n(n≥2)行的第2個(gè)數(shù)是________．[解析]由圖中數(shù)字規(guī)律可知，第n行的第2個(gè)數(shù)是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝eq\f(nn－1,2)＋1＝eq\f(n2－n＋2,2).[答案]eq\f(n2－n＋2,2)3．將“楊輝三角”中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0－1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行數(shù)都為1的是第1行，第2次全行數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行數(shù)都為1的是第________行；第61行中的1的個(gè)數(shù)是________．[解析]寫出0－1三角數(shù)表的前面幾行，如圖可以看出第1次全行數(shù)都為1的是第1行共2個(gè)1，第2次全行數(shù)都為1的是第3行共4個(gè)1，第3次全行數(shù)都為1的是第7行共8個(gè)1，第4次全行數(shù)都為1的是第15行共16個(gè)1，所以第n次全行數(shù)都為1的是第(2n－1)行共2n個(gè)1.故填2n－1.而且第(2n－2)行與第(2n－3)行中分別都有2n－1個(gè)1，所以當(dāng)n＝6時(shí)，2n－1＝26－1＝63，第63行全是1(第6次全行數(shù)都為1)，第61行共有26－1＝25＝32個(gè)1.故填32.[答案]2n－132題組二求綻開(kāi)式的系數(shù)和4．(2x－1)10的綻開(kāi)式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為()A.eq\f(1＋310,2) B.eq\f(1－310,2)C.eq\f(310－1,2) D．－eq\f(1＋310,2)[解析]設(shè)(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，兩式相減可得，a1＋a3＋…＋a9＝eq\f(1－310,2)，故選B.[答案]B5．設(shè)(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝________.[解析]利用二項(xiàng)式綻開(kāi)式的性質(zhì)，可知第11項(xiàng)和第12項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，而項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，即a10＋a11＝0.[答案]06．設(shè)(2－eq\r(3)x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.[解](1)令x＝0，可得a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100，(*)所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100－2100，(3)令x＝－1.可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r(3))100.與(*)式聯(lián)立相減得a1＋a3＋…＋a99＝eq\f(2－\r(3)100－2＋\r(3)100,2).(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－eq\r(3))(2＋eq\r(3))]100＝1100＝1.(5)∵Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,100)2100－r(eq\r(3))rxr，∴a2r－1<0(r∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r(3))100.題組三綻開(kāi)式中的最大值問(wèn)題7．(1＋2x)n的綻開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，則綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為()A．第5項(xiàng)B．第6項(xiàng)或第7項(xiàng)C．第6項(xiàng)D．第7項(xiàng)[解析]T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依題意有Ceq\o\al(5,n)×25＝Ceq\o\al(6,n)×26?n＝8.所以(1＋2x)8的綻開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5＝Ceq\o\al(4,8)(2x)4＝1120x4.故選A.[答案]A8.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))10的綻開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為()A．第6項(xiàng) B．第3項(xiàng)C．第3項(xiàng)和第6項(xiàng) D．第5項(xiàng)和第7項(xiàng)[解析]綻開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的系數(shù)的肯定值相等．由于二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為T6，且T6＝Ceq\o\al(5,10)x5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－Ceq\o\al(5,10)中的二項(xiàng)式系數(shù)等于項(xiàng)的系數(shù)的相反數(shù)，此時(shí)T6的系數(shù)最?。鳷5＝Ceq\o\al(4,10)x6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))4＝Ceq\o\al(4,10)x2，T7＝Ceq\o\al(6,10)x4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))6＝Ceq\o\al(6,10)x－2，且Ceq\o\al(4,10)＝Ceq\o\al(6,10).所以系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第7項(xiàng)．故選D.[答案]D9．(1－x)13的綻開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)為()A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)[解析]綻開(kāi)式中共有14項(xiàng)，中間兩項(xiàng)(第7、8項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大．由于二項(xiàng)綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)滿意：奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)．所以系數(shù)最小的項(xiàng)為第8項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)．故選C.[答案]C綜合提升練(時(shí)間25分鐘)一、選擇題1．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，則a0＋a1＋a2＋…＋a5＝()A．32B．1C．－243D．1或－243[解析](a－x)5綻開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk＋1＝(－1)k·Ceq\o\al(k,5)a5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2Ceq\o\al(2,5)a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.[答案]B2．已知(1＋2x)2n的綻開(kāi)式中奇次項(xiàng)系數(shù)之和等于364，那么綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是()A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng)C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)[解析]設(shè)(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，則綻開(kāi)式中奇次項(xiàng)系數(shù)之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分別令x＝1，x＝－1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＝32n，,a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝1，))兩式相減，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝eq\f(32n－1,2).由已知，得eq\f(32n－1,2)＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的綻開(kāi)式共有7項(xiàng)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，選B.[答案]B3．(1＋ax＋by)n的綻開(kāi)式中不含x的項(xiàng)的系數(shù)的肯定值的和為243，不含y的項(xiàng)的系數(shù)的肯定值的和為32，則a，b，n的值可能為()A．a(chǎn)＝2，b＝－1，n＝5B．a(chǎn)＝－2，b＝－1，n＝6C．a(chǎn)＝－1，b＝2，n＝6D．a(chǎn)＝1，b＝2，n＝5[解析]依據(jù)綻開(kāi)式的特點(diǎn)，通過(guò)特別值法找到符合要求的各項(xiàng)系數(shù)的肯定值的和，通過(guò)方程組解決．只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的綻開(kāi)式中不含x的項(xiàng)的系數(shù)的和為(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的綻開(kāi)式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)的和為(1＋a)n.假如a，b是正值，這些系數(shù)的和也就是系數(shù)肯定值的和，假如a，b中有負(fù)值，相應(yīng)地，分別令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此時(shí)的和式分別為(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各項(xiàng)系數(shù)的肯定值的和為(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.依據(jù)題意(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故選D.[答案]D二、填空題4．若(eq\r(2)－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝________.[解析]令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(eq\r(2)－1)10，令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(eq\r(2)＋1)10，故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(eq\r(2)－1)10(eq\r(2)＋1)10＝1.[答案]15．設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))n的綻開(kāi)式為a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若點(diǎn)Ai(i，ai)，(i＝0,1,2)的位置如圖所示，則a＝________.[解析]由題意知，A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4.由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))n的綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式知，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,a)))r(r＝0,1,2，…，n)．故eq\f(C\o\al(1,n),a)＝3，eq\f(C\o\al(2,n),a2)＝4，解得a＝3.[答案]3三、解答題6．在(2x－3y)10的綻開(kāi)式中，求：(1)各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；(3)各項(xiàng)系數(shù)之和；(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和．[解]在(2x－3y)10的綻開(kāi)式中：(1)各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210＝1024.(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝29＝512.偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(3,10)＋…＋Ceq\o\al(9,10)＝29＝512.(3)設(shè)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各項(xiàng)系數(shù)之和即為a0＋a1＋a2＋…＋a10，由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求解．令(*)中x＝y(tǒng)＝1，得各項(xiàng)系數(shù)之和為(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.①令(*)中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.②①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為eq\f(1＋510,2)；①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為eq\f(1－510,2).7．在(3x－2y)20的綻開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)肯定值最大的項(xiàng)；(3)系數(shù)最大的項(xiàng)．[解](1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第11項(xiàng)，T11＝Ceq\o\al(10,20)310(－2)10x10y10＝Ceq\o\al(10,20)610x10y10.(2)設(shè)系數(shù)肯定值最大的項(xiàng)是r＋1項(xiàng)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,20)·320－r·2r≥C\o\al(r＋1,20)·319－r·2r＋1，,C\o\al(r,20)·320－r·2r≥C\o\al(r－1,20)·321－r·2r－1，))化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3r＋1≥220－r，,221－r≥3r，))解得7eq\f(2,5)≤r≤8eq\f(2,5)(r∈N)，所以r＝8，即T9＝Ceq\o\al(8,20)312·28·x12y8是系數(shù)肯定值最大的項(xiàng)．(3)由于系數(shù)為正的項(xiàng)為y的偶