高二上市統(tǒng)考模擬2數(shù)學命題人：審題人：一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知直線l經(jīng)過點，則直線l的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．中國國家館以“城市發(fā)展中的中華智慧”為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質.如圖，現(xiàn)有一個類似中國國家館結構的正四棱臺，，，側面面積為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B．C． D．6．在某學校開展的“防電信詐騙知識競賽”活動中，高三年級部派出甲、乙、丙、丁四個小組參賽，每個小組各有10位選手．記錄參賽人員失分（均為非負整數(shù)）情況，若小組的每位選手失分都不超過7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知選手失分數(shù)據(jù)信息如下，則一定為“優(yōu)秀小組”的是（

）A．甲組中位數(shù)為3，極差為5 B．丙組平均數(shù)為2，方差為3C．乙組平均數(shù)為2，眾數(shù)為2 D．丁組平均數(shù)為2，第85百分位數(shù)為77.已知圓：關于直線對稱，過點作圓的切線，切點分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.8．斜率為的直線經(jīng)過雙曲線QUOTEC:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦點，交雙曲線兩條漸近線于兩點，為雙曲線的右焦點且A． B．2 C． D．二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得6分，部分選對分別記0分、2分、4分或0分、3分，有選錯的得0分.9．連續(xù)地擲一枚質地均勻的股子兩次，記錄每次的點數(shù)，記事件為“第一次出現(xiàn)2點”，事件為“第二次的點數(shù)小于等于4點”，事件為“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件為“兩次點數(shù)之和為9"，則下列說法正確的是（

）A．與不是互斥事件 B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與相互獨立10．已知點O為坐標原點，直線與拋物線相交于A、B兩點，焦點為F，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．線段的中點到x軸的距離為211．已知平面四邊形中，，和，將平面四邊形沿對角線翻折，得到四面體.則下列說法正確的是（

）A．無論翻折到何處，B．四面體的體積的最大值為C．當時，四面體的外接球的體積為D．當時，二面角的余弦值為三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12．已知，則的值為.13．已知點，，圓，在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是．14．某中學開展“勞動創(chuàng)造美好生活”的勞動主題教育活動，展示勞動實踐成果并進行評比，某學生設計的一款如圖所示的“心形”工藝品獲得了“十佳創(chuàng)意獎”，該“心形”由上、下兩部分組成，并用矩形框虛線進行鑲嵌，上部分是兩個半徑都為的半圓，分別為其直徑，且，下部分是一個“半橢圓”，并把橢圓的離心率叫做“心形”的離心率．（1）若矩形框的周長為，則當該矩形框面積最大時，；（2）若，圖中陰影區(qū)域的面積為，則該“心形”的離心率為．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應該寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.15．（13分）已知分別為△ABC三個內角的對邊，且．(1)求；(2)若，邊上的高為1，求△ABC的周長．16．（15分）已知圓過點，圓心在直線上，且直線與圓相切.(1)求圓的方程；(2)過點的直線交圓于兩點.若為線段的中點，求直線的方程.17．（15分）橢圓過點且.(1)求橢圓的標準方程；(2)設的左、右焦點分別為，，過點作直線與橢圓交于兩點，，求的面積.18．（17分）如圖，在直三棱柱中，，.(1)設平面與平面ABC的交線為l，判斷l(xiāng)與AC的位置關系，并證明；(2)求證：；(3)若與平面所成的角為30°，求三棱錐內切球的表面積S.19．（17分）已知動圓過定點，且與直線相切.(1)求動圓圓心軌跡的方程；(2)設過點的直線交軌跡于，兩點，已知點，直線，分別交軌跡于另一個點，.若直線和的斜率分別為，.（ⅰ）證明：；（ⅱ）設直線，的交點為，求線段長度的最小值.南京市第二十九中學高二上市統(tǒng)考模擬2數(shù)學命題人：審題人：一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知直線l經(jīng)過點，則直線l的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線過的兩點的坐標，可得直線的斜率，進而求出直線的傾斜角的大小.【詳解】直線l經(jīng)過點，所以直線的斜率為，設直線的傾斜角為，即，所以.故選：B.2．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復數(shù)的除法運算法則和虛部的定義得到結果.【詳解】由，，所以的虛部為.故選：C.3．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)兩條直線平行，求出值，再應用平行線間的距離公式求值即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解之得.于是直線，即，所以與之間的距離為.故選：A4．已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的定義結合數(shù)量積的運算律計算即可.【詳解】因為,所以,所以,又因為,所以,則在上的投影向量為.故選：A.5．中國國家館以“城市發(fā)展中的中華智慧”為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質.如圖，現(xiàn)有一個類似中國國家館結構的正四棱臺，，，側面面積為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正四棱臺的側面積求出斜高，再求出高及體積.【詳解】取正四棱臺的上下底面的中心，棱的中點，連接，則分別是正四棱臺的高和斜高，依題意，，解得，在直角梯形中，，則，所以正四棱臺的體積.故選：D6．在某學校開展的“防電信詐騙知識競賽”活動中，高三年級部派出甲、乙、丙、丁四個小組參賽，每個小組各有10位選手．記錄參賽人員失分（均為非負整數(shù)）情況，若小組的每位選手失分都不超過7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知選手失分數(shù)據(jù)信息如下，則一定為“優(yōu)秀小組”的是（

）A．甲組中位數(shù)為3，極差為5 B．丙組平均數(shù)為2，方差為3C．乙組平均數(shù)為2，眾數(shù)為2 D．丁組平均數(shù)為2，第85百分位數(shù)為7【答案】B【分析】A選項，假設有選手失8分，根據(jù)極差得到最低失分為3分，中位數(shù)為3，故A錯誤；C選項，根據(jù)方差得到，若有選手失8分，則有，矛盾，故C正確；BD選項，舉出反例即可判斷.【詳解】A選項，假設存在選手失分超過7分，失8分，根據(jù)極差為5，得到最低失分為3分，此時中位數(shù)為3，故假設可以成立，故A錯誤；C選項，假設乙組的失分情況為，滿足平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但該組不為“優(yōu)秀小組”，B錯誤；B選項，丙組的失分情況從小到大排列依次為，丙組平均數(shù)為2，方差為3，即，若，則，不合要求，故，所以該組每位選手失分都不超過7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，故C正確；D選項，，故從小到大，選取第9個數(shù)作為第85百分位數(shù)，即從小到大第9個數(shù)為7，假設丁組失分情況為，滿足平均數(shù)為2，第85百分位數(shù)為7，但不是“優(yōu)秀小組”，故D錯誤.故選：B.7.已知圓：關于直線對稱，過點作圓的切線，切點分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由圓關于直線對稱，則圓心在直線上，從而得到，即確定在直線上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】由圓：，即可得圓心，半徑，由圓：關于直線對稱，可得圓心在直線上，所以，即，所以在直線，又過點作圓的兩條切線，切點分別為，則，又在直線，則可表示到直線上點的距離的平方，所以的最小值為，所以的最小值為，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是將求的最小值轉化為求直線上的動點到圓：的最小值問題.8．斜率為的直線經(jīng)過雙曲線QUOTEC:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦點，交雙曲線兩條漸近線于兩點，為雙曲線的右焦點且A． B．2 C． D．【答案】D【分析】設為AB中點，由可得，從而確定點坐標，再用點差法探索雙曲線中，的關系，從而確定離心率.【詳解】如圖：

取為AB中點，則由題意：，，則，.作軸于點，則，，.所以點坐標為.再設，.由，且，，得：.故選：D【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)是等腰三角形，從而得到垂直關系是問題的突破口.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得6分，部分選對分別記0分、2分、4分或0分、3分，有選錯的得0分.9．連續(xù)地擲一枚質地均勻的股子兩次，記錄每次的點數(shù)，記事件為“第一次出現(xiàn)2點”，事件為“第二次的點數(shù)小于等于4點”，事件為“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件為“兩次點數(shù)之和為9"，則下列說法正確的是（

）A．與不是互斥事件 B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與相互獨立【答案】ACD【分析】根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的定義一一判斷即可.【詳解】如第一次出現(xiàn)點，第二次出現(xiàn)點，此時事件、均發(fā)生，所以與不是互斥事件，故A正確；依題意，，，，又，即與相互獨立，故C正確；，即與相互獨立，故D正確；，即與不相互獨立，故B錯誤.故選：ACD10．已知點O為坐標原點，直線與拋物線相交于A、B兩點，焦點為F，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．線段的中點到x軸的距離為2【答案】AC【分析】聯(lián)立方程組求得，且，結合選項，結合拋物線的定義和焦點弦，逐項判定，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點，則直線過拋物線的焦點，聯(lián)立方程組，整理得到，顯然，設，可得，對于A中，由拋物線的定義，可得，所以A正確；對于B中，由，所以與不垂直，所以B錯誤；對于C中，由，可得，由拋物線定義，可得，則，所以C正確；對于D中，線段的中點的到軸的距離為，所以D錯誤.故選：AC.11．已知平面四邊形中，，和，將平面四邊形沿對角線翻折，得到四面體.則下列說法正確的是（

）A．無論翻折到何處，B．四面體的體積的最大值為C．當時，四面體的外接球的體積為D．當時，二面角的余弦值為【答案】ACD【分析】取線段的中點，連接，即可證明平面，從而判斷A；當平面平面時，四面體的體積最大，由錐體的體積公式判斷B；依題意可得兩兩互相垂直，將四面體補成正方體，求出正方體外接球的半徑，即可判斷C；將四面體補成棱長為的正方體，再確定二面角的平面角，即可判斷D.【詳解】對于：取線段的中點，連接，是等邊三角形，在中，，，又平面，平面，又平面，即無論翻折到何處，，故A正確；對于B：當平面平面時，四面體的體積最大，又，平面平面，平面，所以平面，又，，所以，故B錯誤；對于C：當時，，，所以，，又，即兩兩互相垂直，且，將四面體補成棱長為的正方體，則正方體的外接球即為四面體的外接球，所以外接球半徑，所以外接球體積為，故C正確；對于D：當時，，，所以，，將四面體補成棱長為的正方體，取中點，中點，則，，所以，又,平面，平面，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，是二面角的平面角，又平面，平面，所以，所以，則當時，二面角的余弦值為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12．已知，則的值為.【答案】/【分析】由條件結合兩角差的正切公式可求，再結合二倍角正弦公式及同角關系將化為由表示的形式，由此可得結論.【詳解】由已知，所以，所以.故答案為：.13．已知點，，圓，在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】設Px,y，根據(jù)求出點的軌跡方程，根據(jù)題意可得兩個圓有公共點，根據(jù)圓心距大于或等于半徑之差的絕對值小于或等于半徑之和，解不等式即可求解.【詳解】設Px,y，因為點，，，所以，即，所以，可得圓心，半徑，由圓可得圓心，半徑，因為在圓上存在點滿足，所以圓與圓有公共點，所以，整理可得：，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.14．某中學開展“勞動創(chuàng)造美好生活”的勞動主題教育活動，展示勞動實踐成果并進行評比，某學生設計的一款如圖所示的“心形”工藝品獲得了“十佳創(chuàng)意獎”，該“心形”由上、下兩部分組成，并用矩形框虛線進行鑲嵌，上部分是兩個半徑都為的半圓，分別為其直徑，且，下部分是一個“半橢圓”，并把橢圓的離心率叫做“心形”的離心率．（1）若矩形框的周長為，則當該矩形框面積最大時，；（2）若，圖中陰影區(qū)域的面積為，則該“心形”的離心率為．【答案】1/0.5【分析】空1：設矩形的寬為，寫出面積表達式，利用二次函數(shù)的性質即可；空2：建立合適的直角坐標系，求出點的坐標即可.【詳解】設矩形的寬為，則長為，矩形面積，當且僅當時，矩形框面積最大為9，所以；如圖，以為軸，的中垂線為軸，直線交軸于點，設為橢圓長軸，則，所以圓圓聯(lián)立兩圓方程得，所以，，所以扇形面積，又因為，所以，即，得，，解得，又，所以，則.故答案為：1；.【點睛】關鍵點點睛：陰影部分面積的表示中的難點是，需要先利用相似三角形表示出點的橫坐標即可.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應該寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.15．已知分別為三個內角的對邊，且．(1)求；(2)若，邊上的高為1，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）對原式使用正弦定理進行邊換角，然后結合三角恒等變換進行計算求解；（2）利用三角形的面積公式和余弦定理列方程組求解.【詳解】（1）由正弦定理，，即，而，結合兩式可得，，則，又，則，故，即，又，則，上式化簡為，則，故，（2）根據(jù)三角形面積公式，可得，由余弦定理，，即，于是，故，于是的周長為16．已知圓過點，圓心在直線上，且直線與圓相切.(1)求圓的方程；(2)過點的直線交圓于兩點.若為線段的中點，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）設，從而得到，由在圓上，代入方程求解即可解決問題.【詳解】（1）設圓M的方程為，因為圓過點，所以，又因為圓心在直線上，所以②，直線與圓M相切，得到③，由①②③解得：因此圓的方程為（2）設，因為A為線段BD的中點，所以，因為在圓上，所以，解得或當時，由可知直線的方程為；當時，由可得斜率，故直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.17．橢圓過點且.(1)求橢圓的標準方程；(2)設的左、右焦點分別為，，過點作直線與橢圓交于兩點，，求的面積.【答案】(1)(2).【分析】（1）代入點坐標并于聯(lián)立計算可得，求出橢圓的標準方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程并利用向量數(shù)量積的坐標表示以及韋達定理即可得出，再由弦長公式計算可得結果.【詳解】（1）將代入橢圓方程可得，即，又因為，所以，代入上式可得，故橢圓的標準方程為；（2）由(1)可得，設直線的方程為，如下圖所示：聯(lián)立，得，所以，則，所以，解得，即，所以，則的面積.18．如圖，在直三棱柱中，，.(1)設平面與平面ABC的交線為l，判斷l(xiāng)與AC的位置關系，并證明；(2)求證：；(3)若與平面所成的角為30°，求三棱錐內切球的表面積S.【答案】(1)，證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由平面平面ABC可得平面ABC，從而根據(jù)線面平行的性質定理即可得證；（2）連接，根據(jù)已知可得平面，從而即可證明；（3）由題意，首先求出棱錐中各條棱的長度，然后利用等體積法計算三棱錐內切球的半徑，最后計算其表面積即可得答案．【詳解】（1）解：判斷.證明如下：∵為直三棱柱，∴平面平面ABC，∵平面，∴平面ABC，又平面平面，平面，∴，又∵，∴；（2）證明：連接，∵三棱柱為直三棱柱，∴平面，∴，又，，∴AB⊥平面，又平面，∴，又∵直三棱柱中，，∴四邊形為正方形，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴；（3）解：過作，垂足為D，連接CD，如圖所示，∵三棱柱為直三棱柱，∴平