2/2《利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性》教學(xué)設(shè)計(jì)二教學(xué)設(shè)計(jì)一、實(shí)例引入一個(gè)人帶著一匹狼、一只羊和一棵白菜，身處河的一岸他要把這些東西全部運(yùn)到對(duì)岸.他面前只有一條小船，船小到只能容下他和一件物品，另外船必須有人劃.而且，因?yàn)槔悄艹匝?，而羊?ài)吃白菜，所以人不能留下羊和白菜或者狼和羊單獨(dú)在河的一邊.問(wèn)題：觀察下列兩組畫(huà)面，請(qǐng)你推斷一下，哪一組一定能說(shuō)明小羊已經(jīng)成功過(guò)河？（兩個(gè)小羊的圖片分別表示過(guò)河前、過(guò)河后的位置）設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生耳熟能詳?shù)墓适氯胧?，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.二、新知探究探究1：函數(shù)零點(diǎn)的概念.（1）求函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求方程的根.（2）求函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求方程的根.（3）求函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求方程的根.設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷由特殊到一般的過(guò)程，讓學(xué)生能自主得出結(jié)論：函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，從而形成概念.函數(shù)的零點(diǎn)：使得的數(shù)稱(chēng)為方程的解，也稱(chēng)為函數(shù)的零點(diǎn).形成概念后，通過(guò)實(shí)例理解概念，使學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到，函數(shù)的零點(diǎn)是具體的自變量的取值，而不是一個(gè)點(diǎn).想一想：以下三個(gè)結(jié)論有怎樣的相關(guān)性？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白有些方程問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，有些函數(shù)問(wèn)題也可轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)解決，這正是方程與函數(shù)思想的重要所在.探究2：零點(diǎn)存在定理.設(shè)問(wèn)1：如果將河流抽象成x軸，將小羊前后的兩個(gè)位置抽象為A，B兩點(diǎn).請(qǐng)問(wèn)當(dāng)點(diǎn)A，B與x軸滿(mǎn)足怎樣的位置關(guān)系時(shí)，AB間的一段連續(xù)函數(shù)圖象與x軸一定有交點(diǎn)（即小羊的運(yùn)動(dòng)軌跡一定經(jīng)過(guò)小河）？并畫(huà)出函數(shù)圖象.設(shè)問(wèn)2：結(jié)合所畫(huà)圖象，試用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表述：小羊在什么情況下一定能成功過(guò)河呢？設(shè)計(jì)意圖：引入故事，激發(fā)學(xué)生的探究熱情.學(xué)生通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖，會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)論圖象怎么畫(huà)，一定會(huì)有零點(diǎn)，從幾何直觀上感覺(jué)和認(rèn)識(shí)零點(diǎn)的概念，并發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)的判定方法此操作起到承上啟下的作用.當(dāng)A，B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)以下情形：當(dāng)A，B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)以下情形：學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，不難發(fā)現(xiàn)，第I組能說(shuō)明小羊在行程中一定成功過(guò)河（因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)），而第Ⅱ組中小羊在行程中就不一定能成功過(guò)河（因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)）零點(diǎn)存在定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)的曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一正一負(fù)，即，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的方程至少有一個(gè)解.這里說(shuō)“若，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解”，指出了方程的實(shí)數(shù)解的存在性，并不能判斷具體有多少個(gè)實(shí)數(shù)解.三、例題講解例1、已知函數(shù)，問(wèn)：方程在區(qū)間內(nèi)有沒(méi)有實(shí)數(shù)解？為什么？活動(dòng)：學(xué)生回想判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法：解方程法和定理法由于本題中方程無(wú)法解，故用定理法，判斷是否成立.解：因?yàn)樵趨^(qū)間上有，，函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線，所以由零點(diǎn)存在定理可知在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解.設(shè)計(jì)意圖：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念及其判斷方法.當(dāng)無(wú)法解方程時(shí)，通常用定理法判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性.變式訓(xùn)練：1.判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：通過(guò)分類(lèi)討論把絕對(duì)值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示.函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).2.求證：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).證法一：因?yàn)橐辉畏匠痰呐袆e式，所以一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).證法二：因?yàn)橐辉畏匠炭苫癁?，所以一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).證法三：如圖，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是一條開(kāi)口向上的拋物線，且頂點(diǎn)在x軸的下方，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖：判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以結(jié)合函數(shù)的圖象.方法：函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程的根函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.例2判定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且一個(gè)根大于5，另一個(gè)根小于2..分析：轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).解：設(shè)函數(shù)，顯然有.畫(huà)出函數(shù)的圖象（如圖），觀察得，.在區(qū)間和內(nèi)分別應(yīng)用零點(diǎn)存在定理，可知在區(qū)間和內(nèi)，這個(gè)一元二次方程各有一個(gè)實(shí)數(shù)根（如圖）.所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且一個(gè)根大于5，另一個(gè)根小于2.變式訓(xùn)練：關(guān)于x的方程的兩個(gè)根一個(gè)大于，另一個(gè)小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)，其圖象為開(kāi)口向上的拋物線（示意圖如圖所示）.因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根一個(gè)大于2，另一個(gè)小于2，所以函數(shù)的零點(diǎn)一個(gè)大于2，另一個(gè)小于2，即函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)（如上圖）.故只需，即，所以.鞏固練習(xí)：1.判定下列方程在指定區(qū)間內(nèi)是否存在實(shí)數(shù)解，并說(shuō)明理由：（1）在區(qū)間內(nèi)；（2）在區(qū)間內(nèi).2.判定下列方程存在幾個(gè)實(shí)數(shù)解，并分別給出每個(gè)解的存在區(qū)間：（1）；（2）.四、課堂小結(jié)函數(shù)的零點(diǎn)的概念、零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解之間的關(guān)系.1.求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為解方程，若方程有實(shí)數(shù)解，則函數(shù)存在零點(diǎn)，該方程的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)的零點(diǎn)；否則，函數(shù)不存在零點(diǎn).2.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定方法：（1）直接求零點(diǎn)：令，若能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).（2）利用零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在上是一條連續(xù)的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如單調(diào)性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).（3）利用圖象的交點(diǎn)：對(duì)于含有指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪這類(lèi)較為復(fù)雜的題目，可以利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合單調(diào)性來(lái)判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也可以轉(zhuǎn)化成求基本初等函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是的零點(diǎn).3.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟：（1）代入：將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值.（2）判號(hào)：把所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷.（3）結(jié)論：若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)、連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).五、布置作業(yè)教材第130頁(yè)練習(xí)第2，3題.板書(shū)設(shè)計(jì)1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性一、實(shí)例引入二、新知探究1.函數(shù)的零點(diǎn)的定義使得的數(shù)稱(chēng)為方程的解，也稱(chēng)為函數(shù)的零點(diǎn)2.零點(diǎn)存在定理若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)的曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一正一負(fù)，即，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的方程至少有一個(gè)解三、例題講解例1例2四、課堂小結(jié)1.求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為解方程，若方程有實(shí)數(shù)解，則函數(shù)存在零點(diǎn)，該方程的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)的零點(diǎn)；否則，函數(shù)不存在零點(diǎn)2.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定方法3.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟五、布置作業(yè)教學(xué)研討結(jié)果因過(guò)程而精彩，現(xiàn)象因方法而生動(dòng).學(xué)習(xí)是人們對(duì)知識(shí)內(nèi)化的過(guò)程，只有學(xué)生通過(guò)自己去探索發(fā)現(xiàn)，積極思考，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律，才能更好地促進(jìn)他們自身素質(zhì)與能力的提高.因此，本案例利用故事創(chuàng)設(shè)逼真的教學(xué)環(huán)境，以問(wèn)題為主，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、回答問(wèn)題，充分激發(fā)