北京中學(xué)函數(shù)題目及答案一、選擇題1.函數(shù)y=f(x)=x^2-4x+3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）。A.0B.1C.2D.3答案：C解析：函數(shù)y=f(x)=x^2-4x+3為二次函數(shù)，其判別式Δ=b^2-4ac=16-4×3=4>0，說明函數(shù)有兩個(gè)不同的實(shí)根，即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。2.函數(shù)y=f(x)=x^3-3x的單調(diào)遞增區(qū)間為（）。A.(-∞,+∞)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(-∞,1)∪(1,+∞)答案：D解析：函數(shù)y=f(x)=x^3-3x的導(dǎo)數(shù)為y'=3x^2-3，令y'>0，解得x<-1或x>1，因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)∪(1,+∞)。3.函數(shù)y=f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期為（）。A.πB.2πC.3πD.4π答案：B解析：函數(shù)y=f(x)=sin(x)+cos(x)可以化簡為y=√2sin(x+π/4)，因此其最小正周期為2π。二、填空題4.函數(shù)y=f(x)=x^2-6x+8的對(duì)稱軸為x=______。答案：3解析：函數(shù)y=f(x)=x^2-6x+8為二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=-b/2a=6/2=3。5.函數(shù)y=f(x)=x^3-3x+1的極值點(diǎn)為x=______。答案：±1解析：函數(shù)y=f(x)=x^3-3x+1的導(dǎo)數(shù)為y'=3x^2-3，令y'=0，解得x=±1，因此函數(shù)的極值點(diǎn)為x=±1。6.函數(shù)y=f(x)=sin(x)+cos(x)的值域?yàn)閇-√2,√2]。答案：√2解析：函數(shù)y=f(x)=sin(x)+cos(x)可以化簡為y=√2sin(x+π/4)，因此其值域?yàn)閇-√2,√2]。三、解答題7.已知函數(shù)y=f(x)=x^2-4x+3，求其零點(diǎn)、對(duì)稱軸、極值點(diǎn)和值域。解：函數(shù)y=f(x)=x^2-4x+3為二次函數(shù)，其判別式Δ=b^2-4ac=16-4×3=4>0，說明函數(shù)有兩個(gè)不同的實(shí)根，即零點(diǎn)為x1=1，x2=3。函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-b/2a=4/2=2。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'=2x-4，令y'=0，解得x=2，因此函數(shù)的極值點(diǎn)為x=2。函數(shù)的值域?yàn)閇-1,+∞)。8.已知函數(shù)y=f(x)=x^3-3x+1，求其單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)和值域。解：函數(shù)y=f(x)=x^3-3x+1的導(dǎo)數(shù)為y'=3x^2-3，令y'>0，解得x<-1或x>1，因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)∪(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)。令y'=0，解得x=±1，因此函數(shù)的極值點(diǎn)為x=±1。函數(shù)的值域?yàn)镽。9.已知函數(shù)y=f(x)=sin(x)+cos(x)，求其最小正周期、值域和圖像的對(duì)稱性。解：函數(shù)y=f(x)=sin(x)+cos(x)可以化簡為y=√2sin(x+π/4)，因此其最小正周期為2π。函數(shù)的值域?yàn)閇-√2,√2]。函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=kπ+π/4（k∈Z）對(duì)稱。四、綜合題10.已知函數(shù)y=f(x)=x^2-4x+3和y=g(x)=x^3-3x+1，求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。解：聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的方程，得到方程組：x^2-4x+3=x^3-3x+1化簡得：x^3-x^2+x-2=0令h(x)=x^3-x^2+x-2，求其導(dǎo)數(shù)h'(x)=3x^2-2x+1，令h'(x)=0，解得x=1/3或x=1。當(dāng)x<1/3或x>1時(shí)，h'(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1/3<x<1時(shí)，h'(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減。因此，函數(shù)h(x)在x=1/3處取得極大值h(1/3)=-11/27，在x=1處取得極小值h(1)=-1。由于h(1/3)>0，h(1)<0，因此函數(shù)h(x)在(1/3,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)閔(-2)=-2<0，h(2)=2>0，所以函數(shù)h(x)在(-2,1/3)內(nèi)