河南省信陽市2024-2025學(xué)年高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)《=（）

A.1+iB.1—iC.i—1D.-1—i

2.化簡cos?+e）sin（^-。）+cos（^-0）sin（^+。）的值等于（）

￡1

A1

22-

3.已知向量2,3的夾角為:，且|砧=2門|旬，則日在3上的投影向量為()

A.-3bB.-yf3bC.3bD.<3b

4.函數(shù)y=sin6—;久)，xe[-2兀,2兀)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[-py]B.[一2兀，一芻

C.[y,27T]D.[-2兀,一芻和洋,2捫

5.已知向量2,3滿足a=(1,2),b=(-2,y),且以/B,貝力五+B|=()

A./5B.4C.5D.572

6.已知函數(shù)/O)=tan(2x—9則下列說法錯誤的是()

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為T=I

B.函數(shù)f⑺的定義域為{久|x力瑞+春,(keZ)}

C.函數(shù)的圖象的對稱中心為/+竽,0),(kCZ)

D.函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為點+竽,相+不，fcez

7.將函數(shù)/(x)=sinx-V3cos%圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的白縱坐標(biāo)不變)，再將所得曲線上所有

的點向左平移a(a>0)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若。(久)的圖象關(guān)于y軸對稱，貝b的最小值是

()

8.ABC,中，角4B,C的對邊分別是a,b,c,且面積為S,若bcosC+ccosB=asinA,S=-(b2+

4

a2-c2),則角B等于()

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=誓，則下列說法正確的是()

A.復(fù)數(shù)z的虛部為4iB.z=3-4i

C.|z|=5D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限

10.信陽是中國十佳宜居城市之一，氣候宜人，環(huán)境優(yōu)美.如圖是信陽市夏季某一天的溫度變化曲線，若該

曲線近似地滿足函數(shù)y=Asi7i(3x+R)+B(0<邛<兀)，xeR的部分圖象，則下列說法正確的是()

W匕

A.該函數(shù)的周期是16

B.該函數(shù)的解析式是y=10s譏守+*)+20,xeR

C.該函數(shù)圖象的對稱中心是(8k-6,0)(keZ)

D.該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=8k-2(kEZ)

11.在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,貝1()

A.若力>B,貝Us譏24>sin2B

B.若S-BC=1，a=l,貝UsirM最大值為最

C.若a=2C,b=4,則滿足條件的三角形有兩個

D?若喘+靜瓦=3且需?番/則"BC為等邊三角形

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.如圖，在△力BC中，。是BC上靠近B的一個三等分點，AB=a，AC=b，則

前可以用乙3表示為.

13.若R是三角形的一個內(nèi)角，且函數(shù)y=2s譏(3x+s)在區(qū)間，勺上單調(diào)遞增，則s的取值范圍為

14.已知函數(shù)f(x)=acos2x+V1-a2sin2x(0<a<1)的圖象關(guān)于直線x="對稱，若方程/(久)=

m(mGR)在[0,勺上恰有1個實數(shù)根，則小的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知向量2=(cosx,si?u:),b=(3,—xG[0,n}.

(1)若2,3,求x的值；

(2)記/(久)=之不+1,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.

16.(本小題15分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角a與鈍角0的終邊與單位圓分別交于點4B兩

點，x軸正半軸與單位圓交于點已知4。4M=?，點8的縱坐標(biāo)是余.

(1)求cos(a-°)的值；

(2)求2"￡的值.

17.(本小題15分)

近年來，信陽市大別山區(qū)認(rèn)真踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市

場需求，深挖冷水魚產(chǎn)業(yè)發(fā)展優(yōu)勢潛力，現(xiàn)已摸索出以鱷魚、娃娃魚等養(yǎng)殖為主方向的產(chǎn)業(yè)發(fā)展之路.某鱷

魚養(yǎng)殖場為擴大養(yǎng)殖規(guī)模，計劃在如圖所示的扇形區(qū)域0MN內(nèi)修建矩形水池4BCD,矩形一邊AB在0M

上，點C在圓弧MN上，點。在邊ON上，且NMON=g,OM=60米，設(shè)立COM=a.

(1)求扇形。MN的面積；

(2)(i)若矩形2BCD的面積S(a)是關(guān)于a的函數(shù)，求S(a)的解析式；

(苴)當(dāng)a為何值時，S(a)取得最大值，并求出這個最大值.

18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cos4(ccosB+bcosC)=a.

⑴求4

(2)若△ABC為銳角三角形，且a=C,求爐+。2+3bc的取值范圍.

19.(本小題17分)

若函數(shù)f(x)在定義域區(qū)間［a,加上連續(xù)，對任意叼，久2e［a,b］恒有/(二/)N叵用則稱函數(shù)f(x)是

區(qū)間［a,加上的上凸函數(shù)，若恒有/(空)〈曲用型，則稱函數(shù)/(久)是區(qū)間［a,加上的下凸函數(shù)，當(dāng)且僅

當(dāng)/=冷時等號成立，這個性質(zhì)稱為函數(shù)的凹凸性.上述不等式可以推廣到取函數(shù)定義域中的任意n個點，

即若/(久)是上凸函數(shù)，則對任意修,打…今6口切恒有“巧+“2；”+力2(,+…+*/),若/(?是

下凸函數(shù)，則對任意打，久2，…，久ne［a,6］恒有/(巧+"2：…+為wf3)+f(程+…+f(1),當(dāng)且僅當(dāng)久】=

X2=…=0時等號成立.應(yīng)用以上知識解決下列問題：

(1)判斷函數(shù)/(%)=ax2+bx+c(a0,xER),g(%)=sinx,xe(0,兀)在定義域上是上凸函數(shù)還是下凸

函數(shù)；(只寫出結(jié)論，不需證明)

(2)利用(1)中的結(jié)論，在△ABC中,求sim4+s譏B+sin(a+B)的最大值;

(3)證明函數(shù)h(%)=aZn|-%2-|(a<0)是上凸函數(shù).

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由題意可得：二2(1T)=1-i,

(l+i)(l-i)

故選:B.

根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運算求解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：cos(1+e)sin哈-0)+COS/-6)sin(1+0)=sin(^+0+^-0)=sin]=1.

故選:B.

運用正弦函數(shù)兩角和公式計算.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：因為向量出笳勺夾角為引，且|初=2展|川，

所以14=|a||K|cosy=273|K|2x（—苧）=-3|b|2,

則2在后上的投影向量為警?今=%?%=-3衛(wèi).

\b\\b\網(wǎng)z

故選：力.

由已知結(jié)合向量投影定義即可求解.

本題主要考查了向量投影定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.由條件利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，再利

用正弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.

【解答】

解：函數(shù)y=sin(g—gx)=-singx—g),

1

<2

-X-7r--+

23keZ.

求得4k/r+—<%<4/CTT4——fkEZ.

故函數(shù)y的增區(qū)間為［軌兀+三,軌兀+與］,kez.

再結(jié)合xe［-2兀,2捫，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：

［一2兀,一芻、［y,27r］,

故選D

5.【答案】A

【解析】解：a=(1,2),3=(—2,y),且五〃石,

則2x(-2)=1xy,解得y=-4,

故b=(-2,-4),

所以N+b=(―1,—2),

故|五+石|=J(-1)2+(-2)2=75.

故選：A.

結(jié)合向量平行的性質(zhì)，求出y,再結(jié)合向量模公式，即可求解.

本題主要考查向量平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：由于函數(shù)“X)=tan(2x—9，則函數(shù)的最小正周期為7=與故A正確；

對于B：函數(shù)/(?的定義域滿足2x-9而+熱(k€Z),整理得xR與+居(kez),故函數(shù)的定義域為

{x|x中與+瑞}(keZ),故B正確；

對于C：令2%—弓=粵，(fcGZ),整理得］(kez),故函數(shù)/Q)的對稱中心為(粵+、O)(ke

Z),故C錯誤；

對于0：令—］+/ot<2X—g</ot+1,(fcEZ),整理得言+與<x<?+.，(fcGZ),故函數(shù)的單調(diào)遞

增區(qū)間為(工+3冷+當(dāng),k&Z,故￡>正確.

故選：C.

直接利用正切型函數(shù)的性質(zhì)判斷力、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識點：正切型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：/(x)=sinx-y[3cosx=2sin(x-,把函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，，

故得到y(tǒng)=2s譏(2x-金的圖象，再將所得曲線上所有的點向左平移a個單位長度，

得到函數(shù)g(x)=2s譏(2x+2a-/)的圖象，若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，故2a-號=kn瑤(keZ),

整理得a=3+1(keZ),

當(dāng)k=0時，a的最小值為浮

故選：A.

首先利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換求出函數(shù)的g(x)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.

本題考查的知識點：函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力，

屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA,

得s譏CcosB+sinBcosC=sin2i4,可得：sin(C+8)=sinA=sin2i4,

可得：sinA=1,

因為0<A<7T,

所以A=3

因為S=7(62+a2—c2)=7xlabcosC=-absinC,整理得tcmC=1,

又0<C<5，

所以C=3，

q

故B=Ti—A—C=7.

4

故選：c.

由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得s譏A=1,結(jié)合4的范圍可求4=3由余弦定理、

三角形面積公式可求tanC=1,結(jié)合范圍0<C<3可求C的值，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求B的值.

本題主要考查正、余弦定理、兩角和的正弦函數(shù)公式、三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了

計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：復(fù)數(shù)z=§￥=*"=3+4i,

2+t(2+i)(2—i)

則復(fù)數(shù)Z的虛部為4,故A錯誤；

z—3—4i,故B正確；

\z\=V32+42=5,故C正確；

z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(3,4)在第一象限，故。錯誤.

故選：BC.

結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，對z化簡，即可依次判斷.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：由圖象可得函數(shù)最小正周期7=(14—6)x2=16,A正確；

故|3|=今翼,

不妨令4>。,且｛"黑量，解嘿二卯

結(jié)合圖象可得，[63+0=-3+2叫kez,

llOco+0=2kn

則3='

o

因為0<0V7T,所以0=-T-f

則y=10s譏/%+今)+20,8正確；

令"工+彳=女兀，kEZ,則久=8/c—6,即函數(shù)的對稱中心為(8/c—6,20),kEZ,C錯誤；

~x+—r=k.7i+^9kEZ,則久=8/c—2,kWZ,。正確.

故選：ABD.

由周期求出3,由最值求出a,B,結(jié)合五點作圖求出0,然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：a選項，若a>B,如a=J,B=%22=TT,2B=[

N4Z

sin2A=0,sin2B=1,sin2A<sin2B,所以“選項錯誤.

B選項，S=-bcsinA=1,be=

LAAHBC-2sinA

?2_icc

余弦定理得cosA=————,2bc-cosA=b2+c2-1,

2bc

即生竽1,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，

sinAsinA

1

由于三角形中，sinA>0,所以4cosZ>4—sinA,cosA>1--sinA>0,

4

則cos27l>(1--sinA)2,Xcos2i4=1—sin2/1,

4

-117

即1—sin2?l>(1--sinA)2,整理得sinA-1)-sinA<0,

4o

記得0<sinA<所以s譏/的最大值為。，所以8選項正確.

C選項，若a=b=4,A=J,

則加出4=4x苧=2A/-2,所以6s譏A<a<b,

所以滿足條件的三角形有兩個，所以C選項正確.

。選項，緇表示荏方向的單位向量；得表示前方向的單位向量，

\AB\\AC\

根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知黑+算與NB4C的角平分線共線，

\AC\

由(緇+黑).同=0可知Nb4c的角平分線與BC垂直，

\AB\\AC\

所以三角形ABC是等腰三角形.

而=1x1xcosA—cosA=g>0,

所以4為銳角，且4=會所以三角形4BC是等邊三角形.故D正確.

故選：BCD.

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理、向量運算等知識對選項進(jìn)行分析,

從而確定正確答案.

本題考查三角形的面積，考查向量法在解三角形中的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬中檔題.

12.【答案】AD=^a+^b

【解析】解：在△A8C中，。是BC上靠近8的一個三等分點，即前前，

因為荏=a,AC=b,

則而=荏+麗=屈+3^=歷+；前一3通=|方+頡

故答案為：AD=|a+1b.

由己知結(jié)合向量的線性運算即可求解.

本題主要考查了向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】(0幣

【解析】解：由一言<%工芻可得—g+043%+04[+9,

yizJ4

又9是三角形的一個內(nèi)角，所以0<0<兀，

I71Tl,一27r7T,7T,,5"

故ZJ-§<_§+0<H，a<R(彳，

因為函數(shù)y=2s譏(3支+租)在區(qū)間[g9上單調(diào)遞增，

貝加:一/,解得一牌9號，

又0<0<7T,

所以0的取值范圍為(0,勺.

4

故答案為：(。勺.

4

由條件求3%+s的范圍，再求-m+0廣+0的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得s的取值

j4

范圍.

本題主要考查了正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】也弓<m<苧或租=1}

【解析】解：因為f(%)=acos2x+A/1—a2s譏2%=sin(2%+(p),

又函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線第=:對稱，且0<aV1,

所以/(5)=acos+V1—a2sin^=1—a2=1，

函數(shù)y=Asin(a)x+9)在其圖象的對稱軸處取得最值，

所以/(%)=cos2x+1sin2x=sin(2x+|).

當(dāng)％e[0幣時，2%+江轉(zhuǎn)],

令t=2x+強WtW第，g(t)=Sint(^<t<y)，

作出g(t)的圖象，如圖所示，因為方程“久)=小(6€/?)在[0,§上恰有兩個實數(shù)根，

所以g(t)的圖象與直線y=機在g,篇上恰有一個交點，

由圖可知＜m＜亨或m=1,即6的取值范圍是{小哇＜m＜苧或m=1}.

結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性求出a,再由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

15.【答案】x=1；

%=0時，/(%)取到最大值4；X=票寸，f⑺取到最小值1-2展.

【解析】解：(1),?,向量五=(cos%,sin%),b=(3,—V-3),xE[0,TT],alb,

???3cosx—y/~3sinx=0.

若cos%=0,

貝Us譏％=0,與sin?%+cos2x=1矛盾，故cos%W0.

于是tern%=V-3,又久G[O,TT],x=與；

(2)/(%)=a-K+l

=(cosx,sinx)?(3,—V-3)+1

=3cosx—yTisinx+1

=2/3cos(x+$+1(或/(%)=-2/3sin(x-1)+1或其它表達(dá)式)，

???XG[0,7T],%+*E

-1＜cos(x+7)＜?，

oZ

二當(dāng)x+看=，即X=0時，fO)取到最大值4；

當(dāng)x+，=兀，即乂=?^時，/(%)取到最小值1-2，^.

(1)根據(jù)向量垂直的性質(zhì)求解即可；

(2)根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

本題主要考查向量的數(shù)量積，考查計算能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：⑴由題意，OM=1,設(shè)4(物,媒)，

S404M=g，且a為銳角,

c1/5

^LOAM=2°M-yA—~jyA=丁，

2/5

.■yA2/5k—.2收

???sincr=寸=—^—,cosa=v1—sinza=—,

又點8的縱坐標(biāo)是叫，￡為鈍角，

二在單位圓上，y==-^->r=1>

???si印十各。sS十一第

???cos(cr—/?)=cosacos^+sinasin^

757/227572

F'J丁)+亍義而

=------

10'

(2)vcos2a=2cos2a—1=2x(^)2—1=—|,

.c2<5<54

sin2na=2sina-cosa=2x—^―x—=-,

???2aG(》")，

?”嗎㈤,

???2a-pE(一捐)

???sin(2a—/?)=sin2a?cos/?—cos2a?sin/?

4,7<1、，3、VI/2

，X(F)—C=F

故2a_S=一弓

4

【解析】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中

檔題.

(1)根據(jù)。M=LS^0AM=利用三角形面積的公式求解出”的縱坐標(biāo)，即可得s譏a和cosa,又點B的縱

坐標(biāo)是余，求出si九/?和cos/?,即可求出cos(a-/?)的值.

(2)根據(jù)(1)中sina和cosa,s譏￡和cos￡的值，通過二倍角公式化簡，可得2a一夕的值.

17.【答案】600兀平方米;

①S(a)=1200<3sin(2a+》-600<3(0<a<^)；

(ii)當(dāng)a=狎，S(a)取得最大值600門平方米.

【解析】解：(1)依題意，/-MON=p扇形半徑。M=60米，

則扇形OMN的面積為Tx^x602=600兀(平方米)；

(2)(2)在Rt△OBC中，BC=60s譏a,OB=60cosaf

在RtAOAO中，AD=BC=60sina,則。力=瑞=苧x60sina,

???AB=OB—OA=60cosa—2073s譏a,

則矩形ABC。的面積S(a)=AB?BC=60sina(60cosa—20V^sincr)

l「廣□1

=1200v3(v3smacos?a—sin2a)=1200y/3(—sin2a+^cos2a—

=1200/3sin(2a+”-600/3(0VaV》

即有S(a)=1200/3sin(2a+1-600/3(0VaV[)；

(ii)由。<a<?得’<20+然注則當(dāng)2a+，=3，

o666bZ

即a建時，[S(a)]max=600V3.

.?.當(dāng)a=?時，S(a)取得最大值，最大值為600V3平方米.

(1)由扇形的面積公式，可得所求；

(2)(i)由解直角三角形和矩形的面積公式，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，可得所求；

(ii)由正弦函數(shù)的最值，可得所求最大值.

本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)因為2cos4(ccosB+bcosC)=a,

由正弦定理得：2cosA(sinCcosB+sinBcosC)—2cosAsinQB+C)=2cosAsinA—sinA,

又在AaBC中，Ae(0,7t),所以sbM大0,

-1

所以cosA=

所以/=梟

(2)結(jié)合(1)可得sitiA-B+C=7i—A=

由a=腌，則根據(jù)正弦定理：急=焉=表=2,

可得力=2sinB,c=2sinC,

根據(jù)余弦定理有a2=b2+c2-IbccosA,得接+c2=3+6c,

所以廬+c2+3bc=3+4bc=3+16sinBsinC=3+16sinBsin(^-—B)

=3+&T^sinBcosB+8sin2B=7+4yJ~3sin2B—4cos2B=7+8sin(2B—g),

6

又△ABC為銳角三角形，

’0<B

可得M/

0<c=學(xué)一B

、JN

得Be(葭),

所以2B-注管片)，

所以sin(2B—EG，1],

故+?2+3兒=7+8sin(2B-^)G(11,15].

【解析】(1)先利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合和差公式整理即可得cosA的值，進(jìn)而即可求解4

(2)結(jié)合(1),先根據(jù)正弦定理得b=2sinB,c=2sinC,再根據(jù)余弦定理得爐+c2=3+be,從而可得到

b2+c2+3bc=7+8sin(2S-,結(jié)合題意可得到B的取值范圍，從而確定2B-的取值范圍，再結(jié)合正

弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，銳角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：(l)a>0時，f(x)是下凸函數(shù)，a<0時，f(久)是上凸函數(shù)；

。(久)是上凸函數(shù)；

(2)由(1)知函數(shù)y=s譏x,久€(0,兀)上是凸函數(shù)，

在小ABC^A+S+C=7T,

所以sin2+sinB+sin(2+