專題17圖形的平移，旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。 02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（3大模塊知識(shí)梳理）知識(shí)模塊一：圖形的平移知識(shí)模塊二：圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)模塊三：圖形的軸對(duì)稱與中心對(duì)稱03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（8大基礎(chǔ)考點(diǎn)）考點(diǎn)一：軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，平移，旋轉(zhuǎn)的識(shí)別考點(diǎn)二：利用平移的性質(zhì)求解考點(diǎn)三：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解考點(diǎn)四：利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解考點(diǎn)五：利用中心對(duì)稱的性質(zhì)求解考點(diǎn)六：用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱作圖考點(diǎn)七：利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案考點(diǎn)八：與坐標(biāo)系有關(guān)的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題04破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（5大重難點(diǎn)）重難點(diǎn)一：與三角形有關(guān)的折疊問題重難點(diǎn)二：與特殊平行四邊形有關(guān)的折疊問題重難點(diǎn)三：與函數(shù)圖象有關(guān)的折疊問題重難點(diǎn)四：利用軸對(duì)稱求最值重難點(diǎn)五：旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之線段、線段問題05辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）HYPERLINK知識(shí)模塊二：圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)模塊三：圖形的軸對(duì)稱與中心對(duì)稱03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（8大基礎(chǔ)考點(diǎn)）考點(diǎn)一：軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，平移，旋轉(zhuǎn)的識(shí)別考點(diǎn)二：利用平移的性質(zhì)求解考點(diǎn)三：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解考點(diǎn)四：利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解考點(diǎn)五：利用中心對(duì)稱的性質(zhì)求解考點(diǎn)六：用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱作圖考點(diǎn)七：利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案考點(diǎn)八：與坐標(biāo)系有關(guān)的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題04破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（5大重難點(diǎn)）重難點(diǎn)一：與三角形有關(guān)的折疊問題重難點(diǎn)二：與特殊平行四邊形有關(guān)的折疊問題重難點(diǎn)三：與函數(shù)圖象有關(guān)的折疊問題重難點(diǎn)四：利用軸對(duì)稱求最值重難點(diǎn)五：旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之線段、線段問題05辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）HYPERLINK\l"_易錯(cuò)點(diǎn)1：_判斷軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形時(shí)出錯(cuò)"易錯(cuò)點(diǎn)1：判斷軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形時(shí)出錯(cuò)HYPERLINK\l"_易錯(cuò)點(diǎn)2："易錯(cuò)點(diǎn)2：未對(duì)旋轉(zhuǎn)方向進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致漏解知識(shí)模塊一：圖形的平移知識(shí)點(diǎn)一：平移的定義平移的定義：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，圖形這種移動(dòng)叫做平移．它是由移動(dòng)方向和距離決定的.知識(shí)點(diǎn)二：平移的性質(zhì)1）平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置，因此平移前后的兩個(gè)圖形全等.2）平移前后對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等、對(duì)應(yīng)角相等.3）任意兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離就是平移的距離.知識(shí)點(diǎn)三：平移作圖的步驟1）定：根據(jù)題目要求，確定平移的方向和距離；2）找：找出確定圖形形狀的關(guān)鍵點(diǎn)；3）移：過這些關(guān)鍵點(diǎn)作與平移方向平行的射線，在射線上截取與平移的距離相等的線段，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4）連：按原圖順序依次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn).【注意】確定一個(gè)圖形平移后的位置需要三個(gè)條件：①圖形原位置；②平移的方向；③平移的距離.知識(shí)模塊二：圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)一：旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫旋轉(zhuǎn)．這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的這個(gè)角叫做旋轉(zhuǎn)角．旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．知識(shí)點(diǎn)二：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2）每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．知識(shí)點(diǎn)三：旋轉(zhuǎn)作圖的步驟1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．知識(shí)模塊三：圖形的軸對(duì)稱與中心對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)一：軸對(duì)稱與中心對(duì)稱類別軸對(duì)稱中心對(duì)稱定義把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn).如果一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與另一個(gè)圖形重合，我們就把這兩個(gè)圖形叫做成中心對(duì)稱.性質(zhì)1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分；2）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；3）只有一條對(duì)稱軸.1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分；2）成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；3）只有一個(gè)對(duì)稱中心.知識(shí)點(diǎn)二：軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形類別軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形定義如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.這條直線就是它的對(duì)稱軸.如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心.性質(zhì)1）有對(duì)稱軸;2）將圖形沿對(duì)稱軸折疊后，對(duì)稱軸兩旁的部分完全重合.1)有對(duì)稱中心;2)將圖形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合.考點(diǎn)一：軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，平移，旋轉(zhuǎn)的識(shí)別1．（2023·湖南郴州·中考真題）下列圖形中，能由圖形a通過平移得到的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)平移的定義：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)，這種圖形的平行移動(dòng)，叫做平移變換，結(jié)合各選項(xiàng)所給的圖形即可作出判斷．【詳解】解：觀察圖形可知，B中圖形能由圖形a通過平移得到，A，C，D均不能由圖形a通過平移得到；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平移．熟練掌握平移的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．（2024·江蘇徐州·中考真題）古漢字“雷”的下列四種寫法，可以看作軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．（2024·山西·中考真題）1949年，伴隨著新中國的誕生，中國科學(xué)院（簡稱“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的圖標(biāo)，其文字上方的圖案是中心對(duì)稱圖形的是（

）A．山西煤炭化學(xué)研究所 B．東北地理與農(nóng)業(yè)生態(tài)研究所C．西安光學(xué)精密機(jī)械研究所 D．生態(tài)環(huán)境研究中心【答案】A【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的定義，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．【詳解】解：A．是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B．不中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．考點(diǎn)二：利用平移的性質(zhì)求解4．（2024·山東東營·中考真題）如圖，將△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△DEF的周長為24cm，則四邊形ABFD的周長為【答案】30【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)、三角形周長等知識(shí)點(diǎn)，掌握平移的性質(zhì)及等量代換成為解題的關(guān)鍵．由平移的性質(zhì)可得AD=BE=3cm,DE=AB,再根據(jù)△DEF的周長為24cm可得【詳解】解：∵將△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC∴AD=BE=3cm,DE=AB∵△DEF的周長為24cm∴DE+EF+DF=24,即AB+EF+DF=24，∴四邊形ABFD的周長為AB+BF+DF+AD=AB+BE+EF+DF+AD=AB+EF+DF故答案為：30．5．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，將△ABC沿其底邊中線AD向下平移，使A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'滿足AA'【答案】439【分析】本題考查平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三線合一，根據(jù)平移的性質(zhì)，推出△A'EF∽△A'【詳解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∵AD為中線，∴AD⊥BC，BD=CD，∴AD=12AB=1∴BC=23∵將△ABC沿其底邊中線AD向下平移，∴B'C'∴△A∴EFB∵AA∴DA∴EFB∴EF=2∴S陰影故答案為：436．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”．將某“和點(diǎn)”平移，每次平移的方向取決于該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時(shí)，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時(shí)，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時(shí)，向左平移），每次平移1個(gè)單位長度．例：“和點(diǎn)”P2,1按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點(diǎn)P3若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)Q16?1,9，則點(diǎn)A．6,1或7,1 B．15,?7或8,0 C．6,0或8,0 D．5,1【答案】D【分析】本題考查了坐標(biāo)內(nèi)點(diǎn)的平移運(yùn)動(dòng)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，利用反向運(yùn)動(dòng)理解是解決本題的關(guān)鍵．先找出規(guī)律若“和點(diǎn)”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時(shí)，先向右平移1個(gè)單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，按照Q16的反向運(yùn)動(dòng)理解去分類討論：①Q(mào)16先向右1個(gè)單位，不符合題意；②Q16先向下1個(gè)單位，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時(shí)，共計(jì)向下平移了8次，向右平移了7次，此時(shí)坐標(biāo)為6,1，那么最后一次若向右平移則為7,1【詳解】解：由點(diǎn)P32,2可知橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，繼而向上平移1個(gè)單位得到P42,3，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為2，繼而向左平移1個(gè)單位得到若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)Q16?1,9，則按照“和點(diǎn)”①Q(mào)16先向右1個(gè)單位得到Q150,9②Q16先向下1個(gè)單位得到Q15?1,8，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，則應(yīng)該向上平移1個(gè)單位得到Q16，故符合題意，那么點(diǎn)Q16先向下平移，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時(shí)，共計(jì)向下平移了8次，向右平移了7次，此時(shí)坐標(biāo)為?1+7,9?8，即6,1故選：D．考點(diǎn)三：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解7．（2024·湖北·中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是?4,6，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．4,6 B．6,4 C．?6,?4 D．?4,?6【答案】B【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化?旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，再結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：如圖所示，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足分別為M和N，由旋轉(zhuǎn)可知，OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°，∴∠A=∠BON．在△AOM和△OBN中，∠A=∠BON∠AMO=∠ONB∴△AOM≌△OBN(AAS∴BN=MO，ON=AM．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?4,6)，∴BN=MO=4，ON=AM=6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,4)．故選：B．8．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，△ABC中，AB=BC=1，∠C=72°．將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C'與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)C'恰好落在BC邊上，下列結(jié)論：①點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是1A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得各角的度數(shù)，再逐一判斷各項(xiàng)，即可求解．【詳解】解：∵AB=BC，∠C=72°，∴∠BAC=∠C=72°，∠ABC=180°?2∠C=36°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AB'C=∠ABC=36°，∠B'AC∴∠AC∴∠CAC∴∠CAC∴∠B由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB∴∠ABB①點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是36π?1180②∵∠B'AB=∠ABC=36°③∵∠DC∴∠DC∴BD=C④∵∠BB'D=∠ABC=36°∴△B∴ABAC綜上，①②③④都是正確的，故選：A．9．（2024·山東德州·中考真題）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點(diǎn)D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），以點(diǎn)D為中心，將線段DC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線DE．(1)如圖1，當(dāng)∠ACD=15°時(shí)，求∠BDE的度數(shù)；(2)如圖2，連接BE，當(dāng)0°<∠ACD<90°時(shí)，∠ABE的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，∠ABE的度數(shù)；如果變化，請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，點(diǎn)M在CD上，且CM:MD=3:2，以點(diǎn)C為中心，將線CM逆時(shí)針轉(zhuǎn)120°得到線段CN，連接EN，若AC=4，求線段EN的取值范圍．【答案】(1)75°(2)∠ABE的大小不發(fā)生變化，∠ABE=30°，理由見解析(3)4【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CDE=120°，由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理得到∠A=30°，由三角形外角的性質(zhì)得∠BDC=45°，進(jìn)而可求出∠BDE的度數(shù)；（2）連接CE交BD于點(diǎn)O，證明△BOC∽△EOD得OCOB=ODOE，再證明（3）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，求出∠A=30°，則CH=12AC=2；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CDE=120°，CD=DE，∠MCN=120°，CM=CN，設(shè)CD=DE=5x，則CM=CN=3x；如圖所示，過點(diǎn)D作DG⊥CE于G，則可得到DG=12DC=52x，CE=2CG，由勾股定理得CG=【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CDE=120°．∵AC=BC，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=180°?∠ACB∵∠ACD=15°，∴∠BDC=∠ACD+∠A=30°+15°=45°，∴∠BDE=∠CDE?∠BDC=120°?45°=75°；（2）解：∠ABE的大小不發(fā)生變化，∠ABE=30°，理由如下：連接CE交BD于點(diǎn)O，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CDE=120°，CD=DE，∴∠DCO=∠DEO=180°?∠CDE∴∠DEO=∠ABC=30°，又∵∠BOC=∠EOD，∴△BOC∽△EOD，∴OC∴OCOB∵∠COD=∠BOE，∴△COD∽△BOE，∴∠ABE=∠DCO=30°；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵AC=BC，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=180°?∠ACB∵CH⊥AB，∴CH=1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CDE=120°，CD=CE，∠MCN=120°，設(shè)CD=DE=5x，∵CM:MD=3:2，∴CM=CN=3如圖所示，過點(diǎn)D作DG⊥CE于G，∵∠CDE=120°，CD=CE，∴∠DCO=∠DEO=180°?∠CDE∵DG⊥CE，∴DG=12DC=在Rt△CDG中，由勾股定理得CG=∴CE=53∵∠DCE=30°，∴∠ECN=120°?30°=90°，在Rt△ECN中，由勾股定理得E==84x∴EN=221x或EN=?221x∵點(diǎn)D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），∴CG≤CD<AC，即2≤5x<4，∴25∴421【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四：利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解10．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為3,4，點(diǎn)D在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△ABD與△ABC全等，點(diǎn)D的坐標(biāo)是．【答案】1,4【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，三角形全等的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)D在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△ABD與△ABC全等，畫出圖形，結(jié)合圖形的對(duì)稱性可直接得出D1,4【詳解】解：∵點(diǎn)D在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△ABD與△ABC全等，∴AD=BC，AC=BD，∴可畫圖形如下，由圖可知點(diǎn)C、D關(guān)于線段AB的垂直平分線x=2對(duì)稱，則D1,4故答案為：1,4．11．（2024·福建·中考真題）小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，OE⊥OF．下列推斷錯(cuò)誤的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°【答案】B【分析】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；A.由對(duì)稱的性質(zhì)得∠AOB=∠DOC，由等腰三角形的性質(zhì)得∠BOE=12∠AOBB.∠BOC不一定等于∠AOB，即可判斷；C.由對(duì)稱的性質(zhì)得△OAB≌△ODC，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；D.過O作GM⊥OH，可得∠GOD=∠BOH，由對(duì)稱性質(zhì)得∠BOH=∠COH同理可證∠AOM=∠BOH，即可判斷；掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠BOF=90°，由對(duì)稱得∠AOB=∠DOC，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，△OAB與△ODC都是等腰三角形，∴∠BOE=12∠AOB∴∠BOF+∠DOF=90°，∴OB⊥OD，結(jié)論正確，故不符合題意；B.∠BOC不一定等于∠AOB，結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意；C.由對(duì)稱得△OAB≌△ODC，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，∴OE=OF，結(jié)論正確，故不符合題意；D.過O作GM⊥OH，∴∠GOD+∠DOH=90°，∵∠BOH+∠DOH=90°，∴∠GOD=∠BOH，由對(duì)稱得∠BOH=∠COH，∴∠GOD=∠COH，同理可證∠AOM=∠BOH，∴∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOM+∠DOG=180°，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．12．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC=16，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)B關(guān)于直線DE的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B'，連接DB'，EB'，分別與AC相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若AF=8

【答案】4.5【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角和折疊的性質(zhì)證明∠A=∠B'，進(jìn)而證明△AFD∽△B'FG，則AF【詳解】解：∵AC=BC=16，∴∠A=∠B，由折疊的性質(zhì)可得∠B=∠B∴∠A=∠B又∵∠AFD=∠B∴△AFD∽△B∴AFB'F∴GF=3.5，∴CG=AC?AF?GF=4.5，故答案為：4.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角等等，證明△AFD∽△B考點(diǎn)五：利用中心對(duì)稱的性質(zhì)求解13．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點(diǎn)M在邊AF上，且AM=2，若經(jīng)過點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長是．【答案】4【分析】本題考查的是勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，正多邊形的知識(shí)，掌握“正六邊形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形”是解本題的關(guān)鍵．如圖，連接AD,CF，交于點(diǎn)O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對(duì)稱圖形可得：S四邊形ABCO=S四邊形DEFO，由正六邊形是中心對(duì)稱圖形可得：【詳解】解：如圖，連接AD，CF，交于點(diǎn)O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對(duì)稱圖形可得：S四邊形由正六邊形是中心對(duì)稱圖形可得：S△AOM∴直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心．由正六邊形的性質(zhì)可得：∠AOF=360°÷6=60°，∴△AOF為等邊三角形，∴∠AFO=60°，AF=OF=OA，∵AB=6，OP⊥AF，∴AB=AF=OF=OA=6，AP=FP=3，∴OP=6∵AM=2，則MP=1，∴OM=∴MH=2OM=47故答案為：4714．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分，當(dāng)菱形的兩條對(duì)角線的長分別為8和15時(shí)，則陰影部分的面積為．【答案】30【分析】本題考查了中心對(duì)稱、菱形的性質(zhì)；熟記菱形的性質(zhì)并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半求出面積，再根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖所示：∵菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長分別為8和15，∴菱形ABCD的面積=1∵O是菱形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，菱形ABCD是中心對(duì)稱圖形，∴△OEG≌△OFH，四邊形OMAH≌四邊形ONCG，四邊形OEDM≌四邊形OFBN，∴陰影部分的面積=1故答案為30．15．（2024·陜西咸陽·三模）如圖，分別以平行四邊形ABCD的邊AB和CD為直角邊，向平行四邊形ABCD內(nèi)作等腰Rt△ABE和等腰Rt△CDF，在△ABE的斜邊AE、△CDF的斜邊CF上分別取點(diǎn)N、M，連接EM、FN，四邊形EMFN為正方形，若平行四邊形ABCD的面積為4，則△ABE的面積為

【答案】1【分析】本題考查了中心對(duì)稱的性質(zhì)以及平行四邊形的面積問題，先結(jié)合題意“以平行四邊形ABCD的邊AB和CD為直角邊，向平行四邊形ABCD內(nèi)作等腰Rt△ABE和等腰Rt△CDF，在△ABE的斜邊AE、△CDF的斜邊CF上分別取點(diǎn)N、M，連接EM、FN，四邊形EMFN為正方形，”得出整個(gè)圖形是以點(diǎn)【詳解】解：連接EF，并延長分別交AD，BC于兩點(diǎn)為G，H，連接MN與

∵分別以平行四邊形ABCD的邊AB和CD為直角邊，向平行四邊形ABCD內(nèi)作等腰Rt△ABE和等腰Rt△CDF，在△ABE的斜邊AE、△CDF的斜邊CF上分別取點(diǎn)N、M，連接EM、FN，四邊形∴整個(gè)圖形是以點(diǎn)O為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，∴S四邊形則△ABE的面積=1故答案為：1．考點(diǎn)六：用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱作圖16．（2023·江蘇·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，AB=DE，

(1)求證：△ABC≌(2)點(diǎn)P、Q分別是△ABC、△DEF的內(nèi)心．①用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)Q（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②連接PQ，則PQ與BE的關(guān)系是________．【答案】(1)見解析(2)①見解析

②PQ【分析】本題主要考查全等三角形的判定、圖形的平移，牢記全等三角形的判定方法和圖形平移的性質(zhì)（連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行或在同一條直線上）是解題的關(guān)鍵．（1）可證得BC=EF，結(jié)合AB=DE，AC=DF即可證明結(jié)論．（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)，因此只需作出任意兩個(gè)角的角平分線，其交點(diǎn)即為所求．②因?yàn)椤鰽BC≌△DEF，所以△DEF可看作由△ABC平移得到，點(diǎn)Q，點(diǎn)P為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B，點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，據(jù)此即可求得答案．【詳解】（1）∵BE=CF，BC=BE+EC，EF=CF+EC，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中AB=DE∴△ABC≌△DEF．（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)，作∠DEF，∠DFE的角平分線，其交點(diǎn)即為點(diǎn)Q．

②因?yàn)椤鰽BC≌△DEF，所以△DEF可看作由△ABC平移得到，點(diǎn)Q，點(diǎn)P為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B，點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)平移的性質(zhì)可知PQ∥故答案為：PQ∥17．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=5，AD=32，∠A=45°

(1)求出對(duì)角線BD的長；(2)尺規(guī)作圖：將四邊形ABCD沿著經(jīng)過A點(diǎn)的某條直線翻折，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)E處，請(qǐng)作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)13(2)作圖見解析【分析】（1）連接BD，過D作DF⊥AB于F，如圖所示，由勾股定理先求出AF=DF=AD2=3，在Rt△（2）連接EB，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，過點(diǎn)A尺規(guī)作圖作線段EB的垂直平分線即可得到答案．【詳解】（1）解：連接BD，過D作DF⊥AB于F，如圖所示：

∵在?ABCD中，AD=32，∠A=45°，∴AF=DF=AD∵AB=5，∴BF=AB?AF=5?3=2，在Rt△BDF中，∠BFD=90°，DF=3，BF=2，則BD=（2）解：如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形背景下求線段長，涉及勾股定理、尺規(guī)作圖作線段垂直平分線，熟練掌握勾股定理求線段長及中垂線的尺規(guī)作圖是解決問題的關(guān)鍵．18．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上．(1)以點(diǎn)A為中心將△ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到△AB1C(2)將△ABC向右平移7個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到△A2B(3)連接B1B2，利用網(wǎng)格作出線段B【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的作圖、平移的作圖等知識(shí)，熟練掌握作圖方法和網(wǎng)格的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）找出以點(diǎn)A為中心將△ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1（2）將△ABC向右平移7個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2（3）利用網(wǎng)格的特點(diǎn)找到到點(diǎn)P即可．【詳解】（1）解：如圖，△AB（2）解：如圖，△A（3）解：如圖，點(diǎn)P即為所求．（作圖方法不唯一）：19．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）按下列要求在如圖的格點(diǎn)中作圖：(1)作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的△A1B1C1（A，(2)以點(diǎn)C為位似中心，作出△ABC放大兩倍的△A2B2C（A【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題主要考查了位似變換以及中心對(duì)稱，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．（1）直接利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出答案；（2）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）如圖所示：△A（2）如圖所示：△A考點(diǎn)七：利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案20．（2023·山東棗莊·中考真題）（1）觀察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，老師向同學(xué)們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請(qǐng)你結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí)，觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫出三個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征：___________，___________．

（2）動(dòng)手操作：請(qǐng)?jiān)趫D④中設(shè)計(jì)一個(gè)新的圖案，使其滿足你在（1）中發(fā)現(xiàn)的共同特征．

【答案】（1）觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，且面積相等；（2）見解析【分析】（1）應(yīng)從對(duì)稱方面，陰影部分的面積等方面入手思考；（2）應(yīng)畫出既是軸對(duì)稱圖形，且面積為4的圖形．【詳解】解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，且面積相等；故答案為：觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，且面積相等；（2）如圖：

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱圖形設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是掌握利用軸對(duì)稱的作圖方法來作圖，通過變換對(duì)稱軸來得到不同的圖案．21．（2022·四川廣安·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師組織同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)多姿多彩的幾何圖形，下圖都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格圖中有3個(gè)小等邊三角形已涂上陰影，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谟嘞碌目瞻仔〉冗吶切沃羞x取一個(gè)涂上陰影，使得4個(gè)陰影小等邊三角形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形或中心對(duì)稱圖形，請(qǐng)畫出4種不同的設(shè)計(jì)圖形．規(guī)定：凡通過旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形）【答案】見解析【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義、中心對(duì)稱圖形的定義畫出圖形即可【詳解】解：如下圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．22．（2024·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）如圖是在北京舉辦的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)“弦圖”．請(qǐng)將“弦圖”中的四個(gè)直角三角形通過你所學(xué)過的圖形變換，在以下方格紙中按要求設(shè)計(jì)另外四個(gè)不同的圖案．作圖要求：①每個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)均在方格紙的格點(diǎn)上，且四個(gè)三角形互不重疊；②所設(shè)計(jì)的圖案（不含方格紙）經(jīng)過變換后與其它圖案相同的視為一種設(shè)計(jì)．【答案】見解析【分析】本題考查利用旋轉(zhuǎn)或者軸對(duì)稱設(shè)計(jì)方案的知識(shí)．根據(jù)軸對(duì)稱圖形及中心對(duì)稱圖形的概念，設(shè)計(jì)圖案即可．【詳解】解：所畫圖形如圖所示．．23．（2024·四川廣安·二模）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1．請(qǐng)你認(rèn)真觀察圖1中的三個(gè)網(wǎng)格中的黑色部分構(gòu)成的圖案，解答下列問題：(1)這三個(gè)圖案都具有以下共同特征：都是______對(duì)稱圖形，都不是______對(duì)稱圖形；(2)在圖2中選一個(gè)白色的小正方形并涂黑，使圖2中黑色部分是軸對(duì)稱圖形；(3)請(qǐng)?jiān)趫D3中設(shè)計(jì)出一個(gè)面積為4的圖案，且具備（1）中的特征（不與圖1中所給圖案相同）．【答案】(1)中心，軸(2)圖見解析(3)圖見解析【分析】本題考查圖形與變換，掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形的特點(diǎn)，繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，進(jìn)行作圖即可；（3）畫出一個(gè)面積為4的平行四邊形即可．【詳解】（1）解：這三個(gè)圖案都具有以下共同特征：都是中心對(duì)稱圖形，都不是軸對(duì)稱圖形；故答案為：中心，軸；（2）如圖，（3）如圖，由圖可知，圖形是平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，且2×2=4，符合題意．考點(diǎn)八：與坐標(biāo)系有關(guān)的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題24．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?3,1，B?1,3，將線段AB平移得到線段CD．若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C1,2，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D【答案】3,4【分析】此題主要考查了點(diǎn)的平移規(guī)律與圖形的平移，關(guān)鍵是掌握平移規(guī)律，左右移，縱不變，橫減加，上下移，橫不變，縱加減．根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)加上了1，縱坐標(biāo)加1，則B的坐標(biāo)的變化規(guī)律與A點(diǎn)相同，即可得到答案．【詳解】解：∵A?3,1平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)加上了4，縱坐標(biāo)加1，∵B?1,3∴點(diǎn)D坐標(biāo)為?1+4,3+1，即3,4，故答案為：3,4．25．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A3,0，B0,2，過點(diǎn)B作y軸的垂線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO，PA，則PO+PA的最小值為【答案】5【分析】本題考查軸對(duì)稱—最短問題以及勾股定理和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)．先取點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連A'O交直線l于點(diǎn)C，連AC，得到AC=A'C，A'A⊥l，再由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，得到當(dāng)【詳解】解：取點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連A'O交直線l則可知AC=A'C∴PO+PA=PO+PA即當(dāng)O,P,A'三點(diǎn)共線時(shí)，PO+PA的最小值為∵直線l垂直于y軸，∴A'∵A3,0，B∴AO=3,AA∴在Rt△A'故答案為：526．（2024·湖北·中考真題）平面坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4,6，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（

A．4,6 B．6,4 C．?4,?6 D．?6,?4【答案】B【分析】本題考查坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)．過點(diǎn)A和點(diǎn)A'分別作x軸的垂線，證明△AOB≌△OA'CAAS【詳解】解：過點(diǎn)A和點(diǎn)A'分別作x軸的垂線，垂足分別為B∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4,6，∴OB=4，AB=6，∵將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OA∴OA=OA'，∴∠AOB=90°?∠A∴△AOB≌△OA∴A'C=OB=4，∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為6,4故選：B．27．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于原點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,1，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．【答案】?2,?1【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分，得到A,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于原點(diǎn)O，∴OA=OC，∴A,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是?2,?1；故答案為：?2,?1．重難點(diǎn)一：與三角形有關(guān)的折疊問題1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在紙片△ABC中，∠C=90°,∠B=60°，點(diǎn)D，E分別在邊AB,AC上，且AD=AE，將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，則BD:CE=（A．3:2 B．3:2 C．23:3【答案】D【分析】本題考查勾股定理與折疊，30°直角三角形的性質(zhì)，由折疊可得∠FED=∠AED=75°，AD=AE=EF，即可得到∠FEC=30°，再分別在Rt△ABC和Rt△EFC利用【詳解】解：∵∠C=90°,∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC，AC=A∴AB=2∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=180°?∠A∵將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，∴∠FED=∠AED=75°，AD=AE=EF，∴∠FEC=180°?∠FED?∠AED=30°，∴EF=2FC，EC=E∴AD=AE=EF=2FC，∴AC=AE+EC=2+∴AB=2∴BD=AB?AD=6+4∴BD:CE=4故選：D．2．（2024·四川·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，折疊△ABC，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕DE與AB交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，則CE的長為【答案】3【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．設(shè)CE=x，則AE=BE=8?x，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)，得AE=BE，設(shè)CE=x，則AE=BE=8?x，由勾股定理，得BC∴42解得x=3.故答案為：3．3．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,CA=CB=3，點(diǎn)D在邊BC上．將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，連接BC'，則

【答案】3【分析】由折疊性質(zhì)可知AC=AC【詳解】解：∵∠C=90°,CA=CB=3，∴AB=A由折疊的性質(zhì)可知AC=AC∵BC∴當(dāng)A、C'、B三點(diǎn)在同一條直線時(shí)，BC'故答案為32【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)二：與特殊平行四邊形有關(guān)的折疊問題1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿邊EF折疊，使點(diǎn)D在邊BC中點(diǎn)M處．若AB=4，BC=6，則CF=．【答案】78/【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理列出關(guān)于x的方程．由矩形的性質(zhì)推出CD=AB=4，∠C=90°，由線段中點(diǎn)定義得到CM=12BC=3，由折疊的性質(zhì)得到：MF=DF，設(shè)FC=x，由勾股定理得到4?x2=【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，∠C=90°，∵M(jìn)是BC中點(diǎn)，∴CM=1由折疊的性質(zhì)得到：MF=DF，設(shè)FC=x，∴FD=4?x，∴MF=4?x，∵M(jìn)F∴4?x2∴x=7∴FC=7故答案為：782．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，在菱形紙片ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點(diǎn)B落在B'處，CB'⊥AD，垂足為F

若CF=4cm，【答案】257/【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，和三角形的相似判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵CF=4cm，∴CB由翻折，菱形的性質(zhì)，得：CB=CD=CB'=5cm，∵CB∴CB∴∠BCB∴∠BCE=∠B∵CD=5，∴FD=3，過點(diǎn)E作EG⊥BC，設(shè)CG=x，則EG=x，∵∠B=∠D，∠BGE=∠DFC，∴△EGB∽△CFD，∴EGCF∴x4解得：x=20∴BE=25故答案為：257【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·湖北·中考真題）在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊CD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，PG交BC于點(diǎn)H．(1)如圖1，求證：△DEP∽△CPH；(2)如圖2，當(dāng)P為CD的中點(diǎn)，AB=2，AD=3時(shí)，求GH的長；(3)如圖3，連接BG，當(dāng)P，H分別為CD，BC的中點(diǎn)時(shí)，探究BG與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)GH=(3)BG=6【分析】（1）證明對(duì)應(yīng)角相等，即可得到△EDP∽△PCH；（2）根據(jù)△EDP∽△PCH，求得PH的長度，從而得出GH長度；（3）延長AB，PG交于一點(diǎn)M，連接AP，先證明△MBH≌△PCH，得到相等的邊，再根據(jù)△BMG∽△MAP，得出大小關(guān)系．【詳解】（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠1+∠3=90°，∵E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對(duì)稱點(diǎn)P落在DC上，∴∠EPH=∠A=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3=∠2，∴△EDP∽△PCH；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠A=∠D=∠C=90°，∵P為CD中點(diǎn)，∴DP=CP=1設(shè)EP=AE=x，∴ED=AD?x=3?x，在Rt△EDP中，E即x2解得x=5∴EP=AE=x=5∴ED=AD?AE=4∵△EDP∽△PCH，∴EDPC=EP∴PH=5∵PG=AB=2，∴GH=PG?PH=3（3）解：如圖，延長AB，PG交于一點(diǎn)M，連接AP，∵E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對(duì)稱點(diǎn)P落在CD上，∴AP⊥EF，BG⊥直線EF，∴BG∥AP，∵AE=EP，∴∠EAP=∠EPA，∴∠BAP=∠GPA，∴△MAP是等腰三角形，∴MA=MP，∵P為CD中點(diǎn)，∴設(shè)DP=CP=y，∴AB=PG=CD=2y，∵H為BC中點(diǎn)，∴BH=CH，∵∠BHM=∠CHP，∠CBM=∠PCH，∴△MBH≌△PCH(ASA∴BM=CP=y，HM=HP，∴MP=MA=MB+AB=3y，∴HP=1在Rt△PCH中，CH=∴BC=2CH=5∴AD=BC=5在Rt△APD中，AP=∵BG∥AP，∴△BMG∽△AMP，∴BGAP∴BG=6∴ABBG∴AB=6BG，即【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解題關(guān)鍵．重難點(diǎn)三：與函數(shù)圖象有關(guān)的折疊問題1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?2x2+bx+c與x軸相交于A1,0，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），頂點(diǎn)為(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，若C是y軸正半軸上一點(diǎn)，連接AC,CM．當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,12時(shí)，求證：(3)如圖2，連接BM，將△ABM沿x軸折疊，折疊后點(diǎn)M落在第四象限的點(diǎn)M'處，過點(diǎn)B的直線與線段AM'相交于點(diǎn)D，與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)E．當(dāng)BDDE=【答案】(1)y=?2(2)見解析(3)相等，理由見解析【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為M2,d，利用?b2a=?b2×?2（2）延長MC交x軸于點(diǎn)D，由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為y=?2x2+8x?6，求出M2,2，再利用待定系數(shù)法求出直線MC的解析式為y=34x+12，進(jìn)而求出D?23,0（3）過點(diǎn)D作DG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)G，利用拋物線解析式求出B3,0，求出OB=3,AB=2，根據(jù)OE∥DG，易證△BDG∽△BEO，得到BGOB=BDBE=DGOE，由BDDE=87，即BDBE=815，求出BG=8【詳解】（1）解：∵該拋物線的頂點(diǎn)為M2,d，即該拋物線的對(duì)稱軸為x=2∴x=?b∴b=8，將A1,0代入解析式y(tǒng)=?2x2∴c=?6，∴拋物線的解析式表達(dá)式為y=?2x（2）證明：如圖1，延長MC交x軸于點(diǎn)D，由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為y=?2x2+8x?6∴M2,2∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,1設(shè)直線MC的解析式為y=kx+bk≠0則12解得：b=∴直線MC的解析式為y=34x+∴x∴D?∵A1,0∴AD=5∴DM=?∵AD∴ADDM∵∠ADM=∠ADM，∴△ACD∽∴∠ACD=∠MAD，∵∠ACD+∠ACM=∠MAD+∠BAM=180°，∴∠ACM=∠BAM；（3）解：過點(diǎn)D作DG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)G，令?2x2+8x?6=0解得：x1根據(jù)題意得：B3,0∴OB=3,AB=2，∵DG⊥x軸，OE⊥x軸，∴OE∥∴△BDG∽∴BGOB∵BDDE=8∴BG=8∴OG=7∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為75由折疊的性質(zhì)得到M'設(shè)直線AM'的解析式為則?2=2m+n0=m+n解得：m=?2n=2∴直線AM'的解析式為∴y∴D7∴DG=4∴S△ABD∴S△∴3S△ABD=3×∴3S【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的解析式，折疊的性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形相似的綜合問題，二次函數(shù)與面積綜合問題，正確作出輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．2．（2024·天津·中考真題）將一個(gè)平行四邊形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O0,0，點(diǎn)A3,0，點(diǎn)B,C在第一象限，且(1)填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______；(2)若P為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸，沿直線l折疊該紙片，折疊后點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O'落在x軸的正半軸上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'．設(shè)①如圖②，若直線l與邊CB相交于點(diǎn)Q，當(dāng)折疊后四邊形PO'C'Q與?OABC重疊部分為五邊形時(shí)，O'C'與AB相交于點(diǎn)②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S，當(dāng)23≤t≤11【答案】(1)1,(2)①32<t<5【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出OC=AB=2，CB=OA=3，（2）①由折疊得∠OO'C'=∠AOC=60°，O'P=OP，再證明△EO'A是等邊三角形，運(yùn)用線段的和差關(guān)系列式化簡，BE=AB?AE=5?2t，考慮當(dāng)②根據(jù)①的結(jié)論，根據(jù)解直角三角形的性質(zhì)得出MP=3t，再分別以23≤t<1時(shí)，1≤t≤3【詳解】（1）解：如圖：過點(diǎn)C作CH⊥OA∵四邊形OABC是平行四邊形，OC=2,∠AOC=60°∴OC=AB=2∵CH⊥OA∴∠OCH=30°∴OH=∴CH=∴C∵CB=OA=3∴1+3=4∴B故答案為：1，3（2）解：①∵過點(diǎn)P作直線l⊥x軸，沿直線l折疊該紙片，折疊后點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O'落在x∴∠OO'C∴O∵A∴OA=3∴A∵四邊形OABC為平行四邊形，∴AB=OC=2，AB∥OC，∠∴△EO∴AE=A∵BE=AB?AE∴BE=AB?AE=2?∴BE=?2t+5；當(dāng)O'與點(diǎn)A此時(shí)AB與C'O'的交點(diǎn)為E與如圖：當(dāng)C'與點(diǎn)B此時(shí)AB與C'O'的交點(diǎn)為E與∴t的取值范圍為32②如圖：過點(diǎn)C作CH⊥OA由（1）得出C1，∴tan60°=MP∴MP=當(dāng)23≤t<1∴32>0∴在23≤t<1時(shí)，S=3∴23當(dāng)1≤t≤3S=1∴3>0，S隨著t∴在t=32時(shí)S=3×3∴當(dāng)1≤t≤32∵當(dāng)32<t<5∵由①得出△EO'∴AN=1∴tan∠EAO∴EN=S===?∵?∴開口向下，在t=?432×∴∴在32<t<∴S=?則在32<t<5當(dāng)52S=3∴?3<0，S隨著∴在52≤t≤114得出S=?3×∴在52≤t≤綜上：2【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．3．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D是直線y=axa>0上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)OD>OB，以線段BD為對(duì)角線作矩形ABCD，AD∥x軸．反比例函數(shù)y=kx【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（2）如圖2，把矩形ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,2時(shí)，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，連接AC交BD于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，AC長為半徑作⊙O．若OP=32，當(dāng)⊙O與△ABC的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k【答案】（1）證明見解析；（2）k=163；（3【分析】（1）設(shè)Bm,ma，則Am,km，用含m,k的代數(shù)式表示出（2）先由點(diǎn)B的坐標(biāo)和k表示出DC=k?2，再由折疊性質(zhì)得出2=DEBE，如圖，過點(diǎn)D作DH⊥y軸，過點(diǎn)B作BF⊥y軸，證出△DHE∽△EFB，由比值關(guān)系可求出HF=2+k（3）當(dāng)⊙O過點(diǎn)B時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)D作DH∥x軸交y軸于點(diǎn)H，求出k的值，當(dāng)⊙O過點(diǎn)A時(shí)，根據(jù)A，C關(guān)于直線OD對(duì)軸知，⊙O必過點(diǎn)C，如圖所示，連AO，CO，過點(diǎn)D作DH∥x軸交y軸于點(diǎn)H，求出k的值，進(jìn)而即可求出k的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)Bm,ma，則A∵AD∥x軸，∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為km，∴將y=km代入y=ax中得：∴x=k∴Dk∴Ck∴將x=kam代入y=k∴函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（2）∵點(diǎn)B1,2在直線y=ax∴a=2，∴y=2x，∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∵函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，∴Ck2，∴Dk∴DC=k?2，∵把矩形ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，∴BE=BC=k2?1∴DCBC如圖，過點(diǎn)D作DH⊥y軸，過點(diǎn)B作BF⊥y軸，∵AD∥x軸，∴H，A，D三點(diǎn)共線，∴∠HED+∠BEF=90°，∠BEF+∠EBF=90°，∴∠HED=∠EBF，∵∠DHE=∠EFB=90°，∴△DHE∽△EFB，∴DHEF∵BF=1，DH=∴HE=2，EF=k∴HF=2+k由圖知，HF=DC，∴2+k∴k=16（3）∵把矩形ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)E，A重合，∴AC⊥BD，∵四邊形ABCD為矩形，∴四邊形ABCD為正方形，∠ABP=∠DBC=45°，∴AB=BC=CD=DA=APsin45°=2∵BC∥x軸，∴直線y=ax為一，三象限的夾角平分線，∴y=x，當(dāng)⊙O過點(diǎn)B時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)D作DH∥x軸交y軸于點(diǎn)H，∵AD∥x軸，∴H，A，D三點(diǎn)共線，∵以點(diǎn)O為圓心，AC長為半徑作⊙O，OP=32∴OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=32∴AP=2∴AB=AD=2AP=2，BD=2AP=22∵AB∥y軸，∴△DHO∽△DAB，∴HOAB∴HO2∴HO=HD=4，∴HA=HD?DA=4?2=2，∴A2,4∴k=2×4=8，當(dāng)⊙O過點(diǎn)A時(shí)，根據(jù)A，C關(guān)于直線OD對(duì)軸知，⊙O必過點(diǎn)C，如圖所示，連AO，CO，過點(diǎn)D作DH∥x軸交y軸于點(diǎn)H，∵AO=OC=AC,∴△AOC為等邊三角形，∵OP⊥AC，∴∠AOP=1∴AP=tan30°×OP=3∴AB=AD=2AP=23，∵AB∥y軸，∴△DHO∽△DAB，∴HOAB∴HO2∴HO=HD=3+3∴HA=HD?DA=3+3∴A3?∴k=3?∴當(dāng)⊙O與△ABC的邊有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為6≤k≤8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)四：利用軸對(duì)稱求最值1．（2022·山東德州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E在BC上，CE=2，點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（

）

A．62 B．35 C．213【答案】C【分析】連接AM，AE，根據(jù)正方形的對(duì)稱性可得AM=CM，進(jìn)而可知EM+CM=EM+AM，再利用A，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，EM+AM的值最小，將EM+AM轉(zhuǎn)化為AE，最后運(yùn)用勾股定理即可解答．【詳解】如圖，連接AM，AE，∵A、C關(guān)于BD對(duì)稱，∴AM=CM，∴EM+CM=EM+AM當(dāng)A，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，EM+AM=AE的值最小，即EM+CM的值最小，∵AB=6，BE=BC?CE=4，由勾股定理得：AE=A即EM+CM的最小值為213故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用軸對(duì)稱解決最短路徑問題、勾股定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)，明確當(dāng)A，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，EM+AM有最小值是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠C=120°，AB=8，BC=10．E為邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，將△DEF沿EF翻折得△D'EF，連接AD'，B【答案】203?16【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AB=8，AB∥CD，∠ABC=60°，由折疊性質(zhì)得到ED'=DE=4，進(jìn)而得到點(diǎn)D'在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過E作EM⊥AB交AB延長線于M，交圓E于D'，此時(shí)D'到邊AB的距離最短，最小值為D'M的長，即此時(shí)△ABD【詳解】解：∵在?ABCD中，∠BCD=120°，AB=8，∴CD=AB=8，AB∥CD，則∵E為邊CD的中點(diǎn)，∴DE=CE=1∵△DEF沿EF翻折得△D∴ED∴點(diǎn)D'在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過E作EM⊥AB交AB延長線于M，交圓E于D'，此時(shí)D'到邊AB的距離最短，最小值為D過C作CN⊥AB于N，∵AB∥∴EM=CN，在Rt△BCN中，BC=10，∠CBN=60°∴CN=BC?sin∴D'∴△ABD'面積的最小值為故答案為：203【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，得到點(diǎn)D'3．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接PB，PC．點(diǎn)M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，連接MN，AM，DN，點(diǎn)E在邊AD上，

A．23 B．3 C．32 【答案】C【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得AM=12BP，DN=12CP，通過證明四邊形MNDE是平行四邊形，可得ME=DN，則AM+ME=AM+DN=12BP+CP，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)M，則BP+CP=BP+PM，點(diǎn)B【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAP=∠CDP=90°，AD∥∵點(diǎn)M，N分別是PB，∴AM=12BP，DN=12∵AD∥BC，∴MN∥又∵M(jìn)E∥∴四邊形MNDE是平行四邊形，∴ME=DN，∴AM+ME=AM+DN=1如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接PM，BM，

則BP+CP=BP+PM，當(dāng)點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，BP+PM的值最小，最小值為BM，在Rt△BCM中，MC=2CD=2AB=210，∴BM=B∴AM+ME的最小值=1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思想．重難點(diǎn)五：旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之線段、面積問題1．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120°；④A．(2)5(3)2【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的方法將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，即可得出可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'（3）由總的鋪設(shè)成本=a(PA+PB+2PC)，通過將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'C，得到等腰直角△PP'C，得到2PC=PP'，即可得出當(dāng)B，P【詳解】（1）解：∵PC=P∴△PCP∴PP'=PC又P'A'由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)∴∠BPC+∠P'PC=180°∴∠BPC=120°，∠A又∵△APC?△A∴∠APC=∠AP∴∠APB=360°?∠APC?∠BPC=120°，∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；∵∠BAC≥120°，∴BC>AC，BC>AB，∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小．又∵已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120°；④A．（2）將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P由（1）可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A

∵∠ACP=∠A∴∠ACP+∠BCP=∠A又∵∠PC∴∠BCA由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A∴A'∴PA+PB+PC最小值為5，（3）∵總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·∴當(dāng)PA+PB+2將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC，∠PCP'=∠AC∴PP∴PA+PB+2當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，P'A'+PB+P

過點(diǎn)A'作A'H⊥BC∵∠ACB=60°，∠ACA∴∠A∴A'∴HC=A∴BH=BC+CH=23∴APA+PB+2PC總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·吉林松原·二模）如圖所示，在Rt△ABC中，AB=8，∠ACB=90°，∠A=60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合時(shí)，作∠BPD=120°，邊PD交折線AC?CB于點(diǎn)D，點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接ED，EP得到△PDE．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(1)直接寫出線段PD的長（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí)，求t的值；(3)設(shè)△PDE與△ABC重合部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．【答案】(1)PD=2t(0<t≤2)(2)t=4(3)S=3【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了直角三角形30°角的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論解決問題，屬于中考?jí)狠S題．（1）①當(dāng)0<t≤2時(shí)，由∠BPD=120°，可得∠APD=60°，從而△APD是等邊三角形，即可得PD=AP=2t；②當(dāng)2<t<4時(shí)，由∠B=30°,∠PBD=120°，可得PD=PB=8?2t；（2）證明BP=2PE，由此構(gòu)建方程，可得結(jié)論；（3）分三種情形：當(dāng)0<t≤43時(shí)，重疊部分是△PDE，當(dāng)43<t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形PDNM，當(dāng)【詳解】（1）①當(dāng)0<t≤2時(shí)，∵∠BPD=120°，∴∠APD=180°?120°=60°，∵∠A=60°，∴△APD是等邊三角形，∴PD=AP=2t，②當(dāng)2<t<4時(shí)，如圖：∵∠A=60°，∴∠B=30°，∵∠BPD=120°，∴∠B=∠PDB=30°，∴PD=PB=8?2t；綜上所述，PD=2t(0<t≤2)（2）如圖：∵A,E關(guān)于PD對(duì)稱，∴△PED≌∴P