圖論測(cè)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.一個(gè)簡(jiǎn)單圖中頂點(diǎn)的度之和等于（）A.邊數(shù)B.邊數(shù)的2倍C.頂點(diǎn)數(shù)D.頂點(diǎn)數(shù)的2倍答案：B2.完全圖\(K_5\)的邊數(shù)是（）A.10B.15C.20D.25答案：A3.圖的連通分支數(shù)最少是（）A.0B.1C.2D.與頂點(diǎn)數(shù)有關(guān)答案：B4.以下哪種圖一定是歐拉圖（）A.連通圖B.有偶數(shù)個(gè)頂點(diǎn)的圖C.每個(gè)頂點(diǎn)度為偶數(shù)的連通圖D.樹答案：C5.樹\(T\)有10個(gè)頂點(diǎn)，則其邊數(shù)為（）A.9B.10C.11D.12答案：A6.一個(gè)圖的生成樹（）A.是連通子圖B.是有環(huán)子圖C.邊數(shù)與原圖一樣D.頂點(diǎn)數(shù)比原圖少答案：A7.圖中割邊是（）A.去掉后不影響連通性的邊B.去掉后使圖連通分支數(shù)增加1的邊C.環(huán)D.重邊答案：B8.若圖\(G\)是二分圖，則\(G\)中不存在（）A.偶數(shù)長(zhǎng)度的回路B.奇數(shù)長(zhǎng)度的回路C.平行邊D.孤立點(diǎn)答案：B9.圖的鄰接矩陣中元素\(a_{ij}\)表示（）A.頂點(diǎn)\(i\)到頂點(diǎn)\(j\)的邊數(shù)B.頂點(diǎn)\(i\)與頂點(diǎn)\(j\)的距離C.頂點(diǎn)\(i\)的度D.頂點(diǎn)\(j\)的度答案：A10.一個(gè)連通圖的連通度最小是（）A.0B.1C.2D.3答案：B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于圖的基本概念的有（）A.頂點(diǎn)B.邊C.度D.回路答案：ABCD2.下面哪些圖是簡(jiǎn)單圖（）A.無環(huán)圖B.無重邊圖C.有環(huán)有重邊圖D.只有一個(gè)頂點(diǎn)的圖答案：ABD3.歐拉圖的性質(zhì)包括（）A.連通B.每個(gè)頂點(diǎn)度為偶數(shù)C.存在歐拉回路D.頂點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)答案：ABC4.樹的性質(zhì)有（）A.連通B.無回路C.邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)減1D.任意兩點(diǎn)間有唯一路徑答案：ABCD5.關(guān)于連通圖正確的說法有（）A.任意兩點(diǎn)間有路徑B.連通分支數(shù)為1C.一定有歐拉回路D.一定有哈密頓回路答案：AB6.圖的矩陣表示方法有（）A.鄰接矩陣B.關(guān)聯(lián)矩陣C.距離矩陣D.權(quán)矩陣答案：ABC7.哈密頓圖的必要條件有（）A.連通B.頂點(diǎn)數(shù)\(n\geq3\)C.任意\(u,v\)頂點(diǎn)，\(d(u)+d(v)\geqn\)D.有歐拉回路答案：ABC8.以下哪些操作可以改變圖的連通性（）A.刪除頂點(diǎn)B.刪除邊C.添加邊D.添加頂點(diǎn)答案：AB9.二分圖的特點(diǎn)有（）A.頂點(diǎn)可分為兩個(gè)互不相交子集B.子集內(nèi)頂點(diǎn)無連邊C.存在完美匹配D.一定是平面圖答案：AB10.平面圖的性質(zhì)包括（）A.滿足歐拉公式B.邊數(shù)\(e\leq3v-6\)（\(v\geq3\)）C.無交叉邊D.一定是連通圖答案：ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.所有頂點(diǎn)度都為1的圖是樹。（）答案：錯(cuò)2.有環(huán)的圖一定不是簡(jiǎn)單圖。（）答案：對(duì)3.連通圖一定有生成樹。（）答案：對(duì)4.歐拉圖一定是哈密頓圖。（）答案：錯(cuò)5.樹中任意去掉一條邊就不連通。（）答案：對(duì)6.圖的鄰接矩陣一定是對(duì)稱矩陣。（）答案：錯(cuò)（有向圖不一定對(duì)稱）7.一個(gè)圖的連通度一定小于等于其最小度。（）答案：對(duì)8.二分圖的色數(shù)最多為2。（）答案：對(duì)9.平面圖的面數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)有關(guān)。（）答案：對(duì)10.完全圖\(K_n\)的邊數(shù)是\(n(n-1)\)。（）答案：錯(cuò)（邊數(shù)是\(\frac{n(n-1)}{2}\)）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述圖論中歐拉回路和歐拉通路的定義。答案：歐拉回路是經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次回到起始頂點(diǎn)的回路；歐拉通路是經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次的通路，不一定回到起始頂點(diǎn)。2.簡(jiǎn)述最小生成樹的定義及一種求最小生成樹的算法思路。答案：最小生成樹是連通帶權(quán)圖中權(quán)值之和最小的生成樹。如Kruskal算法，按權(quán)值從小到大選邊，保證所選邊不構(gòu)成回路，直到得到一棵生成樹。3.簡(jiǎn)述圖的連通度和邊連通度的概念。答案：連通度是使圖不連通或成為平凡圖需刪除的最少頂點(diǎn)數(shù)；邊連通度是使圖不連通需刪除的最少邊數(shù)。4.簡(jiǎn)述圖的染色問題及色數(shù)概念。答案：圖的染色問題是對(duì)圖的頂點(diǎn)或邊進(jìn)行染色，使相鄰元素顏色不同。色數(shù)是對(duì)頂點(diǎn)染色時(shí)所需的最少顏色數(shù)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在實(shí)際生活中，圖論中歐拉圖和哈密頓圖有哪些應(yīng)用場(chǎng)景。答案：歐拉圖可用于設(shè)計(jì)郵路、清掃路線等，保證一次遍歷所有街道。哈密頓圖可用于規(guī)劃旅行路線，確保訪問每個(gè)城市一次且僅一次，如旅行商問題。2.討論樹在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法中的應(yīng)用。答案：在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，二叉樹用于存儲(chǔ)和查找數(shù)據(jù)；堆是一種特殊樹用于優(yōu)先隊(duì)列。算法方面，哈夫曼樹用于數(shù)據(jù)壓縮，建樹過程可高效編碼數(shù)據(jù)，節(jié)省存儲(chǔ)空間。3.討論圖的矩陣表示在計(jì)算機(jī)處理圖問題中的優(yōu)勢(shì)和局限性。答案：優(yōu)勢(shì)在于方便存儲(chǔ)和處理，利于用矩陣運(yùn)算實(shí)現(xiàn)圖的遍歷、最短路徑等算法。局限性是存儲(chǔ)稀疏圖