第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《全等三角形模型之旋轉(zhuǎn)模型》專項檢測卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．和都是等腰直角三角形，．(1)如圖1，點在上，則滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(2)如圖2，點在內(nèi)部，點在外部，連接，則滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．(3)如圖3，點都在外部，連接，，，，與相交于點．若，求四邊形的面積．2．（1）如圖1，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，且，線段，，之間的關(guān)系是_______；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊，延長線上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．已知，點為等邊三角形所在平面內(nèi)一點，且．(1)如圖（1），，求證：；(2)如圖（2），點在內(nèi)部，且，求證：；(3)如圖（3），點在內(nèi)部，為上一點，連接，若，求證：．4．在四邊形中，，；(1)如圖1，已知，則的度數(shù)等于__________；(2)如圖2，在四邊形中，，，連接．若，求四邊形的面積；(3)如圖3，已知，，，，，求線段的長度．5．如圖，在中，．(1)如圖1，在內(nèi)取點D，連接，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，，連接，，，若，求的長；(2)如圖2，點D為中點，點E在的延長線上，連接交于點F，，連接并延長至點G，連接，若，求證：﹔(3)如圖3，，點D在的延長線上，連接，在上取點E，，連接，，若，當取最小值時，直接寫出的面積．6．中，，，點在邊上，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)當，時，求證：．(2)當，時，若，求的值．7．如圖，和都是等腰直角三角形，，，，的頂點A在的斜邊上．(1)直接寫出線段AE和BD之間的關(guān)系；(2)猜想線段AE、AD、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)若，，直接寫出線段AC的長．8．如圖，正方形中，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、或它們的延長線于點、．(1)當繞點旋轉(zhuǎn)到時如圖，證明：；(2)繞點旋轉(zhuǎn)到時如圖，求證：；(3)當繞點旋轉(zhuǎn)到如圖位置時，線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．9．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，且與點B，C不重合，連接AD．作以∠FAD為直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°①當點D在線段BC上時，試探討CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；②當點D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC．上，且CF⊥BD時，如圖3，試求∠BCA的度數(shù)．10．（1）【特例探究】如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時，艦艇甲在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時的速度前進，半小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達，處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75°．請直接寫出此時兩艦艇之間的距離．11．問題情境：如圖1所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DEBC，在圖1中將ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，然后將BD、CE分別延長至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到圖3，請解答下列問題：(1)猜想證明：若AB=AC，請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：①在圖2中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是_________．②在圖3中，猜想∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)拓展應(yīng)用：其他條件不變，若AB=AC，按上述操作方法，得到圖4，請你繼續(xù)探究：∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系？AM與AN的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想．12．如圖①，在中，，，點，分別在邊，上，且，此時，成立．（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，在圖②中補充圖形，并直接寫出的長度；（2）當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你利用圖③證明，若不成立請說明理由；（3）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當，，三點在同一條直線上時，請直接寫出的長度．13．如圖①，在等邊三角形中，點、分別在邊、上，，連接、，點、、分別是、、的中點，連接、、、．（1）觀察猜想：圖①中是三角形（填“等腰”或“等邊”）；（2）探究證明：如圖②，繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，則的形狀是否發(fā)生改變？并說明理由．14．綜合與實踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．15．閱讀下列材料：數(shù)學(xué)課上老師出示了這樣一個問題：如圖，等腰的直角頂點在正方形的邊上，斜邊交于點，連接，求證：．某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過思考，交流了自己的想法：利用現(xiàn)在所學(xué)的旋轉(zhuǎn)知識，可將旋轉(zhuǎn)到，然后通過證明全等三角形來完成證明．（1）（問題解決）請你根據(jù)他們的想法寫出證明過程；（2）（學(xué)以致用）如圖，若等腰的直角頂點在正方形的邊的延長線上，斜邊的延長線交的延長線于點，連接，猜想線段，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）（思維拓展）等腰直角中，，為內(nèi)部一點，若，則的最小值______．參考答案1．(1)，理由見解析(2)，，理由見解析(3)18【分析】此題是四邊形綜合題，主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；（2）延長，分別交、于F、G，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義解答；（3）同理證明，得到，，再根據(jù)計算，求出四邊形的面積．【詳解】（1）解：，理由如下：∵和都是等腰直角三角形，，∴，，∴，∴；（2）解：，，理由如下：延長，分別交、于F、G，∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即；（3）解：如圖，與相交于點∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，即，∴．2．（1）；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）（1）中的結(jié)論不成立，，證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，夾半角模型．（1）可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換．延長到G，使，連接．在和中，已知了一組直角，，，因此兩三角形全等，可得，，進而得．由此可證，即可得，進而可得結(jié)論．（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過證明和全等中，證明時，用到的等角的補角相等，其他的都一樣．因此與（1）的結(jié)果完全一樣．（3）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在上截取，使，連接．根據(jù)（1）的證法，我們可得出，，那么．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．【詳解】解：（1）延長到G，使，連接．∵，，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，延長至，使，連接，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，；（3）（1）中的結(jié)論不成立，，證明：如圖3，在上截取，連接，∵，，∴．∵在與中，，∴，，∴，又∵，，在和中，，，，，．3．(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）證明即可；（2）將繞A逆時針旋，得到，點P的對應(yīng)點為E，連接，首先證明是等邊三角形，從而得出，再利用含角的直角三角形的性質(zhì)，可得答案；（3）將繞A逆時針旋，得到，點P的對應(yīng)點為E，連接，同理得是等邊三角形，過點C作平行于，交的延長線于點N，再利用證明，得，再證明，從而解決問題．【詳解】（1）是等邊三角形，，，，，，；（2），，將繞A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，點P的對應(yīng)點為E，連接，則，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴；（3）將繞A逆時針旋，得到，點P的對應(yīng)點為E，連接，同理可知，是等邊三角形，∴，，，又，過點C作交的延長線于點N，則又，由旋轉(zhuǎn)得，∴又，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，利用旋轉(zhuǎn)將分散條件集中到一個三角形中是解題的關(guān)鍵．4．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為即可求解；（2）延長至，使得，證明，得出是等腰直角三角形，進而即可求解；（3）過點作于點，得出，延長，使得，根據(jù)（2）可得，是等腰直角三角形，過點作于點，過點作交的延長線于點，證明，繼而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)的，即可得出，，進而勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵在四邊形中，，，∴，故答案為：．（2）解：如圖所示，延長至，使得，∵在四邊形中，，∴，又∵，∴又∵∴∴，，∴，∴是等腰直角三角形，又∵，∴；（3）解：如圖所示，過點作于點，∵，，∴，，∵∴延長，使得，∵，∴由（2）可得，是等腰直角三角形，∴∴過點作于點，過點作交的延長線于點，∴∴四邊形是矩形，∴∴，∴又∵，∴，∴，,∵是等腰直角三角形，∴，∴，則在中，．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，四邊形內(nèi)角和，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．5．(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）先證明，從而得到，過E作垂直于的延長線于點F，由得到，從而得到和的值，然后在中用勾股定理求出，則即可；（2）取中點H，連接、，由是中位線得到，由得到，，因為，則是中位線，，，從而證明，得到，因為，得到是等邊三角形，即即可；（3）建立直角坐標系，設(shè)，則，用帶有x的表達式得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：過E作垂直于的延長線于點F，如圖3所示，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，，，∴在中，，，，∴；；（2）解：取中點H，連接、，與交于點O，如圖4所示，∵D是中點，，∴是的中位線，是的中位線，∴，，∵，∴，，，∴，，∵，∴，，，∵，∴，是等腰三角形，∵，∴是等邊三角形，，∴；；（3）解：以點為原點，為x軸，建立直角坐標系，設(shè)，則，∵，∴是等邊三角形，∴∵，∴，，∵，則當時，有最小值，即有最小值，∴．【點睛】本題主要考查的是三角形綜合內(nèi)容，涉及勾股定理、全等三角形、等腰三角形、中位線性質(zhì)等，第3問，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值是解題的關(guān)鍵．6．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意證明，得出，，，勾股定理即可得證；（2）在的延長線上取點，使，由同理得，設(shè)，根據(jù)勾股定理得出，作于，得出是等腰直角三角形，分別求得，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，在和中，，，，，，，，；（2）在的延長線上取點，使，由同理得，，，設(shè)，∴作于，，是等腰直角三角形，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)數(shù)量關(guān)系：AE=BD，位置關(guān)系：AE⊥BD(2)，見解析(3)2【分析】（1）由SAS證明，再利用全等三角形對應(yīng)邊相等解答；（2）由得到，，繼而解得，最后由勾股定理解答；（3）利用（2）中結(jié)論解答即可．【詳解】（1）解：數(shù)量關(guān)系：AE=BD，位置關(guān)系：AE⊥BD，理由如下在等腰直角三角形與中，又，，AE=BD，AE⊥BD，故答案為：數(shù)量關(guān)系：AE=BD，位置關(guān)系：AE⊥BD；（2）AE、AD、AC之間數(shù)量關(guān)系理由如下：，，，又，．在中，由勾股定理可知，同理，在中，，又，，．（3）是等腰直角三角形，【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)見解析(3)，見解析【分析】（1）把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，證得、、三點共線，即可得到≌，從而證得；（2）證明方法與（1）類似；（3）在線段上截取，判斷出≌，同（2）的方法，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，∵把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，≌，，，四邊形是正方形，，，點、、三點共線．，又，在與中，，≌，，，，，．（2）證明：如圖，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，≌，，，四邊形是正方形，，，點、、三點共線．，又，在與中，，≌，，，．（3）解：理由如下：如圖，在線段上截取，連接，在與中，，≌，，．在和中，，≌，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．(1)①，；②存在，詳見解析(2)45°【分析】（1）①由“SAS”可證△ACF≌△ABD，可得CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，可證CF⊥BD；②由“SAS”可證△ACF≌△ABD，可得CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，可證CF⊥BD；（2）過點A作AE⊥AC交BC于E，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“角角邊”證明△ACF和△AED全等，可得AC=AE，∠ACE=45°，即△ACE是等腰直角三角形，再根據(jù)CF⊥BD可得∠BCA=45°．【詳解】（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；②CE=BD，CF⊥BD，理由如下：如圖2，∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAF=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；（2）如圖，過點A作AE⊥AC交BC于E，∵∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°∵AE⊥AC∴∠AEC+∠BCA=90°∴∠ACF=∠AEC∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，，∴△ACF≌△AED（AAS），∴AC=AE，∴∠ACE=45°，∴∠BCA=45°【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)同角的余角相等求出兩邊的夾角相等是證明三角形全等的關(guān)鍵，此類題目的特點是各小題求解思路一般都相同．10．（1）EF=BE+DF，理由見解析；（2）EF=BE+DF，理由見解析；（3）85海里【分析】（1）延長CD至點G，使DG=BE，連接AG，可證得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可證得△AEF≌△AGF，從而得到EF=FG，即可求解；（2）延長CD至點H，使DH=BE，連接AH，可證得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可證得△AEF≌△AHF，從而得到EF=FH，即可求解；（3）連接CD，延長AC、BD交于點M，根據(jù)題意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【遷移推廣】得：CD=AC+BD，即可求解．【詳解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下：如圖，延長CD至點G，使DG=BE，連接AG，∵，∴∠ADG=∠ABC=90°，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵，，∴∠BAE+∠DAF=50°，∴∠FAG=∠EAF=50°，∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∵FG=DG+DF，∴EF=DG+DF=BE+DF；（2）EF=BE+DF，理由如下：如圖，延長CD至點H，使DH=BE，連接AH，∵，∠ADC+∠ADH=180°，∴∠ADH=∠ABC，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，∵∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∴∠EAF=∠HAF，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF=FH，∵FH=DH+DF，∴EF=DH+DF=BE+DF；（3）如圖，連接CD，延長AC、BD交于點M，根據(jù)題意得：∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB，∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，∵OA=OB，∴由（2）【遷移推廣】得：CD=AC+BD，∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此時兩艦艇之間的距離85海里．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運用、等腰直角三角形的性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形，解答時，注意類比思想的應(yīng)用．11．(1)①BD=CE；②∠MAN=∠BAC，見解析(2)∠MAN=∠BAC，AM=AN【分析】（1）①根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根據(jù)題意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可證△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接類比（1）中結(jié)果可知AM=AN，∠MAN=∠BAC．【詳解】（1）①∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE∵由旋轉(zhuǎn)可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，②∠MAN=∠BAC理由：如圖1，∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE∵由旋轉(zhuǎn)可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ACE=∠ABD∵DM=BD，EN=CE∴BM=CN△ABM≌△ACN∴∠BAM=∠CAN∴∠BAM-∠CAM=∠CAN-∠CAM即∠MAN=∠BAC；（2）結(jié)論：∠MAN=∠BAC，AM=AN∵△ABC∽△ADE，∴∴∵∠CAE=∠DAE+∠CAD，∠BAD=∠BAC+∠CAD，∴∠CAE=∠BAD，∴△ADB∽△AEC，∴∵DM=BD，EN=CE∵∠ADM=∠ABD+∠BAD，∠AEN=∠ACE+∠CAE，∴∠ADM=∠AEN，∴△ADM∽△AEN，∴AM：AN=AD：AE=，∴∠DAM=∠EAN，∴∠NAE+∠MAE=∠NAE+∠MAE，∴∠MAN=∠DAE，∵∠DAE=∠BAC，∴∠MAN=∠BAC．AM=k?AN，∠MAN=∠BAC．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（1）補充圖形見解析；；（2），仍然成立，證明見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)作圖的方法作圖，再根據(jù)勾股定理求出BE的長即可；（2）根據(jù)SAS證明得AD=BE，∠1=∠2，再根據(jù)∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，從而可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，運用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，根據(jù)題意得，點D在BC上，∴是直角三角形，且BC=，CE=由勾股定理得，；（2），仍然成立.證明：延長交于點，∵，，，∴，又∵，，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴.（3）①當點D在AC上方時，如圖1所示，同（2）可得∴AD=BE

同理可證在Rt△CDE中，∴DE=在Rt△ACB中，∴設(shè)AD=BE=x，在Rt△ABE中，∴解得,∴②當點D在AC下方時，如圖2所示，同（2）可得∴AD=BE

同理可證在Rt△CDE中，∴DE=在Rt△ACB中，∴設(shè)AD=BE=x，在Rt△ABE中，∴解得,∴.所以,AD的值為或【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理等知識，熟練解答本題的關(guān)鍵．13．（1）等邊；（2）的形狀不發(fā)生改變，仍為等邊三角形，理由見解析．【分析】（1）利用三角形的中位線定理證明PM＝PN，再證明∠MPN＝60°即可解決問題；（2）△PMN的形狀不發(fā)生改變，仍為等邊三角形．如圖2中，連接BD，CE．證明△ABD≌△ACE（SAS），即可解決問題．【詳解】（1）結(jié)論：是等邊三角形．理由：如圖1中，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，故答案為等邊．（2）的形狀不發(fā)生改變，仍為等邊三角形，理由如下：如圖2中，連接，．由旋轉(zhuǎn)可得，是等邊三角形，，又，，，，是的中點，是的中點，是的中位線，，且．同理可證且，，，，，，是等邊三角形．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用三角形的三邊關(guān)系解決最值問題，屬于中考壓軸題．14．（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見解析；（3）MN=CN-AM，理由見解析【分析】（1）把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到點M'、C、N三點共線，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'，即可求解；（2）把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得點M'、C、N三點共線，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'，即可求解；（3）在NC上截取CM'=AM，連接BM'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可證得△ABM≌△CBM'，從而得到AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，進而得到∠MAM'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，從而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC

，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點M'、C、N三點共線，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠