專題26概率統(tǒng)計(jì)（解答題壓軸題）

目錄

①概率與函數(shù)........................................................1

②概率與數(shù)列........................................................3

③概率綜合..........................................................6

④二項(xiàng)分布..........................................................8

⑤超幾何分布.......................................................11

⑥正態(tài)分布.........................................................13

⑦非線性回歸分析...................................................17

①概率與函數(shù)

1.（2023秋?江西新余?高三新余市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）現(xiàn)如今國(guó)家大力提倡養(yǎng)老社會(huì)化、市場(chǎng)化，老

年公寓是其養(yǎng)老措施中的一種能夠滿足老年人的高質(zhì)量、多樣化、專業(yè)化生活及療養(yǎng)需求.某老年公寓負(fù)責(zé)

人為了能給老年人提供更加良好的服務(wù)，現(xiàn)對(duì)所入住的120名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間

類型情況如下表所示：

雙人間三人間

入住房間的類型單人間

人數(shù)366024

⑴若按入住房間的類型采用分層抽樣的方法從這120名老年人中隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽

取4人進(jìn)行詢問，記隨機(jī)抽取的4人中入住單人間的人數(shù)為九求自的分布列和數(shù)學(xué)期望.

⑵記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見時(shí)要求把入住單人間的2人和入住多人間的機(jī)（機(jī)＞2且

〃[wN*）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人入住房間類型相同，則該組標(biāo)為I,

否則該組標(biāo)為II.記詢問的某組被標(biāo)為II的概率為P.

（i）試用含旭的代數(shù)式表示P；

(ii)若一共詢問了5組，用g(p)表示恰有3組被標(biāo)為的概率，試求g(p)的最大值及此時(shí)機(jī)的值.

2.(2023春?廣東?高二校聯(lián)考期末)為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校

舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是

3,4,5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽(每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制)，

最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分;

而在比賽中以3:2取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張

三取勝的概率均為

(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？

(2)第10輪比賽中，記張三3:1取勝的概率為/(p),求出了(。)的最大值點(diǎn)P0.

3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))某企業(yè)包裝產(chǎn)品時(shí)，要求把2件優(yōu)等品和“(”22,且〃eN*)件一等品裝在

同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為A,

否則該箱產(chǎn)品記為從

⑴試用含"的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率P；

(2)設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為5的概率為了(0),求當(dāng)”為何值時(shí)，/(P)取得最大值，并求出最大值.

4.（2023秋?貴州?高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某中學(xué)舉辦羽毛球比賽，經(jīng)

過三輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進(jìn)行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位

先贏得三局比賽時(shí)，則該選手獲勝，則比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前比賽

結(jié)果影響.假設(shè)甲在每一局獲勝的概率均為。（。<P<1）.

⑴若比賽進(jìn)行三局就結(jié)束的概率為/■（0,求/（。）的最小值；

（2）記（1）中，“P）取得最小值時(shí)，。的值為4,以P。作為。的值，用X表示甲、乙實(shí)際比賽的局?jǐn)?shù)，求

X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

②概率與數(shù)列

1.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）立德中學(xué)有甲、乙兩家餐廳，如果趙同學(xué)上一天去甲餐廳用午餐，那么下一天去

甲餐廳的概率為0.6,如果上一天去乙餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.8,已知趙同學(xué)第一天

去甲餐廳用午餐的概率為05

⑴求趙同學(xué)第二天去乙餐廳用午餐的概率；

⑵設(shè)趙同學(xué)第〃去甲餐廳用午餐的概率為月,，判斷4與心的大小，并求乙.

2.（2023春?山西運(yùn)城?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)一個(gè)正三棱柱ABC-每條棱長(zhǎng)都相等，一只螞蟻

從上底面ABC的某頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn)，算一次爬行，若它選擇三個(gè)方向爬行

的概率相等，且每次爬行都相互獨(dú)立.若螞蟻爬行”次后，仍然在上底面的概率為￡.

⑴求片之;

（2）求月的表達(dá)式.

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某幾位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個(gè)服務(wù)公司提供A、8兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品

（人們購(gòu)買時(shí)每次只買其中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：第一次購(gòu)買產(chǎn)品的人購(gòu)買A的概率為不、

113

購(gòu)買3的概率為:，而前一次購(gòu)買A產(chǎn)品的人下一次來購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為:、購(gòu)買8產(chǎn)品的概率為前

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一次購(gòu)買B產(chǎn)品的人下一次來購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為1、購(gòu)買B產(chǎn)品的概率也是如此往復(fù).記某人第〃次

來購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為

（1）求尸2,并證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)每天來購(gòu)買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購(gòu)買過很多次該兩款產(chǎn)品，

那么公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備A、B產(chǎn)品各多少份.（直接寫結(jié)論、不必說明理由）.

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某景點(diǎn)上山共有999級(jí)臺(tái)階，寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久.甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步上一個(gè)

臺(tái)階，也可以一步上兩個(gè)臺(tái)階，若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為1每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為2:，為了簡(jiǎn)便描

述問題，我們約定，甲從0級(jí)臺(tái)階開始向上走，一步走一個(gè)臺(tái)階記1分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記2分，記甲登

上第"個(gè)臺(tái)階的概率為匕，其中weN*,且"V998.證明：數(shù)列｛匕「與｝是等比數(shù)列.

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動(dòng).2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月

21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.某校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行

傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如

此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第九次觸球者是甲的概率

記為P”,即q=L

⑴求乙（直接寫出結(jié)果即可）；

（2）證明：數(shù)列［匕為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.

6.（2023秋?安徽合肥?高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立102周年，學(xué)校某班組織開

展了"學(xué)黨史，憶初心"黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，抽取四位同學(xué)，分成甲、乙兩組，每組兩人，進(jìn)行對(duì)戰(zhàn)答題.規(guī)

則如下：每次每位同學(xué)給出6道題目，其中有一道是送分題（即每位同學(xué)至少答對(duì)1題）.若每次每組答對(duì)

的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，原答題組的人再繼續(xù)答題；若答對(duì)的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對(duì)方組接著答

題.假設(shè)每位同學(xué)每次答題之間相互獨(dú)立.求：

⑴若第一次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；

⑵若第一次由甲組答題，記第〃次由甲組答題的概率為匕，求匕.

③概率綜合

1.(2023?河北滄州??？既?甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場(chǎng)比賽，第三

人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場(chǎng)作為旁觀者，原旁觀者上場(chǎng)與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人

累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場(chǎng)比賽，丙作為旁觀者.

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為乙、丙比賽乙勝概率為《，丙、甲比賽丙勝概率

為:，每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒有平局.

⑴比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；

(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.

2.(2023?全國(guó)?學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))雙淘汰賽制是一種競(jìng)賽形式，比賽一般分兩個(gè)組進(jìn)行，即勝者

組與負(fù)者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負(fù)者組繼續(xù)比賽.之后的每一輪，在負(fù)者組中

的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負(fù)者組，只有在負(fù)者組中再

次失敗后才會(huì)被淘汰出整個(gè)比賽.A、B、C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場(chǎng)比賽為決

(1)假設(shè)四人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%,求：

①隊(duì)伍A和D在決賽中過招的概率；

②D在一共輸了兩場(chǎng)比賽的情況下，成為亞軍的概率；

⑵若A的實(shí)力出類拔萃，即有A參加的比賽其勝率均為75%,其余三人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，求D進(jìn)入決賽且先

前與對(duì)手已有過招的概率.

3.（2023?湖北咸寧??？寄M預(yù)測(cè)）北京時(shí)間2021年11月7日凌晨1點(diǎn)，來自中國(guó)賽區(qū)的aG戰(zhàn)隊(duì)，捧

起了英雄聯(lián)盟sn全球總決賽的冠軍獎(jiǎng)杯.據(jù)統(tǒng)計(jì)，僅在歷/沏,〃平臺(tái),S11總決賽的直播就有3.5億人觀看.電

子競(jìng)技作為正式體育競(jìng)賽項(xiàng)目已經(jīng)引起越來越多的年輕人關(guān)注.已知該項(xiàng)賽事的季后賽后半段有四支戰(zhàn)隊(duì)

參加，采取"雙敗淘汰賽制”，對(duì)陣表如圖，賽程如下:

第一輪：四支隊(duì)伍分別兩兩對(duì)陣（即比賽1和2）,兩支獲勝隊(duì)伍進(jìn)入勝者組，兩支失敗隊(duì)伍落入敗者組.

第二輪：勝者組兩支隊(duì)伍對(duì)陣（即比賽3）,獲勝隊(duì)伍成為勝者組第一名，失敗隊(duì)伍落入敗者組；第一輪落

入敗者組兩支隊(duì)伍對(duì)陣（即比賽4）,失敗隊(duì)伍（已兩敗）被淘汰（獲得殿軍），獲勝隊(duì)伍留在敗者組.

第三輪：敗者組兩支隊(duì)伍對(duì)陣（即比賽5）,失敗隊(duì)伍被淘汰（獲得季軍）;獲勝隊(duì)伍成為敗者組第一名.

第四輪：敗者組第一名和勝者組第一名決賽（即比賽6）,爭(zhēng)奪冠軍.假設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率均為

0.5,每場(chǎng)比賽之間相互獨(dú)立.問:

⑴若第一輪隊(duì)伍A和隊(duì)伍D對(duì)陣，則他們?nèi)阅茉跊Q賽中對(duì)陣的概率是多少？

（2）已知隊(duì)伍8在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中，敗了兩場(chǎng)，求在該條件下隊(duì)伍B獲得亞軍的概率.

4.（2023秋?廣東佛山?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G由

3個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能正常工作的概率為且每個(gè)電子元件能否正常工作是相互獨(dú)立，若系

統(tǒng)G中有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修.

（1）求系統(tǒng)需要維修的概率；

（2）為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個(gè)功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個(gè)新元件正

常工作的概率為且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作.問：。滿足什么條

件時(shí)可以提高整個(gè)系統(tǒng)G的正常工作概率？

5.（2023春?福建?高一福建師大附中?？计谀╇p淘汰賽制是一種競(jìng)賽形式，比賽一般分兩個(gè)組進(jìn)行，即

勝者組與負(fù)者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負(fù)者組繼續(xù)比賽，之后的每一輪，在負(fù)

者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負(fù)者組，只有在負(fù)者

組中再次失敗后才會(huì)被淘汰出整個(gè)比賽4、B、C、。四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場(chǎng)

比賽為決賽.

⑴假設(shè)四人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%,求：

①A獲得季軍的概率；

②。在一共輸了兩場(chǎng)比賽的情況下，成為亞軍的概率；

（2）若4的實(shí)力出類拔萃，有4參加的比賽其勝率均為75%,其余三人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，求。進(jìn)入決賽且先前

與對(duì)手已有過招的概率.

④二項(xiàng)分布

1.（2023秋?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某公司有A,B,C,D,E五輛汽車，其中A車的車牌尾號(hào)為1,

3車的車牌尾號(hào)為2,C車的車牌尾號(hào)為5,。車的車牌尾號(hào)為9,E車的車牌尾號(hào)為8.已知在車輛限行日，

車輛禁止出車，在非車輛限行日，每輛車都有可能出車或不出車，且A,B,C三輛汽車在非車輛限行日出

車的概率均為J,D,E兩輛汽車在非車輛限行日出車的概率均為:，且五輛汽車是否出車相互獨(dú)立.該公

/3

司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下:

汽車車牌尾號(hào)車輛限行日

1和6星期一

2和7星期二

3和8星期三

4和9星期四

0和5星期五

(1)求星期三該公司恰有兩輛車出車的概率；

⑵求星期一該公司出車數(shù)量的分布列和期望.

2.(2023秋?云南曲靖?高三曲靖一中?？茧A段練習(xí))某中學(xué)高三年級(jí)為豐富學(xué)生課余生活，減輕學(xué)習(xí)壓力,

組建了籃球社團(tuán).為了了解學(xué)生喜歡籃球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了該年級(jí)男、女同學(xué)各50名進(jìn)行調(diào)查,

部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示:

喜歡籃球不喜歡籃球合計(jì)

男生20

女生15

合計(jì)

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)。=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否有99.5%的把握認(rèn)為該校高三年級(jí)學(xué)生喜歡

籃球與性別有關(guān)？

⑵社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡籃球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范罰分線處定點(diǎn)投籃.已知這兩名男生進(jìn)

球的概率均為彳，這名女生進(jìn)球的概率為每人投籃一次，假設(shè)各人進(jìn)球相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)X

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3.(2023秋?山西大同?高三校聯(lián)考階段練習(xí))近日，某企業(yè)舉行"猜燈謎，鬧元宵”趣味競(jìng)賽活動(dòng)，每個(gè)員

工從8道謎語(yǔ)中一次性抽出4道作答.小張有6道謎語(yǔ)能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語(yǔ)能猜中的概率

均為。(0＜。＜1)，且猜中每道謎語(yǔ)與否互不影響.

⑴分別求小張，小王猜中謎語(yǔ)道數(shù)的分布列；

(2)若預(yù)測(cè)小張猜中謎語(yǔ)的道數(shù)多于小王猜中謎語(yǔ)的道數(shù)，求。的取值范圍.

4.(2023秋?重慶開州?高三重慶市開州中學(xué)?？茧A段練習(xí))某學(xué)校為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉行了"趣

味數(shù)學(xué)"闖關(guān)比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對(duì)一道題積1分.已知小明同學(xué)能答對(duì)10

道題中的6道題.

(1)求小明同學(xué)在一輪比賽中所得積分X的分布列和期望；

(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，若參賽者每輪闖關(guān)成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖

關(guān)成功相互獨(dú)立，問：小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需幾次闖關(guān)成功才能使得對(duì)應(yīng)概率取值最大?

5.（2023秋?安徽?高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)

來認(rèn)識(shí)未知現(xiàn)象的一門科學(xué).面對(duì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題，首先要根據(jù)實(shí)際需求，通過適當(dāng)?shù)姆椒ǐ@取數(shù)據(jù)，并選擇

適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和描述，在此基礎(chǔ)上用各種統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從樣本數(shù)據(jù)中提取

需要的信息，推斷總體的情況，進(jìn)而解決相應(yīng)的實(shí)際問題.概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支.概率

是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，它已滲透到我們的日常生活中，成為一個(gè)常用詞匯.同學(xué)們?cè)趯W(xué)完高

中統(tǒng)計(jì)和概率相關(guān)章節(jié)后，探討了以下兩個(gè)問題，請(qǐng)幫他們解決：

⑴從兩名男生（記為片和與）、兩名女生（記為G|和&）中任意抽取兩人，分別寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、

不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間，并分別計(jì)算在三種抽樣方式下抽到的兩人都是

男生的概率，結(jié)合計(jì)算結(jié)果分析三種抽樣；

⑵一個(gè)袋子中有100個(gè)除顏色外完全相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作

為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.結(jié)合計(jì)算

結(jié)果分析兩種摸球方式的特點(diǎn).

⑤超幾何分布

1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）從一副去掉大小王牌的52張撲克牌中任取5張牌，用X表示其中黑桃的張數(shù).

求X的分布、期望與方差.

2.(2023?陜西商洛?陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))某乒乓球隊(duì)訓(xùn)練教官為了檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的水平，

隨機(jī)抽取100名學(xué)員進(jìn)行測(cè)試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，按

[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

率

頻

距

組

so44

o4O

oS.Q

So28

S

o20

So16

OO8

O6065707580859095100評(píng)價(jià)指標(biāo)

(1)求。的值，并估計(jì)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)(精確到0.1);

(2)若采用分層抽樣的方法從評(píng)價(jià)指標(biāo)在[70,75)和[85,90)內(nèi)的學(xué)員中隨機(jī)抽取12名，再?gòu)倪@12名學(xué)員中隨

機(jī)抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在[70,75)內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)

期望.

3.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))《中國(guó)制造2025》是經(jīng)國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)簽批，由國(guó)務(wù)院于2015年5月印

發(fā)的部署全面推進(jìn)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)的戰(zhàn)略文件，是中國(guó)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略第一個(gè)十年的行動(dòng)綱領(lǐng).制造業(yè)是

國(guó)民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國(guó)之本、興國(guó)之器、強(qiáng)國(guó)之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為

建設(shè)制造強(qiáng)國(guó)的生命線.某制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量差都服從正

態(tài)分布并把質(zhì)量差在(〃-b,〃+b)內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在(〃+G〃+2b)內(nèi)的產(chǎn)品為一等

品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品.現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽

取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

(2)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100,用樣本平均數(shù)作為〃的近似值，用樣本

標(biāo)準(zhǔn)差s作為b的估計(jì)值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)

［參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布貝hP(〃-+b卜0.6827,

P(//-2cr<^<//+2a)?0.9545,尸(〃一3crWjW〃+3a)?0.9973.

⑶假如企業(yè)包裝時(shí)要求把3件優(yōu)等品和4件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品

進(jìn)行檢驗(yàn)，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品的件數(shù)為X,求X的分布列以及期望值.

4.(2023春?安徽宣城?高二統(tǒng)考期末)中國(guó)乒乓球隊(duì)號(hào)稱夢(mèng)之隊(duì)，在過往的三屆奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)代表團(tuán)包

攬了全部12枚乒乓球金牌，在北京奧運(yùn)會(huì)上，甚至在男女子單打項(xiàng)目上包攬了金銀銅三枚獎(jiǎng)牌.為了推動(dòng)世

界乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，增強(qiáng)比賽的觀賞性，2021年世界乒乓球錦標(biāo)賽在乒乓球雙打比賽中允許來自不同協(xié)

會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加，現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子

選手2名，從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽

(1)設(shè)A為事件"選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率;

⑵設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，并求E(X).

⑥正態(tài)分布

1.(2023?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))新高考改革后廣西采用"3+1+2”高考模式，"3"指的是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，

這三門科目是必選的；"1"指的是要在物理、歷史里選一門；"2"指考生要在生物學(xué)、化學(xué)、思想政治、地理4門

中選擇2門.

⑴若按照"3+1+2”模式選科，求甲乙兩個(gè)學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)；

(2)某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語(yǔ)數(shù)外三科成績(jī)，現(xiàn)從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生5000名參加語(yǔ)數(shù)外

的網(wǎng)絡(luò)測(cè)試、滿分450分，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布N（240,602）.

①估計(jì)5000名學(xué)生中成績(jī)介于120分到300分之間有多少人；

②某校對(duì)外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試，有10名同學(xué)獲得430分以上的高分"，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)

分析上述宣傳語(yǔ)的可信度.

附：P（〃—b4X4〃+b）a0.6827,-2<r<X<//+2（r）?0.9545,P（〃一X4〃+3cr卜0.9973.

2.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購(gòu)物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.在鳳

梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機(jī)抽查了100個(gè)購(gòu)物群的銷售情況，各購(gòu)物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：

鳳梨數(shù)量（盒）[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]

購(gòu)物群數(shù)量（個(gè)）12m2032m

⑴求實(shí)數(shù)機(jī)的值，并用組中值估計(jì)這100個(gè)購(gòu)物群銷售風(fēng)梨總量的平均數(shù)（盒）；

⑵假設(shè)所有購(gòu)物群銷售鳳梨的數(shù)量X服從正態(tài)分布其中〃為（1）中的平均數(shù)，4=12100.若

該鳳梨基地參與銷售的購(gòu)物群約有1000個(gè)，銷售風(fēng)梨的數(shù)量在［266,596）（單位：盒）內(nèi)的群為“一級(jí)群”,

銷售數(shù)量小于266盒的購(gòu)物群為"二級(jí)群"，銷售數(shù)量大于等于596盒的購(gòu)物群為“優(yōu)質(zhì)群”.該鳳梨基地對(duì)每

個(gè)"優(yōu)質(zhì)群”獎(jiǎng)勵(lì)1000元，每個(gè)"一級(jí)群"獎(jiǎng)勵(lì)200元，"二級(jí)群"不獎(jiǎng)勵(lì)，則該風(fēng)梨基地大約需要準(zhǔn)備多少資

金？（群的個(gè)數(shù)按四舍五入取整數(shù)）

附：若X服從正態(tài)分布X~〃），貝U尸（〃一CT<X<〃+。0.683,尸（〃-2。<X<〃+2。）。0.954,

P（〃—3cr<X<〃+3b）a0.997.

3.（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)在五一假期間開展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)

行賦分，競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì)，

兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).

（1）若甲第一關(guān)通過的概率為:，第二關(guān)通過的概率為求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；

J6

（2）已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前

400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).

①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分,351分以上共有57人，己知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)，

請(qǐng)說明理由；

②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙："這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人"，請(qǐng)

結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?

附：若隨機(jī)變量貝I］尸（〃一crVXW〃+<T）B0.6827；P（//-2cr<X<//+2cr）?0.9545；

P（〃一3crVX<〃+3b）~0.9973.

4.（2023?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）2022年，隨著最低工資標(biāo)準(zhǔn)提高，商品價(jià)格上漲,

每個(gè)家庭的日常消費(fèi)也隨著提高，某社會(huì)機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了200個(gè)家庭的日常消費(fèi)金額并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，

得到數(shù)據(jù)如下表：

消費(fèi)金額（千元）[2,3)[34)[4,5)[5,6)[6,7)[7用

人數(shù)406040302010

以頻率估計(jì)概率，如果家庭消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布NJ。?），4分別為這200個(gè)家庭消費(fèi)金額的

平均數(shù)元及方差52（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）.

⑴求元和S2的值;

⑵試估計(jì)這200個(gè)家庭消費(fèi)金額為［2.86,7.18］的概率（保留一位小數(shù)）；

⑶依據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，現(xiàn)要在10個(gè)家庭中隨機(jī)抽取4個(gè)家庭進(jìn)行更細(xì)致的消費(fèi)調(diào)查，記消費(fèi)金額為

［2.86,7.18］的家庭個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及期望.

參考數(shù)據(jù)：42.06"44；

若隨機(jī)變量4~N（〃b2）,則尸（〃一。<。4〃+。）=。.6827,P（〃一2bVJV〃+2b）=0.9545,

尸+=0.9973.

5.（2023?福建寧德?福建省寧德第一中學(xué)校考二模）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀

逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，

通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分

布直方圖，如圖所示.

A頻率

［礪

0.045r..............—I

0.020.................—

0.010…L

嘴

u5060708090100分鐘

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100位年輕人每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)工(單位：分鐘)；(同一組數(shù)據(jù)用該

組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)

(2)若年輕人每天閱讀時(shí)間X近似地服從正態(tài)分布N(〃,100),其中〃近似為樣本平均數(shù)最，求P(64<XW94)；

⑶為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組［50,60),

［60,70),［80,90)的年輕人中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每天閱讀時(shí)間位于［80,90)的人

數(shù)4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附參考數(shù)據(jù)：若，則①尸(〃-6<XV〃+6)=0.6827；②尸(〃-25<X<〃+25)=0.9545；③

P(M—36<XW〃+35)=0.9973.

6.(2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，我校團(tuán)委組織學(xué)生開展了“喜迎二十大，奮

進(jìn)新征程"知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)出他們競(jìng)賽成績(jī)分布如下：

成績(jī)(分)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)242240284

⑴求抽取的100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的方差d(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

⑵以頻率估計(jì)概率，發(fā)現(xiàn)我校參賽學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平均

分無(wú)，接近似為樣本方差$2,若<X4〃+2b,參賽學(xué)生可獲得“參賽紀(jì)念證書？”；若X>〃+2b,

參賽學(xué)生可獲得“參賽先鋒證書”.

①若我校有3000名學(xué)生參加本次競(jìng)賽活動(dòng)，試估計(jì)獲得"參賽紀(jì)念證書”的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

②試判斷競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?6分的學(xué)生能否獲得"參賽先鋒證書”.

附：若X~N(〃,cr2),則尸(〃一b<XV〃+b)土0.6827,P("—2b<XW〃+2b)20.9545,

尸(〃-3。<X4M+3b)B0.9973；抽取的這100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均分元=75.

⑦非線性回歸分析

1.(2023?四川綿陽(yáng),統(tǒng)考二模)抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，抗體藥物的攝

入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗體藥物的一個(gè)重要方面.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量

與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體

藥物攝入量為無(wú)(單位：mg),體內(nèi)抗體數(shù)量為y(單位：AU/mL).

10101010

Zz,

力,4

i=lZ=11=1i=\

29.2121634.4

九

12--

10-,

8-?

6-?

4-.

2

O2468101214161820222426x

(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇>=。尤”作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將y=cxd兩邊取對(duì)

數(shù)，得lny=lnc+dln無(wú)，可以看出Inx與Iny具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立V關(guān)于x的回歸方程，

并預(yù)測(cè)抗體藥物攝入量為25mg時(shí)，體內(nèi)抗體數(shù)量》的值；

(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正態(tài)分布N:(0.48,0.032),那這

種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為多少？

附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)(%,%)?=1,2,L,10),其回歸直線片向+°的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

“_

Z%匕-

尸二二，a—v—/3u;

Z-nu

i=l

②若隨機(jī)變量Z?N(〃,cr2),則有尸(〃一b<Z<//+cr)?0.6826,P(/z-2cr<Z<〃+2b)?0.9544,

尸(〃一3bvZv〃+3b)b0.9974；

③取e22.7.

2.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模)經(jīng)觀測(cè)，長(zhǎng)江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)》與溫度x有關(guān)，現(xiàn)將收集

到的溫度占和產(chǎn)卵數(shù)》(=1,2,…,10)的10組觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表.

1010101010

儲(chǔ)Zx￡(西-寸

1=11=1i=lZ=1Z=1

36054.5136044384

10101010

2(—)2^(x;-x)(z,-z)

1=11=1i=\i=l

3588326430

[10

表中有=百0=In%,彳=6

iu,=i

九

350-.?

300-

250-

200-?

150-*

100-?

50-,

.???

I4111II1II?

°202224262830323436%

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx,y=n+m石與y=*濟(jì)哪一個(gè)適宜作為，與x之間的回歸方程模型并求出J

關(guān)于x回歸方程；(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有6個(gè)魚卵，其中"死卵”有2個(gè)；第二批中共有8個(gè)魚卵，

其中"死卵”有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一批，然后從該批次中隨機(jī)取出2個(gè)魚卵，求取出"死卵”個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)

學(xué)期望.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(4,耳),(名,3)「??("”#")，其回歸直線丫=。+尸"的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

B=上―------------,a^v-(3u.

E(M/-M)2

i=\

3.（2023?四川瀘州?四川省瀘縣第四中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）黨的二十大報(bào)告提出，從現(xiàn)在起，中國(guó)共產(chǎn)黨的

中心任務(wù)就是團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)全國(guó)各族人民全面建成社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)、實(shí)現(xiàn)第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)，以中國(guó)式

現(xiàn)代化全面推進(jìn)中華民族偉大復(fù)興.高質(zhì)量發(fā)展是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的首要任務(wù).加快實(shí)現(xiàn)高水

平科技自立自強(qiáng)，才能為高質(zhì)量發(fā)展注入強(qiáng)大動(dòng)能.某科技公司積極響應(yīng)，加大高科技研發(fā)投入，現(xiàn)對(duì)近十

年來高科技研發(fā)投入情況分析調(diào)研，其研發(fā)投入y（單位：億元）的統(tǒng)計(jì)圖如圖1所示，其中年份代碼后1,

現(xiàn)用兩種模型①y=6x+“，②y=c+da分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程，并進(jìn)行殘差分析,

得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：

10101010

yt余行)2-(%-刃a-元)

i=\i=lZ=1i=l

752.2582.54.512028.67

[10

表中4=Z%.

,=i

⑴根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于1的回歸方程；根據(jù)所選模型，求該公司2028年高科技研發(fā)投入y

的預(yù)報(bào)值.（回歸系數(shù)精確到0.01）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（XQ,）其回歸直線y=°+標(biāo)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

八￡（乙-可（y-9）.

^=J5H；----；—，a=y-bx

i=l

4.（2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某新能源汽車公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)投資額尤（單位：百萬(wàn)元）與其月銷售

量y（單位：千輛）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)表和散點(diǎn)圖.

⑴通過分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃用

y=ln（bx+a）作為月銷售量>關(guān)于產(chǎn)品研發(fā)投資額x的回歸分析模型，根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于

x的回歸方程;

⑵公司決策層預(yù)測(cè)當(dāng)投資額為11百萬(wàn)元時(shí)，決定停止產(chǎn)品研發(fā)，轉(zhuǎn)為投資產(chǎn)品促銷.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)投

資11百萬(wàn)元進(jìn)行產(chǎn)品促銷后，月銷售量J的分布列為:

345

321

p3PPp+d

結(jié)合回歸方程和J的分布列，試問公司的決策是否合理.

人￡（西-尤）（y-y）Exiyi-nx-y

參考公式及參考數(shù)據(jù)：?=J————------^^=y-^c,ln7-1.95.

z=li=l

y0.691.611.792.082.20

e"（保留整數(shù)）25689

5.（2023?安徽六安?安徽省舒城中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）放行準(zhǔn)點(diǎn)率是衡量機(jī)場(chǎng)運(yùn)行效率和服務(wù)質(zhì)量的重要指

標(biāo)之一.某機(jī)場(chǎng)自2012年起采取相關(guān)策略優(yōu)化各個(gè)服務(wù)環(huán)節(jié)，運(yùn)行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)

X；與該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率為（z=l,2,L,10）（單位：百分比）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所作的散點(diǎn)圖及經(jīng)過

初步處理后得到的一些統(tǒng)計(jì)量的值.

放行準(zhǔn)點(diǎn)率/百分比

84-.

83-.

82-?

81-.,

80-,

79-,

78-?

77-?

76-

75-

74----J----1----1----1----1----1----1----1----1----1----

20122013201420152016201720182019202020212022年份數(shù)

10101010

XyTz%%之入

i=li=\Z=1Z=1

2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8

_1io

其中q=如（玉_2012）,F=

1Ui=\

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=bx+a^y=cln（x-2012）+d哪一個(gè)適宜作為該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y關(guān)

于年份數(shù)尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由

此預(yù)測(cè)2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地的航班放