專題26概率統(tǒng)計（解答題壓軸題）

目錄

①概率與函數(shù)........................................................1

②概率與數(shù)列........................................................3

③概率綜合..........................................................6

④二項分布..........................................................8

⑤超幾何分布.......................................................11

⑥正態(tài)分布.........................................................13

⑦非線性回歸分析...................................................17

①概率與函數(shù)

1.（2023秋?江西新余?高三新余市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）現(xiàn)如今國家大力提倡養(yǎng)老社會化、市場化，老

年公寓是其養(yǎng)老措施中的一種能夠滿足老年人的高質(zhì)量、多樣化、專業(yè)化生活及療養(yǎng)需求.某老年公寓負責(zé)

人為了能給老年人提供更加良好的服務(wù)，現(xiàn)對所入住的120名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間

類型情況如下表所示：

雙人間三人間

入住房間的類型單人間

人數(shù)366024

⑴若按入住房間的類型采用分層抽樣的方法從這120名老年人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽

取4人進行詢問，記隨機抽取的4人中入住單人間的人數(shù)為九求自的分布列和數(shù)學(xué)期望.

⑵記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見時要求把入住單人間的2人和入住多人間的機（機＞2且

〃[wN*）人組成一組，負責(zé)人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人入住房間類型相同，則該組標(biāo)為I,

否則該組標(biāo)為II.記詢問的某組被標(biāo)為II的概率為P.

（i）試用含旭的代數(shù)式表示P；

(ii)若一共詢問了5組，用g(p)表示恰有3組被標(biāo)為的概率，試求g(p)的最大值及此時機的值.

2.(2023春?廣東?高二校聯(lián)考期末)為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推進素質(zhì)教育，某學(xué)校

舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是

3,4,5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽(每場比賽都采取5局3勝制)，

最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分;

而在比賽中以3:2取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張

三取勝的概率均為

(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？

(2)第10輪比賽中，記張三3:1取勝的概率為/(p),求出了(。)的最大值點P0.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))某企業(yè)包裝產(chǎn)品時，要求把2件優(yōu)等品和“(”22,且〃eN*)件一等品裝在

同一個箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為A,

否則該箱產(chǎn)品記為從

⑴試用含"的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率P；

(2)設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為5的概率為了(0),求當(dāng)”為何值時，/(P)取得最大值，并求出最大值.

4.（2023秋?貴州?高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）為了豐富學(xué)生的課外活動，某中學(xué)舉辦羽毛球比賽，經(jīng)

過三輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位

先贏得三局比賽時，則該選手獲勝，則比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽

結(jié)果影響.假設(shè)甲在每一局獲勝的概率均為。（。<P<1）.

⑴若比賽進行三局就結(jié)束的概率為/■（0,求/（。）的最小值；

（2）記（1）中，“P）取得最小值時，。的值為4,以P。作為。的值，用X表示甲、乙實際比賽的局?jǐn)?shù)，求

X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

②概率與數(shù)列

1.（2023?浙江?模擬預(yù)測）立德中學(xué)有甲、乙兩家餐廳，如果趙同學(xué)上一天去甲餐廳用午餐，那么下一天去

甲餐廳的概率為0.6,如果上一天去乙餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.8,已知趙同學(xué)第一天

去甲餐廳用午餐的概率為05

⑴求趙同學(xué)第二天去乙餐廳用午餐的概率；

⑵設(shè)趙同學(xué)第〃去甲餐廳用午餐的概率為月,，判斷4與心的大小，并求乙.

2.（2023春?山西運城?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)一個正三棱柱ABC-每條棱長都相等，一只螞蟻

從上底面ABC的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行

的概率相等，且每次爬行都相互獨立.若螞蟻爬行”次后，仍然在上底面的概率為￡.

⑴求片之;

（2）求月的表達式.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某幾位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個服務(wù)公司提供A、8兩種民生消費產(chǎn)品

（人們購買時每次只買其中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：第一次購買產(chǎn)品的人購買A的概率為不、

113

購買3的概率為:，而前一次購買A產(chǎn)品的人下一次來購買A產(chǎn)品的概率為:、購買8產(chǎn)品的概率為前

344

一次購買B產(chǎn)品的人下一次來購買A產(chǎn)品的概率為1、購買B產(chǎn)品的概率也是如此往復(fù).記某人第〃次

來購買A產(chǎn)品的概率為

（1）求尸2,并證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）經(jīng)過一段時間的經(jīng)營每天來購買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購買過很多次該兩款產(chǎn)品，

那么公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備A、B產(chǎn)品各多少份.（直接寫結(jié)論、不必說明理由）.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時，可以一步上一個

臺階，也可以一步上兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為1每步上兩個臺階的概率為2:，為了簡便描

述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個臺階記1分，一步走兩個臺階記2分，記甲登

上第"個臺階的概率為匕，其中weN*,且"V998.證明：數(shù)列｛匕「與｝是等比數(shù)列.

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）足球是一項大眾喜愛的運動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月

21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天.某校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行

傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如

此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第九次觸球者是甲的概率

記為P”,即q=L

⑴求乙（直接寫出結(jié)果即可）；

（2）證明：數(shù)列［匕為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.

6.（2023秋?安徽合肥?高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立102周年，學(xué)校某班組織開

展了"學(xué)黨史，憶初心"黨史知識競賽活動，抽取四位同學(xué)，分成甲、乙兩組，每組兩人，進行對戰(zhàn)答題.規(guī)

則如下：每次每位同學(xué)給出6道題目，其中有一道是送分題（即每位同學(xué)至少答對1題）.若每次每組答對

的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，原答題組的人再繼續(xù)答題；若答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方組接著答

題.假設(shè)每位同學(xué)每次答題之間相互獨立.求：

⑴若第一次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；

⑵若第一次由甲組答題，記第〃次由甲組答題的概率為匕，求匕.

③概率綜合

1.(2023?河北滄州??？既?甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三

人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人

累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.

根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為乙、丙比賽乙勝概率為《，丙、甲比賽丙勝概率

為:，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.

⑴比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；

(2)已知比賽進行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.

2.(2023?全國?學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)雙淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即勝者

組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負者組繼續(xù)比賽.之后的每一輪，在負者組中

的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者組中再

次失敗后才會被淘汰出整個比賽.A、B、C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決

(1)假設(shè)四人實力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%,求：

①隊伍A和D在決賽中過招的概率；

②D在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；

⑵若A的實力出類拔萃，即有A參加的比賽其勝率均為75%,其余三人實力旗鼓相當(dāng)，求D進入決賽且先

前與對手已有過招的概率.

3.（2023?湖北咸寧??？寄M預(yù)測）北京時間2021年11月7日凌晨1點，來自中國賽區(qū)的aG戰(zhàn)隊，捧

起了英雄聯(lián)盟sn全球總決賽的冠軍獎杯.據(jù)統(tǒng)計，僅在歷/沏,〃平臺,S11總決賽的直播就有3.5億人觀看.電

子競技作為正式體育競賽項目已經(jīng)引起越來越多的年輕人關(guān)注.已知該項賽事的季后賽后半段有四支戰(zhàn)隊

參加，采取"雙敗淘汰賽制”，對陣表如圖，賽程如下:

第一輪：四支隊伍分別兩兩對陣（即比賽1和2）,兩支獲勝隊伍進入勝者組，兩支失敗隊伍落入敗者組.

第二輪：勝者組兩支隊伍對陣（即比賽3）,獲勝隊伍成為勝者組第一名，失敗隊伍落入敗者組；第一輪落

入敗者組兩支隊伍對陣（即比賽4）,失敗隊伍（已兩敗）被淘汰（獲得殿軍），獲勝隊伍留在敗者組.

第三輪：敗者組兩支隊伍對陣（即比賽5）,失敗隊伍被淘汰（獲得季軍）;獲勝隊伍成為敗者組第一名.

第四輪：敗者組第一名和勝者組第一名決賽（即比賽6）,爭奪冠軍.假設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率均為

0.5,每場比賽之間相互獨立.問:

⑴若第一輪隊伍A和隊伍D對陣，則他們?nèi)阅茉跊Q賽中對陣的概率是多少？

（2）已知隊伍8在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中，敗了兩場，求在該條件下隊伍B獲得亞軍的概率.

4.（2023秋?廣東佛山?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)G由

3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為且每個電子元件能否正常工作是相互獨立，若系

統(tǒng)G中有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修.

（1）求系統(tǒng)需要維修的概率；

（2）為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正

常工作的概率為且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作.問：。滿足什么條

件時可以提高整個系統(tǒng)G的正常工作概率？

5.（2023春?福建?高一福建師大附中?？计谀╇p淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即

勝者組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負者組繼續(xù)比賽，之后的每一輪，在負

者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者

組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽4、B、C、。四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場

比賽為決賽.

⑴假設(shè)四人實力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%,求：

①A獲得季軍的概率；

②。在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；

（2）若4的實力出類拔萃，有4參加的比賽其勝率均為75%,其余三人實力旗鼓相當(dāng)，求。進入決賽且先前

與對手已有過招的概率.

④二項分布

1.（2023秋?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某公司有A,B,C,D,E五輛汽車，其中A車的車牌尾號為1,

3車的車牌尾號為2,C車的車牌尾號為5,。車的車牌尾號為9,E車的車牌尾號為8.已知在車輛限行日，

車輛禁止出車，在非車輛限行日，每輛車都有可能出車或不出車，且A,B,C三輛汽車在非車輛限行日出

車的概率均為J,D,E兩輛汽車在非車輛限行日出車的概率均為:，且五輛汽車是否出車相互獨立.該公

/3

司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下:

汽車車牌尾號車輛限行日

1和6星期一

2和7星期二

3和8星期三

4和9星期四

0和5星期五

(1)求星期三該公司恰有兩輛車出車的概率；

⑵求星期一該公司出車數(shù)量的分布列和期望.

2.(2023秋?云南曲靖?高三曲靖一中?？茧A段練習(xí))某中學(xué)高三年級為豐富學(xué)生課余生活，減輕學(xué)習(xí)壓力,

組建了籃球社團.為了了解學(xué)生喜歡籃球是否與性別有關(guān)，隨機抽取了該年級男、女同學(xué)各50名進行調(diào)查,

部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示:

喜歡籃球不喜歡籃球合計

男生20

女生15

合計

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)。=0.005的獨立性檢驗，能否有99.5%的把握認(rèn)為該校高三年級學(xué)生喜歡

籃球與性別有關(guān)？

⑵社團指導(dǎo)老師從喜歡籃球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范罰分線處定點投籃.已知這兩名男生進

球的概率均為彳，這名女生進球的概率為每人投籃一次，假設(shè)各人進球相互獨立，求3人進球總次數(shù)X

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3.(2023秋?山西大同?高三校聯(lián)考階段練習(xí))近日，某企業(yè)舉行"猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員

工從8道謎語中一次性抽出4道作答.小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率

均為。(0＜。＜1)，且猜中每道謎語與否互不影響.

⑴分別求小張，小王猜中謎語道數(shù)的分布列；

(2)若預(yù)測小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，求。的取值范圍.

4.(2023秋?重慶開州?高三重慶市開州中學(xué)?？茧A段練習(xí))某學(xué)校為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉行了"趣

味數(shù)學(xué)"闖關(guān)比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學(xué)能答對10

道題中的6道題.

(1)求小明同學(xué)在一輪比賽中所得積分X的分布列和期望；

(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，若參賽者每輪闖關(guān)成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖

關(guān)成功相互獨立，問：小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需幾次闖關(guān)成功才能使得對應(yīng)概率取值最大?

5.（2023秋?安徽?高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）統(tǒng)計學(xué)是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)

來認(rèn)識未知現(xiàn)象的一門科學(xué).面對一個統(tǒng)計問題，首先要根據(jù)實際需求，通過適當(dāng)?shù)姆椒ǐ@取數(shù)據(jù)，并選擇

適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行整理和描述，在此基礎(chǔ)上用各種統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行分析，從樣本數(shù)據(jù)中提取

需要的信息，推斷總體的情況，進而解決相應(yīng)的實際問題.概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支.概率

是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，它已滲透到我們的日常生活中，成為一個常用詞匯.同學(xué)們在學(xué)完高

中統(tǒng)計和概率相關(guān)章節(jié)后，探討了以下兩個問題，請幫他們解決：

⑴從兩名男生（記為片和與）、兩名女生（記為G|和&）中任意抽取兩人，分別寫出有放回簡單隨機抽樣、

不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間，并分別計算在三種抽樣方式下抽到的兩人都是

男生的概率，結(jié)合計算結(jié)果分析三種抽樣；

⑵一個袋子中有100個除顏色外完全相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作

為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù)，分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.結(jié)合計算

結(jié)果分析兩種摸球方式的特點.

⑤超幾何分布

1.（2023秋?高二課時練習(xí)）從一副去掉大小王牌的52張撲克牌中任取5張牌，用X表示其中黑桃的張數(shù).

求X的分布、期望與方差.

2.(2023?陜西商洛?陜西省丹鳳中學(xué)校考模擬預(yù)測)某乒乓球隊訓(xùn)練教官為了檢驗學(xué)員某項技能的水平，

隨機抽取100名學(xué)員進行測試，并根據(jù)該項技能的評價指標(biāo)，按

[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

率

頻

距

組

so44

o4O

oS.Q

So28

S

o20

So16

OO8

O6065707580859095100評價指標(biāo)

(1)求。的值，并估計該項技能的評價指標(biāo)的中位數(shù)(精確到0.1);

(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標(biāo)在[70,75)和[85,90)內(nèi)的學(xué)員中隨機抽取12名，再從這12名學(xué)員中隨

機抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項技能的評價指標(biāo)在[70,75)內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)

期望.

3.(2023?全國?高二專題練習(xí))《中國制造2025》是經(jīng)國務(wù)院總理李克強簽批，由國務(wù)院于2015年5月印

發(fā)的部署全面推進實施制造強國的戰(zhàn)略文件，是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領(lǐng).制造業(yè)是

國民經(jīng)濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅持把質(zhì)量作為

建設(shè)制造強國的生命線.某制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量差都服從正

態(tài)分布并把質(zhì)量差在(〃-b,〃+b)內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在(〃+G〃+2b)內(nèi)的產(chǎn)品為一等

品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品.現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽

取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

(2)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100,用樣本平均數(shù)作為〃的近似值，用樣本

標(biāo)準(zhǔn)差s作為b的估計值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)

［參考數(shù)據(jù)：若隨機變量自服從正態(tài)分布貝hP(〃-+b卜0.6827,

P(//-2cr<^<//+2a)?0.9545,尸(〃一3crWjW〃+3a)?0.9973.

⑶假如企業(yè)包裝時要求把3件優(yōu)等品和4件一等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品

進行檢驗，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品的件數(shù)為X,求X的分布列以及期望值.

4.(2023春?安徽宣城?高二統(tǒng)考期末)中國乒乓球隊號稱夢之隊，在過往的三屆奧運會上，中國代表團包

攬了全部12枚乒乓球金牌，在北京奧運會上，甚至在男女子單打項目上包攬了金銀銅三枚獎牌.為了推動世

界乒乓球運動的發(fā)展，增強比賽的觀賞性，2021年世界乒乓球錦標(biāo)賽在乒乓球雙打比賽中允許來自不同協(xié)

會的運動員組隊參加，現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名；乙協(xié)會的運動員3名，其中種子

選手2名，從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽

(1)設(shè)A為事件"選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率;

⑵設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列，并求E(X).

⑥正態(tài)分布

1.(2023?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)新高考改革后廣西采用"3+1+2”高考模式，"3"指的是語文、數(shù)學(xué)、外語，

這三門科目是必選的；"1"指的是要在物理、歷史里選一門；"2"指考生要在生物學(xué)、化學(xué)、思想政治、地理4門

中選擇2門.

⑴若按照"3+1+2”模式選科，求甲乙兩個學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)；

(2)某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生5000名參加語數(shù)外

的網(wǎng)絡(luò)測試、滿分450分，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測試成績服從正態(tài)分布N（240,602）.

①估計5000名學(xué)生中成績介于120分到300分之間有多少人；

②某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測試，有10名同學(xué)獲得430分以上的高分"，請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識

分析上述宣傳語的可信度.

附：P（〃—b4X4〃+b）a0.6827,-2<r<X<//+2（r）?0.9545,P（〃一X4〃+3cr卜0.9973.

2.（2023?江蘇揚州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.在鳳

梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：

鳳梨數(shù)量（盒）[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]

購物群數(shù)量（個）12m2032m

⑴求實數(shù)機的值，并用組中值估計這100個購物群銷售風(fēng)梨總量的平均數(shù)（盒）；

⑵假設(shè)所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量X服從正態(tài)分布其中〃為（1）中的平均數(shù)，4=12100.若

該鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售風(fēng)梨的數(shù)量在［266,596）（單位：盒）內(nèi)的群為“一級群”,

銷售數(shù)量小于266盒的購物群為"二級群"，銷售數(shù)量大于等于596盒的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”.該鳳梨基地對每

個"優(yōu)質(zhì)群”獎勵1000元，每個"一級群"獎勵200元，"二級群"不獎勵，則該風(fēng)梨基地大約需要準(zhǔn)備多少資

金？（群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù)）

附：若X服從正態(tài)分布X~〃），貝U尸（〃一CT<X<〃+。0.683,尸（〃-2。<X<〃+2。）。0.954,

P（〃—3cr<X<〃+3b）a0.997.

3.（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測）某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關(guān)活動，并對每一關(guān)根據(jù)難度進

行賦分，競猜活動共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過則不進入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，

兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關(guān)活動.

（1）若甲第一關(guān)通過的概率為:，第二關(guān)通過的概率為求甲可以進入第三關(guān)的概率；

J6

（2）已知該闖關(guān)活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前

400名發(fā)放獎勵.

①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為171分,351分以上共有57人，己知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，

請說明理由；

②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙："這次闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人"，請

結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?

附：若隨機變量貝I］尸（〃一crVXW〃+<T）B0.6827；P（//-2cr<X<//+2cr）?0.9545；

P（〃一3crVX<〃+3b）~0.9973.

4.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）2022年，隨著最低工資標(biāo)準(zhǔn)提高，商品價格上漲,

每個家庭的日常消費也隨著提高，某社會機構(gòu)隨機調(diào)查了200個家庭的日常消費金額并進行了統(tǒng)計整理，

得到數(shù)據(jù)如下表：

消費金額（千元）[2,3)[34)[4,5)[5,6)[6,7)[7用

人數(shù)406040302010

以頻率估計概率，如果家庭消費金額可視為服從正態(tài)分布NJ。?），4分別為這200個家庭消費金額的

平均數(shù)元及方差52（同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代）.

⑴求元和S2的值;

⑵試估計這200個家庭消費金額為［2.86,7.18］的概率（保留一位小數(shù)）；

⑶依據(jù)上面的統(tǒng)計結(jié)果，現(xiàn)要在10個家庭中隨機抽取4個家庭進行更細致的消費調(diào)查，記消費金額為

［2.86,7.18］的家庭個數(shù)為X,求X的分布列及期望.

參考數(shù)據(jù)：42.06"44；

若隨機變量4~N（〃b2）,則尸（〃一。<。4〃+。）=。.6827,P（〃一2bVJV〃+2b）=0.9545,

尸+=0.9973.

5.（2023?福建寧德?福建省寧德第一中學(xué)?？级＃蔷袷澜绲娜肟?，閱讀讓精神世界閃光，閱讀

逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，

通過隨機抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分

布直方圖，如圖所示.

A頻率

［礪

0.045r..............—I

0.020.................—

0.010…L

嘴

u5060708090100分鐘

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)工(單位：分鐘)；(同一組數(shù)據(jù)用該

組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示)

(2)若年輕人每天閱讀時間X近似地服從正態(tài)分布N(〃,100),其中〃近似為樣本平均數(shù)最，求P(64<XW94)；

⑶為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組［50,60),

［60,70),［80,90)的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到每天閱讀時間位于［80,90)的人

數(shù)4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附參考數(shù)據(jù)：若，則①尸(〃-6<XV〃+6)=0.6827；②尸(〃-25<X<〃+25)=0.9545；③

P(M—36<XW〃+35)=0.9973.

6.(2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測)為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，我校團委組織學(xué)生開展了“喜迎二十大，奮

進新征程"知識競賽活動，現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了100名，統(tǒng)計出他們競賽成績分布如下：

成績(分)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)242240284

⑴求抽取的100名學(xué)生競賽成績的方差d(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；

⑵以頻率估計概率，發(fā)現(xiàn)我校參賽學(xué)生競賽成績X近似地服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平均

分無，接近似為樣本方差$2,若<X4〃+2b,參賽學(xué)生可獲得“參賽紀(jì)念證書？”；若X>〃+2b,

參賽學(xué)生可獲得“參賽先鋒證書”.

①若我校有3000名學(xué)生參加本次競賽活動，試估計獲得"參賽紀(jì)念證書”的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

②試判斷競賽成績?yōu)?6分的學(xué)生能否獲得"參賽先鋒證書”.

附：若X~N(〃,cr2),則尸(〃一b<XV〃+b)土0.6827,P("—2b<XW〃+2b)20.9545,

尸(〃-3。<X4M+3b)B0.9973；抽取的這100名學(xué)生競賽成績的平均分元=75.

⑦非線性回歸分析

1.(2023?四川綿陽,統(tǒng)考二模)抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個重要組成部分，抗體藥物的攝

入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗體藥物的一個重要方面.某研究團隊收集了10組抗體藥物的攝入量

與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值，抗體

藥物攝入量為無(單位：mg),體內(nèi)抗體數(shù)量為y(單位：AU/mL).

10101010

Zz,

力,4

i=lZ=11=1i=\

29.2121634.4

九

12--

10-,

8-?

6-?

4-.

2

O2468101214161820222426x

(1)根據(jù)經(jīng)驗，我們選擇>=。尤”作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將y=cxd兩邊取對

數(shù)，得lny=lnc+dln無，可以看出Inx與Iny具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立V關(guān)于x的回歸方程，

并預(yù)測抗體藥物攝入量為25mg時，體內(nèi)抗體數(shù)量》的值；

(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗統(tǒng)計得z服從正態(tài)分布N:(0.48,0.032),那這

種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為多少？

附：①對于一組數(shù)據(jù)(%,%)?=1,2,L,10),其回歸直線片向+°的斜率和截距的最小二乘估計分別為

“_

Z%匕-

尸二二，a—v—/3u;

Z-nu

i=l

②若隨機變量Z?N(〃,cr2),則有尸(〃一b<Z<//+cr)?0.6826,P(/z-2cr<Z<〃+2b)?0.9544,

尸(〃一3bvZv〃+3b)b0.9974；

③取e22.7.

2.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既?經(jīng)觀測，長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)》與溫度x有關(guān)，現(xiàn)將收集

到的溫度占和產(chǎn)卵數(shù)》(=1,2,…,10)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表.

1010101010

儲Zx￡(西-寸

1=11=1i=lZ=1Z=1

36054.5136044384

10101010

2(—)2^(x;-x)(z,-z)

1=11=1i=\i=l

3588326430

[10

表中有=百0=In%,彳=6

iu,=i

九

350-.?

300-

250-

200-?

150-*

100-?

50-,

.???

I4111II1II?

°202224262830323436%

(1)根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx,y=n+m石與y=*濟哪一個適宜作為，與x之間的回歸方程模型并求出J

關(guān)于x回歸方程；(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有6個魚卵，其中"死卵”有2個；第二批中共有8個魚卵，

其中"死卵”有3個.現(xiàn)隨機挑選一批，然后從該批次中隨機取出2個魚卵，求取出"死卵”個數(shù)的分布列及數(shù)

學(xué)期望.

附：對于一組數(shù)據(jù)(4,耳),(名,3)「??("”#")，其回歸直線丫=。+尸"的斜率和截距的最小二乘估計分別為

B=上―------------,a^v-(3u.

E(M/-M)2

i=\

3.（2023?四川瀘州?四川省瀘縣第四中學(xué)?？寄M預(yù)測）黨的二十大報告提出，從現(xiàn)在起，中國共產(chǎn)黨的

中心任務(wù)就是團結(jié)帶領(lǐng)全國各族人民全面建成社會主義現(xiàn)代化強國、實現(xiàn)第二個百年奮斗目標(biāo)，以中國式

現(xiàn)代化全面推進中華民族偉大復(fù)興.高質(zhì)量發(fā)展是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的首要任務(wù).加快實現(xiàn)高水

平科技自立自強，才能為高質(zhì)量發(fā)展注入強大動能.某科技公司積極響應(yīng)，加大高科技研發(fā)投入，現(xiàn)對近十

年來高科技研發(fā)投入情況分析調(diào)研，其研發(fā)投入y（單位：億元）的統(tǒng)計圖如圖1所示，其中年份代碼后1,

現(xiàn)用兩種模型①y=6x+“，②y=c+da分別進行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程，并進行殘差分析,

得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計算得到如下值：

10101010

yt余行)2-(%-刃a-元)

i=\i=lZ=1i=l

752.2582.54.512028.67

[10

表中4=Z%.

,=i

⑴根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于1的回歸方程；根據(jù)所選模型，求該公司2028年高科技研發(fā)投入y

的預(yù)報值.（回歸系數(shù)精確到0.01）

附：對于一組數(shù)據(jù)（XQ,）其回歸直線y=°+標(biāo)的斜率和截距的最小二乘估計分別為

八￡（乙-可（y-9）.

^=J5H；----；—，a=y-bx

i=l

4.（2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預(yù)測）某新能源汽車公司對其產(chǎn)品研發(fā)投資額尤（單位：百萬元）與其月銷售

量y（單位：千輛）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，得到如下統(tǒng)計表和散點圖.

⑴通過分析散點圖的特征后，計劃用

y=ln（bx+a）作為月銷售量>關(guān)于產(chǎn)品研發(fā)投資額x的回歸分析模型，根據(jù)統(tǒng)計表和參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于

x的回歸方程;

⑵公司決策層預(yù)測當(dāng)投資額為11百萬元時，決定停止產(chǎn)品研發(fā)，轉(zhuǎn)為投資產(chǎn)品促銷.根據(jù)以往的經(jīng)驗，當(dāng)投

資11百萬元進行產(chǎn)品促銷后，月銷售量J的分布列為:

345

321

p3PPp+d

結(jié)合回歸方程和J的分布列，試問公司的決策是否合理.

人￡（西-尤）（y-y）Exiyi-nx-y

參考公式及參考數(shù)據(jù)：?=J————------^^=y-^c,ln7-1.95.

z=li=l

y0.691.611.792.082.20

e"（保留整數(shù)）25689

5.（2023?安徽六安?安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測）放行準(zhǔn)點率是衡量機場運行效率和服務(wù)質(zhì)量的重要指

標(biāo)之一.某機場自2012年起采取相關(guān)策略優(yōu)化各個服務(wù)環(huán)節(jié)，運行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)

X；與該機場飛往A地航班放行準(zhǔn)點率為（z=l,2,L,10）（單位：百分比）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所作的散點圖及經(jīng)過

初步處理后得到的一些統(tǒng)計量的值.

放行準(zhǔn)點率/百分比

84-.

83-.

82-?

81-.,

80-,

79-,

78-?

77-?

76-

75-

74----J----1----1----1----1----1----1----1----1----1----

20122013201420152016201720182019202020212022年份數(shù)

10101010

XyTz%%之入

i=li=\Z=1Z=1

2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8

_1io

其中q=如（玉_2012）,F=

1Ui=\

⑴根據(jù)散點圖判斷，y=bx+a^y=cln（x-2012）+d哪一個適宜作為該機場飛往A地航班放行準(zhǔn)點率y關(guān)

于年份數(shù)尤的經(jīng)驗回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗回歸方程，由

此預(yù)測2023年該機場飛往A地的航班放