第1章二次函數(shù)易錯必考63題（13個考點）專練

易錯必考題一、根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)

1.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）若函數(shù)y=（/+加X/HT是二次函數(shù)，那么相的值是（）

A.2B.-1或3C.3D.-1±72

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：y=a^+bx+c{a^Q）,進行計算即可.

【詳解】解：由題意得：m2-2m-1=2,解得：〃z=—1或〃?=3；

又m2+mW0,解得：機H—1且機H0,

m=3.

故選C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義.熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.注意二次項系數(shù)不為零.

2.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）點尸9）在函數(shù)y=4/-3的圖象上，則代數(shù)式（2a+3）（2a-3）的值等

于.

【答案】3

【分析】利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出4/=12,將其代入（2a+3）（24-3）=4〃—9中即可求出

結(jié)論.

【詳解】解：,點P（a,9）在函數(shù)y=4f一3的圖象上，

.?.9=4/-3,

.-.4a2=12,

貝I」代數(shù)式（2。+3）（2。-3）=4片一9=12—9=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式是解題

的關(guān)鍵.

3.（2022秋?浙江湖州?九年級統(tǒng)考期中）定義：如果函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為函數(shù)

的不動點.例如，點（1,1）是函數(shù)y=-2x+3的不動點.已知二次函數(shù)y=x2+2（6+2）x+〃（b是實數(shù)）.

（1）若點（T,T）是該二次函數(shù)的一個不動點，求匕的值；

（2）若該二次函數(shù)始終存在不動點，求6的取值范圍.

【答案】⑴1+君或1-6

3

【分析】（1）根據(jù)“不動點”定義，建立方程求解即可；

（2）根據(jù)不動點的定義求出函數(shù)，再根據(jù)判別式計算即可.

【詳解】（1）解：依題意把點（T-1）代入解析式y(tǒng)=/+2（>+2）x+b2,

得一1=1-20+2）+火化簡得：b2-2b-2=0,解得：4=1+6也=1—百；

（2）解：設(shè)點（口）是函數(shù)、=爐+2僅+2卜+廿的一個不動點，

則有/=/+2（匕+2"+》2,化簡得，t2+（2b+3）t+b2=0,

關(guān)于f的方程有實數(shù)解，

03

A=（2Z?+3y-4fo2>0,解得：

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與新定義“不動點”應(yīng)用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情況與判別

式等知識，解題的關(guān)鍵是理解并利用新定義解決問題.

易錯必考題二、二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的綜合判斷

4.（2023春?浙江杭州?八年級?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)yuaY+"+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)

a+b+c

y=奴+/一4〃。與反比例函數(shù)y=在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（）

X

【分析】由拋物線的圖象可知，橫坐標為1的點，即（1，a+》+c）在第四象限可得a+6+c<0,從而得到反

比例函數(shù)了=""的圖象分布在二、四象限，由拋物線的開口方向和與X的交點個數(shù)得到

X

a<0,b2-4ac>0,從而得到一次函數(shù)y=or+戶-4ac的圖象經(jīng)過一、二、三象限，即可得到答案.

【詳解】解：由拋物線的圖象可知，橫坐標為1的點，即（1，匕+C）在第四象限，

:.a+b+c<0,

n+h+c

，反比例函數(shù)y=的圖象分布在二、四象限，

X

拋物線的開口向上，

..a>0,

「拋物線與X軸有兩個交點，

A=b—-4ac>0,

，一次函數(shù)y=ar+〃-4ac的圖象經(jīng)過一、二、三象限，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)、反

比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題，是解此題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)丫=+1與二次函數(shù)>=/+%的

【答案】A

【分析】由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限可確定人的正負，進而驗證二次函數(shù)圖象與y軸交點的位置，結(jié)合二

次函數(shù)圖象的開口方向進行判斷，即可求解.

【詳解】解：A、由丫=-履+1圖象得：-左＞0,.?*＜(),由y=Y+左得：1＞0,.,.拋物線的開口向上,

交于y軸負半軸，符合題意，故此項正確；

B、由y=/+%得：1＞0,???拋物線的開口向上，故此項錯誤；

C、由'=-履+1圖象得：—左＜0,y=，+A的圖象應(yīng)交于y軸正半軸，故此項錯誤；

D、由丫=-履+1得：圖象交于y軸的(0,1),故此項錯誤；

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)圖象以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的圖

象找出每個選項中上的正負是解題的關(guān)鍵.

6.(2023春?山東德州?八年級統(tǒng)考期末)二次函數(shù)＞=以2+公+。的圖象如圖所示，則一次函數(shù)了=依+6和

反比例函數(shù)＞=￡在同一平面直角坐標系中的圖象可能是()

【分析】根據(jù)二次函數(shù)〉=62+法+。的圖象開口向上，得。＞0,與y軸交于正半軸，得c＞0,根據(jù)二次

函數(shù)的對稱軸可得b<0,從而得到一次函數(shù)y="+6經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)y=9經(jīng)過一、三

象限，即可得到答案.

【詳解】解：二次函數(shù)丁=。/+法+。的圖象開口向上，與y軸交于負半軸，

a>0,c>0,

b

又觀察二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的對稱軸為》=-丁>。，

2a

：.b<0,

，一次函數(shù)》=公+匕經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)y=￡經(jīng)過一、三象限，只有選項D圖象符合，

x

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到。>0,

c>0,b<0,是解題的關(guān)鍵.

7.（2023秋?山西運城?九年級統(tǒng)考期末）拋物線y=o?+法+。與直線y=。陵+。同一坐標系的大致可能是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)各個選項中的圖象，可以判斷出一次函數(shù)和二次函數(shù)中。、氏c的正負情況，即可判斷哪個

選項是正確的；

【詳解】A、一次函數(shù)y="x+c中。分<0,。<0,二次函數(shù)y=+打+<：中a>0,b>0,c<0,即ab>0,c<。,

故選項A不符合題意；

B、一次函數(shù)y=abx+c中ab>0,c<0,二次函數(shù)y=ax?+fcv+c中a<0,b<0,c>0,gpab>0,c>0,

故選項B不符合題意；

C、一次函數(shù)y=afcv+c中。6>0,c<0,二次函數(shù)y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0,即aZ?<0,c<。，

故選項C不符合題意；

D、一次函數(shù)y=abx+c中aZ?<O,c>0,二次函數(shù)y=ax?+/w+c中a<。,匕>0,c>0,即。匕<0,c>0故

選項D符合題意；

故選D

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),

用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

易錯必考題三、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

8.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線、=辦?+。經(jīng)過正方形Q4BC的三個頂點A,B,C,點B

C.-3D.-4

【答案】B

【分析】連接AC,交y軸于點。，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知AC=OS=2AD=28,然后可得點

進而代入求解即可.

【詳解】解：連接AC,交y軸于點。，如圖所示:

AAC^OB=2AD=2OD=c,AC±OB,

解得：ac=-2,

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）已知拋物線>=-尤2-4〃a+加2-1,A（-2m-4,yi）,3（m+3,%）為該拋物線

上的兩點，若M<%，則機的取值范圍（）

717—171

A.m<——B.m>—C.m<——或根>一D.——<m<—

333333

【答案】D

【分析】先把丁=一12_4巾+機2-1化成丁=一（％+2m）2+5根2_],把A,5兩點的坐標代入

=-4mx+m2-1,根據(jù)M<%，即可求出加的取值范圍.

【詳解】***y=—x2—4mx+m2—1=—（x+2m）2+5m2—1,

當點A（-2m-4,y1）,5（根+3,%）在拋物線,=一九2-45+療一1上，

22222

/.%=（—2m—4+2m）+5m—l=-17+5m,y2=—（3m+3）+5m—1,

%<%，

???-17+5m2<-（3+3m）2+5m2-l,

71

解得：一§<加<§.

故答案為：D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì).

10.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y=-2）2一。（aW。），當-1<%<4時,y的最小值為T,

則。的值為（）

11414

A.彳或4B.4或一彳C.一；或4D.一彳或彳

22323

【答案】B

【分析】根據(jù)表達式求出對稱軸，對。的正負進行分類討論，求出每種情況的最小值即可.

【詳解】解：y=〃（x—2）2—。的對稱軸為直線％=2,

頂點坐標為（2,-。），

當a>0時，在一1<x44,

的最小值為T,

??一a=-4,

a=4；

時，在一14兀＜4,

當尸-1時函數(shù)有最小值，

：.a[-l-2^-a=-4,

解得a=j

2

綜上所述：。的值為4或

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對。的分類討論是本題的解題關(guān)鍵.

11.（2023?河南?河南省淮陽中學(xué)校聯(lián)考一模）在鈍角三角形ABC中（如圖1）,AB=AC,點尸為邊A3上

一動點，連接PC,在直線CP的上方構(gòu)造等腰直角三角形CPQ,使CP=P。，連接BQ,設(shè)BP的長為X,

臺尸。的面積為》若y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則ABC的面積為（）

A.20B.10C.8A/5D.4下

【答案】D

【分析】由圖2可得，當尤=2君，y=26，點P運動到點A的位置，過點。、C分別作54的垂線，垂足

為D、E,由勾股定理先求出4D的長，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到CE="）,進而求出面積.

【詳解】解：由圖2可得，當尤=2指，y=2^5,點尸運動到點A的位置，

過點。、C分別作54的垂線，垂足為。、E,如圖：

VAB=AC=PQ=2y[5,SBPQ=；BP.DQ=2亞，三角形CPQ是等腰直角三角形,

APQ=PC,即AC=AQ=27?,

=翁2,

???AD=^AQ2-QD2=5/20-4=4,

,.?^QPC=90°,

ZCAE=ZAQD,

ACE-UXAAS）,

???CE=AD=4,

：.SABC=|AB?￡'C=1X275X4=4V5.

故選：D.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，能夠作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?福建福州?福建省福州延安中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在正方形。45。中，點4（0,2）,點。（2,0）,

則二次函數(shù)＞=（彳-m）2-m與正方形。40c有交點時，機的最大值是.

A—

O-Cx

【答案

【分析】根據(jù)拋物線頂點坐標可確定其頂點在直線y=-x上移動，然后再確定當拋物線左側(cè)經(jīng)過點8時，

取得最大值，以此代入坐標求解即可.

【詳解】解：由題意，該拋物線的頂點坐標為（根,-加）,

???拋物線的頂點在直線y=-x上移動,

?.,四邊形0RC為正方形，點A（0,2）,點C（2,0）,

???點3的坐標為（2,2）,

如圖所示，當拋物線左側(cè)經(jīng)過點B時，加取得最大值,

將（2,2）代入y=（無一〃?）~一得：（2-mf-m-2,

解得：加="姮或m=三叵（不合題意，舍去），

22

故答案為：2±姮.

2

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握拋物線頂點特征及運動軌跡，確定取得最值時的特殊位置是

解題關(guān)鍵.

13.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，點A（〃?，x）、3（m+1,%）在拋物線>=（尸1）2-2

上.當H<%時，拋物線上A、5兩點之間（含A、5兩點）的圖像的最高點的縱坐標為3,則m的值為.

【答案】75

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸以及頂點坐標，然后分情況結(jié)合拋物線的增減性進行求解即

可.

【詳解】解：由函數(shù)解析式可知拋物線的對稱軸為x=l,頂點坐標為（1，-2）,

,當天1Vxm+1<1時，不符合題意；

當/<1</+I時，拋物線上A、8兩點之間（含A、8兩點）的圖像的最高點的縱坐標不可能為3,不符

合題意；

當1<無”+1時，，隨x增大而增大，

...當x=〃z+l時，函數(shù)值y=3,

即3=（〃葉1-I）2-2,

解得m=±A/5,

*.*m>1,

m=非，

故答案為：5

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點式以及增減性是解本題的關(guān)鍵.

14.（2023?四川成都?校考三模）在平面直角坐標系xOy中，對封閉圖形M和不重合的兩點尸，。給出如下

定義：點。關(guān)于點尸的中心對稱點為。'，若點。'在圖形M內(nèi)（包含邊界），則稱圖形M為點。經(jīng)點P投射

的“靶區(qū)”.如圖,拋物線y=爾-4依+6與x軸的交點A,8位于原點兩側(cè)（點A在點8的左側(cè)），且03=3Q4,

則拋物線的函數(shù)表達式為，記x軸上方的拋物線與x軸所圍成的封閉圖形為G,點E（0,〃。為》軸

上一動點，若直線y=X+3上存在點歹，使得圖形G為點/經(jīng)點E投射的“靶區(qū)”，則根的取值范圍

是________

0<m<y/15且加w3.

【分析】由。3=3。4,以及拋物線的對稱軸，可得出點A的坐標，進而求出函數(shù)表達式；求出直線y=x+3

關(guān)于y軸的對稱直線，再由對稱直線與封閉圖象的交點，可求出機的取值范圍.

【詳解】解：由題知，

拋物線的對稱軸為x=2,

令A(yù)(m,0),又A,8兩點關(guān)于x=2對稱，

所以2-帆=修-2,則修=4-帆.

所以O(shè)A=—m,OB=4-m.

又OB=3OA,

所以4-〃2=3x(-〃7),得〃z=-2.

故A(-2,0).

將A點坐標代入拋物線解析式得，4.+附+6=0,則。=-；.

所以拋物線的函數(shù)表達式為y=+2x+6.

直線y=x+3關(guān)于y軸的對稱直線為y=-x+3,

記直線y=-X+3與封閉區(qū)域G的交點為M，N,

y=—尤-+2x+6x=3+V15x=3-屏

則'2,解得，或，

)=-屏y=V15

y=-x+3

所以加的取值范圍是0VmWJT?且加片3.

故答案為：y^--x2+2x+6,0<m<V15

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用直線y=尤+3關(guān)于y軸的對稱直線是解題的關(guān)鍵.

15.(2023春?吉林長春?九年級統(tǒng)考開學(xué)考試)在平面直角坐標系中，已知4-1,3),8(3,3).拋物線

y=~x2+2ax+2(a為常數(shù))與y軸相交于點P.

(1)點尸的坐標是一

(2)若拋物線>=-尤2+26+2(a為常數(shù))經(jīng)過點8.

①求。的值.

②當時，求y的最大值和最小值.

(3)若拋物線y=-x2+2ax+2與線段A8恰有一個交點，直接寫出a的取值范圍.

【答案】(1)(0,2)

⑵①a=gS②當x=T時，y有最小值，最小值為-弟QO；當尤=s?時，y有最大值，最大值為4孩3

J。Dy

(3)aW-l或a=l或a>，

【分析】(1)令x=0,代入解析式，即可求得尸點的坐標;

(2)①將點2(3,3)代入，解析式>=-必+2辦+2,即可得出。的值;

②先求得拋物線的對稱軸，為x=g，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得出當x=T時，＞有最小值，當X=g時，y

有最大值，進而，即可求解.

(3)分拋物線經(jīng)過點A,2以及頂點在上三種情況討論，即可求解.

【詳解】(1)解：?..拋物線了=-彳2+26+2(°為常數(shù))與y軸相交于點P.

...當x=0時，y=2

尸(0,2)

故答案為：(0,2).

(2)①拋物線經(jīng)過點8(3,3),

3=-9+6a+2,

解得a=g;

②一拋物線y=-爐+2依+2開口向下，它的對稱軸為直線x=?，

▽一〃一5

又?a一個,

???當x=-4時，y有最小值，最小值為y=-(-4)2+2x§x(-4)+2=-g；

當尤=|■時，y有最大值，最大值為y=-(：＞+2xgxg+2=?.

(3)當y=f2+2ax+2與A5恰有一個交點時，

①當頂點坐標在A3上，

4x(一1)x2WjX.+a-

4x(-1)-4

則a=±1

②當拋物線經(jīng)過點A時，3=-(-l)2+2ax(-l)+2

解得：a=-1

當拋物線經(jīng)過點8時，3=-3?+6a+2

解得：

則當y=-x2+2ax+2與A3恰有一個交點時，"＜一1或a=l或〃〉g.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.(2023春?福建福州?八年級?？计谀?二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題:

(1)直接寫出不等式OX。+>元+<?<0的解集；

(2)求二次函數(shù)解析式，直接寫出當-1VXW2時，y的最小值；

(3)若方程62+云+°=左有兩個不相等的正實數(shù)根，直接寫出左的取值范圍.

【答案】⑴—l<x<3

(2)J=X2-2X-3,當-1VXV2時，，的最小值為T

⑶T（左<一3

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象直接可以得到不等式依2+&r+c<0的解集；

(2)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式為產(chǎn)1-2萬-3,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出當-14x42時，

y的最小值；

(3)根據(jù)題意可知>=依2+廄+。與>=上的函數(shù)圖象有兩個交點，且兩個交點的橫坐標大于0,再結(jié)合圖

象即可得到答案.

【詳解】(1)解：由圖象可得：

當-l<x<3時，不等式加+6x+c<o；

(2)解：由圖象可得，,="2+法+0的圖象經(jīng)過點(-1,0),(3,0),(0,-3),

a-b+c=0

-9a+3b+c=0,

a—\

解得：<b=—2,

c=-3

二二次函數(shù)解析式為y=x2-2x-3,

tz=1>0,

，當x=-/；=l時，y取最小值，最小值為y=F-2x1-3=-4,

2x1

.??當—14x42時，y的最小值為T；

(3)解：：方程G?+6X+C=%有兩個不相等的正實數(shù)根，

.,.了=內(nèi)2+a+。與>=上的函數(shù)圖象有兩個交點，且兩個交點的橫坐標都大于0,

由圖象可知，左的取值范圍為T<%<-3.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

易錯必考題四、二次函數(shù)圖象的平移問題

17.(2023春?浙江金華?九年級?？计谥?如圖，一條拋物線與x軸相交于N點(點M在點N的左側(cè))，

其頂點尸在線段上移動，點48的坐標分別為(-2,3),(L3),點N的橫坐標的最大值為4,則點M的

橫坐標的最小值為()

A.-1B.-3C.-5D.-7

【答案】C

【分析】其頂點P在線段A3上移動，點A,B的坐標分別為(-2,3),(1,3),分別求出對稱軸過點A和8時

的情況，即可判斷出M點橫坐標的最小值.

【詳解】解：根據(jù)題意知，

二點N的橫坐標的最大值為4,此時點尸和點B重合，即拋物線的對稱軸為：x=l,

N點坐標為(4,0),則M點坐標為(-2,0),

點尸和點A重合，點M的橫坐標最小，此時拋物線的對稱軸為：%=-2,

點坐標為（1,0）,則M點的坐標為（-5,0）,

???點M的橫坐標的最小值為-5,

故選：C.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)在平行

于x軸的直線上移動時，兩交點之間的距離不變.

18.（2023?山東濟南?統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)的表達式為y=2丈+3,將其圖象向右平移左（％>0）個單位，

得到二次函數(shù)％=32+心+?的圖象，使得當-!<x<3時，％隨x增大而增大；當4<x<5時，％隨x增

大而減小.則實數(shù)4的取值范圍是（）

A.l<k<3B.2<k<3C.3<k<4D.4<?k<5

【答案】D

【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，然后結(jié)合二次函數(shù)的增減性與對稱軸的關(guān)系可求.

【詳解?把了=-/-2彳+3=-（*+1）2+4向右平移左僅>0）個單位，得到二次函數(shù)%=小2+加+?的圖象,

/.必=-（x+1-左y+4

???新圖象的對稱軸為直線x=k—1,

?.,當-l<x<3時，％隨x增大而增大；當4<x<5時，》隨x增大而減小，且拋物線開口向下，

角軍得44A45,

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題.

19.（2023春?安徽?九年級專題練習(xí)）已知拋物線y=依2-4依+（:（。大0）.

（1）二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線廣；

（2）當c=2時將點A（T,-2）向右平移9個單位得到點2,直接寫出線段A3與拋物線有兩個交點時。的取

值范圍__________.

、4

【答案】2“>1或a<-1

【分析】（1）利用對稱軸公式求得即可;

（2）當c=2時，求出拋物線頂點坐標為（2,2-4a）,由平移可得3（5,-2）,當x=5時，求出，=5。+2,根

據(jù)拋物線與線段AB有兩個交點，分情況列不等式組求解即可.

【詳解】解：（1）：拋物線丫=6）%2-4"+。（《工0）,

對稱軸是直線x=-==2,

故答案為：2；

（2）當c=2時，y=ax2-4ax+2=a（x-2^2+2~4a,

拋物線的頂點坐標為（2,2-4a）,

V點A（-4,-2）向右平移9個單位得到點B,

5（5,-2）,

當x=5時，y=a（5-2）2+2-4a=5a+2,

:拋物線丁=辦2-46+2與線段AB有兩個交點，

2—4a<—2

.?.當。>0時,

5a+2>—2

解得：a>l；

2—4〃>—2

當a<0時,

5〃+2<—2

,4

解得：a<：

4

綜上所述，。的取值范圍為。>1或.

4

故答案為：或a<-y.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，平移變換的性質(zhì)等重要知識；熟練掌握二次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

20.（2023春?江蘇蘇州?九年級星海實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線y=-2f+4x與無軸的另一個交

點為A,現(xiàn)將拋物線同右平移3個位長度，所得拋物線與無軸交于點C,D,與原拋物線交于點P,則

S&PCD=_________

【分析】先求出A的坐標，設(shè)P關(guān)于x=l的對稱點為。，且設(shè)P的橫坐標為七，。的橫坐標為根據(jù)題

意可知玉+%=2,%,-x2=3,從而求出玉與血的值，從而求得.PCD的8邊上的高，然后根據(jù)三角形面

積公式求解.

【詳解】解：拋物線的對稱軸為：x=l,

令\=0代入y=-2x2+4x,

.*.0=—2x?+4x,

二.x=0或x=2,

A(2,0)

:.OA=2,

設(shè)尸關(guān)于x=l的對稱點為。，且設(shè)尸的橫坐標為玉，。的橫坐標為巧，

,Xl+X2.1

"2~,

■■■拋物線向右平移3個單位長度，

，PQ=3,

石一/=3,

//+%2=2

j玉-x2=3'

[x,=2.5

解得

[x2=-0.5

把％=2.5代入y=-2x2+4x

/.y=2-4.5vO,

在中，8邊上的高為：4.5—2=2.5,

OA=CD=2f

S"CD=萬*2x2.5=2.5,

【點睛】本題考查拋物線與X軸的交點，解題的關(guān)鍵是求出尸的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式即可求出

尸8的面積，本題屬于中等題型.

21.(2023秋?九年級課時練習(xí))把二次函數(shù)y=a(x-/z)2+4的圖象先向左平移2個單位長度，再向上平移4

個單位長度，得到二次函數(shù)y=的圖象.

(1)試確定h,(的值;

(2)指出二次函數(shù)y=a(x-")2+k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

【答案】(l)a=g;h=2；k=Y

(2)開口向上，對稱軸為直線x=2,頂點坐標為(2,-4)

1

【分析】(1)由平移的規(guī)律可得函數(shù)平移后的解析式為y=/i+2/0+左+4,從而即可得到〃=

-/z+2=0,左+4=0,進行計算即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】(1)解：把二次函數(shù)y=〃(x-田2+左的圖象先向左平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度,

得到y(tǒng)=a(<x-h+2y+k+4,

「二次函數(shù)y=〃(％-/z+2)2+%+4與y=<%2是同一函數(shù)，

a=—,—/z+2=0,%+4=0,

2

解得：a=—,〃=2,k=—4；

2

(2)解：?.,二次函數(shù)y=a(x-7z)2+左的解析式為y=；(x-2)2-4,

..?函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線x=2,頂點坐標為(2,4).

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律：左加

右減、上加下減是解題的關(guān)鍵.

22.(2023春?新疆烏魯木齊?九年級統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，已知二次函數(shù)y=-爐+a+。(b,c為常數(shù))的

圖象經(jīng)過點4(3,1),點C(0,4),頂點為點過點A作軸，交y軸于點。，交該二次函數(shù)圖象于點

B,連接8C.

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；

(2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移根(m>0)個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在的內(nèi)部

(不包括一A5C的邊界)，求相的取值范圍.

【答案】(1)二次函數(shù)解析式為y=-f+2]+4,點M的坐標為(1,5)

(2)2<m<4

【分析】(1)把點A、C的坐標代入函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，將解析式化成頂點式,

可得點M的坐標；

(2)點M是沿著對稱軸向下平移的，可先求出直線AC的解析式，再求出平移后的二次函數(shù)圖象頂點落在

AC上和落在A3上時機的值，進而可得答案.

—9+3Z?+c=1

【詳解】(1)解：把點A(3,l),點C(0,4)代入二次函數(shù)丁=-尤2+法+,,得

c=4

b=2

解得

c=4

，二次函數(shù)解析式為y=*+2x+4,

y=-尤2+2尤+4=—(無一1J+5,

.??點M的坐標為(1,5)；

(2)設(shè)直線AC解析式為，=云+》,

3k+b=\

把點4(3,1),點C(0,4)代入得：j

伏=-1

解得八，，

[b=4

：.直線AC的解析式為y=-x+4,

??,點M的坐標為(1,5),拋物線對稱軸為x=l,

當x=l時，y=r+4=3,

二當平移后的二次函數(shù)圖象頂點落在AC上時，m=5-3=2,

又?.?點4(3,1),AB〃x軸，

當平移后的二次函數(shù)圖象頂點落在A3上時，m=5-1=4,

.?.當平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在的內(nèi)部(不包括，ABC的邊界)時，根的取值范圍為

2<m<4.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，二次函數(shù)頂點坐標的求法，二次函數(shù)的平移，一次函數(shù)的圖象和

性質(zhì)等知識，熟練掌握待定系數(shù)法，求出一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

23.(2023?全國?九年級專題練習(xí))如圖所示，已知拋物線y=Y+6x+c交無軸于A、B兩點，交y軸于點C,

其中點A的坐標為(-1,0),對稱軸為直線尤=1.

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；

(2)當直線y=x+〃z經(jīng)過點C時，結(jié)合圖象直接寫出不等式x+^v/+Zw+c的解集；

⑶已知點。￡(4,-5),連接DE,若拋物線>=/+法+。向下平移衣上>0)個單位長度時，與線段

DE只有一個公共點，請直接寫出上的取值范圍.

【答案】(1)，=爐-2元-3,頂點坐標(1,4)；

⑵x>3或尤<0；

(3)左=1或3<左410.

4

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)觀察函數(shù)圖象即可求解；

1is

(3)①拋物線向下平移1個單位時，拋物線和。E有一個交點，即％=1；②當x=]時，j=-—,當x=4

時，，=3,當拋物線向下平移g個單位時，拋物線和DE恰好有2個交點，當拋物線向下平移10個單位時，

4

拋物線和DE恰好有1個交點，之后再沒有交點，即可得解.

【詳解】(1):拋物線過點A(T,O),且對稱軸為直線x=l,

0=(-1)2+Z7X(-1)+C

??<b

—=1

I2

邛一

[c=-3

/.y=(x+l)(x-3)=x2—2x—3；

(2)由(1)知y=%2—2%—3,令％=0得，

y=02-2x0-3=-3

y=-3

???C(0,-3)

令y=。得

AX2-2X-3=0

??玉=-1,x?—3

???3(3,0)

???當直線過點。時，直線的表達式為：y=%-3,該直線恰好過點》

觀察函數(shù)圖象知，不等式％+加+法+。的解集為：X>3或％v。；

（3）①由拋物線的表達式知，其頂點坐標為：（1,-4）,

則拋物線向下平移1個單位時，拋物線和。E有一個交點，即％=1；

②當x=g時，y=f—2x—3=—',當x=4時，y=x2—2x—3=5,

當拋物線向下平移5-（-5）=10個單位時，拋物線和/定恰好有1個交點，之后再沒有交點，

故*<yo,

4

綜上，左=1或2〈左wio.

4

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、圖形的平移等，其中（3）,要注意分類求

解，避免遺漏.

易錯必考題五、根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號

24.（2023春?湖北咸寧?九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）已知二次函數(shù)y=a^+bx+c（a*0）圖象的對稱軸為直線x=-l,

部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①abc>0；②^-4ac>0；③4o+c>0；④若f為任意實數(shù)，則有

°一次4m2+6；⑤當圖象經(jīng)過點2>寸，方程辦2+6x+c_2=0的兩根為毛，%2（%,<X2）,則芭+2%=—|,

其中正確的結(jié)論是（）

A.②③⑤B.①③④⑤C.②③④⑤D.①③④

【答案】C

【分析】利用拋物線開口向上得〃>0,利用拋物線的對稱軸得到b=2“>0,利用拋物線與y軸的交點位置

可得c<0,則可判斷①；根據(jù)判別式可判斷②；利用x=l時得至Ua+Z?+c>0結(jié)合a>0和b=>0即可判

斷③；禾U用二次函數(shù)當》=一1時有最小值可得a-6+cWo產(chǎn)+6r+c,進而可判斷④；利用二次函數(shù)

丫="2+法+。與直線>=2的交點可得占=-|,代入即可判斷⑤.

【詳解】解：「拋物線的開口向上，

〃>0,

拋物線的對稱軸為：x=-^b=-l,

2a

..b=2a>0,

?拋物線與y軸的交點在無軸的下方,

c<0,

abc<0,故①錯誤；

拋物線與x軸有兩個交點，

\=b2-4ac>0,故②正確；

%=1時，y>°,

.?.〃+Z?+c>0,且/?=2a,

..3a+c>0,

又a>0,

.,.4a+c>0,故③正確；

.x=-l時，y有最小值，

:.a—b+c<at2+bt+c（/為任意實數(shù)），a—bt<at2+b9故④正確；

?「圖象經(jīng)過點g,2）時，方程0?+法+0—2=0的兩根為為，<x2）,

???二次函數(shù)y=—+/?x+c與直線y=2的一個交點為：（［2）,

，拋物線的對稱軸為：x=-l,

，二次函數(shù)，=加+法+C與直線y=2的另一個交點為：（-1,2）,

51

艮Hn」M=——,修=一,

22

/.%,+2X2=——+2x—,故⑤正確，

，正確的結(jié)論是②③④⑤，

故選C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)間的關(guān)系及對稱軸和

判別式是解題的關(guān)鍵.

25.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)>=依2+法+。的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

A.a<0,b<0B.b2—4ac<0

C.4a+b>0D.0cx<5時，不等式加+6匹+。>。一定成立

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線開口方向和拋物線的對稱軸位置對A進行判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)對B進

行判斷；根據(jù)拋物線對稱軸對C進行判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點的坐標對D進行判斷.

【詳解】解：拋物線開口向下，

a<0,

?拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，

--->0,

2a

b>0,所以A不符合題意;

?拋物線與x軸有2個交點，

;.A=b2-4ac>0,所以B不符合題意；

由圖可知：拋物線的對稱軸是直線x=2,

.2=2,

2a

.,.4a+b=0,所以C不符合題意；

由對稱可知：拋物線與X軸的交點為：（-1,0）,（5,0）,又由圖象可知：當0<x<5時，拋物線位于X軸的上

方,

，當0<x<5時，不等式依2+6x+c>o一定成立，所以D符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=無+。（。*0）,二次項系數(shù)。決定

拋物線的開口方向和大小，當。>0時，拋物線向上開口；當.<0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)6和二

次項系數(shù)。共同決定對稱軸的位置：當。與同號時（即而>0）,對稱軸在y軸左側(cè)；當。與6異號時（即

必<0）,對稱軸在y軸右側(cè).（簡稱:左同右異）；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0,c）.拋

物線與x軸交點個數(shù)由△決定：八=。2一4m>0時，拋物線與x軸有2個交點；A=/-4ac=（）時，拋物線與

無軸有1個交點；4=加-4℃<0時，拋物線與x軸沒有交點.

26.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線丫="2+桁+。與工軸相交于點4-2,0）,3（6,0）,與y

軸相交于點C,小紅同學(xué)得出了以下結(jié)論：①"-de〉。；②4。+少=0；③當y<。時，-2<x<6；④

a+b+c>0.其中正確的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點個數(shù)可判斷①，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可判斷②，直接觀察圖像可判斷③,

根據(jù)x=l時，y的值的正負可判斷④.

【詳解】：拋物線與x軸有兩個交點，

b2—4ac>0，

；?①正確；

???拋物線y=加+bx+c與x軸相交于點4-2,0）,3（6,0）,

拋物線的對稱軸為x=-二=攵乎，

2a2

.2=2

2a

—b=4a,

.,.4a+b=0,

???②正確；

觀察圖像可知當，<。時，-2<x<6,

.?.③正確；

由y=ax2+bx+c得，x=l時，y=a+b+c,

由圖知，尤=1時，y<o,

a+b+c<0,

④錯誤.

綜上，正確的有3個，

故選：B.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)等知識.掌握數(shù)形結(jié)合

思想，以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

27.（2023?山東?九年級專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)>=辦2+法+°（。彳0）的圖象與無軸的正半軸交于點A,

對稱軸為直線x=l.下面結(jié)論：

①abc<0；

②2a+6=0；

（§）3ct+c>0；

④方程依2+bx+c=O（aw0）必有一個根大于-1且小于0.

其中正確的是（只填序號）

【答案】①②④

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，本題得以解決.

【詳解】解：由圖象可得，

a<0,b>0,c>0,

則必c<0,故①正確；

?」=i

2a'

/.b=一2〃，

.??2，+b=0,故②正確；

V函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點在點(2,0)和(3,0)之間，對稱軸是直線%=1,

函數(shù)圖象與龍軸的另一個交點在點(0,0)和點(-1,0)之間，故④正確；

???當冗=-1時，y=a-b-\-c<Q,

/.y=a+2a+c<0,

.??3a+cv0,故③錯誤；

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、拋物線與工軸的交點，解答

本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

28.(2023秋?全國?九年級專題練習(xí))如圖，二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象過點A(3,0),對稱軸為直線x=l.

給出以下結(jié)論：

①abc<0；

③若N(〃2+2,%)為函數(shù)圖象上的兩點，則%>必；

④若關(guān)于尤的一元二次方程/+云+。=2(。>0)有整數(shù)根，則對于。的每一個值，對應(yīng)的P值有3個.

其中正確的有.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

【答案】①②③

【分析】由拋物線的開口方向判斷。與。的關(guān)系，由拋物線與>軸的交點判斷。與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱

軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷.

【詳解】拋物線開口向下，

a<0；

拋物線的對稱軸為直線x=—=b=1>0,

2〃

:.b>0；

拋物線與y軸的交點在x軸上方，

.\c>0,

/.abc<0,

故①正確；

,當X=1時，函數(shù)有最大值，

a+b+c>ax2+bx+c9

即a^ax2+(x-l)&

故②正確；

拋物線的對稱軸是%=1,則河(〃2+1,%)，N(〃2+2,%)在對稱軸右側(cè)，n2+1<n2+2,

，%>為，

故③正確；

；拋物線的對稱軸是元=1,與元軸的一個交點是(3,0),

「?拋物線與x軸的另個交點是(-1,0),

把(3,0)代入y=以2+"+。得，0=9〃+3Z?+c,

拋物線的對稱軸為直線X=-=b=1,

2a

:.b=-2a,

.,.9〃―6。+。=0,

解得，c=-3a.

1.y=ax2-lax-3a=a(x-l)2-4a(a<0),

二頂點坐標為(1,Ta),

由圖象得當0<y4-4a時，-l<x<3,其中尤為整數(shù)時，x=Q,1,2,

又：x=0與x=2關(guān)于直線x=l軸對稱

當x=l時，直線>=〃恰好過拋物線頂點.

所以P值可以有2個.

故④不正確；

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查的是拋物線與X軸的交