2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)專(zhuān)題04：二次根式

一、單選題

若。二,則下列各式正確的是()

1.

A.3<a<4B.2<a<3C.l<a<2D.Q<a<l

2.若a-b=2+6,b-c=2-5則代數(shù)式片+/+/一就一兒一〃。的值為()

A.15B.16C.17D.18

3.計(jì)算而xg正確的結(jié)果是()

A.2B.3C.4D.6

4.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是()

A.瓜B.C.J孫3D.表2+9

5.把邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到正方形AB'C'D,邊2C與De'交于點(diǎn)0,

則四邊形A2OD的周長(zhǎng)是()

C.5A/2D.5+50

6.當(dāng)a<-3時(shí)，化簡(jiǎn)“34-1)2+4”+3)2的結(jié)果是()

A.。一4B.—4a—2C.—3。一2D.3。+2

7.若實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則曲了+忸-4的結(jié)果是(

A.—ci+bB.—a—Z?+2cC.a+b—2cD.a—b

8.將二次根式4=?！?1)(〃-3)+4(〃23且為整數(shù))輸入到一個(gè)二次根式程序里進(jìn)行運(yùn)行，得到

以下結(jié)果：運(yùn)行1次得到A=J(〃+3)4+4,運(yùn)行2次得至iJ4=J(〃+5)A+4,運(yùn)行3次得到

4=耳+7)4+4,運(yùn)行k次得到&=&+2k+l)A-+4,....以此運(yùn)行下去，下列說(shuō)法:

①當(dāng)〃=3時(shí)，A4=10；

②若A0G=2025,貝！J才=1826；

③若&=2025,則運(yùn)行次數(shù)上的值有1012種情況.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

9.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)能與強(qiáng)合并的二次根式—.

10.已知.=有-2,則〃+2a=.

11.若二次根式二在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為.

12.魏晉時(shí)期劉徽在其撰寫(xiě)的《九章算術(shù)注》中提到了“不加借算”開(kāi)平方的方法：=二.當(dāng)

。取正整數(shù)且H最小時(shí)，用“不加借算”的方法計(jì)算缶約為,用“不加借算”的方法計(jì)算面

積為308君n?的等邊三角形區(qū)域的邊長(zhǎng)約為m.（精確到0.01）

13.已知機(jī)=代—2,n=A/3+2,則飛后+“?+2=.

14.計(jì)算：（而一26）x（Vn+V12）=.

15.如圖，要在長(zhǎng)7dm、寬4.5dm的長(zhǎng)方形木板上截兩個(gè)面積分別為8dm2和18dm2的正方形，是否可

行？.（填“可行”或“不可行”）

三、解答題

16.計(jì)算:

(1)^x72+7154-75;

(2)&2用義6一(布+⑹(小一6).

17.已知：x=1+A/2,y=1—'

⑴求孫的值；

(2)求V+y2的值.

18.閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：

大家知道也是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此逝的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái)，

于是小明用來(lái)表示虛的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有

道理，因?yàn)?的整數(shù)部分是1,將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.

又例如：口〈出〈郎,即2＜甘＜3,

二百的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為近-2.

請(qǐng)解答：

(1)所■的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是;

(2)若石的整數(shù)部分是。，小數(shù)部分為6,\c\=＞j5,求c(j)—4(c-2)的值.

19.定義：若（6+揚(yáng)）（&-揚(yáng)/c,c是有理數(shù)，則稱(chēng)后+揚(yáng)與揚(yáng)是關(guān)于c的“美好數(shù)”例

如：（石+0）（白-0）=（白則稱(chēng)百+血■與石-0是關(guān)于1的“美好數(shù)”.

⑴2+6關(guān)于1的“美好數(shù)”是;

⑵化簡(jiǎn)：而LT+而:舊*+阿;后；

⑶若》是J記-1關(guān)于9的“美好數(shù)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出4y2_8y+2025的值.

20.如圖，張大伯家有一塊長(zhǎng)方形空地ABCD,長(zhǎng)方形空地的BC為月m,寬A3為用m,現(xiàn)要在

空地中劃出一塊長(zhǎng)方形地養(yǎng)雞（即圖中陰影部分），其余部分種植蔬菜，長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為

(713+l)m,寬為(而一1)m.

AD

BC

（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）

（2）若市場(chǎng)上某種蔬菜10元/千克，張大伯種植該種蔬菜，每平方米可以產(chǎn)20千克的蔬菜，張大伯如

果將所種蔬菜全部銷(xiāo)售完，銷(xiāo)售收入為多少元？

21.如圖，在正方形ABCO中，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A3重合)，點(diǎn)尸在8C的延長(zhǎng)線上，且

CF=AE,連接E尸，交AC于點(diǎn)P,交CD于點(diǎn)。，連接八E、D尸.

(1)求證

①ADAE絲△￡)</；

?ZCPF=ZADE；

(2)若A3=3,b=l,求AP的長(zhǎng);

RP

⑶連接3P,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，黑的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

DF

《2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)專(zhuān)題04：二次根式》參考答案

題號(hào)12345678

答案AAADABBD

1.A

【分析】此題考查了二次根式的分母有理化和無(wú)理數(shù)的估算.先利用分母有理化化簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)

行無(wú)理數(shù)估算即可.

【詳解】解：飛一⑻"=2+6

：1〈退〈2,

；.3<2+g<4,

即3vav4；

故選：A.

2.A

【分析】本題考查了完全平方公式的變形計(jì)算，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)a-b=2+6，c=2—括，得a-c=4,結(jié)合/+/+/一〃力一〃。一.。

=1(2a2+2b2+2c2-lab-2bc-2ac)=1[(a-Z?)2+(Z?-c)2+(a-c)2],代入計(jì)算即可.

【詳解】解：:a-b=2+,b—c=2--\/3,

??a-c=4,

,a2+Z?2+c2—ctb—he—uc

=1(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

=1[(?-Z?)2+(^-c)2+(a-c)2],

：[(0-人)2+(b-c)2+(a-c)2J

T(2+可+(2一可+4?

4L_

=1[7+4A/3+7-4A/3+16]=15.

故選：A.

3.A

【分析】本題考查了二次根式的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則.

直接利用二次根式的乘法運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：712X^|=^12X|=V4=2,

故選：A.

4.D

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A.般=2代,唬不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.5=/，A不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.府=聞而，而不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

D.正司是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

5.A

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，

由題意利用勾股定理的知識(shí)求出3C'的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理可求30,8',

從而可求四邊形ABOD的周長(zhǎng).

【詳解】解：連接3C',

,/旋轉(zhuǎn)角ZBAB'=45°,ABAD'=45°,

.?.8在對(duì)角線AO上，

,/B'C'=AB'=5,

在RtAAB'C'中，AC=yjAB^+B'C'2=5夜，

BC'=50-5，

在等腰RtAOBC,中，OB=BC'=572-5,

在直角三角形03c中，。（7=0（5痣-5）=1。-5應(yīng),

：.OD=5-OC=50-5,

四邊形A3OD’的周長(zhǎng)是：2AD'+OB+OD'=10+5后-5+5直-5=10后.

故選：A.

6.B

【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，先根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷3°-1,a+3的正負(fù)，

再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：

??3av—9,a+3v-3+3,

***3a—1<—10v0,a+3<0,

??-1)++3)

=-(3d-1)-(a+3)

=—3a+1-a—3

=-4a—2.

故選B.

7.B

【分析】本題考查根據(jù)數(shù)軸判斷式子符號(hào)及根式的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸判斷出。-〃>0力-。<0,再根據(jù)

二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得到答案；

【詳解】解：由數(shù)軸可得，a<b<0<c,\^>\b\>\c\,

:.c—a>b—c<0,

—+|/?-c|=|c—47|+|/?—c|=c—a-\-c—b=—a—b-\-2fc,

故選：B.

8.D

【分析】本題考查找規(guī)律，涉及整數(shù)乘法運(yùn)算、因式分解及二次根式性質(zhì)等知識(shí)，先對(duì)題中的進(jìn)

行化簡(jiǎn)得到規(guī)律&=〃+2左-1,再根據(jù)不同說(shuō)法，代值驗(yàn)證即可得到答案.讀懂題意，根據(jù)相關(guān)運(yùn)算

找準(zhǔn)規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳角星】解：AQ=+3)+4=y/n2—2n+1=J("-1丫,

3且為整數(shù)，

.\A0=n-lf則A=((幾+3)&+4={(九+3)(〃-1)+4=J/+2〃+1=《(n+l?=〃+1,

4=J(〃+5)A+4=J(〃+5)(〃+l)+4=J匕2+6〃+9=J(幾+3)=〃+3,

A={(幾+7)4+4=J(〃+7)(M+3)+4=JL2+10幾+25=+5)=〃+5,

+2k+1）Ajt-i+4=〃+2k—1,

當(dāng)〃=3時(shí)，A4="+7=3+7=10,故①正確；

若AOO=2O25,則幾+199=2025,解得〃=1826,故②正確；

若&=2025,貝！J/+2左一1=2025,則。=1013-：,

〃23且為整數(shù)，上為非負(fù)整數(shù)，

n

1013—>0,解得34”42026,且〃為偶數(shù)，

2

2026-4

則運(yùn)行次數(shù)上的值有一--+1=1012種情況，故③正確；

2

綜上所述，說(shuō)法正確的是①②③，共3個(gè)，

故選：D.

9.V2（答案不唯一）

【分析】此題考查了同類(lèi)二次根式：含有相同的被開(kāi)方數(shù)的最簡(jiǎn)二次根式，正確掌握同類(lèi)二次根式的

定義是解題的關(guān)鍵.可以合并的二次根式即為同類(lèi)二次根式，據(jù)此解答.

【詳解】解：枇=2母

可以與2應(yīng)合并的二次根式是企，

故答案為：V2（答案不唯一）.

10.3-2V3/-2V3+3

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，二次根式的混合運(yùn)算，把.=b-2代入原式中，求解即可，掌握相

關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：??0=b-2,

,?a~+2a

二（百—2『+2x（G—2）

=3-473+4+273-4

=3-25

故答案為：3-2^3.

1

11.x>-

2

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列出不等式,

解不等式即可.

【詳解】解：：二次根式＞/^7二1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

**?4九一2之0,

解得：

2

故答案為：x~^'

12.5.135.10

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理及二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解“不加借

算”的意義；因此此題可根據(jù)“不加借算”的意義進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意得：

區(qū)=152+1=5+,=5.1；

2x5

如圖，VA2C是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)A作ADSBC于點(diǎn)。，

BD=-BC=~a,

22

AD=4AB2-BD?=—a,

2

/.S.=-BC-AD=—a2,

ABRCr24

,/S的=308晶2,

4=1232,

Aa=V1232=V352+7=35+^—=35.10m；

2x35

故答案為5.1；35.10.

13.4

【分析】本題考查了二次根式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式的變形進(jìn)行二次根式的

運(yùn)算.

將加和〃的值代入二次根式，利用完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：將,"=,-2,ri=6+2代入+”2+2得

Vm2+n2+2

=716

=4

故答案為：4.

14.-711-2^/-273-711

【分析】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算、平方差公式、積的乘方、同底數(shù)幕的乘法，熟練掌握二次

根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和積的乘方與平方差公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：(加一26廣葭(而+屈廣

=[(而-巫卜(瓦+巫)-*(舊+配)

「00-12023

=(Vn)-(Vi2)X(VIT+VT2)

=(ii-i2)2023x(7n+Vi2)

=(-I)2023X(^T+^2)

=Tx(如+疫)

=-VH-2s/3

故答案為：_舊-2拒.

15.不可行

【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用，根據(jù)正方形的面積公式可以分別求得兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是20

和3&，顯然只需比較兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的和與7的大小即可.此題要能夠正確求得每個(gè)正方形的邊

長(zhǎng)，并能夠正確比較實(shí)數(shù)的大小.

【詳解】解：A/8+^18=5^/2,

QA/49<V50<A/64,

.-.7<572<8.

則截兩個(gè)面積為8dm2和18dm2的正方形，不可行.

故答案為：不可行.

16.(1)35/3

⑵-1

【分析】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，靈活運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

(1)原式先計(jì)算二次根式的乘法和除法，然后再合并即可得到答案；

(2)原式先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，去括號(hào)后再合并即可.

【詳解】(1)解：南義四十岳千也

=〃x2+J15+3

=273+73

=3A/3;

(2)解：A/8—2^—Jx^/2—+^/2j^^/5—\/2j

=A/8^2-2^1x2-(75)2+(72)2

=4-2-5+2

=—l.

17.⑴-I

(2)6

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)利用平方差公式計(jì)算即可；

(2)利用完全平方公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)x=1+\[2,y=1-,

.?.孫=(1+點(diǎn))(1-閭=1-2=-1；

(2)x+y=++=2,

貝!Jx2+y1=(x+‘J—2xy=22—2x(-1)=6

18.(1)4,炳-4

(2)3或13

【分析】本題考查二次根式估值，絕對(duì)值計(jì)算，二次根式混合計(jì)算等.

（1）根據(jù)題意可得J話〈后，繼而得到本題答案；

（2）由題意得a=2,b=s[5-2,c=土垂，再將字母的值代入式子的值計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：：9＜后＜莊，

??.J萬(wàn)的整數(shù)部分是4,

A/17小數(shù)部分是而'-4,

故答案為：4,V17-4；

（2）解：2＜仃＜3,=6

.?.喬的整數(shù)部分。=2,小數(shù)部分6=6-2,c=±5

當(dāng)C=A/^時(shí),c（a-匕）-4（c-2）,

=c（a-b—4）+8,

=國(guó)2-遙+2-4）+8,

=-5+8,

=3；

當(dāng)c=時(shí)，/?）—4（c—2）,

=c（〃—b—4）+8,

=-V5（2-V5+2-4）+8,

=5+8,

二13；

「?c（a—Z?）—4（c—2）=3或13.

19.⑴2-g；

（2）4；

（3）2061.

【分析】本題考查了“美好數(shù)”的新定義，分母有理化，二次根式的運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用，掌握知識(shí)

點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

（1）利用"美好數(shù)''的新定義，分母有理化解答即可求解；

（2）利用“美好數(shù)''的新定義，分母有理化解答即可求解；

（3）利用“美好數(shù)”的新定義，分母有理化求出九再把4y2一8丫+2025變形為4（y-1）2+2021,最后

代入求值即可.

【詳解】（1）解：由“美好數(shù)”的新定義可得，

則2+相關(guān)于1的“美好數(shù)”是金石=2-73,

故答案為：2-6；

“111

(2)解,~產(chǎn)---1=H------1=---------7^^+'?~\------/---------.

,后+而A/TT+V13A/T19+7T2T

=1(-A/9+A/1T-VT1+V13+-^/TT9+^/i2T)

=*3+11)

=4；

9

（3）解：癡-1關(guān)于9的“美好數(shù)”>=而==710+1

.\4y2-8y+2025

=4（y-l）2+2021

=4（屈+1-1『+2021

=4x（亞丁+2021

=4x10+2021

=2061.

20.⑴20&m

（2）7200元

【分析】本題考查二次根式實(shí)際應(yīng)用，二次根式混合計(jì)算，平方差公式計(jì)算等.

（1）根據(jù)題意利用長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可；

（2）先計(jì)算出種植蔬菜部分的面積，再求出銷(xiāo)售收入即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知：

2x（"+夜）=2x（60+40）=2O0（m）.

??.周長(zhǎng)是：20夜m;

(2)解：732-(713+1)x(713-1),

=48-(13-1),

=36(nf),

36x10x20=7200(元)，

...張大伯如果將所種蔬菜全部銷(xiāo)售完，銷(xiāo)售收入為7200元.

21.(1)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析

(2)272

⑶日，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)①根據(jù)SAS證明即可.②由全等三角形的性質(zhì)可得=ZADE=ZCDF,證明

ZDEF=ZDFE=45°,結(jié)合/￡)C4=45°=/DEE,NCQP=NDQF,