2025年中考數(shù)學考前沖刺

二次函數(shù)動點問題壓軸練習題

1.如圖，拋物線〉=蘇+&+6與X軸交于點A,B,與y軸交于點C,OB=OC=3OA.

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)點尸(犯句(心2)是拋物線上一個動點,連接AP,CP,轉(zhuǎn)交y軸交于點D,作軸于點2.

①若點。是OB的中點，求A?AC的面積；

②若以點C,D,P,2為頂點的四邊形為平行四邊形，求，”的值.

2.如圖，二次函數(shù)y="+&+3的圖象與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,且圖象經(jīng)過點㈠⑷，(2,-5),連

接AC.

(1)求4,6的值.

(2)尸是拋物線廣加+區(qū)+3上的一點，且位于X軸上方，是否存在點P,使得入皿的面積恰好為4?若存在，求

出點P的坐標；若不存在，說明理由.

(3)M(不與點A,C重合)是線段AC上的一個動點，過點M作MD_Lx軸，垂足為。.延長DM,交拋物線于點

E,過點E作E7FAC,垂足為F，求AMEF周長的最大值.

3.如圖①，直線AB與拋物線弧：步加+國”0)交于點A(4,o),點

圖①圖②

(1)求拋物線M的解析式；

(2)點C為直線AB下方的拋物線上一動點，過點C作。軸交直線AB于點O,設點C的橫坐標為〃，當。取最大

值時，求人的值；

(3)如圖②，點E(O,T),連接A￡,將拋物線跖向上平移，〃("2>0)個單位長度得到拋物線肛，當時.根據(jù)，"的

不同取值.試探索拋物線也與直線AE交點個數(shù)的情況

4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=加+云+6(“*0)經(jīng)過點用，與y軸交于點C,與x軸交于A、B

兩點(A在8的左側(cè))，連接AC,BC,tanZCBA=3.

(1)求拋物線的表達式;

⑵點E是線段04上不與點0、A重合的點，過點E作EP_Lx軸，交拋物線于點P,交AC于點￡>,點V是線段OE

上一動點，MN_Ly軸，垂足為N,點尸為線段BC的中點，連接AM,NF.當線段的長度取得最大值時，請

求出AM+肱V+NF的最小值；

(3)將該拋物線沿射線C4方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(2)中線段期的長度取最大值時的點，且與直線AC

相交于另一點K,點Q為新拋物線上的一個動點，當時，直接寫出所有符合條件的點。的坐標.

5.如圖1,拋物線公產(chǎn)加+桁+《"0)與工軸交于A(-l,0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C(o,3).

(1)求拋物線Z的解析式；

⑵若點E是拋物線Z上位于直線BC上方的動點，過點E作的垂線，垂足為H,EH交BC于點、F.

①求EF的最大值；

②連接CE,若與相似，求E點坐標；

③若點E運動到拋物線￡頂點位置，過點C作EH的垂線，垂足為D.過點。的直線與拋物線Z交于只。兩點，直

線EP,EQ分別交x軸于點MN.試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

6.如圖1,拋物線>=-#+如+4經(jīng)過點A(l,3),與>軸交于點C,經(jīng)過點C的直線與拋物線交于另一個點E(-6,m),

點M為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與％軸交于點D.

試卷第2頁，共6頁

(1)求拋物線與直線CE的解析式;

(2)如圖2,點戶為直線CE上方拋物線上一動點，連接PC,PE.當APCE的面積最大時，求P的坐標以及APCE的

面積的最大值;

(3)如圖3,將點D向左平移1個單位長度得到點N.將拋物線沿射線棧平移得到新拋物線y經(jīng)過點N,射

線Ml與新拋物線交于點凡連接MR,在新拋物線的對稱軸上是否存在點H,使ZMRH=ZAM9?若存在，請直

接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由.

好+小與直線y=T+6相交于點A(2,0)和點B.

⑴求相和b的值;

(2)求點B的坐標和NBA。的度數(shù);

(3)點M是無軸上的一個動點，求當AM4B是等腰三角形時點M的坐標.

8.如圖，二次函數(shù)y=；x2+&+c的圖象與X軸交于4(-1,0)、以6,0)兩點，與〉軸交于點C,連接BC.

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)點P是拋物線在第四象限圖象上的一動點，PNLBC于N,小明同學在探究時認為:

當點P位于拋物線頂點時，ABCP的面積最大，他的結(jié)論是否正確？若正確請說明理由；若不正確，試探究ABCP

的面積最大時點P的位置，并求此時黑的值.

9.如圖，拋物線y=/+"+c(》、C為常數(shù))交％軸于點A(TO)和3(3,0),交y軸于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

⑵連接AC,點尸是第二象限拋物線上的動點，過點尸作尸軸于點H,請問是否存在點尸，使得AP7/5與△AOC

相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

10.如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線產(chǎn)4+區(qū)+c("0)經(jīng)過點。⑵4),與X軸交于A,B兩點，與y軸交

(2)如圖②，點P是拋物線上的一個動點，過點P作尤軸的垂線I,/分別與x軸交于點E,交直線AC于點設

點P的橫坐標為初當T<“V2時，是否存在實數(shù)也使得以P,C,”為頂點的三角形和相似？若存在，

求出相應機的值；若不存在，請說明理由.

⑶當0<,"V2時，過點M作“G〃BC,MG交X軸于點G,連接GC,則m為何值時，△GMC的面積取得最大值，

并求出這個最大值.

11.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A(-3,0),B(4,0),C(0,3).

(1)求拋物線關系式.

(2)拋物線上是否存在一點尸，使△ACP是以A為直角頂點的直角三角形.若存在請求出點尸的坐標，若不存在

請說明理由.

(3)點D,E分別是線段AB，BC上的動點，連接AC,AE,CD,當CE=8￡>時，求AE+CD的最小值.

12.如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y=加+*+2(“#0)的圖象與X軸交于A(TO),1(3,0)兩點(點A在

點B的左側(cè))，與y軸交于點C,連接BC.

(1)求此拋物線的表達式；

(2)若點p是無軸上一點，當ABCP為等腰三角形時，求點P的坐標；

(3)點。是二次函數(shù)圖象上的一個動點，請問是否存在點。使NQCB=ZABC?若存在，請求出點。的坐標；若不存

在，請說明理由.

13.已知點B(5,o),點C(4,3)都在拋物線>=上，其中點A是拋物線與X軸的交點，點。是拋物線的頂

試卷第4頁，共6頁

點，連接AD,CD.

(1)求拋物線的解析式；

⑵求ZACD的度數(shù)；

(3)點P是y軸上的一個動點，當時，直接寫出尸點坐標.

14.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=/+*+c(a，力C為常數(shù)，"8的圖象與工軸交于點A(LO),B兩點,

與y軸交于點C(0「3),且拋物線的對稱軸為直線X=-1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線EC下方的拋物線上有一動點P,過點P作PMLx軸，垂足為點M,交直線EC于點N,求PN+&GV的最

大值，并求出此時點?的坐標；

(3)如圖2,若拋物線沿射線AC方向平移乎個單位長度得到拋物線＞,點E為新拋物線＞上一點，點F為原拋物

線對稱軸上一點，取(2)中最大值時點P,是否存在以點8、P、E、產(chǎn)構(gòu)成的平行四邊形？若存在，直接寫

出點E的坐標，若不存在，請說明理由.

15.如圖，拋物線＞=々+"+3交X軸于點A(-LO)和點B(3,o),交y軸于點C,拋物線的頂點為點F,點。(2,3)在拋

物線上.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;

(2)如圖1,求-FC。的面積；

(3)如圖1,在x軸下方的拋物線上找一點G,使NBAG=/BAQ,求點G的坐標；

(4)如圖2,對稱軸EF垂直于*軸于點E,點尸是線段BE上的動點(除B、E外)，過點P作工軸的垂線交拋物線于

點。，連接DADP.直線4XBD分別與拋物線的對稱軸交于M、N兩點.試問：EW+硒是否為定值？如果是，

請直接寫出這個定值；如果不是，請說明理由.

試卷第6頁，共6頁

《2025年中考數(shù)學考前沖刺二次函數(shù)動點問題壓軸練習題》參考答案

1.⑴拋物線的對稱軸為直線x=2;

(2)①*"c=￥；②及的值為1+/或3+a.

【分析】(1)根據(jù)題意求得A(-2,0),8(6,0),再根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)求解即可；

(2)①先利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，求得點。(3Q),再求得直線"的解析式，求得再利用

三角形的面積公式求解即可；

②分當點D在原點上方和下方兩種情況討論，根據(jù)S=列式計算即可求解.

【詳解】(1)解：令8=0,則>=6,

C(0,6),

OC=6,

OB=OC=3OA,

：.A(-2,0),8(6,0),

拋物線的對稱軸為直線x=等=2；

(2)解：①將A(-2,0),鞏6,。)代入產(chǎn)江+及+6,

,日J4tz-2Z?+6=O

侍136a+6A+6W

解得卜V

[b=2

二拋物線的解析式為y=+2X+6,

:點。是。B的中點,

二點。(3叫，

當x=3時，y=—^x32+2x3+6=^,

則點P(3，S，

-2人+4=0

設直線”的解析式為丁=履+4,則&…15,

3k+bl=—

解得

[4=3

???直線"的解析式為y=%+3,

令％=0,則尸3,

0(0,3),

1315

S4Ape=2。6*_“=5*5=耳；

②?，點P(m,n)(m>2)是拋物線上一個動點,

?二產(chǎn)(加,一3根2+2機+6),貝|J。(必0),

當點。在原點上方時，

答案第1頁，共31頁

解得加=1土了,

??根=1+y/13；

當點。在原點下方時,

解得加=3±01,

??m=3+y/n;

綜上，加的值為1+/或3+e.

【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函

答案第2頁，共31頁

數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間的距離公式和平行四邊形的

性質(zhì)，是一道綜合性較強的題，解題的關鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論.

2.b=-2

(2)存在.點片(T+62),(-1-^,2)

(3”團的周長的最大值為華

【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的面積綜合題、二次函數(shù)的周長線段綜合題，數(shù)形結(jié)

合是解題的關鍵.

(1)把點(-L4),(2,-5)分別代入函數(shù)解析式得到方程組，解方程組即可；

(2)設點?(吁冷2Z),根據(jù)題意得到S,刈=卜硝"_2“+3)=4,解一元二次方程即可得到答案；

(3)求直線AC的解析式為y=%+3.設點M(〃,〃+3),則點網(wǎng)2〃+3),得到知￡=-*_3〃，

EF=FM=-sinZEMF=(-n2-3?)x^,貝ljAA郎的周長=-(1+閭"目+公普?根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】(1);二次函數(shù)，蘇+法+3的圖象經(jīng)過點(T4),(2,-5),

,Ja-b+3=4

9*[4a+2b+3=-5

解得｛二

(2)存在.由(1),得a=T,b=-2,

???二次函數(shù)的解析式為y=f2_2x+3.

令尸。，得-x2-2x+3=0,

解得石=1,%2=—3.

.?,二次函數(shù)丁=江+法+3的圖象與X軸交于點A,B,

???點A(-3,0),5(1,0),

AB=OA+OB=4.

設點尸(人—m2—2m+3^,

S4PAe=gAB?—2m+3)=4,

?.—m2—2m+3=2,

角畢得小=一1+及，=-l-y/2,

二點4T+e，2),^(-1-72,2).

(3)令x=0,得，=3,

.?.點C(0,3),

設直線AC的解析式為>=江+$

Js=3

\-3t+s=0

答案第3頁，共31頁

直線AC的解析式為k"3.

設點“5/+3),則點石(〃，-/-2"+3),

A/E=—n2—2?+3-(n+3)=—n2—3n.

?.?點C(0,3),

OA=OC.

*.*ZAOC=90°,

，ZACO=45°.

*.*W%軸，

，ME〃：y軸,

，ZEMF=ZACO=45°,

/FEM=45。,

EF=FM=MEsinNEMF=(-?2-3n)x^,

△A/EF的周長=一/一3〃+2*(一/一3“卜孝

=(1+應)(—n2—3")=—(1+應+3〃)

=-(i+到"+幻+^T^-

V-(l+>/2)<0

.,.當"=4時，AMEF的周長有最大值，最大值為卓亞，

皿的周長的最大值為笑也.

3.(l)y=2x2-8x；

(2)當〃=5時，CD有最大值，最大值為%

⑶當;VXV十寸，如果拋物線監(jiān)與直線AE有2個交點，則有

2.2.o

當時，如果拋物線必與直線AE有1個交點，則有，"啰或5VM<6,

當白工黨時，如果拋物線弧與直線AE沒有交點，則有〃，>?或那<5.

2.2.o

【分析】⑴把點A(4,0),點B(IT)的坐標代入>=加+如心0),得到關于。、)的二元一次方程組，解方程組求出

。、方的值，即可得拋物線M的解析式；

⑵利用待定系數(shù)法求出直線的的解析式為k2.L8,因為點C的橫坐標為〃，且點C在拋物線y=2-8上，點C的

坐標為(42力-8〃)，又因為CD||x軸，所以點C和點。的縱坐標相等，把2"-8/1代入'=2工-8,可得：#-4h+4,所

以有。。/-("-皿+力，把這個二次函數(shù)整理成頂點式解析式即可得到CD的最大值和此時，，的值；

⑶設平移后的拋物線解析式為y=2*-8x+m,求出直線上橫坐標為工=|和工=：的兩點P和點。的坐標，當平移后

的拋物線過點。時有兩個公共點，求出加的最小值，當平移后的拋物線與直線隹有唯一公共點時，求出加的值，

從而求出加的取值范圍.

【詳解】(1)解:把點入(4,0),點以1,~6)的坐標代入丫=加+阮("0),

答案第4頁，共31頁

116。+4力=0

可得:[a+b=—6

解得：｛:二8，

二拋物線必的解析式為y=2——8%；

(2)解：設直線43的解析式為尸履+。(b0),

把點A(4,0)，點3(1,-6)的坐標代入y=區(qū)+可左。0),

r,曰14左+b=0

可得4+1，

解得：仁；，

一直線AB的解析式為V=2%-8,

?.?點C的橫坐標為力，且點。在拋物線y=2%2—8%上,

點C的坐標為(九,2后—8%),

???C0|%軸,

?-?點D的縱坐標為2林-8h,

點D的縱坐標為2h2-Sh代入y=2x-8,

可得：2X-8=2/Z2-8/Z,

解得：％=后-4〃+4,

:.CD=h-(h2-4h+4],

整理得：CD

二當〃=方時，8有最大值，最大值為｝

(3)解：設直線AE的解析式為丁=中+〃，

把點A(4,0)和點、石(0,-4)的坐標代入y=k[x+nf

可得：，「，

解得：憶4,

二直線A￡的解析式為y=x-4,

當冗=|時，可得：y=x-4=|-4=-1,

二直線A石對應的點P為展,-|"],

當冗=|時，可得：y=x-4=|-4=-"I，

二直線AE對應的點Q為(?)，

如下圖所示，

設拋物線M的圖象向上平移0)個單位長度得到拋物線也為y=2/—8%+加,

當拋物線M經(jīng)過點[，-|)時，

答案第5頁，共31頁

可得：一8x?+機=—g,

解得：m=5,

拋物線畫為丁=2爐—8%+5,

y=%—4

{—，

得到：Ai=|,士=3（不符合題意，舍去）,

，此時拋物線也與線段P。有1個公共點，

當拋物線以經(jīng)過點（;:時，

可得：2x圖-8x|+m=-|,

解得：加=6,

?,拋物線畫為y=2f-8%+6,

解方程組{；二】:/6，

得到：%=|，%=2,

,此時拋物線區(qū)與線段PQ有2個公共點，

2

可得：X—4=2x—Sx+mf

整理得：-9尤+帆+4=0,

可得：A=Z?2—4ac=（―9）2—4x2x（加+4）=—8帆+49,

4Q

當-8帆+49=0時，解得：加=可，

O

4Q

當-8帆+49>0時，解得：

O

答案第6頁，共31頁

:當白xj時，如果拋物線叫與直線有2個交點，則有6V,"?；

ZZo

當白工〈時，如果拋物線也與直線AE有1個交點，則有加=?或5Vm<6,

ZZo

當2*4時，如果拋物線也與直線AE沒有交點，則有，”>?或，”5.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)圖象和性質(zhì)等知識、一元二次方程根的判別式、

解一元二次方程、數(shù)形結(jié)合的思想，解決本題的關鍵是利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況，本題是

二次函數(shù)的綜合題，難度較大.

4.（l）y=-g*-2x+6

（2）8

（3）（--3）或（一

【分析】（1）利用正切函數(shù)求得。B=2,得到B（2,0）,再利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）求得A（FO）,利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，設「卜,=/-2P+6）,求得PD最大，點P卜3段），再

證明四邊形是平行四邊形，得到=推出當E、N、F共線時，EF取最小值，即3+肱V+NF取最小值，

據(jù)此求解即可；

（3）求得D（T3）,再利用平移的性質(zhì)得到新拋物線的解析式曠=-32_58一￡,再分兩種情況討論，計算即可求

解.

【詳解】（1）解：令％=0,則y=6,

AC（0,6）,

OC=6,

\*tanZCB4=3,

?OC_

??—3,

OB

OB=2,

：.3（2,0）,

（、0=4a+2b+6

將B（2,0）和卜1目代入>=加+及+6得6，

\27——=a—u+b

2

解得"=一5,

b=-2

，拋物線的表達式為?=-1X2-2X+6；

（2）解：令y=o,則o=-g*_2x+6,

解得x=-6或x=2,

A（-6,0）,

答案第7頁，共31頁

設直線AC的解析式為y=如+6,

代入A(-60),得0=-6旭+6,

解得機=1,

直線AC的解析式為y=X+6,

設p[p，-gp2-2p+6)(-6Vp<0),貝|￡)(p,p+6),

22

.?.PD=-ip-2p+6-(p+6)=-i(p+3)+1,

\*-1<O,

.??當p=-3時，P￡>最大，此時尸(-34)，

AE=3fMN=OE=3fE(-3,0),

:?AE=MN,AE//MNf

連接研，

???四邊形AMNE是平行四邊形，

：.AM=EN,

AM+MN+NF=EN+MN+NF>MN+EF,

.?.當E、N、F共線時，EF取最小值，即Ml+AW+NF取最小值，

:點尸為線段BC的中點，C(0,6),B(2,0),

F(l,3),

EF=5/(-3-1)2+(0-3)2=5,

AM+MV+N尸的最小值為5+3=8；

(3)解：由(2)得點。的橫坐標為-3,代入>=x+6,得y=3,

0(-3,3),

；?新拋物線由y=-；/-2x+6向左平移3個單位，向下平移3個單位得到,

y'=_g(x+3)~-2(x+3)+6-3=—-5x-^,

過點。作。2〃BC交拋物線y于點2,

.?.4Q、DK=4BCA,

同理求得直線BC的解析式為y=-3%+6,

?.?DQJ/BC,

?,?直線。。1的解析式為y=-3%+e,代入。(-3,3)得9+e=3,解得:e=-6,

???直線區(qū)的解析式為y=3-6,

聯(lián)立得-3x-6=-g%2-5芯-9,

解得%i=T,%2=-3,

當％=-1時，尸-3,

AQ(-l-3),

答案第8頁，共31頁

作關于直線AC的對稱線得。&交拋物線y于點Q，

???ZQ2DK=AQ.DK=ZBCA,

設。0交1軸于點G,

在。。2上截取OG=DG,

作G7T_LZ)R于點",

解得了=-2，

：.G（-2,0）,

VA（-6,0）,C（0,6）,

OA=OCf

：.ZOAC=ZOCA=45°f

軸，

ARDA=ADAH=ZADH=45°,

NGDH'=NGDH,

ZG'H'D=ZGHD=90°,DG'=DG,

△GD'HSAGDH,

G,H,=GH=3-2=1,DH'=DH=3,

.?.G（-6,4）,

同理直線DQ2的解析式為y=-1.r+2,

聯(lián)立_$+2=_；X2_5XT，

解得x=-3或x=*,

當x=*時，*]+2=（

需],

綜上，符合條件的點°的坐標為（T-3）或1m

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合問題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式，熟練掌握二

次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵.

5.(l)y=-^+2x+3；

答案第9頁，共31頁

(2)①:；②E(2,3)或E(1.4)；③是定值，16

【分析】(1)兩點式設出函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)①求出直線BC的解析式，設出E點坐標，將EF的長轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；

②易得△的//為等腰直角三角形，根據(jù)相似得到ACEF也為等腰直角三角形，分兩種情況進行討論求解即可；

③求出D的坐標，設過點。的直線為：尸MxT)+3,聯(lián)立直線和拋物線的解析式，求出RQ的坐標，設過點E的

直線的解析式為y=，QT)+4,分別求出點M.N的坐標，進而求出的值，再進行求解即可.

【詳解】(1)解：；拋物線Z：產(chǎn)式+及+?*0)與x軸交于A(T0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,3),

???設拋物線的解析式為：y=?(x+l)(x-3),把C(0,3),代入,得：3=-3a,

??a=-1f

...y———3)=—%?+2%+3；

(2)設￡(利-二+2帆+3),

①,??鞏3,0),C(0,3),

???設直線的解析式為尸質(zhì)+3,把3(3,0)代入，得：k=-\,

y=-x+3,

E^niy—m2+2m+3^,

:.JF(s一機+3),

?.?EF=—m+2m+3+m—3=—2m+3m=(—\m3—丫9+—,

I2j4

?，.當根=-,時，*得值最大為：:；

②?.,巴3,0),C(0,3),

，OB=OC=3,

ZOBC=ZOCB=45°,

<.*軸，

???△班H為等腰直角三角形，

ZCFE=ZBFH=45°f

???當△班H與△囪相似時，尸也為等腰直角三角形：

當NCE尸=90。時，貝(］：CELEF,

：.CE〃龍軸，

即：CE關于對稱軸對稱,

答案第10頁，共31頁

y=-x2+2x+3=—(.￥—I)2+4,

對稱軸為直線x=l,

,?C(0,3),

E(2,3)；

當NEB=90。時，過點。作CG_LEF,貝！J:EG=FG=CG=；EF=m,

由①知：EF=—m2+3m,

-m2+3m=2m,

解得：M=1或"=0（舍去），

E（l,4）；

綜上：E（2,3）或E（l,4）；

③是定值：

y=—x2+2x+3=—（%—l）"+4,

AE（l,4）,

F（l,2）,H（1,O）,

由②可知：0（1,3）,

設過點。（1，3）的直線為：y=Mx-l）+3,

聯(lián)立匕，解得：

[y=-x+2x4-3

設過點E的直線解析式為：y=n（x-l）+4,

解得：；4+《,

?x=i____§_

同理：當點。在y=，MT+4上時，“=捶衛(wèi)生

答案第11頁，共31頁

由題意可知：點”，N分別在點H的兩旁，

不妨設點”在點H的左邊，點N在點H的右邊，

QOQQ

IJ1||.HM=1-1+-==-=--—,HN=l+-f=——1=一]—

人y/k2+4+k“2+4+-J-+4一-y]k2+4-k

?HMxHN=HM=.8----j=L-=---=16.

dk2+4+kk。+4-kk+4-卜,

：.MWxHN是定值，為16.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，求二次函數(shù)的最值，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)與坐標軸的

交點問題等知識點，綜合性強，計算量大，屬于壓軸題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論

的思想進行求解，是解題的關鍵.

6.⑴拋物線解析式為y=Jx2-1+4,直線CE的解析式為＞=*+4

(2)APCE的面積的最大值為9,此時P(-3,3)

⑶存在點川3,愣或川3,J使ZMRH=ZANO

【分析】(1)把把A(l,3)代入k加+4求出b=-|即可得到拋物線解析式，再求出E(FT),根據(jù)待定系數(shù)法

求出直線CE的解析式；

(2)過P作軸交CE于F,設則小扣4),PF=-*+3『+3,再根據(jù)凡…”岳f)得到

Sg；=-(r+3)2+9,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到“CE的面積的最大值為9；

(3)先求出0(-1,0),N(-2,0),過A(l,3)作心_Lx軸于K,得至1JM=NK=3,即可得到將拋物線沿射線附

平移得到新拋物線，'，即＞=-#。+4=-*+1-號向上平移?個單位長度再向右平移"個單位長度得到新拋物

線*求出新拋物線的解析式，再以"R為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形A"加和"颯，再根據(jù)一線三等角構(gòu)造

全等三角形求出4號()，嗚，高，最后根據(jù)NMRJ=NMK，=45。，ZMRH=ZANO=45^,得到點H為.和電與新

拋物線的對稱軸交點，據(jù)此求解即可.

【詳解】⑴解:把A(l,3)代入y=-$2+法+4得，3=-1+fe+4,解得Z,=_g,

拋物線解析式為y~~'j^~^x+4'

二拋物線與y軸交點c(o,4),

1o

￡(-6,根)在,=_§芯2_§%+4上,

加=一；x(—6)2—1x(—6)+4=—4,

E(-6,-4),

設直線CE的解析式為y=匕%+2,

答案第12頁，共31頁

把E(FT),C(0,4)代入，=5+4得

I-H-=—O/C|十t7|

4=4

解得L4,

k、=一

13

直線CE的解析式為y=$+4；

(2)解：過戶作PF_Lx軸交CE于F,

設P［，T2->4),則尸,,++4),

；?PF=U3T心+4)7。*('+3)2+3,

,:Sg=Sg+S印=：戶-Gf)+：PF?(%-%)=JPF?(%-%),

22

SAPC￡=+3)+3jx6=-(r+3)+9,

.,.當,=-3時，APCE的面積的最大，最大值為9,此時P(T3)；

(3)解：???拋物線解析式為y=Tx2-|x+4=q(x+i)2+1,

二拋物線對稱軸為直線x=T,頂點

??,拋物線的對稱軸與x軸交于點D,

0(-1,0),

將點D向左平移1個單位長度得到點N(-2,0),

取兩點J,4,使=JMLMR,，在JM上，即JR肘和為等腰直角三角形，過A作〃T_Lx軸于K,

過M作版八》軸，過R作RQ_LM0軸于2,過J作〃_LM2軸于/,

圖3

VA(l,3),

AK=NK=3,

：.ZANK=ZNAK=45°fNA=3五,

???將拋物線沿射線附平移得到新拋物線八即kJ/-$+4=T(X+I>+9向上平移〃個單位長度再向右平移，，個

單位長度得到新拋物線八其中”>0,

，新拋物線解析式為y=-*+1-")一+,+〃，

答案第13頁，共31頁

?/＞'經(jīng)過點N（-2,0）,

0=一;（一2+1一〃）2+修+八，

解得〃=4或九=-3（舍去），

；?新拋物線解析式為=-*-3）2+等,

，新拋物線的對稱軸為直線x=3,

同理由N（-2,0）,A（l,3）可得直線Ml的解析式為y=x+2,

聯(lián)立:解得匕：x=5

y=7

射線仍與新拋物線交于點區(qū)（5,7）,

JMLMR,MQAy軸，RQVMQ,JILMQ,

ZJMR=N/=N。=90°,ZJMI=ZQRM=90°-ZRMQ,

JM=MR,

△JM7^AA/R2（AAS）,

iaQ

RQ=1M=1~=^,〃=MQ=5-（T=6,

J1M=JM,即M（-號）為M中點）

同理由J—，*R（5,7）可得直線版的解析式為尸青+詈,

4I，1）,R（5,7）可得直線電的解析式為v=yX-6,

???△%和為等腰直角三角形,

/.NMRJ=ZMRJ,=45°,

■/ZMRH=ZANO=45°,

，點”為Q和財與新拋物線的對稱軸交點，

當H為電與新拋物線的對稱軸交點時，此時x=3,y=y^-6=yx3-6=|,此時“（3,：；

當H為叔與新拋物線的對稱軸交點時，此時工=3,尸一＞+詈=一＞3+答=錚此時《3,二

綜上所述，在新拋物線的對稱軸上存在點不黑或《3,使ZMRH=ZANO.

7.（1）加=一2,b=2

（2）點B的坐標為（T3）；.0=45。

⑶（3忘+2,0）或（2-3立0）或（-1.0）或（＜0）

【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解;

（2）聯(lián)立二次函數(shù)與一次函數(shù)組成方程組，求解即可解決問題;

（3）分的為腰和底時討論求解即可

【詳解】（1）解：將點A的坐標代入拋物線表達式得：0=4+2%

解得：，"=-2,

答案第14頁，共31頁

將點A的坐標代入直線表達式得：0=-2+）,

解得。=2；

故m=-2,b=2；

（2）解：由（1）得拋物線表達式為好爐-2弓直線的解析式為y=f+2,

聯(lián)立方程組得：[kX2；；,

[y=-x+2

解得匕胃或憶,

???點3的坐標為（T3）；

過點5作成_LX軸于點石，則？的m,BE=3,OE=l,AO=2,

：.AE=BE=3

ABAO=i(180°-90°)=45°.

(3)解:VA(2,O),B(-1,3),

AB=^(-l-2)2+(3-0)2=3yli,

若AM鉆是等腰三角形，

當A3為腰時，

*.*AO=2,AM.=AB=3y[i,

OM=2+3近,

：.必（3&+2,0）；

又AM?=AB=3叵,且A0=2,

I.OM2=3y[2-2,

：.M2（2-3x^,0）.

又AB的垂直平分線交工軸于點心,

VA5=3￡ZBAO=45。,

答案第15頁，共31頁

/.NDM4A=N3AO=45。，

AD=M4D=|V2,

AAM4=3,

：.OM4=I,

.\M4(-I,O)；

5(—1,3),

??.BM4_L%軸,

當5M=5A時，M3M4=AM4=3,

OM3=4,

???M(Y,O)；

綜上，點M的坐標為卜3+2,。)或R-30,0)或(-I,O)或(-4,0).

8.⑴y=#-|x-3

(2)他的結(jié)論不正確，當ABCF的面積最大時，點尸的坐標為(3,~6),翳=4

【分析】(1)將A(T，0)、8(6。)代入＞=：加+"+c即可求得函數(shù)的解析式；

(2)連接OP,設設「卜，￥-|一3),由%叱=%階+5,℃廠5,。蛇，然后運用二次函數(shù)求最值得到K最后確定尸的

坐標，求出直線BC的解析式，得到直線PN的解析式，由此得到點N的坐標，利用兩點距離公式求出BMCN,

即可得解.

【詳解】(1)解：將A(T,0)、8(6,0)代入>=Tx2+fe>:+c可得:

.--b+c=0A77ZB\b=~-

??.2,解得2,

18+6Z?+c=0c=—3

(2)解：如圖1：連接OP,設P(，2-,3),

y=—x2——x—3

22

???C點的坐標為(0，-3)

,.,3(6,0),C(0,-3),

/.OB=6,OC=3f

**.S.BCP=SQBP+SQCP_SQBC=；x6x13+172)+；x3x"gx3x6

**?=—|?2+9?=_|(?-3)2+-y-,

???h3在0々<6范圍內(nèi)

；?當，=3時，S.BCP最大，^t2-^t-3=-6

???點P的坐標為(3，~6).

,??>=#-沁=撲-1)言,頂點坐標為CT，

答案第16頁，共31頁

故小明同學的結(jié)論不正確，當"CP的面積最大時，點尸的坐標為(3,~6).

設直線BC的解析式為y=玄+》，

.]6k+》=0

b=-39

\k=L

解得2,

b=-3

???直線BC的解析式為y=；%-3,

PN1BC于N,

設直線PN的解析式為y=-2x+”,

將點P(3，-6)代入，得-0

直線PN的解析式為＞=-2x,

當_2x=[x_3時，x=E，

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握分類討論、數(shù)形

結(jié)合思想是解題的關鍵.

9.(1)V=X2-2X-3

(2)存在，點尸(-：,￡)

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式，相似三角形的判定，解一元二次方程，

對于(1),將點A(T0).B(3,0)代入關系式得出二元一次方程組，求出解即可；

對于(2),分兩種情況：當緇=嘿4時；當需=甯4時，設點P的坐標，并表示出甌PH,根據(jù)比例得出

DtiL-UJrnJ

答案.

【詳解】(1)解：將點A(-l,0),B(3,0)代入尸M+W+C,得

Jl-fe+c=0

[9+35+c=0'

解得產(chǎn)，

[c=-3

答案第17頁，共31頁

(2)解：存在,

當％=0時，尸-3,

.??點C(0,-3),

AO=1,CO=3,

設點尸3,〃2_2。一3)其中。＜0,貝(JPH=/—2a-3,BH=3-a,

當緇=甯=；時，APHBSAAOC，

DtlCCJ3

即'-2"3」,

3-a3

解得a=-:或”=3(舍去)，

4.13

3

當器=若弓時，△出

pti-tQ—31

即「a］，

a—2。-33

解得。=2(舍去)或。=3(舍去).

所以點尸的坐標是(］。).

C

A2

10.(l)y=-|x+|x+4

(2)存在滿足條件的實數(shù)m,其值為2或意

⑶當，"日時，s眨=2

【分析】(1)先通過勾股定理求出點A的坐標，再將A、C、Z)的坐標代入即可求出拋物線的解析式;

(2)分4戶〃=90。和NPC"=90。兩種情況，當NCPM=90。時，可得CP//x軸，容易求得尸點的坐標和機的值，當

NPGW=90。時，設PC交X軸于點B，利用相似三角形的性質(zhì)先求得產(chǎn)點的坐標，可求得直線CF的解析式，再聯(lián)

立直線CF和拋物線解析式可求得點尸的坐標和相應的m的值;

(3)由A、C的坐標可求得直線AC的解析式，再用機表示出點M的坐標，表示出ME,再由ABCOAGME可表

示出GE,求得。G,再利用面積的和差可得到△GMC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得起最大值.

【詳解】(1)解：.??點C?4),

:.OC=4,

AC=5f

在RUAOC中,40090。,

答案第18頁，共31頁

OA=4AC1-OC2=3>

“（3,0）,

將A、C、￡＞的坐標代入拋物線y="2+fc＜+c(aw0)中,

9。+3b+c=0

得<c=4

4a+2b+c=4

4

a=—

3

解得

3

c=4

二拋物線解析式為＞=-：*2+g%+4；

(2)根據(jù)題意可知人何/是直角三角形，而-MFC中，ZPMC=ZAME為銳角,

??.APCM的直角頂點可能是P、C,

第一種情況：當NCPM=R。時，如圖,

則CP〃x軸，此時點P與點。重合,

二點P(2,4),此時加=2,

第二種情況：當"CM=90。時，如圖,

延長PC交X軸于點尸，由AFC4SACQ4,得

AFAC

~AC~'AO'

AF=—

3

.-.OF=—-3=—

33

，直線CF的解析式為＞=++4,

聯(lián)立直線CF和拋物線解析式可得

答案第19頁，共31頁

3,

y=—x+4

4

48/

y=——x2+—x+4

[33

解得層,1飛5’

iy=——

I164

，點p坐標為停前，此時yff,

綜上所述，存在滿足條件的實數(shù)相，其值為2或亮；

10

(3)由A(3,0)、。(。,4)可得直線AC的解析式為y=-gx+4,

-M的坐標為(切，-：切+4],

MG〃BC,

:.ZCBO=ZMGEf且NCO8=ZMEG=90。，

:.△BCO^AME,

.COBO

"~ME~GE'

4_1

即」,〃+4=而，

3

GE=—根+1.

3

/.OG=OE-GE=-4m-l,

3

S^CMG=S梯形coGM-S11PoG-S?EM

1(4/八/41If1tY4八

2I3)UJ22l3人3)

當，”=■!時，S最大，即與大=2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，

函數(shù)圖象的交點等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵.

11.⑴丫=-卜+%+3

(2)存在，(8,-11)

(3即

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線的對稱性、兩點間的距離公式以及勾股定理等知識，

熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)及線段中點公式、勾股定理逆定理是解題的關鍵.

(1)待定系