2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形變換》專項檢測卷及答案

學(xué)校:姓名：班級：考號：

1.如圖1,將兩個完全相同的透明直角三角板放置在一起，點C,尸重合，點A在所的延

長線上，點。在CB的延長線上，AB與DE交于點G.ZACB=ZDFE=90°,ZA=ZD=30°.

圖1

(l)NAGE的度數(shù)是一。;

⑵將圖1中的VABC繞點C以每秒10。的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)180。后停止運動，設(shè)

旋轉(zhuǎn)時間為r秒.

①當(dāng)f=3時，判斷邊AC與邊DE的位置關(guān)系，并說明理由;

②在旋轉(zhuǎn)的過程中，VABC恰有一邊與邊OE平行，求f的值.

2.如圖1,。的半徑。4=3,弦=直線與，。相切于點C,MN〃OA.點

P為弦A3的中點，連接BC.

圖1圖2

(D如圖1,求—ABC大小及線段OP的長度；

⑵若弦A8以圓心0為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)到A'B'，B'C時停止，如圖2所示，求點尸走

過的路線長.

3.如圖1,在R/VABC中，NB=90,BC=2AB=12,點O,E分別是邊3C,AC的中點，

連接DE.將△即C繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

【問題發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)a=0°時，;②當(dāng)夕=180。時，=___________；

BDBD

Ap

【拓展探究】試判斷：當(dāng)04a<360時，怒的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證

DB

明.

【問題解決】當(dāng)△即C旋轉(zhuǎn)至AD,E三點共線時，直接寫出線段80的長.

4.在VA3C中，ZACB=90°,將VABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到VADE,連接對應(yīng)點8￡>,CE.

(1)如圖1,求證：ACEsABD.

(2)當(dāng)CE經(jīng)過AB的中點尸時.

①如圖2,若AC=6,BC=8,求線段CE的長；

②如圖3,延長。E交48于點G,當(dāng)BG=2尸G時，判斷線段CE,8。的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

5.如圖，在VABC中，CA=CB,。是VABC內(nèi)一點，連接C。，將線段CO繞點C逆時針

旋轉(zhuǎn)到CE,使/￡)CE=NAC8,連接A￡),。及BE.

⑴求證：CAD^,CBE.

⑵當(dāng)NC4B=60。時，求/C3E與4AD的度數(shù)和.

6.已知正方形ABCD,點E是8C邊上一點（不與點8,C重合），將線段3E繞點8順時

針旋轉(zhuǎn)式45。</<90。）得到線段加，作射線Ab,將射線AF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到

射線A/Z,過點。作。欣〃3b交4產(chǎn)于點連接

（1）求NMDC的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）用等式表示線段2戶,MEDW的數(shù)量關(guān)系，并證明.

7.【知識技能】（1）如圖1,在VABC中，AB=AC,ABAC=90°,點。為平面內(nèi)一點（點

A,B,。三點不共線），AE為的中線，延長4E至點M,使得=連接DM.求

證：ZMZM+ZZMS=180°.

【數(shù)學(xué)理解】（2）如圖2,在VABC中，AB=AC,ABAC=90°,點。為平面內(nèi)一點（點

A,B,。三點不共線），AE為△ABD的中線，將AD繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到AF,

連接CP.求證：AE=|CF.

【拓展探索】（3）如圖3,在（2）的條件下，點。在以點A為圓心，AD的長為半徑的圓

上運動（AD>AB）,直線AE與直線CP交于點G,連接3G,在點。的運動過程中，BG的

長度存在最大值.若AB=4,求3G的長度的最大值.

8.如圖，點。和點O'分別是正方形ABCD和正方形ABC'。'對角線的交點，邊且

過點。，與邊BC交于點E,40與邊。C交于點凡連接OO'.已知AB=8,

AO=EB'=a[a>0).

⑴求證：重疊部分的四邊形A'FCE是矩形；

⑵若tan/O'QB'=3.求。的值；

(3)若正方形ABC。和正方形AB'CD'分別繞點0和點O'順時針旋轉(zhuǎn)相同的角度后，重疊部

分的四邊形恰好為正方形，且00，=而，求重疊部分正方形的邊長.

9.如圖，在VABC和.CDE中，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,CD=CE,且點A在CD

上，連接AE、BD.

⑴求證：AE=BD；

(2)已知AB=CD,將VABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)以A、B、C、。為頂點的四

邊形是平行四邊形時，寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

10.如圖，反比例函數(shù)尸?相片0)過點4(1,3).

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若點E是反比例函數(shù)圖象上A點右側(cè)一點，連接AE,把線段AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。,

點E的對應(yīng)點F恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點E的坐標(biāo).

11.如圖①.點E為正方形A2CZ）內(nèi)一點.ZAEB=90°,將RtA4BE繞點B按順時針方向

旋轉(zhuǎn)90。,得到△CBE（點A的對應(yīng)點為點C）.延長AE交CE'于點尺連接DE.

猜想證明：

（1）試判斷四邊形的形狀.并說明理由；

（2）如圖②.若八4=小.請猜想線段CF與總的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

解決問題：

（3）如圖①，若AB=15,CF=3,請直接寫出DE的長.

⑴如圖1,N是延長線上一點，CN與AM垂直，求證：BM=BN；

（2）如圖2,過點B作族，AW,P為垂足，連接CP并延長交A8于點Q,求證：

CPBQ=BMPQ.

（3）如圖3,將（1）中的饃可以點8為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得BC'N',C,N對應(yīng)點分別是C',N',

3

E為C'N'上任意一點，。為的中點，連接。E,若BC=6,tcmNBCN=二,最大值

4

為m,最小值為"，求場的值.

n

13.綜合與實踐:

如圖1,這個圖案是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙

爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”.如圖2,在VA2C中，

ZA=90,將線段BC繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段80,作交AB的延長線于點

⑴【觀察感知】

如圖2,通過觀察，線段與的數(shù)量關(guān)系是；

⑵【問題解決】

如圖3,連接C。并延長交A3的延長線于點/，若AB=1,AC=3.

①求線段所的長；

②連接CE文BD于點、N,則黑BN的值為_______.

BC

(3)【拓展應(yīng)用】

3

如圖3,若AB=2,AC=6,在直線A5上找點P,使tanNBC尸=：,請直接寫出線段AP的

4

長度.

14.在綜合實踐課上，同學(xué)們探究三角形旋轉(zhuǎn)和平移的問題：

問題提出：

如圖①，已知VABC是等邊三角形，點E在邊上，以線段AE為邊作等邊VADE,將VADE

繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)a°(OWcW6O),如圖②，再將線段AO沿AC方向平移，使點A與點C

重合，得到線段CF.

猜想探究：

(1)如圖②，與N54E相等嗎？請說明理由;

(2)如圖③，連接BE,BF,EF,請直接判斷△3EF是哪種特殊的三角形：_____三角形.

探究遷移：

(3)如圖④，若VABC和都是等腰直角三角形，且AB=5C,AD=AE,點E在AB

邊上，將VADE繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)a°(OWa<45),如圖⑤，再將線段AD沿AC方向平移，

使點A與點C重合，得到線段CF,連接BE,BF,EF,則△3EF是什么特殊的三角形？

請證明你的結(jié)論.

15.已知正方形ABCD,將邊繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a至線段AE,的角平分線所在

直線與直線仍相交于點

【探索發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,當(dāng)。為銳角時，請先用“尺規(guī)作圖“作出”4E的角平分線(保留作圖痕跡，

不寫作法)，再依題意補全圖形，求證：EF=DF；

【深入探究】

(2)在(1)的條件下，

①ZDEB的度數(shù)為；

②連接CP,證明后CF=2E；

【拓展思考】

(3)如圖2,若正方形的邊長AB=4,當(dāng)以點GF,D,E為頂點的四邊形是平行四邊形

時，請直接寫出線段班的長度.

1.(1)30

(2)?AC±DE,理由見解答；②/的值是3或12或15

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的兩銳角互余和三角形外角的性質(zhì)即可解答；

(2)①如圖2,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得=90。，即可得結(jié)論；

②分三種情況：i)如圖2,BC//DE,z7)如圖3,AC//DE,iiO如圖4,AB//DE,延

長交OE于點G,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解答.

【詳解】(1)解：如圖1,；NDFE=90°,ZD=30°.

圖1

ZDEF=90°-30°=60°,

/A=30。，

ZAGE=ZDEF-ZA=60°-30o=30°,

故答案為：30；

(2)①當(dāng)r=3時，邊AC與邊DE的位置關(guān)系是：AC1DE,理由如下:

如圖2,當(dāng)/=3時，ZACE=30°,

：.ZC77E=180o-30°-60°=90°,

ACIDE；

②分三種情況：

z)如圖2,由①可得NCHE=9(r=NACB,

???BC//DE,

此時t=3；

iD如圖3,AC//DE,

???10-30+90,

iii）如圖4,AB//DE,延長BC交。E于點G,

???ZB=ZBGE=60°,

???"=30。，

ZDCG=60o-30o=30°,

ZACB=90°,

JZACD=180o-90°-30o=60°,

A10/=60+90,

Ar=15；

綜上，，的值是3或12或15.

【點睛】此題是三角形的綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角

形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

3

2.（1）ZABC=45°,OP=|

3

⑵丁

【分析】（1）連接OC,OP,由切線得到OCLMN,求出NAOC=90。，然后利用圓周角

定理求出/ABC=45。；由垂徑定理得到AP,然后利用勾股定理求解即可；

（2）連接OC,求出AC為直徑，點。在線段AC上，然后求出旋轉(zhuǎn)角為90。，然后利用弧

長公式求解即可.

【詳解】（1）解：連接OC,OP,

：.OCLMN,

,OA//MN

:.OC±OA,ZAOC=90°

:.ZABC=-ZAOC=45°

2

:點P為弦AB的中點

O尸垂直平分AB

...AP=-AB=—

22

：.OP=>JOA2-AP2=-；

2

AB'±B'C,

...AC為直徑，點。在線段AC上.

AW與圓相切，

:.ACrMN.

又，OA//MN,

ZAOA=90°,即旋轉(zhuǎn)角為90。.

3

，點尸走過的路線長為90無；_3.

--------=-71

1804

【點睛】此題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，求弧長等知識，解題的關(guān)鍵是掌握

以上知識點.

3.［問題發(fā)現(xiàn)］①近；②@；［拓展探究］的大小無變化；見解析；［問題解決］

22DB

-18石

或——

5

【分析】［問題發(fā)現(xiàn)］先利用勾股定理求得AC,再利用中點的意義分別求得AE與30,然后

求出它們的比；

［拓展探究］先證明"CEs△BCD,再求出AE與80,然后得出結(jié)論；

［問題解決］分“點。在線段AE上”、“點E在線段上”兩種情形，分別證明“。歷-△/CD,

列出比例求出BD.

【詳解】解：［問題發(fā)現(xiàn)］

①當(dāng)夕=0。時，如圖b

:在放VABC中，15=90,BC=2AB=12,

AC=^AB2+BC2=V62+122=6A/5，

；點、D,E分別是邊BC,AC的中點，

/.AE=-AC=3y［5,BD=-BC=6,

22

.AE_3A/5_75

"BD~62

故答案為：立；

2

②當(dāng)a=180。時，如圖,

A

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CE=-AC=3y/5,CD^-BC=6,

22

/.AE=AC+CE=6亞+3非=9非,

B￡>=BC+C￡>=12+6=18,

.AE9A/5^5

"BD-IF-V

故答案為：好；

2

［拓展探究］

無變化.

理由：如圖1中，TOE是VABC的中位線，

.CECD

…演一拓’

如圖2中，???CDE在旋轉(zhuǎn)過程中形狀大小不變,

.CECD

’.演=葭仍然成山

又；ZACE=ZBCD=a,

：.AACE^ABCD,

.AEAC6x/5A/5

"BD~BC~12-2'

???笈AF的大小無變化.

DD

［問題解決］

當(dāng)點。在線段AE上時，如圖,

與［拓展探究］同理可證AACEsABCD,

.AE75

''BD~2，

/CDE=90。,

：.ZCDA=90°

VAC=6A/5,CD=6,

AO=VAC2-CD2=J(6肩-62=12,

AE=AD+OE=15,

,解得：BD=65/5;

BD2

當(dāng)點E在線段上時，如圖，

同理可證△ACEs△geo,

.AE_小

,?80?2，

VZCZM=90°,AC=6-y/5,CD=6,

，AD=4AC1-CD1=J(6扃—6?=12,

AE=AD—DE=12—3=9,

:.—=JL,解得：BD=身叵，

BD25

綜上所述，BD=6#或空.

【點睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段的長，相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線定理等

知識，解題關(guān)鍵是利用相似三角形的判定證明三角形相似，并列出比例求出待線段的長.

4.⑴詳見解析

⑵①￥；②里=在，詳見解析

5BD4

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=AC=AE,AB=AD,即可得出

ACAF

NBAD=NCAE,七=不；，根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明ACE^ABD.

（2）①勾股定理求出AB=10,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出B==3/=5,即可得

ZACE=ZFAC,結(jié)合AC=AE,得出/ACE=/AEC,即可得/E4C=NAEC,證明

ACFs,EC4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

②設(shè)FG=a,根據(jù)BG=2FG,CF=AF=BF,得出AF=CF=3P=3a,AD=AB=6a,

3927

AG=4〃.證明VFEOVADG,得出跖=—〃，CE』,由①知，AC2=ECCF=—a2.即

222

可得人。=神〃.根據(jù)一ACEs/鉆。，即可求解.

2

【詳解】（1）證明：??,將VABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到VAD￡,

；?NBAC=NDAE,AC=AEfAB=AD.

：.ZBAD=ZCAE,—.

ABAD

：..ACEsABD.

（2）解：①???NACS=90。，AC=6,BC=8,

???AB=7AC2+BC2=V62+82=10?

???點/是"的中點，

???CF=AF=BF=5.

：.ZACE=ZFAC.

,:AC=AE,

：.ZACE=ZAEC.

：.ZFAC=ZAEC.

???ZACF=ZACE,

：.ACF^,ECA.

.ACCF

即AC?=ECCF.

*EC-AC

AC26236

EC=

CF55

②空=逅

BD4

設(shè)方G=a.

：BG=2FG,CF=AF=BF,

??AF=CF=BF=3a,AD=AB=6a,AG=4a.

:NBAC=NDAE,NFAC=NAEC,

9.ZDAE=ZAEC.

：.AD//CE.

：.NFEG^NADG.

.EFFG

**AD-AG-4e

13

EF=-AD=-a.

42

9

CE=EF+CF=-a.

2

97

由①知，AC2=ECCF=-a2.

2

.?AC------Q.

2

ACEsdABD,

376

ACEAC_~Ya_V6.

BDAB6a4

【點睛】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判

定，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點.解題的關(guān)鍵是證明三角形相似.

5.(1)見解析

(2)60°

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)：

(1)利用SAS證明CAD^CBE即可；

(2)證明VABC為等邊三角形，進而得到44c=60。，利用全等三角形的對應(yīng)角相等，結(jié)

合角的和差關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：:.旋轉(zhuǎn)，

:.CD=CE,

9：ZDCE=ZACB,

：.ZDCE-ZDCB=ZACB-ZDCB,

JZACD=ZECB,

,:CA=CB,

：..C4Z徑CBE；

(2)VC4=CB,NC4B=60。，

???VABC為等邊三角形，

Z^4C=60°,

ZCAD+ZBAD=60°f

由(1)知：CAD^CBE,

：./CBE=/CAD,

：./CBE+/BAD=60。.

6.(l)^MDC=90°-a

=BF2+DM\見解析

【分析】題目主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理

解題意，構(gòu)造全等三角形，作出輔助線是解題關(guān)鍵.

(1)延長交的延長線于點尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出b+/MR4=180。，確定

ZMPA=90°-a,再由各角之間的等量代換即可得出結(jié)果；

(2)過點人作曲^”且AK=AF,連接根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出

,ABF^ADK(SAS),BF=DK,ZABF=ZADK=9G0+a,確定/KDM=90。，繼續(xù)利

用全等三角形的判定和性質(zhì)證明二川呼冬AAMK(SAS),結(jié)合圖形利用勾股定理即可得出結(jié)

果.

【詳解】(1)解：延長交班的延長線于點尸，如圖所示:

°：DM〃BF,

：.ZABF+ZMPA=\^°,

根據(jù)題意得：/EBF=a,

：.ZABF=900+a,

：.ZMPA=90°-a,

??,正方形ABC。，

：.^ADC=^DAP=90°,

；.NMDC+ZADP=90°,ZADP+NAPD=90°,

???ZMDC=ZDPA=90°-a；

(2)過點A作AK_LAF且AK=AF,連接M0,DK,如圖所示:

：.ZFAK=ZDAB=90°,

：.ZDAK+NDAF=ZDAF+ZFAB=90°,

:?NDAK=NFAB,

,:DA=AB,

：...ABF^,AOK(SAS),

:?BF=DK,NABF=NADK=90。+a,

由（1）得〃?C=90?！?，

ZKDM=360。-NADK-NMDC=90°,

??,將射線AF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到射線AH,AK±AF,

：.NHAF=ZHAK=45°,

AK=AF,AM=AM,

：.AMF^AMK（SAS）,

:.MF=MK,

在RtDKW中，KM2=DK2+DM2^

FM2=BF2+DM2.

7.（1）見解析；（2）見解析；（3）275+2

【分析】（1）先證明一ABE四一MDE（SAS）,由全等三角形的性質(zhì)得出ZS4E=ZDME,最后

根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出ZMDA+ZDAB=180°.

（2）延長AE至點使得ME=AE,連接DM.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，

AF^AD,/DLF=90。.證明，ACF^DMA（SAS）,由全等三角形的性質(zhì)進一步即可證明.

（3）延長AE至點使EM=AE,連接先證明ADE^MB￡（SAS）,再證明

ABM9C4F（SAS）,根據(jù)得出點G在以AC為直徑的。上運動，當(dāng)且僅當(dāng)8O,G三

點共線時，BG的長度取得最大值，此時BG=O8+OG.然后利用勾股定理以及直角三角

形斜線的中線等于斜邊的一半求解即可.

【詳解】解：（1）證明：AE為的中線，

/.BE=DE.

在人45石和一中，

BE=DE,

<ZAEB=/MED,

AF=ME,

ABE”.MDE（SAS）.

:.ZBAE=ZDME.

AB//DM.

ZMDA-^-ZDAB=180°.

(2)證明：如答題圖，延長AE至點使得=連接DM.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AF=AD,ZDAF=90°.

ABAC=90°,ZDAF+ZBAC+ZDAB+ZCAF=360°,

/.ZZMfi+ZC4F=180°.

由（1）得ZMZM+/ZM5=180,DM=AB=AC,

.\ZCAF=ZMDA.

在△ACF和SMA中，

AF=DA,

<ZCAF=ZMDA,

AC=DM,

ACF^DM4（SAS）.

:.CF=MA.

AE=-MA

2f

/.AE=-CF.

2

（3）解：如答題圖，延長AE至點M,使=連接

AE=ME,

<NAED=ZMEB,

DE=BE,

ADE組MBE（SAS）.

:.AD=BM,ZDAE=ZM.

AD//BM.

:.ZDAB^-ZABM=180°.

ZZMF+ZBAC=180°,

.?.NZMB+NC4r=180。.

:.ZABM=ZCAF.

AF=AD,

.\AF=MB.

在一和VC4F中，

AB=CA

<ZABM=NCAF,

BM=AF,

ABM^..C4F（SAS）.

:.ZBAM=ZACF.

ABAC=9Q0,

.?.NBAM+NC4G=90。.

:.ZACF+ZCAG=9Q°.

:.ZAGC=90°.

二.點G在以AC為直徑的。上運動，當(dāng)且僅當(dāng)5,O,G三點共線時，3G的長度取得最大

值，此時BG=OB+OG.

O為AC的中點，AB=AC,

:.OA=-AC=-AB=2.

22

在中，由勾股定理，得OB=JAB2+OR?=正+22=26.

在RtACG中，。為斜邊AC的中點，

/.OG=-AC=2.

2

二?BG的長度的最大值為2A/5+2.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的綜合問題，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定

理等知識.掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.⑴見解析

⑵a=g；

(3)7一叵

2

【分析】(1)證明NCE4'=NC=NE4'E=90。，即可得到四邊形AFCE是矩形；

(2)作O7f_LOE于點證明率CO￡SAC4B,求得OE=4,證明,求

得OH=OE=2,再利用三角函數(shù)的定義即可求解；

(3)重疊部分的四邊形恰好為正方形，則正方形ABCD和正方形AB'C'D'的對角線重合，

得到點AA'、O、O'、C、C'共線，結(jié)合(2)的結(jié)論，求解即可.

【詳解】(1)證明：：正方形ABCD和正方形AB'C'D',

：.ZB=NC=NFA'E=90。,

AB'//AB,

：.ZCEA=9Q°,

：.NCEA'=NC=ZFAE=90°,

???四邊形AFCE是矩形；

(2)解：連接O'A、O'B\O'E,作O'〃_LOE于點H,

.,點。是正方形ABC。對角線的交點，且OEL3C,

,.OE//AB,

\COEjCAB,

.OEPC1

'AB~CA~2'

\0E=-AB=4,

2

??點O'是正方形AB'C'D'對角線的交點，

\O'A'=OB',ZO'AO=AO'B'E=45°,AH=OH,

A'O=EB',

O'A'O與OBE(SAS),

0'0=OE,

*O'H±OE,

.OH=OE=~OE=2,

2

*tanZOW=-,

4

O'H_5

'~OH~4，

.O'H=-,

2

.a=A'O=A'H-OH=O'H-OH=-；

2

(3)解：作O7/J_OE于點H,

由（2）知O/7=OE=2,

?/OO'=岳,

O'H=doo'?-OH。=3，

:點O'是正方形AB'C'D'對角線的交點，

/.正方形AB'C'D'的邊長為6,

：.O'A=1=-x6A/2=3V2,

22

?；AB=8,

:?AC=8拒,OC=|AC=4A/2,

、?重疊部分的四邊形恰好為正方形，

???正方形ABC。和正方形AB'CD'的對角線重合，

.,.點A、A、O、。、C、。共線，

如圖，重疊部分的四邊形AEB的對角線為AC,

A

/.A'O=O'A-OO'=3垃-岳,

/.AfC=A,O+OC=372-713+472=772-V13,

，重疊部分的四邊形AECF的邊長CF=ACsin45。=7-叵.

2

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形

的判定和性質(zhì)，二次根式的混合運算.正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見解析

(2)45°或225°或315。

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利

用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)SAS,可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)角相等；

(2)分類討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解答，可得答案.

【詳解】(1)證明：在△ACE和△BCD中，

CE=CD

<NACE=ZDCB=90°

AC=CB

AACE^ABCD(SAS)

AE=BD；

(2)解：分情況討論，設(shè)VABC旋轉(zhuǎn)后，A,8的對應(yīng)點為A,

當(dāng)CO為邊時有兩種情況，

當(dāng)DC在AF上方時，以A'、B'、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形時如圖，

E

/〃ZA'CB，=90°,CA'=CB',

.-.ZCA/Br=45°,

四邊形ZM'B'C為平行四邊形，

:.ZDCA'^ZCA'B'^45°,即旋轉(zhuǎn)45。；

當(dāng)。C在A一下方時，以A'、B'、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形時如圖,

NAC4'=180°—NA'=135°,

旋轉(zhuǎn)的角度為360°-135。=225。；

當(dāng)CD為對角線時，以A、B'、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形時如圖,

四邊形ADB'C為正方形,

:.ZACA'=45°,

???旋轉(zhuǎn)的角度為360。-45。=315。.

綜上，旋轉(zhuǎn)角度為45?；?25?；?15。，以AB、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形.

3

10.⑴y=—

X

⑵明

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)如圖2,過A點作x軸的平行線C。，作bCLCD于C,ED,CD于。，設(shè)＞1),

證明出ACF^EDA(AAS),得到一2,4-4，然后得到-a)=3求解即可.

【詳解】(1)解：點4(1,3)在反比例函數(shù)產(chǎn)：(〃-0)上，

.\m=lx3,

.,.m=3,

a

二反比例函數(shù)為y=±；

X

(2)如圖2,過A點作x軸的平行線C。，作產(chǎn)CLCD于C,ED1.CD于D,

A(l,3),

..3

AD=a—1,DE=3—,

a

把線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，點七的對應(yīng)點為產(chǎn)，恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖

象上，

：.ZEAF=90°,AE=AF,

:.ZEAD+ZCAF=90°,

ZEAD+ZAED=900,

.\ZCAF=ZAED,

在△ACF和..￡ZM中,

ZCAF=/AED

<ZACF=ZEDA=90°f

AF=EA

ACF^EZM（AAS）,

3

.\CF=AD=a—1,AC=DE=3—,

a

:.F^--2,4~a^,

?恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上,

1：-2）（4一"）=3,

解得（7=6或0=1（舍去）

【點睛】此題考查了反比例函數(shù)和幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解一

元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形.

11.（1）正方形，理由見解析；（2）CF=EF,證明見解析；（3）3折

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)

與判定等待，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/A￡B=NCEZ=9O。，BE=BE-NEBE'=90。,由正方形的判定

可證四邊形期叩E’是正方形；

（2）過點D作。于“，由等腰三角形的性質(zhì)可得AH=JAE,DH1AE,由“AAS”

可得△ADH冬△%,可得Aa=3E=gAE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=CE',可得結(jié)論；

（3）作DGL/于G,根據(jù)勾股定理求出CE',再根據(jù)勾股定理求出AG,進而求出GE,

根據(jù)勾股定理計算。E的長.

【詳解】解：（1）四邊形3EFE'是正方形，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得〃EB=NCE3=9O。，BE=BE',NEBE'=90。

又,?Z.BEF=180°-ZAEB=90°

，四邊形3EFE'是矩形

又；BE=BE',

.,?四邊形3EFE'是正方形；

(2)CF=EF,證明如下：

如圖②所示，過點D作。垂足為H

貝ljNDH4=90。，

ZDAH+ZADH=90°,

VDA=DE,DH1AE,

：.AH=-AE,

2

:四邊形A3CD是正方形，

AAB=AD,ZDAB=90°,

：.ZDAH+ZBAE^90°,

：.ZBAE=ZADH,

在4AEB和中，

'NAEB=NDHA

<NBAE=NADH,

AB=DA

：.AEB^DHA(AAS),

：.AH=BE,

由(1)知四邊形3EFE是正方形,

BE=E'F,

-AH=E'F<

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CE'=AE,

：.FE'=-CE',

2

CF=FE',

：.CF=FE；

(3)如圖①所示，作￡>G_LAE于G,

,/四邊形BEFE'是正方形

/.BE=BE'=EF,

在RtCBE'中，由勾股定理得：CE'2+BE'2=BC2,

：.CE'2+(CE,-3)2=BC2,

CE'=12或CE'=-9(舍去)，

/.AE=CE'=12,EF'=BE=9,

由(2)可知：AEB0DGA,

：.AG=BE=9,

：.GE=AE-AG=3,

在Rt^DGE中，由勾股定理得：DE=ylDG2+GE2=V122+32=3717-

12.(1)見解析

(2)見解析

⑶星

9

【分析】(1)證明"BM會△CBN,從而得出結(jié)論；

⑵作CD_L3c交3尸的延長線于。，證明一CPDsQP3及，3(24,四河，二者結(jié)合可

證明結(jié)論；

(3)點C運動軌跡是以B為圓心，3C為半徑的圓，設(shè)CN上的高是8尸，垂足為尸，則尸的

軌跡是以3為圓心，跖為半徑的圓，CN運動的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)，結(jié)合圖形

找出點DE的最大值，然后根據(jù)垂線段最短可求出OE的最小值，從而確定俄和〃的比值，

進一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖1,設(shè)AM的延長線交CN于。，

N

CNVAM,ZABC=90%

圖1

:.ZABC=ZADC=90°9

,ZAMB=ZCMD,

:.ZBAM=ZBCNf

在和/\CBN中,

ZBAM=ZBCN

<AB=BC,

ZABC=ZCBN=90°

ABM^CBN(ASA),

(2)證明：如圖2,

作CD,交成的延長線于。，

/.ZBCD+ZABC=90°+90°=180°,

ACD//AB.

:、CPDsQPB,

CPCD

'~PQ~~BQf

BP工AM,

.\ZBPM=90°f

:.ZDBC+ZAMB=90°,

ZBAC=9Q°,

ZBAM+ZAMB=90°9

:"DBC=/BAM,

在△區(qū)CD和.ABM中，

'ZDBC=ZBAM

<BC=AB,

ZBCD=ZABC=90°

，BCDWABM(ASA),

:.CD=BQ,

CPBM

'~PQ~~BQ'

...CPBQ=BMPQ;

「點。運動軌跡是以5為圓心，5c為半徑的圓,

設(shè)CN上的高是3尸，垂足為尸，則尸的軌跡是以5為圓心，5尸為半徑的圓,

.?.CN運動的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)，

當(dāng)E在CB的延長線上時，DE最大,

3

ZBCN=90°,tanABCN=~,AB=BC=6,

4

39

/.BM=BN=BCtan/BCN=6x—=—

42

。為BM的中點，

19

BD=-BM=-

24

933

:.m=BD+BE=BD+BC=—+6=——，

44

9

BN=—,BC=6

2

CN=y/BN2+BC2=—

2

根據(jù)三角形面積可得［BNXBCMINCXBF,

22

2x6

kBNXBC218

CN155

~2

18927

n=DEf=BEf-BD=BF-BD=--------=——

5420

33

m_4_55

20

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一點到圓上的距離的最值問題，相似三角形

的判定和性質(zhì)，解直角三角形,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形.

13.(1)DE=AB

9

⑵①2；②為

(3)2或1

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NCBD=90,CB=BD,進而證明.ABC四?！闐B(AAS),

即可求解；

(2)①證明AABC^EDB(AAS),得出DE=AB=1,BE=AC=3,根據(jù)tan/^=匹=生，

EFAF

13

得出戶=7F，求出結(jié)果即可；

EF4+EF

②過點N作尸于點Af,證明，ABCs,MVB得出肱V=，證明EMN^^ECA,

27

設(shè)=則=3M=3-無，代入比例式，得出了=后，進而即可求解；

(3)當(dāng)P在B點的左側(cè)時，過點P作PQLBC于點。，當(dāng)尸在8點的右側(cè)時，過點P作

PT_LBC交CB的延長線于點T,分別解直角三角形，即可求解.

【詳解】(1)解：：將線段BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段30,作交A5的延

長線于點E.

,ZCBD=90°,

\?ABC?DBE90?,

VZA=90°,

.*.ZABC+ZACB=90,

:.ZDBE=ZACB,

又二ZA=ZDEB=90。且CB=BD,

/.ABC^EDB(AAS),

/.DE=AB；

(2)解：①?.,NCa)=90。，

JZABC+NDBE=90。,

VZA=90°,

???ZABC+ZACB=90。,

ZDBE=ZACB,

又「NA=ND￡B=90。且CB=BD,

：._ABC-EDB(AA^,

：.DE=AB=1,BE=AC=3,

：.AE=AB-^BE=l+3=4,

9：ZDEF=ZA=90°,

tan八區(qū)AC

EF-AF

13

￡F-4+EF

EF=2；

②如圖所示，過點N作NM_LAF于點M,

■:ZA=NBMN=90。，ZACB=90。一ZABC=ZNBM,

：.ABCsMNB,

.BN_BM_MN

**BC-~\C~AB，

BNBM_MN口L

BaPn—=—,^MN=-1BM

BC13

VAC1AF,NM1AF,

：.MN±ACf

:.一EMNsEAC,

.ME_MN

??一，

AEAC

^BM=x,則=3M=3—x,

1

O-x

3r二3

4-3

27

解得：*=

27

??.BNBM這9；

^C~~AC~~3~V3

（3）解：如圖所示，當(dāng)尸在8點的左側(cè)時，過點尸作PQL3C于點。,

XVAC=6,AB=2,ABAC=90°,

A。6______

???tan/A3C="^=7=3,BC=《展+6?=2麗,

AD2

.?.tan/PBQ=黑=3,

.**BQ=jPQ=a,

BC=CQ+BQ=4Q+a=5a,

/.5a=2A/10,

解得：。二亞,

5

在RtAPBQ中，PQ=3a,BQ=a,

PB=JPQ2+BQ2=回。=回義^^~=4,

???AP=PB-AB=4-2=2；

如圖所示，當(dāng)尸在3點的右側(cè)時，過點尸作PT_LBC交CB的延長線于點T,

ZABC=ZPBT,ZA=ZT=90°,

:.ZBPT=ZACB

Afi1

VtanZACB=——

AC3

tanZBPT=—=tanZACB=-

PT3

設(shè)BT=b,則PT=3b,BP=Mb,

PT3

VtanZBCP=——=—,

CT4

,3b

*b+2M4

解得：人=冬叵，

3

.??即=燦=亞亞=型,

33

26

AP^AB+BP=2+—^

3T

綜上所述，AP=2或胃.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形,

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

14.(1)ZBCF=ZBAE,理由見解析；(2)等邊；(3)△3EF是等腰直角三角形，證明見

解析；

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰

三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)先由等邊三角形的性質(zhì)得NZM￡=N54C=NBC4=60。，運用平移性質(zhì)得AD〃CF,

則/R4C+/ACR=180。，則代入NZMB=N5AC—NA4E=60O—NBAE,化簡得出

ZBCF:ZBAE,即可作答.

（2）與（1）同理得NBCF=N84E=。。，再證明BAE^BCF（SAS）,

BE=BF,NFBC=NEBA,然后根據(jù)有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形，即可作答.

（3）與（2）同理證明BAE空BCF（SAS）,得BE=BF,ZABE=/CBF,故ZABC=NEBF,

因為VABC為等腰直角三角形，AB=BC,所以NABC=90。，即可作答.

【詳解】解：（1）NBCF=NBAE,

理由ADE和NABC為等邊三角形，

ZDAE=ZBAC=ZBCA=60°f

/.ZDAB=ZBAC-ZBAE=600-ZBAE,

平移，

:.ADCF,

.?.NZMC+ZAC尸=180。，

/.NDAB+ABAC+ZBCA+NBCF=180°,

.?.60?！猌BAE+60°+60°+ZBCF=180。，

:.ZBCF=ZBAE；

（2）△5EF是等邊三角形，過程如下：

ADE和NABC為等邊三角形，

/.ZDAE=ABAC=ZBCA=60°,AB=BC,AD=AEf

/DAB=NBAC—NBAE=60°-ZBAE=60°-tz°,

平移，

/.ADCF,AD=CF,

.?.ND4C+NAC尸=180。，AE=CF,

/.ZDAB+ABAC+ZBCA+ZBCF=180°,

/.60°-ZBAE+60°+60°+ZBCF=180。，

.\ZBCF=ZBAE=a°；

VAE=CF,AB=BC,

：.BCF（SAS）；

???BE=BFfZFBC=ZEBA,

ZABC=ZEBC+ZEBA=60°,

???ZEBF=NEBC+ZFBC=60°,

*.*BE=BF,

???△區(qū)FE是等邊三角形；

（3）ABEF是等腰直角三角形，理由：

由（2）知々A￡*=N3CF,

平移，

/.CF=AD,

又AD=AE,

.\CF=AE,

VAB=BC,ZBAE=ZBCF,AE=CF,

：.BCF（SAS）；

:.BE=BF,ZABE=/CBF,

/.ZABE+NEBC=ZCBF+NEBC,

即ZABC=/EBF,

ABC為等腰直角三角形，AB=BCf

.\ZABC=90°,

:./EB