2025年中考數(shù)學二輪復習：三角形證明與計算提分刷題練習題

1.在RtZXABC中，NC=9(r,E,尸分別是邊AB,AC的中點，延長8C到點使BC=2CD,

連結所,CE,￡＞尸.

⑴求證：四邊形CD?花是平行四邊形.

(2)連結DE,交AC于點。，若AB=BD=9,求。E的長.

2.如圖，VA3C中，AB=AC=4,D、E分別為A3、AC的中點，連接C。，過E作斯||OC

交BC的延長線于足

⑴求證：四邊形DCEE為平行四邊形；

⑵若/3=60。，求斯的長.

3.如圖，在DABCD中，AB±AC,AB=1,AC=2,對角線AC、8。相交于點0,將直線AC

繞點。按順時針方向旋轉，分別交BC、AD于點E、F.

(1)試證明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等.

(2)在旋轉過程中，就圖中四邊形的形狀而言，你有哪些發(fā)現(xiàn)？對其中的一個結論加以證明.

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E,尸分別在AB,CD±,BE=DF,連接跖與對

角線AC相交于點。.

第1頁共31頁

⑵連接CE,G為CE的中點，連接OG.若OG=2,求AE的長.

5.如圖，點。是等邊VA3C內一點，。是VABC外的一點，已知NAOB=110。，ZBOC=a,

△BOg^ADC,ZOCD=60°,連接OO.

(1)求證：AOCD是等邊三角形;

(2)當魂=150。時，求/。4D的度數(shù);

(3)探究：當。為多少度時，△AOD是等腰三角形.

6.如圖1,在矩形ABC￡＞中，點E為AD邊上不與端點重合的一動點，點廠是對角線上

一點，連接砥，AF交于點O,S.ZABE^ZDAF.

圖2

(2)若AB=4,AD=6,DF=BF,求DE的長;

1AF

(3)如圖2,若矩形ABC。是正方形，DF=-BF,求際的值.

7.如圖，在ZXACB中，ZACB=90°,AD是ZkACB的外接圓。。的切線，AD交BC的

延長線于點。，歹為AC的中點，連接OF并延長，分別交AC,AD于點E,G,連接OC.

第2頁共31頁

(1)寫出圖中一對相等的角：

(2)求證：AG=GD；

(3)若A3=6,AG=4,求的值.

8.如圖，在四邊形ABCD中，點分別在邊C￡>,3C上.連接AM,⑷V.

圖1圖2

(1)如圖1,當四邊形ABC。為正方形時，連接MN,且/M4N=45。.

①求證：MN=DM+BN■,

②已知AB=5,CM=2,求3N的長；

⑵如圖2,若四邊形ABCD為矩形，/AAQ=2/R4N,點N為2C的中點，AN=6,AM=8,

求AD的長.

9.如圖，正方形ABCD中，AB=4,點E是對角線AC上的一點，連接DE.過點E作￡F_L即,

交于點孔以DE、族為鄰邊作矩形DEFG,連接AG.

(2)求AG+AE的值.

(3)當線段OE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40。時，直接寫出BEE4的度數(shù).

10.如圖，在VABC中，BA=BC,3D平分/ABC交AC于點。，點E在線段5。上，點尸

在80的延長線上，且DE=DF,連接AE,CE,AF,CF.

第3頁共31頁

A

(1)求證：四邊形AEC尸是菱形；

(2)若BA_LAF,AB=3,sinZABF=1,求3。和AE的長.

11.在VABC中，AB=AC=5,BC=6.將VABC繞點A逆時針旋轉，得到VADE(點

分別是點氏C的對應點)，旋轉角為a(O°<a<NBAC),線段AD與BC相交于點M,線段

OE分別交BCAC于點尸,N.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,連接MN,在VA3C繞點A逆時針旋轉的過程中，AAMN始終為等腰三角形，請

你證明這一結論；

(2汝口圖2,當AD2BC時，求EC的長；

⑶如圖3,當AE〃3C時，求CN的長.

12.己知VABC是等邊三角形.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若AS=4,點。在線段BC上，且9>=1,連接AD,求AD的長；

(2)如圖2,點E是3C延長線上一點，ZAEF=60°,所交VABC的外角平分線于點尸，求

證：CF=AC+CE；

(3)如圖3,若AB=4,動點M從點8出發(fā)，沿射線3C方向移動，以40為邊在右側作等邊

三角形取AC中點//,連接請直接寫出NH的最小值及此時瀏f的長.

第4頁共31頁

13.已知正方形ABCD,點〃為AB的中點.

(1)如圖①，點G為線段CM上的一點，且NAG3=90。，延長AG,BG分別與BC,CD交

于點E,F.

①求證：AABE/LBCF；

②若4?=2,求線段CE的長.

(2)如圖②，在邊2C上取一點E,滿足8石2=3。箋，連接AE交CM于點G,連接3G并

延長交8于點/，求tan/CBF的值.

14.如圖，在正方形ABCD中，E是邊A3上一動點(不與點AB重合)，點尸在8C的延長

線上，且B=AE,連接族，交AC于點P,交CD于點。，連接DE、Z/.

⑴求證

①ADAEgADCF；

②匕CPF=&DE；

(2)若4?=3,b=l,求”的長；

(3)連接3尸，在點E的運動過程中，思的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，請

DF

說明理由.

15.如圖1,菱形ABCD中，ND=60。，AB=4,點E,尸分別在邊AB,A。上，AE=DF.

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圖1圖2

⑴求證：ABEC*AFC；

⑵求斯的最小值；

(3)如圖2,線段跳'的中點是點0,連接OB,OD,求四邊形03co的面積.

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參考答案

1.(1)見解析

⑵工

2

【分析】本題考查了三角形中位線的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理，掌握三角

形中位線的性質和平行四邊形的性質是解題的關鍵.

(1)利用三角形中位線的性質得EF||2C,所=：3C,進而可得C￡)||斯，CD=EF,即

可求證；

112

(2)由C￡>=QBC可得。=§8。=3,BC^-BD=6,利用勾股定理得AC=3石，再根

據(jù)平行四邊形的性質得OC=LCP='AC=25,DE=2OD,利用勾股定理求出OD即可

244

求解；

【詳解】(1)證明：?.?瓦尸分別為AB,AC的中點，

:.EF\\BC,EF=^BC,

:.CD\\EF,

?.?BC=2CD,

:.CD=-BC,

2

:.CD=EF,

.1四邊形。CE尸是平行四邊形；

(2)解：-：CD=-BC,BD=AB=9,

2

:.CD=~BD=3,BC=-BD=6,

33

在Rt^ABC中，AC=\lAB2-BC2=375-

在平行四邊形。CER中，OC=-CF=-AC=—,

244

在Rt^OCD中，OD=Jcr>2+0c2=空I,

4

DE=WD=.

2

2.(1)見解析

(2)2A/3

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定以及性質，三角形中位線的判定以及性質，等邊

第1頁共31頁

三角形的判定以及性質，含30度直角三角形的性質，勾股定理等知識，掌握這些知識是解

題的關鍵.

(1)由已知條件得出DE為VA3C的中位線，由三角形中位線的性質得出DE〃Cb,結合

已知條件可得出四邊形DCEF為平行四邊形.

(2)先證明VA3C為等邊三角形，再由三線合一的性質得出/8DC=90。，進而可得出

ZBCD=90°-ZB=30°,再由含30度的直角三角形的性質得出3D,再利用勾股定理得出

CD,最后根據(jù)平行四邊形的性質求解即可.

【詳解】(1)證明：：￡)、￡分別為AB、AC的中點

OE為VABC的中位線，

:.DE//BC,即￡>E〃CV

又斯||DC,

二四邊形DCEF為平行四邊形.

(2)解：AB^AC=4,ZB=6Q°,

.?.△AfiC為等邊三角形，

：.BC=AB=AC^4

為A3中點，

:.CD±AB,

:.ZBDC=90°.

在RtABCD中，NBCD=90?！?3=30。，

:.BD=-BC=2,

2

:.CD=NBC，-BD1=273，

四邊形。CER為平行四邊形，

EF=CD=2A/3.

3.⑴見解析

(2)發(fā)現(xiàn)的結論不唯一，證明見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的判定與

性質，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵.

(1)由平行四邊形的性質得AO=CO,AD〃3C,所以ZFAO=NECO,又ZAOF=ZCOE,

所以證明出AAOF/4OE,即可得解；

第2頁共31頁

(2)對“當旋轉角ZAOF=90。，四邊形ABEF是平行四邊形”加以證明：當ZAOB=90。時，

AB//EF,再結合AF〃跖，即可得證.

【詳解】(1)證明：???四邊形是平行四邊形，

AO=CO,AD//BC,

:.ZFAO=ZECO,

又ZAOF=NCOE,

:.^AOF=^,COE,

AF=ECi

(2)就圖中四邊形的形狀而言，發(fā)現(xiàn)的結論不唯一，例如：當旋轉角ZAOF=90。時，四邊

形ABEF是平行四邊形；

對“當旋轉角ZAOF=9Q°,四邊形是平行四邊形”加以證明如下：

當N4O尸=90。時，AB//EF,

又?.?AF〃3E,

二四邊形ABEF是平行四邊形.

4.(1)見解析

(2)4

【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質，三角形中位線，全等三角形的判定和性質，熟

練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵；

(1)根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到N朋C=NACD,從而證明“OE至△COE,

進而得證；

(2)根據(jù)三角形的中位線，即可求解；

【詳解】(1)證明：二?四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AB^CD,AB//CD,

：.ZBAC=ZACD,

■.BE=DF,

■.AE=CF,

在ZVIOE和ACOF中，

ABAC=ZACD,AE=CF,ZAOE=ZCOF,

.?.△AOE^ACOF(AAS),

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:.OE=OF；

(2)解：???點G為CE的中點，OE=OF,

」.OG是△石FC的中位線，

?：OG=2,

:.CF=2OG=4

AE=4,.

5.(1)證明見解析；

(2)NQ4T>=50。；

⑶a=110?；?25?；?40。，△40。是等腰三角形.

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質得到OC=DC,根據(jù)等邊三角形的判定定理證明即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質得到ZADC=ZBOC=Nc,根據(jù)題意求出ZAZXXZAOD,根據(jù)

三角形內角和定理計算；

(3)分NAOD=ZADO、ZAOD^ZOAD.NADO=N6MD三種情況，根據(jù)等腰三角形的判

定定理計算即可.

【詳解】(1)證明：：ABOC絲AADC,

：.OC=DC,

,/NOCD=60。，

AOCD是等邊三角形；

(2)解：?；^BOC^ADC,

：.ZADC=ZBOC=Za.

???△OCD是等邊三角形，

ZODC=60°,

：.ZADO=a-60°,ZAOZ)=360°-110°—a—60°=190°-e,

ZOAD=180°-ZADO-ZAOD=180°-(a-60°)-(190°-a)=50°；

(3)解：①當NAOD=/ADO時，190°-a=a-60°,

，a=125。，

②當ZAOD=N04D時，190。一0=50。，

，a=140。，

③當NADO=NQ4D時，a—60°=50°,

第4頁共31頁

/.a=110°,

綜上所述，當(z=110。或125?；?40。時，△AC?是等腰三角形.

【點睛】本題考查了是全等三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與

性質，三角形內角和定理，掌握相關的判定定理是解題的關鍵.

6.(1)見解析

【分析】本題考查了矩形的性質，正方形的性質，勾股定理，三角形相似的性質，解題的關

鍵在于熟練掌握相關性質定理和找準相似三角形.

(1)利用矩形的性質和三角形內角和定理，求出NABE+NAEB=90。，通過等量代換即可

求出NAOE的度數(shù)，從而證明

(2)延長AF交。于點G,根據(jù)矩形的性質和平行線的性質定理，利用兩個角相等，兩個

三角形相似證明AABFsAG。尸，得到手=變=2,求出DG長度，再證明AABE^ADAG,

ABBF2

即可求出AE的長；

(3)設正方形ABCD的邊長為。，延長AF交CO于點G,根據(jù)正方的性質和平行線的性質

定理，利用兩個角相等，兩個三角形相似證明尸，得到空===空=1,

ABAFBF2

AF

用，表示DG長度，再根據(jù)勾股定理求出AG長度，即可求出AF的長，從而求出F的值.

AD

【詳解】(1)證明：?.?矩形ABCD,

:.ZBAD=90°,

:.ZABE+ZAEB=90°,

???NABE=NDAF,

ZDAF-^-ZAEB=90°,

..ZAOE=90°,

.\AF±BE；

（2）解：如圖，延長AF交8于點G,

第5頁共31頁

AED

:.AB//CD,ZBAD=ZADG=90°,

:.△AFBS&FD,

-：DF=\BF,AB=4,

2

.DG_DF_1

DG=-AB=2,

2

-.-ZBAD=ZADG=9009ZABE=ZDAF,

.,.^,ABE^/JDAG,

AB_AE_4_2

,AD~DG~6~3f

24

「.AE=—DG=—,

33

414

:.DE=AD-AE=6——=——；

33

(3)解：設正方形ABCD的邊長為明則=AD=a，

如圖，延長AF交CD于點G,

:.ZBAD=ZADG=90°,AB//CD,

:△AFBSAFD,

DGFGDF_1

*AB-AF-BF-2?

DG=-AB=-a,FG=-AF

222f

二.AG=y/AD2+DG2=-a,

2

?：FG=-AF,

2

第6頁共31頁

...AF=-AG=—a,

33

小a_

,竺=工=好.

ADa3

7.(1)ZAOF=NCOF(答案不唯一)

(2)見解析

⑶變

25

【分析】(1)根據(jù)等弧對等角直接求解即可；

(2)根據(jù)切線性質求出A3為圓的直徑，根據(jù)等弧對等角，垂徑定理可得到

ZAEO=90°=ZACB,推出OG〃瓦)進而得出結論；

OFAF

(3)根據(jù)切線性質，勾股定理求出AE的長，再證明AQ4ESAA￡>C,得到筆=等，從

而求出結果.

【詳解】⑴解：為AC的中點,

/.AF=CF

:.ZAOF=ZCOF；

(2)vZACB=90°,

AB是。。的直徑，

「.AB經(jīng)過圓心O.

???尸為AC的中點，

AF=CF，

.\ZAOF=ZCOF.

又?.?Q4=OC,

:.AE=CE,OELAC,

：.ZAEO=90°=ZACBf

:.OG//BD,

/.AG=GD；

(3)解：VAB=6,

OA=—AB=3,

2

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?.?AD是。。的切線,

.\ZGAO=90°.

又?.?AG=4,

,-.OG=VOA2+AG2=5-

?.--OGA￡=-AOAG,

22

AOAG12

二.AE=

OG5

vZOAE+ZZMC=90°,ZADC+ZDAC=90°f

:.ZOAE=ZADC.

又ZAEO=ZDC4=90°,

.,.△OAE^AADC,

.OEAE

\AC~CD'

由（1）知AE=CE,

OECD=2AE2=2x(同=券?

【點睛】本題考查了圓周角定理，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質，勾股定

理，切線性質，垂徑定理等知識，熟練掌握相關性質定理為解題關鍵.

8.(1)①見解析；②BN]

⑵3救

【分析】本題主要考查正方形，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理的運用，

掌握正方形，矩形的性質證明三角形全等，合理作出輔助線是關鍵.

(1)①如圖，延長CB至點E,使BE=DM,連接AE,根據(jù)正方形的性質可證

^ABE^AADM(SAS),得至iJAEnAMZBAEuZDAM,再證AAEN絲AAVW(SAS),則有

MN=EN=EB+BN=DM+BN,即可求解；

②設BN=x,由題意和①得，AB=BC=5,CN=5-x,DM=5-2=3,

MN=DM+BN=3+x,在RsC耀V中運用勾股定理得到CN^+C”=加解，由此列式求

解即可；

(2)如圖，延長⑷V,DC交于點E，可證ACEN'BAN(AAS)，得至lj￡7V=4V,則NE=ZMAE,

第8頁共31頁

EN=AN=6,EM=AM=S,^,DM=x,則由勾股定理得到AD2=AM2-DM2=AE--DE2，

列式求解即可.

【詳解】（1）解：①如圖，延長CB至點E,使BE=DM,連接AE,

在正方形ABCD中，ZABC=ZD=ZBAD=90°,AB^AD,

在AABE和中,

AB=AD

<NABE=ZD,

BE=DM

.?.△ABE^AADM（SAS）,

AE=AM,ZBAE=ADAM,

-,-ZMAN=45°,

:.ZBAN+ZDAM=45°,

:.ZEAN=ZBAE+ZBAN=45°,BPZEAN=AMAN,

在和AAAW中，

AE=AM

<NEAN=ZMAN,

AN=AN

:.AAEN'AMN妗網(wǎng),

:.MN=EN=EB+BN=DM+BN.

②設BN=x,

由題意和①得，AB=BC=5,CN=5-x,DM=5-2=3,MN=DM+BN=3+x,

在RtACMV中，CN2+CM2=MN-,

.■.（5-X）2+22=（3+X）2,

解得尤=：,

4

BN=-

4

第9頁共31頁

(2)解：如圖，延長⑷VQC交于點E,

:.ZE=ZBAN,

在ACEN和AB4N中,

ZE=NBAN

<NCNE=NBNA,

CN=BN

:.ACEN^BAN(AAS),

:.EN=AN,

ZAMD=2ZBAN=2ZE,ZAMD=NE+ZMAE,

:.ZE=ZMAE,

:.AM=EM,

■.■AN=6,AM=8,

：.EN=AN=6,EM=AM=8,

DM=x,則山=⑷^-乃獷二盤一出，

82-%2=122-(X+8)\

解得x=l,

AD=4AM2-DM-=J'-F=3。-

9.(1)見解析

(2)472

⑶ZEFA=130°或NEFA=40°.

【分析】(1)作初/，4。于"，ENLAB于N.只要證明AEMZ涇AENF即可解決問題;

(2)只要證明AADG絲ACDE,可得AG=CE,即可解決問題；

(3)根據(jù)題意，分兩種情況分析：當線段DE與DC夾角為40。時，即/CDE=40。，當線

段DE與AD夾角為40。時，即/ADE=40。，斷交54的延長線于點E結合圖形分別求

第10頁共31頁

解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，作石7欣，4。于M,ENYAB于N.

：./FAD=/FAB,ZDAB=90°,

?.?EM工AD,EN工AB,

：.EM=EN,

丁ZEMA=ZENA=ZDAB=90°,

???四邊形4VEM是矩形，

ZMEN=90°,

:./FEN+ZMEF=90°,

\-EF.LED,

/DEM+ZMEF=ZDEF=90°,

???ZDEM=ZFEN,

在△石MD和4ENF中,

，/EMD=NENF=90。

<EM=EN,

/DEM=ZFEN

：.A￡MD^A￡NF(ASA),

ED=EF,

又:四邊形OEFG是矩形，

???四邊形。￡FG是正方形.

(2)解：,??四邊形OEFG是正方形，四邊形是正方形，

，DG=DE,DA=DC=AB=4,AC=飛DN+DC?=4"NGDE=ZADC=90。，

ZADG-^-ZADE=/CDE+ZADE=90°,

第11頁共31頁

ZADG=NCDE,

在AADG和△<?￡中,

DG=DE

<ZADG=ZCDE,

DA=DC

.?.△ADG、CDE（SAS）,

：.AG=CE,

AG+AE=CE+AE=AC=442-

（3）解：如圖，當線段。石與OC夾角為40。時，即/CD石=40。,

：.^MDE=50°,

如圖所示：

由（1）得△￡%/汪△￡7VF（ASA）,

JNMDE=NEFN=50。,

A^EK4=130°；

當線段。石與AD夾角為40。時，即/AP￡=40。，石尸交K4的延長線于點R

：.ZDIE=5G0,

如圖所示：

：?NFIA=NDIE=50°,

???/EE4=90。一50。=40。；

第12頁共31頁

綜上可得：/￡7么=130?；?￡7弘=40。.

【點睛】本題考查了正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、

勾股定理、角平分線的性質等知識點，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形

解決問題.

10.(1)見解析

⑵BD=2五,4石=述

4

【分析】本題考查了菱形的判定與性質，解直角三角形，勾股定理，解決本題的關鍵是掌握

菱形的性質.

(1)根據(jù)對角線互相平分且垂直即可證明四邊形AECF是菱形；

(2)解Rt^ADB,得出3。=20，解RtAAEB,得出A歹=述，然后菱形的性質即可解

4

決問題.

【詳解】(1)證明：?.,B4=3C,平分/ABC,

:.AD=DC,BDLAC.

-.DE=DF,

二四邊形AEC尸是平行四邊形.

?/EF1AC,

四邊形是菱形.

(2)解：-.-ZADB=90°,BA=3,sinZABF=-,

3

.,.在RtA4￡>3中，AD=1,

BD=yjB^-AD2=25/2?

1.?sinZABF=-,BA=3

3

AF1

在R3AFB中，sinNABF=----=—,BF2—AF2=AB2=9,

BF3

.A口3叵

4

,??四邊形AEC尸是菱形，

AE=AF=—.

4

IL(1)見解析

⑵而

第13頁共31頁

【分析】(1)根據(jù)題意證明AABM絲AAEN,得到AM=4V,即可求解；

(2)根據(jù)題意得到NC4M=/EW,可證AC_L￡?E,EN=-DE,NE=-DE=-BC=3,

一,222

則AN=4,貝?。軨N=AC-AN=5—4=1,在Rt/XCNE中由勾股定理即可求解；

(3)根據(jù)題意可證四邊形ABFE是平行四邊形，得到MnAEuS,CF=1,再證

AANESMNF,得到空=笑，即，=與建，由此即可求解.

CFCN1CN

【詳解】(1)證明：：AB=AC,將VABC繞點A逆時針旋轉，得到VADE(點RE分別

是點民C的對應點)，

AZS=ZC,AB=AD=AC=AE,

：.NB=NC=ND=NE,

;/BAC=NDAE,

ZBAM=ZEAN,

在△ASM和中，

ZBAM=ZEAN

<AB=AE,

NB=NE

.?.AABM^AAEA^(ASA),

:.AM=AN,

.1△AAW是等腰三角形.

(2)解：■.■AB=AC,AD1BC,

:./BAM=/CAM,

由(1)知=

ZCAM=ZEAN,

又=

:.AC±DE,EN=-DE,

2

在A/UVE中，AE=5,NE=-DE=-BC=3,

22

:.AN=4,貝l|OV=AC-yW=5—4=l,

EC=\lNE2+NC2=732+l2=y/lQ；

第14頁共31頁

(3)解：\-AE//BC,

/.ZB+ZfiAE=180°,

又ZB=ZE,

.-.ZE+ZBAE=180°,

:.EF//AB,

???四邊形AB正是平行四邊形，

：.BF=AE=5,

:.CF=lf

又AE||CF,

.?△ANEsACNF,

AEAN口口55-CN

/.——=——,即一=------,

CFCN1CN

CN=~.

6

【點睛】本題主要考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，平行四

邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，掌握旋轉的性質，等腰三角形的性質，相似

三角形的判定和性質是關鍵.

12.(1)AD=V13

(2)見解析

⑶NH的最小值為百，此時BM的長為1

【分析】(1)過點。作于點E,由題意易得々=60。，然后根據(jù)含30度直角三角

形的性質及勾股定理可進行求解；

(2)在線段C/上截取一點G,使得CG=CE,連接EG,由題意易得ACEG是等邊三角形，

則有CE=GE,ZCEG=ZCGE=60°,然后可證AACE絲AFGE(ASA),進而問題可求證；

⑶連接CN,由題意易證AAW絲AAOVISAS),則有NAC7V=N8=60。，然后可得點N

在VABC的外角的角平分線上運動，進而根據(jù)垂線段最短可得N”的最小值，及此時3M的

長.

【詳解】(1)解:過點。作DEIAB于點E,如圖所示：

第15頁共31頁

A

TVABC是等邊三角形，

???ZB=60°,

???NBDE=30。,

BD=1,

：.BE=-BD=~,DE=^BD2-BE2=—,

222

AB=4,

7

???AE=AB—BE=—,

2

???在中，由勾股定理得：AD=/AE2+DE2=岳.

(2)證明：在線段CT上截取一點G,使得CG=CE,連接EG,如圖所示:

TVABC是等邊三角形，

???ZAC5=60。，

???ZACE=180°-ZACB=120°,

〈CT平分/ACE,

ZACF=ZECF=60°,

???△CEG是等邊三角形，

:?CE=GE,ZCEG=ZCGE=60°,

：.ZFGE=ZACE=120°,ZCEA+ZAEG=ZGEFZAEG=60°,

：.ZCEA=ZGEF,

：.△ACE也△/G石(ASA),

:.AC=FG,

：.CF=CG+GF=CE+AC.

第16頁共31頁

(3)解：連接CN,如圖所示:

VNABC,△AAW是等邊三角形，

,AB=AC=^AM=AN,ZB=ZBAC=ZACB=ZMAN=60°,

：.ZBAM+ZMAC=ZMAC-^-ZCAN=60°,ZACP=120°,

???ZBAM=ZCAN,

：.△ABM^AAGV(SAS),

???ZAGV=N5=60。，BM=CN,

：.ZACN=-ZACP,

2

???點N在VABC的外角的角平分線上運動,

由垂線段最短可知當NHLCN時，最短，

,?,點”是AC的中點，

：.CH=2,

?.?ZACN=60°,ZHNC=90°,

4CHN=30。,

：.CN=-CH=1=BM,NH=yJcH2-CN2=.

2

【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質、全等三角形的性質與判定、垂線段最短及勾股定

理，熟練掌握等邊三角形的性質、全等三角形的性質與判定及勾股定理是解題的關鍵.

13.⑴①證明見解析；②3-百

⑵2^11

2

【分析】(1)①根據(jù)正方形的性質得NABC=/B(7=90。，AB=BC,繼而得到

ZABG+ZBAE=90°=ZABG+ZCBF,推出NBAE=NCB尸，利用ASA即可得證；

②根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得AM=MG=MB,由等邊對等角得

ZAGM=ZGAM,NBGM=/GBM,然后證明△CEGs^CGB得色”=空即

CGBC

第17頁共31頁

CG2=BCCE,再推出CG=CF,繼而得到3c-CE=CG2=BE2=(2C-CE)2,代入數(shù)據(jù)

求解即可;

(2)設正方形ABCD的邊長為。，BE=X，可得f=。g-X),求解后可得到此=心尸,

2

MNNG

如圖所示：過點G作GN〃3c交A5于點N,證明△W8AMBC,得工=二廠，推出

MBBC

^^=嚕=工設初^=丁，則NG=2y,求出GM=dMN?+NG?=小丫，證明&ANGs^ABE

NGBC2

y+@

得空=空即7^^二=2，得出>=醫(yī)，求得GM=g推出AM=3M=W=GM，

BEAB1022

2

繼而得到NAG3=90。，則a=8E=(逐一I'，再代入tan/CBb=/計算即可.

2BC

【詳解】(1)①證明：四邊形ABCD為正方形，

/.ZABC=ZBCF=90°,AB=BC,

又??,ZAGB=90°,

???ZABG+NBAE=90°=ZABG+ZCBF,

NBAE=NCBF,

在AABE和VBCF中,

/ABE=NBCF

<AB=BC

/BAE=ZCBF

：.△ABE均BCF(ASA)；

②解：???加為A3的中點，ZAGB=90°f

：.AM=MG=MB,MB=-AB,

2

AZAGM=ZGAM,/BGM=NGBM,

?：ZAGM=/CGE,ZBAE=ZCBF,

：.ZCGE=ZCBF,BPZCGE=ZCBG,

又?：/ECG=/GCB,

???/\CEGs/\CGB,

第18頁共31頁

.CECG目口

―,^CG19=BCCE,

CGnC

???在正方形ABCD中，AB//CD,AB=2,

：.ZGFC=ZGBM,BC=AB=2,

■:/BGM=/FGC,

：.ZGFC=ZFGC,

:.CG=CF,

由①知：XABE絲&BCF,

：.BE=CF,

：.BCCE=CG2=BE1=(BC-CE)2,

???2CE=(2-CE)2,

解得：CE=3-括或CE=3+非（不符合題意，舍去）,

線段CE的長為3-石；

（2）解：設正方形ABCD的邊長為。，BE=x,

:點M為AB的中點，

AM^BM=-AB^-a,

22

'/BE2=BCCE,

無2=a（a-x）,

解得：」&一山或"J君+1，（負值不符合題意，舍去）,

22

即BE=（乖T"，

2

如圖所示：過點G作GN〃BC交于點N,

AMNB

第19頁共31頁

:.ZMGN=ZMCB,ZMNG=/MBC=9U0,

：.^MNG^^MBC,

.MN_NG

**MF-BC?

1.0

AMNMB2D_1,

NG~BC~AB-2

設腦V=>,貝|JNG=2y,

GM=^MN2+NG2=什+(2?二島,

■:GN〃BC,

：.ZAGN=ZAEB.ZANG=ZABE,

：.AANSAABE,

.GN_AN

*BE-AB

ay[5a

y=xr記

由aa

GM=島=石x------=一

102

AM=BM=-=GM,

2

???ZMAG=ZMGA,ZMBG=ZMGB,

180°=ZMAG+ZAGB+ZMBG=ZMGA+ZAGB+ZMGB=2ZAGB,

???ZAGB=90°,

由①知：ABC&/XABE,

FC石-1>

tanZCBF=—

BC2

tanZCBF的值為苴二1.

【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質，銳

第20頁共31頁

角三角函數(shù)的定義等知識點，通過作適當?shù)妮o助線構造相似三角形是解題的關鍵.

14.(1)①證明見解析；②證明見解析

(2)272

(3)乎，理由見解析

【分析】(1)①根據(jù)SAS證明即可.②由全等三角形的性質可得上尸，ZADE=NCDF,

證明"EF=ZDFE=45。，結合/。。4=45。=/。尸￡,ZCQP=ZDQF,可得

ZCPF=ZCDF,從而可得結論；

(2)作FH〃AB交AC的延長線于“，可證△APE絲△印牙，可得PE=PF,

PA=PH=；AH=g(AC+CH),即可求解"；

(3)由(2)可得PE=PF,即可得到BPM'EFMI",得到空=也為定值.

22DF2

【詳解】(1)證明：①：正方形ABCD,

:.DA=DC=AB=BC,Z.DAE=ZBCD=ZDCF=ZADC=90°,

?；CF=AE

：.ADAE^DCF(SAS).

②,:ADAE^ADCF,

：.DE=DF,ZADE=ZCDF,

：.NCDF+ZCDE=ZADE+ZCDF=ZADC=90°,

NDEF=NDFE=45。,

:正方形ABCD,

ZDCA=45°=ZDFE,

?：ZCQP=ZDQF,

：.ZCPF=ZCDF,

：.ZCPF=ZADE；

(2)解：作交AC的延長線于X,

第21頁共31頁

:四邊形ABCD是正方形，