2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題》專項(xiàng)測(cè)試

卷(附答案)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、3D交于點(diǎn)。,尸是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。、

點(diǎn)C重合)，過(guò)點(diǎn)尸分別作AD、CD的平行線，交8于點(diǎn)E,交BC、BD于點(diǎn)、F、G,連接

EG.

(2)如圖2,如果/A5C=90。，^=|,且△DGE與，尸CF相似，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求黑的

值；

(3)如圖3,如果&1=BG=3C,且射線EG過(guò)點(diǎn)A.請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求ZABC的度數(shù).

2.如圖，在RtZXABC中，點(diǎn)D是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合)，連接CD,以CD

為直角邊在CD的右側(cè)構(gòu)造RtATDE,ZDCE=9Q,連接BE,笑=笑=機(jī).

圖3

(1)如圖1,當(dāng)租=1時(shí)，3E與AD之間的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,當(dāng)加#1時(shí)，猜想8E與4。之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

⑶在(1)的條件下，點(diǎn)f與點(diǎn)C關(guān)于OE對(duì)稱，連接。尸，EF,BF,如圖3.已知AC=3,

設(shè)AD=x,四邊形CDFE的面積為九

①求y與尤的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；

②當(dāng)8尸=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出A￡＞的長(zhǎng)度.

3.如圖1,矩形ABC。中，AB=4s/3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)E,尸分別從點(diǎn)8,。同時(shí)出發(fā)，以

每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿54,0c向終點(diǎn)A,C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)A作直線所的垂線，垂足為

圖2

(1)當(dāng)D尸=FG時(shí)，AD與AG的數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖2,若AG平分NTMB,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，求砂的長(zhǎng)及t的值;

⑶當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間/=君時(shí)，直接寫出AG的長(zhǎng).

4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A沿向點(diǎn)￡＞運(yùn)動(dòng)，以

BE為邊,在BE的上方作正方形8EFG,連接CG.請(qǐng)?zhí)骄?

(1)線段AE與CG是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵若aABEs_DEH,請(qǐng)給出證明；若設(shè)=DH=y,則當(dāng)尤取何值時(shí)，＞最大？

(3)連接初，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到的何位置時(shí)，一BEHsq&vE?請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

5.(1)如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)E、歹分別是BC、CZ)的中點(diǎn)，連接AE、BF,交于

點(diǎn)、P.請(qǐng)寫出線段的與所之間的關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接PC,試說(shuō)明PC平分/E尸產(chǎn)；

(3)如圖3,若點(diǎn)E、尸分別是BC、C。上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=1,BE=DF,則AE+3尸的

最小值為?

6.【問(wèn)題背景】

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)反。是直線丁=也(。>0)上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

k

(OD>OB),以線段8。為對(duì)角線作矩形ABCD,AD〃x軸.反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過(guò)

(1)求證：函數(shù)y=工的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

X

⑵如圖2,把矩形A2CZ)沿3D折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.當(dāng)點(diǎn)E落在，軸上，且點(diǎn)3的坐

標(biāo)為(1,2)時(shí)，求上的值.

7.已知在矩形ABC。中,AB=8cm,3c=16cm,AC的垂直平分線跳'分別交A。、BC

于點(diǎn)E、F,垂足為0.

備用圖

(1汝口圖1,連接AF、CE,求證:四邊形AFCE為菱形;

(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AEB和CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周,

即點(diǎn)尸自A停止，點(diǎn)。自CfC停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，已知點(diǎn)尸的

速度為每秒5cm,點(diǎn)。的速度為每杪4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，當(dāng)A、C、P、。四點(diǎn)為頂點(diǎn)

的四邊形是平行四邊形時(shí)，求才的值.

8.已知，如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，在四邊形。4BC中，BC〃OA,5c=24,A（26,0）,C（0,12）,

點(diǎn)。是Q4的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在線段BC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)C向3運(yùn)動(dòng).設(shè)動(dòng)

（用含，的式子表示）;

（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)秒，四邊形PEAfi是平行四邊形；

（3）在直線CB上是否存在一點(diǎn)Q,使得以0、。、Q、尸四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存

在，求/的值，并求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑷在線段尸8上有一點(diǎn)Af,且PM=6,四邊形。4Mp的最小周長(zhǎng)是.

9.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)M是中心，點(diǎn)P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交C。

于點(diǎn)E,將△（?正￡沿PE翻折得到△CPE,作△CPE的外接圓（。交邊AD于點(diǎn)/，交PC

于點(diǎn)G.

（1）求證：CEG為等腰三角形；

⑵當(dāng)。與8相切時(shí)，求黑的值;

（3）若正方形的邊長(zhǎng)為6,設(shè)BP=x,當(dāng)點(diǎn)P在邊A8上運(yùn)動(dòng)時(shí).

①求證：點(diǎn)A始終在〈。上；

②設(shè)￡（F=y,當(dāng)0<%<3時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求）的最大值.

10.在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合），連接AE,將AE繞點(diǎn)E

在平面內(nèi)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。至EF位置，連接AF,交C。于點(diǎn)G.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)時(shí)，若正方形的邊長(zhǎng)為4,求班的長(zhǎng).

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EPLAF于點(diǎn)P,其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.

①連接OP,求證：DP平分ZADC；

②當(dāng)不二="時(shí)，求犬的值.

DGPE

11.【問(wèn)題背景】

(I)如圖1,在四邊形ABCD中，ZABC=90°,AB=5,3c=12,點(diǎn)。是對(duì)角線BO上

的動(dòng)點(diǎn)，連接。4、OC,則OA+OC的最小值為；

【問(wèn)題探究】

(2)如圖2,在邊長(zhǎng)為2的等邊VABC中，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，D,E分別是AB、BC邊上

的動(dòng)點(diǎn)，且BD=CE,連接OD、OE,求OD+OE的最小值；

【問(wèn)題解決】

(3)如圖3,正方形是某植物園規(guī)劃的一個(gè)花四，對(duì)角線AC、是其中的兩條觀

賞小路，在AC、5。的交點(diǎn)O處有一個(gè)涼亭(大小忽略不計(jì))，現(xiàn)要在A3和BC上分別設(shè)

立一個(gè)游客服務(wù)中心及F,且鉆=CF,再沿。/和OE鋪設(shè)兩條石子小路，為節(jié)約成本,

要求兩條石子小路的長(zhǎng)度之和最小，已知AB=60m,請(qǐng)你幫助植物園規(guī)劃人員求出兩條石

子小路長(zhǎng)度之和的最小值.(即+DE的最小值)

12.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2,BC=4,。為8C中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P以每秒

百個(gè)單位長(zhǎng)度從點(diǎn)A出發(fā)，沿A3向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為［（秒）?>0）.

BC

（備用圖）

⑴用含r的代數(shù)式表示點(diǎn)P到BC的距離為.

（2）點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為Q.

①當(dāng)四邊形尸為中心對(duì)稱圖形時(shí)，求四邊形尸的面積S.

②當(dāng)四邊形尸QCD與VABC重疊部分圖形的面積是VABC面積的一半時(shí)，直接寫出/的值.

（3）當(dāng)點(diǎn)尸不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，在VA2C的邊上存在點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B、C重合），

使四邊形CDPE為軸對(duì)稱圖形，直接寫出此時(shí)線段AP的長(zhǎng).

13.在矩形ABCZ）中，=點(diǎn)E是C。邊上不與端點(diǎn)C、。重合的動(dòng)點(diǎn)，于

H,

【課本再現(xiàn)】（1）如圖（1）當(dāng)左=1時(shí)，CH交線段AD于點(diǎn)/，求證：BCE^CDF-

【類比遷移】（2）如圖（2）在（1）的條件下，CH交線段8。于點(diǎn)G,若點(diǎn)E是。的中

點(diǎn)，求器的值；

Cr7

【拓展延伸】（3）如圖（3）若DE=kCE,直接寫出tan/HDE的值_____（結(jié)果用含有左的

式子表示）.

14.已知：ABCD中，E在BC上，尸在C。上，ZAEF=ZABC.

(2)如圖2,若方為CO中點(diǎn)，CE=3BE,求

AB

(3)如圖3,ABCD中，ZDBC=30°,尸為對(duì)角線80上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作直線所使得

/BPE=120。,分別交直線AD、BC于點(diǎn)尸、E,若30=6,請(qǐng)直接寫出M+DE的最小值.

15.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(0,。)、點(diǎn)30,0)分別在y軸和x軸的正半軸上，并且

,一3|+僅一5)2=0.點(diǎn)尸在第一象限，PA=PB,且PA_LP3.

(1)如圖1,直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(2)如圖2,若點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到A的位置，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到用的位置，保持尸4,尸耳，求-OA的

值；

(3)如圖3,若點(diǎn)尸不變，點(diǎn)A,點(diǎn)3分別運(yùn)動(dòng)至軸，軸，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)

稱點(diǎn)為點(diǎn)H,點(diǎn)A關(guān)于直線P8的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)。是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，作尸尺=尸0,

PR1PQ,連接CP,CB,RH,CQ,當(dāng)CQ+R”取最小值時(shí)，求R點(diǎn)坐標(biāo).

參考答案

1.(1)見解析；

0P9

(2)見解析，—；

rCO

⑶見解析，72°

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到黃=黑=；,則黑=柒，由此即可求解；

（2）根據(jù)題意可證DGEsPFCjABC,設(shè)CE=4M哪么PE=6k,PG=9k,由

OPPG=二9即可求解;

OCCD17

(3)根據(jù)題意作圖，可證平行四邊形ABC。為菱形，設(shè),FB=FG=a,PF=FC=CE=b,

得到屋好±1(負(fù)根已舍)，貝I］變=2=避二1,可證DGA^DAB,設(shè)

b2GBa2

ZDAG=ZDBA=ZADB=a,那么NB4G=N5G4=2e,求出&=36。即可求解.

【詳解】(1)證明：???PC=2PO,PGCD,

.OGOP_1

^~6D~~OC~3"

在平行四邊形ABCD中，OA=OCf

,CPCP1

，，^A~2CO~3,

又?:PE//AD,

.CPCE_1

*CA-CD-3

.OGCE

t~OD~~CD

:.EG//OC；

(2)解：如圖2,

圖2

*.*/ABC=90。，

???平行四邊形ABC。為矩形.

：.OC=OD,

：.ZGDE=ZPCE=ZCPF,

又?；/CFP=ZABC=90。,且ND￡Gv90。，

???只能ZDGE=90。，ZDEG=ZPGE=APCF,

：.此時(shí)有：DGEs.pFCs,ABC,

設(shè)CE=43那么PE=6￡P(guān)G=93

,EG=/PE2+PG=3屈左，DE=13k,

.OPPG_9

??工一五一石'

.OP_9

??--；

PC8

(3)解：補(bǔ)全圖形如下,

BA=BC,

，平行四邊形A5CD為菱形，

設(shè)FB=FG=a,PF=FC=CE=b,

GP=a—b,

■:GP//CE,

.PGAPBF

**CE-AC-BC?

.a-b_a

??一,

ba+b

??/—cib—A2=0,

2

M_￡_I=0,

{bjb

Afl=75+l（負(fù)根已舍）.

b2

?DG_b由

^~GB~~a~2

,DG_BGy/5-]

■麗—茄—2'

.DGDA

**DA~DB1

又「ZADG=ZBDAf

：.^DGA^DAB,

???設(shè)ZZMG=ZDBA=ZAT）5=a,那么NBAG=N5G4=2a,

???5a=180。，

a=36°,

???ZABC=72°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的綜合，掌握矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì),

菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合是解題的關(guān)鍵.

2.WAD±BE,AD=BE;

(2)BE=mAD,AD±BE；證明見解析；

(3)①y與X的函數(shù)表達(dá)式為y=Y-30x+9(o<x430),②AD;也或顯

22

【分析】(1)由票=察=1,證明VAC?/BCE,即可得出AD,BE,AD=BE;

(2)由已知得出.ADCsaBEC,即可得出跖=加4￡),AD±BE；

(3)①由己知得出四邊形CD?芯是正方形，由勾股定理即可得出

y=x2-3^2x+9(0<x<3y/2),數(shù)形結(jié)合即可求解；

②過(guò)。作O7/LAC于X,則ADH是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可.

【詳解】(1)解：AD±BE,AD=BE,

..CECB

.而=怎=1'

：.CE=CD,CB=CA,

NACB=NDCE=90,

AZACD=ZBCE,ZA=ZABC=45°,

在.ACD和5CE中，

AC=BC

<ZACD=NBCE

CD=CE

：..ACD^.,BCE(SAS),

：.AD=BE,ZCBE=ZA=45°f

：.ZABE=ZCBE+ZABC=90°,ADA.BE,

故答案為：AD工BE,AD=BE;

(2)BE=mAD,AD±BE；

證明：???/AC3=/OCEI=90,

???ZACB=ZBCE,

P?.CECB

CDCA

：.’ADCs耳BEC,

BECBl.

-----=—=m,NCBE=ZA,則BE=mAD,

ADCA

又ZA+ZABC=90°f

???ZCBE+ZABC=90°f

ZABE=90°,

AD±BE；

（3）①連接Cb交。E于O,由（1）知，AC=BC=3,ZACB=90°,

AB=3A/2,

***BD=3^2-％且AD=BE=x,Z.DBE=90°,

JDE2=BD2+BE2=（3V2-x）2+x2,

???點(diǎn)尸與點(diǎn)C關(guān)于OE對(duì)稱，

???。巴垂直平分”，

：.CE=EF,CD=DF,

VCCD=CE,

：.CD=DF=EF=CE,

ZDCE=90。,

???四邊形CDFE是正方形，

y=^=~（3A/^—X）+X2=x2—3y/2x+9,

???丁與x的函數(shù)表達(dá)式為y=爐—3缶+9（0<x<30）,

（05丫

由y=-3^2x+9=x——+—,

9

???其最小值為

②過(guò)。作。H_LAC于"，貝是等腰直角三角形,

AH=DH=—AD=-x,

22

連接OB,由直角三角形性質(zhì)得OB=OE=OD=OC=OF,

：.OB=-CF,

2

：.ZCBF=90°,

VAC=BC=3,BF=1,

CF=y/BC2+BF2=V32+l2=710，

則,

22

,/CH2+DH2=CD2,

.,八5A/2V2

??A.D----或—.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的綜合應(yīng)用，熟記全等三角

形的判定與性質(zhì)和相似三角形判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.⑴AD=AG

(2)EF=4>/2,f=2殍2

小、6叵

7

【分析】(1)連接AF,證明RtADF^RtAGP(HL)可得結(jié)論；

(2)過(guò)石作￡?，。。于尸，則四邊形BEPC為矩形,可得PC=BE,EP=BC=4,證明

△EFP為等腰直角三角形.貝|EP=?=4,￡F=4A/2;由"。尸=PC=；(C。一尸尸)求解即

可；

(3)如圖2,先根據(jù)勾股定理求得所=2近，AE=3A/3,再證明AGE^EPF,利用相

似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解:AD^AG.

證明：連接A尸，

F

DC

圖1

???四邊形ABC。是矩形，AG.LEF,

：.m=/AG產(chǎn)=90。，

?:DF=FG,AF=AF,

ARtAOF^RtAGF(HL),

：.AD=AG；

(2)解：:四邊形ABC。是矩形，

ZDAE=ZC=ZB=90°,AB//CD,CD=AB=46

過(guò)E作￡P(guān)_LOC于P,則N￡P(guān)C=N5=NC=90。.

???四邊形BEPC為矩形,

：.PC=BE,EP=BC=4,

???AG平分/RIB,

???ZG4E=45°.

ZAGE=ZAGF=90°,

???ZAEG=900-ZGAE=45°.

■:DC//AB,

???ZEFP=ZAEG=45°,

???為等腰直角三角形.

/.EP=FP=4.

EF=yjEP2+PE2=A/42+42=4^/2；

由題意得：BE=DF=t.

14、6-4「

???DF=PC=-(CD-PF)=-^—=273-2,

即r=2后-2；

FP

Z)iC

1

圖2

(3)解：如上圖2,則PC=BE=DF=g,PF=CD-2DF=2y/3,PE=BC=4,

EF=y/PF2+PE2=J(2回+42=2幣,AE=AB-BE=36,

?/DC//AB,

ZAEG=Z.EFP,又ZAGE=Z.EPF=90°,

.AGEs?EPF,

.AGAEHnAG34

PEEF42A/7

.-AG=^.

7

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、

勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，利用相

似三角形的性質(zhì)求解線段長(zhǎng)是解答的關(guān)鍵.

4.(1)AE=CG,見解析

(2)見解析；當(dāng)尤=:時(shí)，y有最大值;

(3)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的中點(diǎn)

【分析】本題考查了考查正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等，靈

活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

(1)先證明/ASE=/CBG,即可用SAS證明△A5E四△CBG即可得出結(jié)論；

r)pjr)p

(2)先利用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明一也硝，進(jìn)而可得=即

AEAB

可求出函數(shù)解析式y(tǒng)=-f+x,繼而求出最值；

(3)要使，BEHS,BAE,需空=器,又因?yàn)椤瓵BESWEH,所以黑=器=:，即

ABBEBEAE2

1

二^=彳，所以當(dāng)E點(diǎn)是4。的中點(diǎn)時(shí)，BEH^BAE.

AB2

【詳解】(1)解：AE=CG,

理由:

???四邊形ABCD,跳EG都是正方形，

；?AB=CB,BE=BG,ZABC=/EBG=90。,

：.ZABE+ZEBC=ZEBC^ZCBG=90°,

：.ZABE=ZCBG,

.??A5石空C5G(SAS),

：.AE=CG；

(2)如圖，

,/正方形ABC。和正方形BEFG,

???ZA=/D=/FEB=90。,

Zl+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

Z1=Z3.

又??Z=ZD,

；?ABEs^DEH,

,DHDEy1-X

?kF即

,_2(1Y1

??y=-%+x=-lx--I+-，

當(dāng)時(shí)，y有最大值為:；

24

(3)解：當(dāng)E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)時(shí)，_BEHs二BAE.

理由如下：

E是AD中點(diǎn)，

AE=—AD=—,

22

文lABEsDEH,

.EHPH1

"BE-AE-2'

又，，AE=!

乂.AB2,

.AEEH

又Z.DAB=/FEB=90°,

；?BEHyBAE.

5.(1)AE=BF,AE±BF,見解析；(2)見解析；(3)百

【分析】(1)證明△ABE/△■BCF,得到AE=3尸，44E=NFBC,進(jìn)而推出/BPE=90。，

得到即可；

(2)過(guò)點(diǎn)C作尸,CNLPE,易得四邊形CVPM為矩形，證明,CMF烏OVE,得到

CM=CN,即可得出結(jié)論；

(3)在C。上截取CG=DF,連接AG,證明,.71Z)Gm3CR,得到M=AG,連接BG,

同法可得.ABEWBCG,得到AE=BG,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)H,使CH=BC,連接AH,易得CG

垂直平分3",得到3G="G,進(jìn)而推出AE+防uAE+AGuAG+BGuAG+HGNAH,

利用勾股定理求出A”的長(zhǎng)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)AE=BF,AEA.BF,理由如下：

,正方形ABCZ),

:.AB=BC=CD,ZABE=NBCF=90。,

；點(diǎn)E、尸分別是2C、CO的中點(diǎn)，

/.BE=-BC=-CD=CF,

22

AABE"4BCF,

/.AE=BF,ZBAE=ZFBC,

：.ZAEB+NFBC=ZAEB+NBAE=90。,

：.ZBPE=90°,

，AE±BF；

(2)過(guò)點(diǎn)C作如圖，

圖2

由(1)知：AE-LBF,

：./NPM=90。,

?.*CM±BF,CN±PE,

：.ZCMF=ZCNP=/CMP=Z.NPM=90°,

???四邊形0vpM為矩形，

/.ZNCM=90。,

,/NBCF=90。,

：.ZNCE=ZFCM=90°-ZECM,

??,點(diǎn)E、/分別是3C、CD的中點(diǎn)，BC=CD,

：.CE=CF,

：.:CMFm&CNE,

：.CM=CN,

又CM_LBF,CN工PE,

：.PC平分NEPF；

(3)在CO上截取CG=。/"連接AG,

?.?BE=DF,BC=CD,

：.CE=CF,

'：AD=BC,/D=NBCD=90°,

ADG^,BCF,

：.BF=AG,

，AE+BF^AE+AG,

連接3G,同法可得：ABE-BCG,

：.AE=BG,

：.AE+BF=AE+AG=AG+BG,

延長(zhǎng)BC至點(diǎn)H,使CH=BC,連接A4,

則：CG垂直平分3”,

BG=HG,

，AE+BF=AE+AG=AG+BG=AG+HG>AH,

在Rt/XAB/f中，

AB=1,BH=2BC=2,

AH=Vl2+22=6,

，AE+BF的最小值為：石.

故答案為：75.

【點(diǎn)睛】本題全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，中垂線的判定和性質(zhì)，勾股定理

等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造特殊三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵.

6.(1)見解析

⑵甘

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)

稱的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)3(祖,〃依)，貝用含機(jī)，人的代數(shù)式表示出再代入y=8驗(yàn)證

即可得解；

DF

(2)先由點(diǎn)5的坐標(biāo)和左表示出OC=k-2,再由折疊性質(zhì)得出2==，如圖，過(guò)點(diǎn)。作

BE

k

軸，過(guò)點(diǎn)8作即Uy軸，證出.DHEs&EFB,由比值關(guān)系可求出班7=2+—,最

4

后由5=DC即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)3(W加a),則A,,51,

?/AD〃彳軸，

...￡>點(diǎn)的縱坐標(biāo)為上k,

m

?,?將》=上代入產(chǎn)依中得：士=ax得,

mm

kk

.??將％=一代入y=_中得出y=

amx

k

???函數(shù)y=勺的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；

(2)二點(diǎn)5(1,2)在直線'=◎上,

?〃=2,

,y=2x,

.A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,

?函數(shù)y='的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C,

X

.CDA(1㈤,

.D(^,k

?DC=k—29

?把矩形ABC。沿5。折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,

k

?BE=BC=一一1,/BED=/BCD=90°,

2

DCk-2=2=匹

.BCBE，

2-1

如圖，過(guò)點(diǎn)D作。軸，過(guò)點(diǎn)3作5尸，y軸,

?/AD〃x軸,

???〃，A,。三點(diǎn)共線，

???NHED+NBEF=90°,ZBEF+ZEBF=90°,

ZHED=ZEBF,

?：/DHE=/EFB=90。,

：?_DHEs工EFB,

.DHHEDEc

??---=-----=-----=2,

EFBFBE

k

?；BF=1,DH=-

2

k

AHE=2,EF=~,

4

HF=2+-,

4

由圖知，HF=DC,

：.2+-=k-2,

4

.._16

??k=—；

3

7.(1)見解析

⑵f=|

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定，平

行四邊形的性質(zhì)等等：

(1)由矩形的性質(zhì)得到4D〃CF,則N0LE=NOCF,ZOEA=ZOFC,再由相等垂直平

分線的性質(zhì)得到Q4=OC,AE=CE,證明Q4E絲。CF(AAS),得到AE=C尸，即可證

明四邊形AFCE是菱形；

(2)根據(jù)矩形性質(zhì)得出？390?,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AF=CF,設(shè)&尸=b=xcm,

則3/=。6-x)cm,在RtAB尸中，由勾股定理得：82+(16-x)2=%2,求出AF=10cm,

再分情況討論可知，當(dāng)尸點(diǎn)在跳■上、Q點(diǎn)在即上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)列出方程求解即可.

【詳解】(1)解：四邊形AFCE是菱形，理由如下：

:四邊形是矩形，

AD//CF,

：.ZOAE=ZOCF,ZOEA=ZOFC,

???AC的垂直平分線所分別交A。，BC于點(diǎn)E、F,垂足為0,

OA=OC,AE=CE,

.OAE^,OCF(AAS),

：.AE=CF,

???四邊形AFCE是平行四邊形，

AE=CE,

；?四邊形AFCE是菱形；

(2):四邊形ABCD是矩形，

：.7B90?,

,/AC的垂直平分線是EF,

AF=CF,

設(shè)AF=CF=xcm,則BF=(16—x)cm,

...在RtAB尸中，由勾股定理得AB2+B尸=4尸

82+(16-X)2=%2,

解得x=10,

AF=10cm；

顯然當(dāng)尸點(diǎn)在"上時(shí)，。點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、。四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;

同理尸點(diǎn)在上時(shí)，。點(diǎn)在OE或CE上或P在即，。在C。時(shí)不構(gòu)成平行四邊形，

只有當(dāng)尸點(diǎn)在即上、Q點(diǎn)在即上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，

...以A、C、P、。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA,

,點(diǎn)尸的速度為5cm/s,點(diǎn)。的速度為4cm/s,

PC=5r-10+10=5tem,QA=16-（4r-8）=（24-4r）cm,

，5t=24—4/,

Q

解得：

Q

...以A、C、尸、。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，f=|.

8.(1)26,2t

(2)5.5

(3)f=2.5時(shí),2(18,12)；/=9吐。(5,12)；4=4時(shí),2(-5,12)

(4)32+4兩

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及

坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)先求出49、OC,根據(jù)運(yùn)動(dòng)求出PC長(zhǎng)即可；

(2)根據(jù)四邊形是平行四邊形得到=根求出時(shí)間t即可；

(3)根據(jù)。點(diǎn)在直線上，P點(diǎn)在線段BC上，即可知。、D、。、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的菱形有

兩條邊為和0D，分為。點(diǎn)在尸點(diǎn)的右邊，。點(diǎn)在尸點(diǎn)左側(cè)且在3c線段上，。點(diǎn)在尸點(diǎn)

左側(cè)且在BC延長(zhǎng)線上三種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)列方程解答即可；

(4)作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)4(26,24)，將點(diǎn)H向左平移6個(gè)單位得到點(diǎn)N(20,24),

連接NO,交C8于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸向右6個(gè)單位得到點(diǎn)此時(shí)，四邊形Q4Mp的周長(zhǎng)最小,

根據(jù)勾股定理求出ON長(zhǎng)即可.

【詳解】(1)解：；A(26,0),C(0,12),

:.OA=26,OC=8,

由運(yùn)動(dòng)知，PC=2t,

故答案為：26,2t；

(2)解：：點(diǎn)。是OA的中點(diǎn)，

:.OD=-OA=13,

2

:BC=24,

BP=BC—PC=24—2t,

:四邊形PDAB是平行四邊形，

，PB=AD=13,

.-.24-2r=13,

解得f=5.5,

.?.當(dāng)/值為5.5時(shí)，四邊形也她是平行四邊形.

故答案為：5.5；

(3)解：分三種情況：

①當(dāng)。點(diǎn)在P點(diǎn)的右邊時(shí)，如下圖,

?.?四邊形。。QP是菱形，

OD=OP=PQ=13,

...在RtOPC中，由勾股定理得：PC=5,

?**2t=5,解得t-2.5,

。(18,12)；

②當(dāng)。點(diǎn)在尸點(diǎn)左側(cè)且在線段上時(shí)，如圖,

圖2

同理①得尸C=18,

即2%=18,

解得:9,

<2(5,12)；

③當(dāng)。點(diǎn)在尸點(diǎn)左側(cè)且在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3,

杖

QcpB

'\'\\

__\____\____1.

~o\DAX

圖3

同理①求出QC=5,PC=13-5=8,

即2f=8,

解得"4,

.-.2(-5,12)；

綜上，t=2.5時(shí),0(18,12)；f=9時(shí)，2(5,12)；f=4時(shí)，2(-5,12)；

(4)解：作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)4(26,24),將點(diǎn)A向左平移6個(gè)單位得到點(diǎn)N(20,24),

連接NO,交CB于點(diǎn)。，點(diǎn)P向右6個(gè)單位得到點(diǎn)M,此時(shí)，四邊形。4Mp的周長(zhǎng)最小，

理由：

PN=A,M.PM=6,OA=26,

???四邊形Q4MP的周長(zhǎng)

=AM+PM+OP+OA

=AM+PM+OP+OA

=PN+PM+OP+OA

=NO+6+26

=NO+32,

由點(diǎn)N的坐標(biāo)得，ON=,24?+2(y=4761，

四邊形Q4Mp的周長(zhǎng)最小值為32+4府，

故答案為：32+4A/6T.

9.(1)見解析

I3

(3)①見解析；②y=-/+x(O<x<3),y最大值為了

【分析】本題考查了正方形和圓的對(duì)稱性，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形、相似三角

形的判定和性質(zhì)，“一線三等角”模型，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形及相似三

角形求出相關(guān)的邊角關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得=再由翻折圖形的對(duì)

稱性可得ZPCE=ZPCE,進(jìn)而通過(guò)ZPCE=NCGE證得結(jié)論.

(2)通過(guò)構(gòu)造/EG"=90。，結(jié)合圓周角定理及同角的余角相等證明△CPEs^CEG,進(jìn)而

推出△CPE也為等腰三角形，然后由等腰三角形和正方形的性質(zhì)推出=即可求出

答案.

(3)①根據(jù)正方形的性質(zhì)及翻折的對(duì)稱性推出當(dāng)△CEM,然后得到44Mp=NC%E,

再結(jié)合垂徑定理推論推出ZAMO=NCMO,最后通過(guò)證明△AMO/△GMO得出AO=CO,即

點(diǎn)A在。上.

②作輔助線構(gòu)造RtZSEWRtZ/E得到窄=當(dāng)，然后代值可得尸-人+》,再通過(guò)配方

rl3

法求出y最大值.

【詳解】(I)證明：四邊形GECP為。內(nèi)接四邊形，

/.ZPGE+ZPCE=180°,

ZPGE+ZCGE=180°,

:.ZPCE=ZCGE.

根據(jù)題意△CP岸,則ZPCE=ZPCE.

:.ZPCE=ACGE,

??「CEG為等腰三角形.

(2)解：如圖，連接石。并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)H,作尸/LCD,/為垂足.

EH是:。的直徑,

CIED

:"EGH=9伊,

由于。與CE相切，/CEH=90。,根據(jù)同角的余角相等可得NCEG=NGHE.

NCPE=/GHE,

:.ZCPE=ZCEG,

ZECP=ZGCE,

ACPEs叢CEG.

由（1）知&CEG為等腰三角形，則△CPE也為等腰三角形，CP=PE.

由等腰三角形的性質(zhì)可得CI=IE,

根據(jù)平行線間距離相等可得BP=CI,

如圖，連接30,

H

點(diǎn)M是正方形中心,

.?.BD必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)且BM=DM,

BP//DE,

...ZBPM=ZDEM,

ZPMB=AEMD,

APA16^A￡MD(AAS),

:.BP=ED.

.AB=CD=CI+IE+ED=2CI+ED=2BP+ED=3BP.

1

——BP=-.

AP2'

(3)①證明：如圖，連接正方形ABC。的對(duì)角線AC,CM=AM.

根據(jù)（2）中論述可得=CE=PA.

由翻折圖形關(guān)于折線軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CW=CM,CE=C'E.

:.PA=C'E,AM=CM.

AAPM^AC'EM（SSS）.

.\ZAMP=ZCME.

點(diǎn)M是。中弦PE的中點(diǎn).

:.OMLPE.

根據(jù)等角的余角相等可得ZAMO=ZCrMO.

OM=OM,

ZkAMO^ACW(SAS).

:.AO=CO,

.,?點(diǎn)人在《。上；

:.PF為。的直徑.

/.ZPEF=90°.

ZDEF+ZPEI=90°,

ZIPE+ZPEI=90°f

:.ZDEF=ZIPE.

RtADEF^RtA/PE.

.DFDE

,,1E~~PF?

PI=BC=6,DE=BP=X,DF=y,IE=CD-CI-DE=6-2DE=6-2x

X-11333

/.y=-x(6-2x)=__x2+x=——(zx——)2+—<—.

633244

33

當(dāng)時(shí)，符合x所在范圍，y有最大值

24

I3

故y=-彳尤2+尤(。<%<3),y最大值為7.

34

4

10.WBE=-

(2)①見解析；②=.

PE〃+1

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)、四邊形和全等三角形綜合，解題關(guān)鍵是構(gòu)造K字形全等證

明AH=PK,EK=HP.

⑴過(guò)點(diǎn)后作良上鉆于點(diǎn)兒過(guò)點(diǎn)尸作胸上也于點(diǎn)小交加于點(diǎn)長(zhǎng)構(gòu)造長(zhǎng)字形全等,

可得A"=PK,EK=HP,進(jìn)而可得HP=HD=EK=KC,再根據(jù)點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)時(shí)，

HP1

^^trnZPAH=—=—=-,由此得出A/f=2印^27ro,進(jìn)而可得

ADAH2

4

AD=AH+HD=3HD=4,由此求出//￡>=,,再根據(jù)8E=3C—EK—KC即可求出；

（2）①過(guò)點(diǎn)尸作HK_LA。于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)尸作月0，8于點(diǎn)”，由（1）可

證明四邊形"PMD是正方形，再根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上即可得出結(jié)論;

②由已知可得2.=*=緇=/再根據(jù)比〃皿可彳嚕糕—,

PQHP1

即可得出

PE~AH~n+\

【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)P作砍_1_4）于點(diǎn)“，交BC于點(diǎn)K

由旋轉(zhuǎn)可知：ZAEF=90°,AE=AF,

：.NE4F=45。，

VZAPE=90°,

???ZAEP=ZEAP=45°,

^AP=EP,

■:/EPK+ZAPH=ZPAH+ZAPH=90°,

IZEPK=ZPAHf

???在正方形ABCD中，NC=NZ)=90。，AD=CD,

???四邊形C/)"K是矩形，

：.ZAHP=ZPKE=90°f

：.二AHP均PK石(AAS),

?AH=PK,EK=HP,

?四邊形CD/火是矩形,

；?HK=CD=AD=4,HD=KC,

PK+HP=AH+HD=4,

：.HP=HD=EK=KC,

??,當(dāng)點(diǎn)6為8的中點(diǎn)時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為4,

：.DG=GC=2,

./“EDGHP1

??tan--------=~,

ADAH2

IAH=2HP=2HD,

：.AD=AH+HD=3HD=4,

.4

.??HD=~,

3

4

???HP=HD=EK=KC=-,

3

444

BE=BC-EK-KC=4---------=—.

333

(2)①過(guò)點(diǎn)石作￡?，詼于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作”于點(diǎn)交3C于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)尸作

PMLCD于點(diǎn)M,

圖2

由(1)可知：HP=HD,NPHD=NHDM=90°,

四邊形HPMD是正方形，

/.HP=PM,

：.平分NADC,

②當(dāng)隼=〃時(shí)，即CG="OG,

DG

：.AD=CD=CG+DG=(n+I)DG,

：.tanNDAG=—=

ADn+1

HP1

------tan/DAG-------

AH〃+1

,在正方形ABC。中，BC//AD,

.PQHP

??一,

PEPK

由（1）得PK=AH,

.PQHP1

"PE~AH~71+1,

11.(1)13；(2)OE+OD的最小值為2；(3)兩條石子小路長(zhǎng)度之和的最小值為30Mm.

【分析】(1)如圖,連接AC,先求解AC=752+122=13，結(jié)合當(dāng)A。，C三點(diǎn)共線時(shí)，AO+CO

最短，從而可得答案；

(2)過(guò)點(diǎn)B作3尸〃AC,S.BF=OC,連接Ob,OF,OF交AB于點(diǎn)G.證明

△COE四△37*(SAS),可得當(dāng)。、D、尸三點(diǎn)共線時(shí)，OD+小最小，此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)G重

合，OE+OD=OF,從而可得答案；

(3)過(guò)點(diǎn)A作AG〃flD,S.AG=OC,連接GE,DG,DG交AB于點(diǎn)、H.證明

△AGE/ACOF(SAS),可得OF+DE=GE+DENGD,當(dāng)點(diǎn)G、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，GE+DE

最小，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合，0/+上=3。，過(guò)點(diǎn)G作GWLAD交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.再

進(jìn)一步求解即可.

【詳解】解：(1)如圖，連接AC,

C

VZABC=90°,AB=5,3c=12,

AC='52+12?=13,

:點(diǎn)。是對(duì)角線8。上的動(dòng)點(diǎn)，

.,.當(dāng)A,O,C三點(diǎn)共線時(shí)，AO+CO最短，

AO+CO最小值為13.

(2)過(guò)點(diǎn)B作3尸〃AC,且BR=OC,連接Ob,OF,。/交A8于點(diǎn)G.

A

四邊形3C0P是平行四邊形，則OF=BC=2.

：VABC是等邊三角形，BF//AC,

：.ZABF=ZA=ZC=60°.

在COE和△BED中，CE=BD,NECO=NDBF,CO=BF,

：.ACOE^ABFr>(SAS),

OE=FD,

，OE+OD=FD+OD>OF,

...當(dāng)。、。、下三點(diǎn)共線時(shí)，OD+DF最小,此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)G重合，OE+OD=OF,

OE+OD的最小值為2.

(3)過(guò)點(diǎn)A作AG//3D,且AG=OC,連接GE,DG,DG交AB于點(diǎn)H.

:四邊形ABCD是正方形，AG//BD,

：.Z.GAB=ZABD=/BCA=Z.BAC=Z.DAC=45°.

在AGE和二COP中，AG^CO,ZGAE=ZOCF,AE=CF,

：.AAGE^ACOF(SAS),

GE=OF,

：.OF+DE^GE+DE>GD,

當(dāng)點(diǎn)G、￡、D三點(diǎn)共線時(shí)，GE+DE最小,此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)“重合，OF+DE^GD.

過(guò)點(diǎn)G作GMLAD交ZM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

:四邊形ABCD是正方形，AB=60m,

AD=AB=60m,AC=BD=60s