專(zhuān)題07圓

u題型概覽

題型01垂徑定理

題型02圓心角'圓周角

題型03切線的判定與性質(zhì)

題型04三角形的外接圓、內(nèi)切圓

題型05弧長(zhǎng)與面積

題型06圓與其他圖形的綜合

01垂徑定理

1.（2025?山東聊城?一模）如圖，A3為0。的弦，直線跖與。。相切于點(diǎn)C,且AB〃跖，連接OC,

NAOC=70。，若點(diǎn)。為弦A8所對(duì)弧上一點(diǎn)，則/CD3為（）

A.35°B.70°C.35°或145°D.70°或110°

2.（2025?遼寧?一模）把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，EF=CD=6cm,

3.（2025?河北石家莊?一模）。。是VABC的外接圓，在弧3C上找一點(diǎn)使點(diǎn)M平分弧BC.對(duì)圖中的

三種作法，下列說(shuō)法正確的是（）

A_____AA

作法一作法二作法三

A.三種作法均正確B.只有作法一和作法二正確

C.只有作法二和作法三正確D.只有作法二正確

4.（2025?河南駐馬店?一模）如圖，在半徑為10的。。中，AB,C。是互相垂直的兩條弦，垂足為P,且

AB=CD=16.則OP的長(zhǎng)為.

0

5.（2022?黑龍江雞西?一模）如圖，48是0。的弦半徑8，48于點(diǎn)＜7,AE為直徑，AB=8,CD=2,

則線段CE的長(zhǎng)為—.

0

D

6.（2025?江蘇常州?一模）如圖，AB是。。的直徑，弦。，45于點(diǎn)石，AC=CD,如果AC=2g,則AE

的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

一

7.（2025?陜西西安?一模）如圖，在。。中，C。是垂直于直徑A3的弦，垂足為E,若/4BC=22.5。，OC=6,

則弦CD的長(zhǎng)為（）

c

A.8V2B.6>/2C.5A/3D.4g

敢理02圓心角、圓周角

1.（2025?海南?一模）如圖，8c是。。的直徑，S.AC=AB,AD=BD＞則NC3D的度數(shù)為

2.（2025?山東日照?一模）已知銳角NAOB如圖，①在射線。4上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)0為圓心，OC長(zhǎng)為半徑

作PQ,交射線08于點(diǎn)D,連接C。；②分別以點(diǎn)C,。為圓心，C。長(zhǎng)為半徑作弧，交尸。于點(diǎn)M,N；

③連接OM,MN.根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，若OM=MN,則-AO3的度數(shù)為

3.（2025,江蘇蘇州?一模）如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E在。。上，。是AB的中點(diǎn)，CB=CE.若NA03=100。,

ZOBC=55°,貝lJZDCE=

4.（2025?山東臨沂?一模）如圖，A,B,C,。為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)0為正多邊形的中心，若

ZADB=22.5°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）

A.6B.8C.10D.12

5.（2025?山東臨沂?一模）如圖，。。的直徑A8平分弦（不是直徑）.若/D=36。，則/C=

6.（2023?重慶江北?一模）如圖，VABC內(nèi)接于0。，ZASC=120°,AC=4g,則。。的半徑為（）

A.4B.4療C.2后D.百

7.（2025?遼寧葫蘆島?一模）如圖，A8為00直徑，弦CE交半徑02于點(diǎn)。，連接AE,若AC=BC，則NAEC

的度數(shù)為

8.（2025?廣西河池?一模）據(jù)史料記載，馬車(chē)的發(fā)明者是4000多年前生活于夏王朝初年的奚仲.馬車(chē)的發(fā)明

是中國(guó)科技史上的一大創(chuàng)舉.如圖是古代馬車(chē)的側(cè)面示意圖，A3是車(chē)輪。。的直徑，過(guò)圓心。的車(chē)架AC

的一端點(diǎn)C著地時(shí)，水平地面C。與車(chē)輪。。相切于點(diǎn)連接AftBD.

（1）若/C=20。，求—A的度數(shù)；

（2）若0）=26，CB=3,求車(chē)輪的半徑長(zhǎng).

9.（2025?河北?■模）如圖，球員分別在點(diǎn)A,B,C處定點(diǎn)射門(mén)，表示球門(mén)，點(diǎn)A在圓上，點(diǎn)8在圓

內(nèi)，點(diǎn)C在圓外，若僅從射門(mén)的位置考慮，進(jìn)球概率最大的是（）

A.點(diǎn)A處B.點(diǎn)8處

C.點(diǎn)C處D.都一樣

10.（2025?陜西咸陽(yáng)?一模）如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于。。，點(diǎn)8為弧AC的中點(diǎn)，若NAEB=30°,貝U-4BC

的度數(shù)為（）

A.90°B.150°C.120°D.110°

11.（2025,山西呂梁?一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于48為。。的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，若

〃=125。，則的度數(shù)為

C

D.

12.（2025?浙江,一模）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于。。，延長(zhǎng)班，C。交于點(diǎn)P.若AD=2,BC=56,

々=30。，則圓的半徑為

13.（2025?廣東惠州?一模）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C在48的延長(zhǎng)線上，CD與。。相切于點(diǎn)。，若

CD=26,AB=4,貝UC3=.

14.（2025?四川南充?一模）如圖，在。。中，直徑AD與弦BC交于點(diǎn)P,AC=BC，過(guò)點(diǎn)C作CELBD,

與30的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

（2）若AB=6,AC=3jIU,求CP的長(zhǎng).

15.（2025,黑龍江齊齊哈爾?一模）如圖，正方形ABC。中，AB=2,點(diǎn)E為正方形ABC。內(nèi)部一點(diǎn)，連接

AE,BE,CE,且=當(dāng)A3CE為等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為.

16.（2025?山東濰坊?一模）如圖，在VA3C中，NACB=90。，。是BC上任意一點(diǎn)，連接A。，過(guò)C作CE_LAZ）

于E,連接3E.若3c=4,AC=6,則的的最小值為

17.（2025?江蘇淮安?一模）如圖，A,B,C,。是0。上的四個(gè)點(diǎn)，ZC=130°,則度.

18.（2025?江蘇鹽城?一模）如圖，48是半圓0的直徑，點(diǎn)C是弧BC上的一點(diǎn)，ZC=132°,則/ABD的

度數(shù)為度.

切線的判定與性質(zhì)

1.（2025?浙江?一模）已知。。的半徑是5,直線,與0。相交，則圓心。到直線/的距離可能是（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2025?山東臨沂?一模）如圖，VABC內(nèi)接于。。，。是3c上一點(diǎn)，AD=AC.E是。。外一點(diǎn),

ZBAE^ZCAD,ZADE^ZACB,連接BE.

A

E

D~7C

⑴若CD=2,DE=6,求80的長(zhǎng);

（2）求證：￡B是。。的切線.

3.（2025?遼寧葫蘆島?一模）VABC內(nèi)接于。0,C。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)￡）,交。。于點(diǎn)尸，連接AF,AB

平分/E4C,過(guò)點(diǎn)B作班〃CD,CEVBE,垂足為點(diǎn)E.

⑴求證：8E為。。的切線;

(2)若AB=5,BE=3,求8。的長(zhǎng)度.

4.（2025?浙江湖州?一模）如圖，已知。。的半徑長(zhǎng)是1,PA,尸8分別切。。于點(diǎn)A,B,連結(jié)P。并延長(zhǎng)

交O。于點(diǎn)C,連結(jié)AC,BC.若四邊形B1CB是菱形，則尸C的長(zhǎng)是（）

A.2A/2B.3C.26D.4

5.（2025?四川達(dá)州?一模）如圖，在。。中，BC是切線，B為切點(diǎn)、,直線C。交。。于點(diǎn)RA,點(diǎn)E為0。上

的一點(diǎn)，連接若NC=24。，則NE的度數(shù)為（）

A.76°B.66°C.38°D.33°

6.（2025?遼寧鞍山?一模）如圖，A8是。。的直徑，AW是。。的切線，AC、C￡＞是0。的弦，5.CDLAB,

垂足為E,連接8。并延長(zhǎng)，交AM于點(diǎn)P.

⑴求證：ZCAB=ZAPB；

（2）若。。的半徑r=5,AC=8,求線段尸。的長(zhǎng).

7.（2025?重慶江津?一模）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C,E在。。上，過(guò)E作。。的切線交A3的延長(zhǎng)線于

4

點(diǎn)F,NCAB=2NEAB,過(guò)C作CDLAB于點(diǎn)。，交AE于點(diǎn)H,若3斤=l,sinNAEE==,則AB=,

8.（2025?山東淄博一模）如圖，四邊形ABCD是。。的外切四邊形，且AS=10,CD=12,。。的半徑r=5,

則四邊形ABCD的面積為（）

9.（2025?北京?一模）如圖，PA,尸3分別與。。相切于點(diǎn)A,B,O尸交。。于點(diǎn)C,四邊形AEOP是平行

四邊形，若尸3=8,則PC=,劣弧EC=

E.A

P

O

B

三角形的外接圓、內(nèi)切圓

1.（2025?福建泉州?一模）如圖，己知VABC,AB=AC,是高.

（1）求作VABC的外接圓0；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

⑵若AB=13,BC=10.求VABC外接圓的半徑.

2.（2025?黑龍江佳木斯?一模）在VABC中，AC=12,BC=6,ZACB=90°.以A8為斜邊作等腰直角三

角形ABD,連接C。，則CO的長(zhǎng)為.

3.（2025?河北石家莊?一模）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓

形截面的半徑，如圖，是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

（1）請(qǐng)找出截面的圓心。.（尺規(guī)作圖不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡.）

⑵若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=12cm,水面最深的地方為4cm,求這個(gè)圓形截面的半徑.

4.（2025?河南鄭州?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).如圖，過(guò)整點(diǎn)A,B,

C有一條圓弧，如果一條直線與這條圓弧相切于點(diǎn)8,則這條直線可以經(jīng)過(guò)（）

A.點(diǎn)（0,3）B.點(diǎn)（6,0）C.點(diǎn)（1,3）D.點(diǎn)（6,1）

,在平面直角坐標(biāo)系My中，已知點(diǎn)A（0,4）,3（<4）,C（-6,2）都在上,

C.2A/5D.2君+2

6.（2025?四川瀘州?一模）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5,。。是RtAABC的內(nèi)切圓,

則。。的半徑為（

B.\/3C.2D.2月

7.（2025?河北?一模）如圖，在VABC中，BA=BC,/3=40。，點(diǎn)。在BC邊上，點(diǎn)。為△ADC的內(nèi)心,

當(dāng)少為鈍角三角形時(shí)，a<ZAOC<j3,則。和夕的值分別為（）

A.?=110°,￡=130°B.?=100°,￡=135。

C.a=110°,萬(wàn)=135°D.a=100°,^=130°

8.（2025?山西運(yùn)城?一模）閱讀與思考

閱讀下列材料，完成下面的任務(wù).

關(guān)于"三角形的內(nèi)切圓”的研究報(bào)告

【研究?jī)?nèi)容】如圖1,在VABC中，三邊AB=c,BC=a,

AC=b,。/是它的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為。，E,尸，如

何求AD、BD、CE的長(zhǎng)呢？

【解法】是VABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為￡>,E,F,

:.AD=AF,BD=BE,CE=CF.設(shè)AD=AF=x,

x+y=c

BD=BE=y,CE=CF=z,則有卜+z=〃，

x+z=b

x=p-a

:.x+y+z=A,如果設(shè)夕=▲,那么有<y=p_b.

z=p-c

圖I

⑴直接寫(xiě)出研究報(bào)告中"▲"處空缺的內(nèi)容：

⑵如圖2,這是一張三角形紙片ABC,。。為它的內(nèi)切圓，小悅沿著與。。相切的DE剪下了一個(gè)三角形紙

片BDE,已知4c=4cm,AB-6cm,BC=5cm,求三角形紙片3Z汨的周長(zhǎng).

(3)如圖3,VABC的內(nèi)切圓。與BC,AB,AC分別相切于點(diǎn)。，E,F,/A=90。，BD=3,CD=2,

求S-ABC-

9.(2025?江蘇宿遷?一模)如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°.

c

⑴尺規(guī)作圖：作Rt^ABC的內(nèi)切圓。。，并分別標(biāo)出。。和A8、BC、C4相切的切點(diǎn)。，及尸；（要求：保

留作圖痕跡，不寫(xiě)做法，不需證明）

（2）連接OE、OF,四邊形OECP是正方形嗎？為什么？

⑶若AD=6,BD=4,求。。的半徑廠的長(zhǎng).

題型05弧長(zhǎng)與面積

1.（2025?廣東湛江?一模）如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪拉動(dòng)重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了150。，假設(shè)繩索（粗

細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，則重物上升了cm

2.（2025?山東?一模）如圖，VA2C是等邊三角形，分別以點(diǎn)AB,C為圓心，以A3的長(zhǎng)為半徑作BC,AC,AB，

三弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形，若這個(gè)曲邊三角形的周長(zhǎng)為4%則這個(gè)曲邊三角形的面積

為.

3.（2025?山東臨沂?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AT>=4,將邊繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。

正好落在5C邊上的點(diǎn)〃處，則應(yīng),的長(zhǎng)為（）

AD

'C

4.（2025?山東臨沂?一模）如圖，48是。。的直徑，C是BO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線，垂足為點(diǎn)E.

（1）求證：CE是。。的切線；

（2）^AD=2CE,Q4=3,求陰影部分的面積.

5.（2025?江蘇宿遷?一模）如圖，在菱形中，AB=4,ZB=120。，點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)。

為圓心，Q4長(zhǎng)為半徑作圓心角為60。的扇形。砂，點(diǎn)O在扇形0。內(nèi)，則圖中陰影部分的面積為.

6.（2025?寧夏銀川?一模）新月是指農(nóng)歷月初形狀如鉤的月亮，一般出現(xiàn)在農(nóng)歷初一或初二，代表著農(nóng)歷月

份的開(kāi)始，新月象征著新的開(kāi)始和無(wú)限的潛力.在AABC中，AB=AC=4,/ABC=30。，先以點(diǎn)A為圓心、

AB的長(zhǎng)為半徑作弧8DC；再以BC為直徑作弧BEC，這樣就得到一個(gè)“新月"的圖案,這個(gè)新月的面積是（）

A.—+4A/3B.-+473C.—+2>/3D.--73

3333

7.（2025?河南許昌?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)ACU）,8（4,0）,將△Q43繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得到△O4B',點(diǎn)O'恰好落在x軸的正半軸上.以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)88'.則陰影部分的面積

為.

8.（2025?四川成都,一模）如圖，在正方形458中，AE是以3C為直徑的半圓的切線，在正方形區(qū)域內(nèi)任

意取一點(diǎn)尸，則點(diǎn)落在陰影部分的概率是.

9.（2025?重慶?一模）如圖，在菱形ABCL（中，AB=4,ZB=60°,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，以C為圓心，CE為

半徑作弧，交CD于點(diǎn)R連接AE、AF.EF,則陰影部分的面積為（）

10.（2025?浙江?一模）如圖，在扇形Q4B中，過(guò)A8的中點(diǎn)C作CDLOACELOB,垂足分別為RE.已

知乙4。3=90。,。4=4,則圖中陰影部分的面積為—（結(jié)果保留兀）.

11.（2025?廣東江門(mén)?一模）如圖，反比例函數(shù)>=：的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,4）,連接AO并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)

C.以AC為對(duì)角線作正方形ABCD,點(diǎn)8在第四象限，過(guò)點(diǎn)A,。，8作弧.則圖中陰影部分的面積為（）

C.5兀+5D.5兀一5

12.（2025?黑龍江齊齊哈爾?一模）已知圓錐的底面半徑為3,母線長(zhǎng)為15,則其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為.

度.

13.（2025?山東煙臺(tái)?一模）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)。是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心作弧，與BC

相切，交AB,C。于點(diǎn)E,F.將扇形OE/圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面半徑長(zhǎng)為

14.（2025?甘肅?一模）一個(gè)吊燈的外罩呈圓錐形（如圖1）,如圖2是這個(gè)吊燈的外罩的主視圖，則該吊燈

外罩的側(cè)面積是cm2.（結(jié)果保留萬(wàn)）

圖1圖2

15.（2025?江蘇徐州?一模）已知圓錐的底面半徑為5,母線長(zhǎng)為12,則其側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角的度數(shù)為

圓與其他圖形的綜合

1.（2025?陜西渭南?一模）【問(wèn)題探究】

（1）如圖1,點(diǎn)P是半徑為2.5的。。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A為。。外一點(diǎn)，已知。、A兩點(diǎn)之間的距離為4,則A、

P兩點(diǎn)之間的距離最小為；

（2）如圖2,VABC的頂點(diǎn)都在0。上，連接80并延長(zhǎng)，交0。于點(diǎn)。，Z4BC=45°.求證：AC=-BD；

2

圖2

【問(wèn)題解決】

（3）2025年3月30日，中國(guó)某公司向老撾航空公司交付首架C909飛機(jī)，標(biāo)志著我國(guó)商用飛機(jī)國(guó)際化發(fā)展

邁出新步伐.據(jù)悉，飛機(jī)上所使用的復(fù)合材料，主要是碳纖維增強(qiáng)樹(shù)脂基復(fù)合材料.如圖3,現(xiàn)有一塊形如

四邊形ABC。的新型材料，AD=20cm,ZA=ZC=60°,ZADC=90°,BC=CD,以C為圓心，CB為半

徑畫(huà)某科研人員想用這塊材料裁出一個(gè)型部件，并要求：Af在上，血石_1_?1￡）于點(diǎn)E,

于點(diǎn)產(chǎn)，且跖的長(zhǎng)度盡可能的小，請(qǐng)問(wèn)跖的長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出￡產(chǎn)的最小長(zhǎng)

度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

2.（2025?湖南長(zhǎng)沙?一模）【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1,48和BC是。。的兩條弦（即折線A3C

是圓的一條折弦)，點(diǎn)用是AAC的中點(diǎn)，則從〃向BC所作垂線的垂足。是折弦A3