2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)相似三角形一動(dòng)點(diǎn)問題訓(xùn)練小專題

1.如圖，在等腰RtZXASC中，ZABC=90°,AB=BC=4cm,點(diǎn)。為3c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

CD-2cm.現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。

從點(diǎn)/出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為J5cm/s.過點(diǎn)。作龐〃/「，交P。的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)、E,連接BE.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s).(0<r<4)

⑴試猜想P。與BC的位置關(guān)系，并證明.

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，DE±BE?

(3)直接寫出四邊形BCQP的面積S(cm)與f(s)之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)取5E中點(diǎn)連接加并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)、N,隨著時(shí)間f的變化，N點(diǎn)位置是否發(fā)生變

化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出的值.

2.直線丁=-工+2與x軸、>軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)C,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C,且無軸的另一

個(gè)交點(diǎn)為3(-1，。).

圖1圖2

答案第1頁(yè)，共51頁(yè)

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn).

①如圖1,若CD=AD,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②如圖2,8。與AC交于點(diǎn)E,求Sc°E：SCBE的最大值.

3.如圖所示，四邊形ABC。是矩形，E是BC的中點(diǎn)，射線AE與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，

(1)判斷/產(chǎn)與/G4E是否相等？并說明理由；

(2)若AB=4,BC=6.

①求sinZDAG的值；

②線段AF上有一動(dòng)點(diǎn)尸(不與端點(diǎn)重合)，線段AG上有一點(diǎn)。，ZQPG=ZF,若PQG是

等腰三角形，求AP的長(zhǎng).

答案第2頁(yè)，共51頁(yè)

4.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)3出發(fā)，沿線段8A以

每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC-CB以每秒2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

(1)求AB的長(zhǎng);

(2)當(dāng)。在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以點(diǎn)A、P、。為頂點(diǎn)的三角形與VABC相似，求f的值.

5.【問題情境】在矩形A3。中，點(diǎn)E為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE.將ABE沿AE翻折,

圖1圖2備用圖

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,若BC=?B,求NAFD的度數(shù);

(2)如圖2,當(dāng)AB=4,且砂=EC時(shí)，求3C的長(zhǎng).

【拓展延伸】

(3)若矩形ABCD滿足A3:3C=2:3,點(diǎn)E為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD沿AE進(jìn)行

答案第3頁(yè)，共51頁(yè)

翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',當(dāng)點(diǎn)E,C,。三點(diǎn)共線時(shí)，求/BAE的正切值.

6.如圖，在菱形中，/ABC為銳角，E是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(0<AE<(AC),

連接BE,DE.

BCBM

圖2圖3

(D如圖1,求證：BCE當(dāng)DCE；

(2)如圖2,在AB左側(cè)作=延長(zhǎng)OE分別交AB5產(chǎn)于點(diǎn)RG.

2

①當(dāng)8歹=4,cosNC8E='時(shí)，求FG的長(zhǎng);

②如圖3,在BC上截取3M=瓦"連接交班于點(diǎn)連接DW交對(duì)角線AC于點(diǎn)N,

求證：四邊形MNEH是平行四邊形.

7.圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，RtOAB的直角邊04在y軸的正半軸上，且。4=6,斜邊

08=10,點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn).

答案第4頁(yè)，共51頁(yè)

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

⑵若動(dòng)點(diǎn)P滿足NPOB=45°,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若點(diǎn)E為線段02的中點(diǎn)，連接PE,以PE為折痕，在平面內(nèi)將VAPE折疊，點(diǎn)

A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,當(dāng)PAU08時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(4)如圖3,若尸為線段AO上一點(diǎn)，且A尸=2,連接尸尸，將線段尸尸繞點(diǎn)尸順時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)60。得線段FG,連接OG,當(dāng)OG取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出OG的最小值和此時(shí)線段尸P掃

過的面積.

8.如圖，RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3cm,A5=5cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，8A邊

上以每秒3cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，在C8邊上以每秒2cm的速

度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0＜，＜；),連接尸Q.

(1)當(dāng)/為何值時(shí)，以8、P、。為頂點(diǎn)的三角形與VABC相似;

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，2尸。為以尸Q為腰的等腰三角形；

答案第5頁(yè)，共51頁(yè)

(3)連接AQ,CP,若AQLCP,直接寫出t的值.

9.在VABC中，已知/3=45。,/。=30。,47=8,點(diǎn)T是射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AT,在AT

右側(cè)作等腰直角ATK,即AT=AK,NA1K=9O。.

⑴如圖(a),當(dāng)點(diǎn)K落在線段AC上時(shí)，求線段BT的長(zhǎng)度;

(2)如圖(6),當(dāng)點(diǎn)7在線段BC上且點(diǎn)K在VABC內(nèi)部(不包括邊界)時(shí)，聯(lián)結(jié)CK,設(shè)BT=尤,

AKC面積為乃即5AA~求>關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域;

(3)若點(diǎn)K落在VABC某一邊垂直平分線上時(shí),具體求出線段的長(zhǎng)度.

10.在等邊VABC中，AM為中線，。是線段上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)M、C重合)，將線段DM

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段DE.

答案第6頁(yè)，共51頁(yè)

①求證：。是MC的中點(diǎn)；

②AE與EN的位置關(guān)系是,NE與的數(shù)量關(guān)系是；

⑵如圖2,若在線段所上存在點(diǎn)尸(不與8、M重合)使得C、尸兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)。中心對(duì)稱,

連接AE、EF,線段AE、EF存在怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說明理由.

11.如圖，已知點(diǎn)A(2,0),8(0,4),NAOB的平分線交AB于C,一動(dòng)點(diǎn)P從。點(diǎn)出

發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿y軸向點(diǎn)8作勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P且平行于的直線

交x軸于Q,作點(diǎn)P、Q關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)〃、N.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(0<1<2)

(1)用含f的代數(shù)式表示點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為N點(diǎn)的坐標(biāo)為

答案第7頁(yè)，共51頁(yè)

⑵求。點(diǎn)的坐標(biāo).

⑶設(shè)MNC與△OA^重疊部分的面積為S.試求S關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+2的圖象與》軸交于點(diǎn)Z,與反比

3

⑵點(diǎn)。是X軸正半軸上一點(diǎn)，連接5C交反比例函數(shù)y=丁(%>0)于點(diǎn)。，連接AD,若

2x

的面積為1,求黑；

⑶在(2)的條件下，點(diǎn)￡是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在y=2x+2圖象上，當(dāng)DEF為等邊三

角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并寫出其中一個(gè)點(diǎn)E坐標(biāo)的求解過程.

答案第8頁(yè)，共51頁(yè)

13.如圖，已知梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=90°,AD=1cm,AB=BC=4cm,P

為一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)，沿Aj￡＞方向，以Icm/s的速度向由點(diǎn)B向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；Q為另一

動(dòng)點(diǎn)，從C出發(fā)，沿C＞￡＞方向，以lcm/s的速度向由點(diǎn)C向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)P運(yùn)動(dòng)f秒時(shí)，恰好有PADsCBP,求f的值；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作QE，于點(diǎn)E.

①在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在f秒時(shí)，使得以尸、A、。為頂點(diǎn)的三角形與ACQE相似？若存

在，請(qǐng)求出所有符合條件的f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

②在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在f秒時(shí)，使得以P、。、。為頂點(diǎn)的三角形恰好是等腰三角形？

若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的f的值(直接寫出答案)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

14.【綜合與實(shí)踐】

如圖，在Rt^ABC中，點(diǎn)。是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合)，連接C。，以CD為

直角邊在8的右側(cè)構(gòu)造RSCDE,NDCE=90°,連接8E,柒=等=根.

【特例感知】

(1)如圖1,當(dāng)機(jī)=1時(shí)，BE與AD之間的位置關(guān)系是一，數(shù)量關(guān)系是一.

【類比遷移】

(2)如圖2,當(dāng)相學(xué)1時(shí)，猜想班與AD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

答案第9頁(yè)，共51頁(yè)

【拓展應(yīng)用】

(3)在(1)的條件下，點(diǎn)歹與點(diǎn)C關(guān)于。E對(duì)稱，連接DF,EF,BF,如圖3.已知AC=8,

設(shè)AD=x,四邊形COPE的面積為九

①求y與X的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；

②當(dāng)B尸=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出AD的長(zhǎng)度.

圖1圖2圖3

15.已知拋物線y=-2Y+4x+6與x軸相交于2、B兩點(diǎn)，與>軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為頂點(diǎn).

(1)直接寫出A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵如圖1,點(diǎn)尸為拋物線對(duì)稱軸(直線/)上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，|P8-PC|取

答案第10頁(yè)，共51頁(yè)

得最值？最值是多少？

⑶如圖2,在第一象限內(nèi)，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)交BC于點(diǎn)E,求黑MF的最大值.

答案第11頁(yè)，共51頁(yè)

《2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)相似三角形一動(dòng)點(diǎn)問題訓(xùn)練小專題》參考答案

1.(l)PQ//BC,證明見解析

(2)當(dāng)f值為1時(shí)，DE±BE

_12

⑶S四邊形BC°P-8-]f

(4)N點(diǎn)位置不發(fā)生變化，BN=2cm,理由見解析

【分析】(1)證明APQ-ABC,得出NAPQ=NABC=90。即可證明結(jié)論；

(2)先求出AP=PQ=rcm,3P=PE=(4-f)cm,證明四邊形CDE。是平行四邊形，得出

QE=CD=2cm,進(jìn)而列方程求出結(jié)論；

(3)根據(jù)S四邊形BCQP=SABC-SAPQ即可求出；

(4)證明BMN9EMQ,得出8N=QE=2cm,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：PQ//BC,理由如下：

由題意得：AP=fem,AQ=V2fcm,

AB=BC=4cm,

\AC='42+42=4&cm，

、AP_AQ_t

AB-AC-4?

ZA=ZA,

\APQsABC,

\1APQ?ABC90?,

/.PQ//BC.

(2)解：」？ABC90?,ABBC=4cm,

ZA=ZACB=45°,

DELBE,DE//AC,

BEA.AC,

:.ZCBE=45°f

\?PBE45?,

1APQ90革巴A=45?,

\1PBE1PEB45?,AP。是等腰直角三角形，

/.AP=PQ=tcm,BP=PE=(4—/)cm,

答案第12頁(yè)，共51頁(yè)

PE//BC,DE//AC,

.?.四邊形⑺￡。是平行四邊形，

\QE=CD=2cm,

PE=PQ+QE,

\4-t=t+2,

解得：t=l,

「?當(dāng)，值為1時(shí)，DELBE；

(3)解：ZAP。=/ABC=90。，AP=PQ=tern,AB=BC=4cm,

\S四邊形BC°P=1■倉(cāng)珞4-g創(chuàng)r=8-52；

(4)解：N點(diǎn)位置不發(fā)生變化，BN=2cm,理由如下：

如下圖：

\?BNM征QM,NBM=?QEM,

〃是班中點(diǎn)，

BM=EM,

\BMN烏EMQ,

\BN=QE=2cm,

，隨著時(shí)間/的變化，N點(diǎn)位置不發(fā)生變化，BN=2cm.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形判定與性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定

與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求函數(shù)解析式等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)是解題關(guān)鍵.

2.(1)y——X2+%+2

(2)①點(diǎn)O的坐標(biāo)為(四,夜)；②g

【分析】(1)先利用一次函數(shù)解析式求點(diǎn)C和點(diǎn)A的坐標(biāo)，再設(shè)出交點(diǎn)式，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代

入求解；

答案第13頁(yè)，共51頁(yè)

(2)①先利用等腰直角三角形的性質(zhì)可判定點(diǎn)。在直線y=x上，則可設(shè)設(shè)D(〃z,m)(根>0),

然后把。代入y=-r+x+2中求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；②作。尸〃》軸交AC于尸，BG〃y軸交

DF

直線AC于G,先證明DEFsBEG,再結(jié)合三角形面積公式得到S：S，設(shè)

BCJ

。0，-產(chǎn)+t+2)(O</<2)得到尸(04+2),求出￡)尸，進(jìn)而求解.

【詳解】(1)解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+2=2,

則C(0,2),

當(dāng)y=0時(shí)，-x+2=0,

解得x=x=2,

則A(2,0),

設(shè)拋物線解析式為>=a(x+D(x-2),

把C(0,2)代入得axlx(-2)=2,

解得〃=-1,

???拋物線解析式為y=-(x+D(尤-2),

即y=-爐+/+2；

(2)角軍：?-OA=OC,

??.(MC為等腰直角三角形，

DC=DA,

???點(diǎn)。在AC的垂直平分線上，

即點(diǎn)。在直線、二%上，

設(shè)。(帆m)(m>0),

才巴D(m,根)代入y=-x2+x+2

得-m2+m+2=m,

解得叫=6,恤=-V2(舍去),

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,0);

②作。尸〃y軸交AC于尸，8G〃y軸交直線AC于G,如圖2,

答案第14頁(yè)，共51頁(yè)

DF//BG,

：./\DEFs^BEG,

DEDF

BE-BG

DE

~BG

DF

…0CDE?°

當(dāng)x=_l時(shí)，y=-x+2=3,

則G(-l,3).

設(shè)+1+2)(0<r<2),

則F(t,-t+2),

DF~~~t~+/+2-(—t+2)---t~+2t,

_DF—+Z_

,?°CDE-°CBE_BG_3_3VI

當(dāng)t=l時(shí)，sCDE:SCBE的最大值為~.

EX'

F

舊O\

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)

的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；把三角形面積的比轉(zhuǎn)化為線段的比和利用相

似比表示線段之間的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

3.(1)ZF=ZGAE,理由見解析

【分析】(1)由折疊可知ZBAE=NG4E,由平行線可知/BAE=/尸，等量代換即可得解；

(2)①先求出CO=A2=4,AO=3C=6,ZD=90,在RtADG中，利用勾股定理建立方

程求得DG,再求得AG=FG=325,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到答案；

4

②分尸G=GQ,PQ=GQ和PQ=PG三種情況分別進(jìn)行解答即可.

答案第15頁(yè)，共51頁(yè)

【詳解】（1）解：/F=/GAE,理由如下:

???將ABE沿AE翻折，得到ABrE,

???NBAE=/GAE,

???四邊形ABC。是矩形，

ABCD,

/BAE=ZF,

???ZF=ZGAE；

（2）解：①由（1）知NF=NG4E,

：.GA=GF,

???石是3C中點(diǎn)，

:.BE=CF,

在ABE^中，

'ZBAE=ZF

<ZAEB=ZFEC,

BE=CE

：.ABEmFCE（AAS）,

???AB=CF,

???四邊形A3C。是矩形，

CD==4=CF,AD=BC=6,/D=90°,

:.DF=CD+CF=8,

設(shè)OG=x,貝I]AG=FG=8—

在RtAOG中，AD2+DG2=AG2,

即x2+62=（8-x）2,

解得％=：7，

4

25

/.AG=FG=8-x=—,

4

?/八

sinNZ）/4lGc-.D...G..=—7?

AG25

②在RtADF中，AF=^AD2+DF2=A/62+82=10-

?；尸。G是等腰三角形，分三種情況討論：

答案第16頁(yè)，共51頁(yè)

當(dāng)尸G=G。時(shí)，此時(shí),P與斤重合，舍去;

當(dāng)PQ=G。時(shí)，如圖,

ZQGP=ZQPG=ZF=ZFAG,

APGsAGF,

.AP-AG

**AG-AF?

4八AG2125

二.AP=------=——

AF32

當(dāng)尸。=PG時(shí)，如圖,

NPAQ=ZQPG=NF,

ZPQG=ZPAQ+ZAPQ=ZQPG+ZAPQ=ZAPG,

ZAPG=ZPGQ,

25

/.AP=AG=—

4

綜上所述，若PQG是等腰三角形，人尸1=2等5或亍25.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判的和性質(zhì)、等腰三角形的

判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

4.(1)10

c20T25

⑵"豆或豆

【分析】本題考查了勾股定理，動(dòng)點(diǎn)問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)

答案第17頁(yè)，共51頁(yè)

鍵.

(1)根據(jù)勾股定理直接求解；

(2)根據(jù)題意列出代數(shù)式，分當(dāng)/PQA=90。和/QPA=90。時(shí)兩種情況，根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)列出比例式，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：在RtZXABC中，由勾股定理，得A32=BC2+AC2,

43=&2+82=10,

故答案為：10;

(2)解：由題意，得AP=10-2LAQ=2t,

①當(dāng)NPQA=90°時(shí)，APQsABC,

.AP_AQ

.10-2/_2r

??=，

108

解得，w20，

②當(dāng)NQP4=90。時(shí)，AQPsABC,

.AP_AQ

**AC-AB?

.10—2/2t

??—,

810

解得:亍25，

綜上所述，當(dāng)方=520■或2三5時(shí)，以點(diǎn)力、尸、。為頂點(diǎn)的三角形與VABC相似.

5.(1)120°；(2)40;(3)或1.

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義，得乙鉆。=60。，再由折疊性質(zhì)得：=

故AABF是等邊三角形，即可得結(jié)論；

(2)由折疊性質(zhì)得：BF1AE,EF=EB,則3c=2￡8,再證ABE^BCD,根據(jù)相似

的性質(zhì)可得BC的長(zhǎng)；

(3)分類討論且結(jié)合作圖，當(dāng)點(diǎn)E在B、C之間時(shí)，得DE=AD=BC=3n,運(yùn)用勾股定理

得CE7DE?-CD。=島，BE=g-布)n,故tanZBAEn”,；當(dāng)E與C重合時(shí)，

BE=BC=3n,tanN8AE=空=一，即可作答.

AB2

【詳解】解：(1)四邊形ABC。是矩形，

答案第18頁(yè)，共51頁(yè)

AD=BC,ZBAD=9Q°,

BC=MAB,

AD=也AB,

Ari「

/.tanZABD=—=<3,

AB

ZABD=6Q°,

由折疊的性質(zhì)得：AF=AB,

△A3尸是等邊三角形，

ZAFB=60°,

/.ZAFD=180°-ZAFB=120°；

(2)由折疊的性質(zhì)得：BFLAE,EF=EB,

/BGE=90。,

EF=EC,

EF=EC=EB,

??.BC=2EB,

四邊形A5CD是矩形，

ZABC=ZBCD=90°,AB=CD=4,

ZBAE+ZAEB=90°,ZCBD+ZAEB=90°,

??.NCBD=/BAE,

/BCD=ZABE,

ABEsBCD,

，絲=型，即41J

BCCD~^=—

BC=472(負(fù)值已舍去)，

即BC的長(zhǎng)為4夜；

(3)設(shè)AB-2rl,BC=3n,

分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在2、C之間時(shí)，

答案第19頁(yè)，共51頁(yè)

由折疊的性質(zhì)得：ZAEC=ZAECf

■:/BEC=ZDEC,

ZAEB=ZAED,

9：AD//BC,

：.ZAEB=ZDAE,

NDAE=/AED,

DE=AD=BC=3〃，

在Rt^CDE中，CE=^DE--CD2=>BE=(3-^n,

3-J5

???tanZBAE=—―;

2

當(dāng)月與C重合時(shí)，BE=BC=3n,

：.tanZBAE=—=~；

AB2

綜上所述，/BAE的正切值為三史或之.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)運(yùn)算，勾股定理，相似三角形的判定

與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，難度適中，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

6.(1)證明見解析

(2)①歹G=3；②證明見解析

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)利用SAS即可求證；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得NCBE=/CDE=/ABP=/BFG,即得

2

BG=FG,過點(diǎn)G作GH_L8尸于H,由cos/ABP=—求出BG即可求解；

3

(3)延長(zhǎng)BC至Q,證明FBMsABC得NBMF=NBCA,即得M尸〃AC,再由

DAF^DCM(SAS)和ABE也AD￡(SAS)可得=,即得BE〃DM,即可求

證.

【詳解】(1)證明：???四邊形A2CD是菱形，

答案第20頁(yè)，共51頁(yè)

BC=DC,ZBCE=ZDCE,

又???CE=C-

.??BCE空DCE(SAS)；

(2)解:①??,BCE沿DCE,

：.ZCBE=ZCDE,

?.?ZABP=ZCBE,

：.ZCBE=ZCDE=ZABP,

???四邊形ABC。是菱形，

:.AB//CD,

：.ZBFG=ZCDE,

：.ZABP=ZBFG,

：.BG=FG,

過點(diǎn)G作G”_L5產(chǎn)于H,則BH=FH=；BF=2,NBHG=90。,

圖2

2

cosACBE=—,

3

2

cosZABP=—,

3

?BH_2

??二一—f

：.BG=3,

：.FG=3；

②延長(zhǎng)BC至Q,

圖3

答案第21頁(yè)，共51頁(yè)

???四邊形MCD是菱形，

：.BA=BC=CD=AD,ZDAF=ZDCM,ABDC,

u：BM=BF,

BFBM——

----=------,AF=CM,

BABC

又?:ZFBM=ZABC,

/.FBMsABC,

NBMF=NBCA,

：.MF//AC,

即MH//EN,

在ADAF和△DCM中,

AD=CD

<ZDAF=ZDCM,

AF=CM

：.DAF^DCM(SAS),

：.ZADF=ZCDM,

在ABE和VAO石中，

AB=AD

<ZBAE=ZDAE,

AE=AE

；.ABE沿ADE(SAS),

/.ZABE=ZADE,

：.ZABE=ZCDM,

?：ABCD,

；.ZABC=ZDCQ,

：.ZABE+ZEBC=ZCDM+ZDMC,

:?NEBC=/DMC,

：.BE//DM,

即HE〃肱V,

MH//EN,

答案第22頁(yè)，共51頁(yè)

四邊形MNE”是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定

和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.(1)3(8,6)

⑵*，6)

⑶

(4)OG的最小值為4,

【分析】(1)利用勾股定理求出AB即可；

(2)如圖1中，過點(diǎn)P作尸H1.03于點(diǎn)7/.設(shè)PH=OH=x,構(gòu)建方程求出x,再利用相似

三角形的性質(zhì)求出尸8即可；

(3)如圖2中，設(shè)P4交08于點(diǎn)T.利用相似三角形的性質(zhì)求出ET,再求出P8,可得結(jié)

論；

(4)如圖3中，以AF為邊向右作等邊△AFK,連接KG,延長(zhǎng)KG交無軸于點(diǎn)R,過點(diǎn)K

作于點(diǎn)J.KQLOR于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作OWLKR于W.證明AKP/狂G(SAS),推

出NPAF=NGKF=90。，推出點(diǎn)G在直線KR上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G與W重合時(shí)，OG的值最小.

【詳解】(1)解：如圖1中，在Rt498中，ZOAB=90°,0A=6,03=10,

.-.AB=VOB2-OA2=V102-62=8-

..8(8,6)；

(2)解：如圖1中，過點(diǎn)P作/WL08于點(diǎn)

PH=OH,

設(shè)PH=OH=x,

,ZB=ZB,ZBHP=ZBAO=90°,

BHPsBAO,

答案第23頁(yè)，共51頁(yè)

.PH_BH_PB

"AO-BA-OB'

,x_BHPB

45

/.BH=—x,PB=—x

33f

4

XH--X=10.

3

:.PA=AB-PB=S--=-,

77

圖2

:.EA=EO=EB=5,

NEAB=ZB,

由翻折的性質(zhì)可知ZEAB=ZA\

ZA=ZB,

ArP±OB,

/.ZETAr=ZBAO=90o,

△NXEsXBAO,

.A宏ET

?5_ET

,,一，

106

:.ET=3,BT=5-3=2,

「BTAB

cosB==,

PBOB

?2_8

.?詬一記‘

答案第24頁(yè)，共51頁(yè)

PB=-

2

AP=AB-PB=S--=—

22

喂，6，;

（4）解：如圖3中，以AF為邊向右作等邊△AFK,連接KG,延長(zhǎng)KG交x軸于點(diǎn)R,過

點(diǎn)K作KJJ.AF于點(diǎn)J.KQLOR于點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作OWLKR于W.

ZAFK=ZPFG=60°,

FA=FK,FP=FG,

AFP^在G(SAS),

NPAF=NGKF=90。,

二.點(diǎn)G在直線KR上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G與W重合時(shí)，OG的值最小,

KJ.LOA,KQLOR,

Z.KJO=ZJOQ=ZOQK=90°,

.??四邊形WQK是矩形，

/.OJ=KQ,JK=OQ,

KA=KF,KJ±AF,

AJ=JF=1,KJ=6,

KQ=OJ=5,

ZKRQ=360°-90°-90°-120°=60°,

邯=￡即=當(dāng),

OR=g^=迫,

33

/.OW=ORsin600=4,

??.OG的最小值為4,

答案第25頁(yè)，共51頁(yè)

OF=OW=4,ZFOW=60°,

???尸ow是等邊三角形,

:.FW=4,BPFG=4,

.??線段FP掃過的面積=6°爰：42=?

3oO5

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相

似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全

等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

?八、10-16

8.(1)一或——

1123

.32

⑵行或三

(3)”

-24

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的定義等知識(shí)點(diǎn),

由三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)勾股定理求出BC,分BPQsBAC、BPQs2CA兩種情況，再根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)列出比例式即可求解；

(2)根據(jù)VBPQ是以PQ為腰的等腰三角形分PB=PQ,=兩種情況討論，根據(jù)平行

線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)列出比例式，即可求解；

(3)如圖：過P作于點(diǎn)跖AQ,CP交于點(diǎn)N,則PMAC,可證BPMBAC,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得Wf12PM=9"再根據(jù)ACQsCMP得出A妥C=*CO,

55CMMP

然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：ZACB=90°,AC=3,AB=5,

/.BC7AB2-AC?=525-9=4,

與VABC相似，且N3=N5,

，當(dāng)BPQs歷IC時(shí),BPBQ

3t_4-2t

T-4

10

t=—,

11

BPBQ

當(dāng)BPQs3cA時(shí),

答案第26頁(yè)，共51頁(yè)

.3t_4-2t

??=，

45

16

，，r-23；

綜上，r=g或t=*時(shí)，以8、P、。為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似;

(2)①當(dāng)PB=PQ時(shí)如圖1,過點(diǎn)尸作PELBC于￡,

②當(dāng)8。=尸。時(shí)，如圖2,過。作QGLA8于G,

綜上所述：當(dāng)r="或、時(shí)，VBPQ是等腰三角形；

(3)過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)M,AQ,CP交于點(diǎn)N,如圖3所示:

答案第27頁(yè)，共51頁(yè)

B

/A\TQAC1BC,

圖3

/.PMBsACB.

PB_BM_PM

129

BM=—t,PM=-t

55

12

:.MC=4-—t,CQ=2t,

ZNAC+ZNCA=9009ZPCM+ZNCA=90°,

:"NAC=/PCM,

ZACQ=ZPMC,

ACQsCMP,

.CQ_AC

,?PM-CM'

?2t_3

9.(1)BT=4-1V3；

(2)y=—2A/3.X+8V3-8,。(尤＜4-1A/3,

(3)27=46-4或BT=4.

【分析】(1)如圖，過工作AE,8c交BC于點(diǎn)E,先求出三角形的另兩邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定

理得至IJCT=?石，進(jìn)而即可解；

(2)如圖，過K作修，BC交3c于點(diǎn)過T作TGLA8交AB于點(diǎn)G,先證ATG^THK,

ATTG]

得出行===K，進(jìn)而可得出AT,GT,K”與X的關(guān)系，用三角形面積的和差即可表示

1KKH72

出AKC面積，最后利用K在VABC內(nèi)部(不包括邊界)的條件即可得出定義域；

(3)點(diǎn)K落在VABC某一邊垂直平分線上時(shí)，分三種情況討論即可得解.

答案第28頁(yè)，共51頁(yè)

【詳解】（1）解：如圖，過N作4ELBC交3C于點(diǎn)E,

,/NB=45°,ZC=30°,AC=8,

AE=BE=-x8=4,

2

根據(jù)勾股定理得，AB=A6,CE=46,

：.BC=4+4A/3,

?..在瓦CAT中，ZC=30°,AC=8,NE4K=90°,

AT='-TC,

2

,根據(jù)勾股定理得，CT?=82,

CT=—V3,

3

57=4+473-—V3=4--V3；

33

(2)解：如圖，過K作交BC于點(diǎn)”，過7作TG_LA3交A8于點(diǎn)G,

AATK=ZAKT=45°,

根據(jù)勾股定理得，TK=6AT，

'：4=45。，

ZBAT+ZBTA=ZKTH+ZBTA=180°-45°=135°,

ZBAT=ZKTH,

,/ZAGT=ZKHT=9Q°,

：.ATGsTHK,

答案第29頁(yè)，共51頁(yè)

ATTG1

??天―初_忑，

VZB=45°,

???根據(jù)勾股定理得，BT=y/2GT=x^

：.KH=x,GT=BG=-x,

2

AG=AB-BG=4?—Jx,

2

工根據(jù)勾股定理得，4f2=%2—8%+32,

??UAKC-uABC°ABT°CKT

=^4+4\/3jx4-^-x4V2x^-x-^-x^4+4^-xjxx-^x2-8x+32)

=-2氐+8石-8,

y——2*\/3x+85/3—8,

由(1)知，當(dāng)點(diǎn)K落在線段AC上時(shí)，BT=x=4-；C,

當(dāng)點(diǎn)K落在線段8c上時(shí)，BT=x=O,

.??函數(shù)的定義域?yàn)?<x<4-

(3)解：點(diǎn)K落在VABC某一邊垂直平分線上時(shí)，可分三種情況，

①如圖，當(dāng)點(diǎn)K落在A8邊垂直平分線上時(shí)，過點(diǎn)7作771/_LAB交的延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，設(shè)

AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N,

:?AN=BN=2C，^TAM+ZMAK=ZMAK+ZAKN=90°,ZAMT=ZANT=9Q°,

：.ZTAM=ZAKN,

;AT=AK,

；.ATM^KAN(AAS),

：.AN=TM=2A/2，

ZABC=45°,

答案第30頁(yè)，共51頁(yè)

NTBM=ZABC=45°,

BM=MT=20，

■-BT=0x2及=4，

②如圖，當(dāng)點(diǎn)K落在AC邊垂直平分線上時(shí)，過點(diǎn)T作:TO,AC交AC于M點(diǎn)，設(shè)AC的垂

直平分線交AC于點(diǎn)。，

AQ=CQ=4,

由①可證得ATD咨KAQ(AAS),

：.TD=AQ=4,

在RtC￡>T中，ZACB=30°,

：.CT=8,

：.87=4指+4-8=4百-4,

③如圖，當(dāng)點(diǎn)K落在3c邊垂直平分線上時(shí)，過N作3C的平行線，與過點(diǎn)K作KRJ.BC交

8c于R點(diǎn)的直線交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)T作7。，4「交尸4的延長(zhǎng)線于。點(diǎn)，

KPAE,

；.K在直線KP上運(yùn)動(dòng)，

由①可證得AT。也KAP(AAS),

TO=AP=ER=4,

：.RC=BC-ER—EA=4y^-4<g(4+46

答案第31頁(yè)，共51頁(yè)

不是BC邊的中點(diǎn)，

4=45。,"=30。，

ABAC=180°-30°-45°=105°,

/.VA8C為不等腰三角形，

.??K不可能落在2C邊的垂直平分線上，

綜上所述：取=46-4或87=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,

等腰直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)，

準(zhǔn)確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

10.(1)①見解析；②AE1EM,AEfEM

(2)AE±EF,AE=^3EF,見解析

【分析】⑴①旋轉(zhuǎn)，得到4TOE=120。，DM=DE,進(jìn)而得到NEDC=60。，證明CDE為

等邊三角形，得到CD=DE,進(jìn)而得到C￡)=。"，即可得證；

②等邊對(duì)等角，得至U/MED=N￡MZ)=gx(180°-120°)=30°,角的和差關(guān)系求出

AMEC=ZMED+ZCED=90°,進(jìn)而得到根據(jù)三線合一結(jié)合含30度角的直角三

角形的性質(zhì)，推出4￡=石雨即可；

(2)過點(diǎn)E作AC平行線，交BC于點(diǎn)G,交AM于點(diǎn)“，證明△￡?G為等邊三角形，得

到==NDEG=60。,連接EM,推出=90。，三線合一結(jié)合教的和差

關(guān)系推出=根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，推出即

HM=也MG,進(jìn)而得到—=?=V3,等量代換網(wǎng)=空■=6,證明△AHE^FME,

CGMGFMEM

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：①證明：???將線段。M繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段OE,

AZMDE=no0,DM=DE,

：.NEDC=180°-ZMDE=60°,

：VA8C為等邊三角形，

ZC=60°,

ZCED=180°-NEDC-ZC=60°,

答案第32頁(yè)，共51頁(yè)

CZJE為等邊三角形，

CD=DE,

：.DM=CD,即。為MC中點(diǎn).

②；NMDE=120°,DM=DE,

：.ZMED=ZEMD=|x(180°-120°)=30°,

：CUE為等邊三角形，

，ZCED=60°,

AMEC=/MED+ZCED=90°,

AELEF,

?.?等邊VABC中，AM為中線，

ZMAC^-ZBAC^30°,

2

：.ME=-AM,

2

AE=MME；

(2)過點(diǎn)K作AC平行線，交BC于點(diǎn)G,交AM于點(diǎn)”,

ZEGD=ZC=60°,

又,/ZEDG=180°-ZMDE=60°,

△EOG為等邊三角形，

DG=DE=DM,ZDEG=6Q°,

連接EM,

VZMDE=120°,DM=DE,

：.NDME=ADEM=30°,

ZMEG=ZMED+NDEG=90°,NFME=180?！猌DME=150°,

ZMEH=90°,

?；VA8C為等邊三角形，AM為中線，

答案第33頁(yè)，共51頁(yè)

...AMLBC,

：.ZAHE=AAMC+AEGD=150°,ZHME=90°-ZDME=60°,

ZAHE=ZFME,

在中，/HME=60。,

：.ZMHE=30°,

/.EH=6EM,

VC,廠兩點(diǎn)關(guān)于。中心對(duì)稱，

???CD=DF,

：.CD-DG=DF-DM,^FM=CG,

在RtZXHMG中，NMHE=30。，

HM=6MG,

GH//AC,

AHCG

HM~MG

AH

~CG

”FM=CG,,

AH

FM

Z\AHES/\FME,

AE

2AEH=NMEF,

~EF

AE=拒EF,ZAEF=ZAEH+ZHEF=NMEF+NHEF=ZMEH=90°,

即AE_L￡F.

綜上，AE±EF,AE=6EF.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，

勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形,

是解題的關(guān)鍵.

11.（l）M（2?,0）,N（0j）.

答案第34頁(yè)，共51頁(yè)

44

⑵C

3,3

-z2+2/(0<r<1)

⑶s=<J?-2/+|(l<?<2)

【分析】本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及二次函數(shù)與一次函數(shù)、待定系數(shù)法、相似、圖形面積計(jì)

算、動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)圖象等知識(shí)點(diǎn)，正確地進(jìn)行分類討論，是解決本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行線分線段成比例得出空=至，進(jìn)而得出OP=202,進(jìn)而得出P,。的坐標(biāo)，

OBOA

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得ON==OP,即可求解；

(2)證明四邊形CE0P是正方形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為無，證明BECsBOA,根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)列出比例式，即可求解；

(3)所求函數(shù)關(guān)系式為分段函數(shù)，需要分類討論：圖2,圖3表示出運(yùn)動(dòng)過程中重疊部分(陰

影)的變化，分別求解即可.

【詳解】(1)：點(diǎn)4(2,0),5(0,4),

OA=2,OB=4

PQ//AB,

OP_OQpnOP_OQ

OBOA42

OP=2OQ

動(dòng)點(diǎn)P從。點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿y軸向點(diǎn)8作勻速運(yùn)動(dòng),

P(02),

??.2(^0).

ZAOB的平分線交48于C,即對(duì)稱軸OC為第一象限的角平分線,

ON=OQ,OM=OP

(2)解：過點(diǎn)C作CP,無軸于點(diǎn)尸，CELy軸于點(diǎn)￡,

答案第35頁(yè)，共51頁(yè)

圖1

???ZAOB的平分線交A5于C,即對(duì)稱軸OC為第一象限的角平分線,

ACE=CF,ZEOC=ZFOC=45°

又?.?。/，九軸于點(diǎn)尸，上,＞軸于點(diǎn)石，

???ZCEO=ZCFO=ZAOB=90°

???四邊形CEO尸是矩形

,/CE=CF

???四邊形CEO尸是正方形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為斗

???BE=4-x

.CE〃1軸

BECsBOA

.BECE口口4—xx

..——=——即---=—

BOOA42

4

解得：X=§,

(3)當(dāng)0UV1時(shí)，如圖2所示，點(diǎn)M在線段。4上，重疊部分面積為S.N

圖2