2025年中考押題預測卷（山東青島卷）

數學

（考試時間120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：（本大題共9小題，每小題3分，共27分.下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的.）

1.（本題3分）下面的圖形是用數學家名字命名的，其中是中心對稱圖形的是（）

2.（本題3分）2025年元旦期間，小南一家來到昆明旅游，與好友比拼“某A勿運動”步數，小南查到的步

數是16000步.將數據16000用科學記數法表示為（）

A.0.16xlO6B.1.6xlO5C.1.6xl04D.16xlO3

3.（本題3分）下列計算正確的是（）

21

A.a2a2=2a4B.卜6）=aC.（a2）3=a5D.2a~2=

4.（本題3分）在一個不透明的布袋中裝有70個白球和若干個黑球，除顏色外其他都相同，小強每次摸出

一個球記錄下顏色后并放回，通過多次試驗后發(fā)現，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.125左右，則布袋中黑球的個

數可能有（）

A.9B.10C.18D.20

5.（本題3分）如圖，矩形Q4BC的頂點。（0,0）,8（-2,2有），若矩形繞點。逆時針旋轉，每秒旋轉60。，則

第2023秒時，矩形的對角線交點。的坐標為（）

A.(-1,A/3)B.(1,-石)C.(-2,0)D.(1,-3)

6.（本題3分）如圖，在△AEG中，GA=GE,/G=40。，將△AEG的頂點E擺放在矩形ABCZ）的一邊BC

上，使得AB=BE,其中EG與交于點尸，則/。尸G的度數是（）

C.65°D.45°

7.（本題3分）如圖,圓。的直徑為6,四邊形ABCD內接于：。，連接Q4,OC.若N8=120。，則AC的

B.2%C.3萬D.4〃

8.（本題3分）已知［為實數，規(guī)定運算：%T，…-"，…力按

上述規(guī)定，當q=2時，返京的值等于（）

A.—B.—C.—1D.0

32

k

9.（本題3分）函數y=依-左與函數》=—（左W0）在同一直角坐標系中的大致圖象可能是（）

x

10.（本題3分）實數。，6在數軸上對應位置如圖所示，貝U.J/_2"+廿_技=.

b0a

11.（本題3分）代數式3二與代數4二的值相等，則》=______.

x-1x+1

12.（本題3分）習近平總書記強調“青年一代有理想、有本領、有擔當，國家就有前途，民族就有希望”.如

圖①是一塊弘揚“新時代青年勵志奮斗”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖②所示，它是以。為圓心,

OA,02長分別為半徑，圓心角/。=120。形成的扇面，若Q4=4m,OB=2m,則陰影部分的面積

為.（計算結果保留萬）

做“理想、有本領、

有擔當的時代新人

13.（本題3分）對于實數定義新運算：＜^,b=ma2b-2,a-l,例如由2=Px2加-2x1—1=2a-3,若關

于x的一元二次方程核1=0有兩個相等的實數根，則機的值是

14.（本題3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2g,ZABC=60°,點G、E、F分別是a）、AB.AD上

的點，若GE+G尸=3,則AE+AF的值是

R

15.（本題3分）如圖，二次函數y=4+〃%+c（a<o）的圖象與1軸交于A（-1,0）、5（3,0）兩點，與y軸交于

點G頂點為。，則下列結論:①2"+b=0；②2c=38；③若VABC是等腰三角形，。的值有2個;④當△38

是直角三角形時。=變.其中正確的是.（只需填寫序號）

2

三、作圖題：（本大題滿分4分，請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）

16.（本題4分）如圖，在四邊形ABC。中，AB=BC,AD>CD,用圓規(guī)和直尺在A￡>上取一點M,使得

ABMqCBM.（只保留作圖痕跡，不寫推理過程和作圖步驟）

四、解答題：（本大題共9個小題，共71分.）

Y—21

17.（本題9分）（1）解方程：--+1=-—；

x-33-x

4x-3<5

（2）解不等式組：p%+lx-1.

----->---

15--------3

18.（本題6分）為落實全國教育大會上提出的“要樹立健康第一”的教育理念，某市啟動中考體育改革，將

體育成績納入中考總分，包括A.運動參與、B.運動技能測試、C.體質健康測試、D.統(tǒng)一體能測試

四部分共70分（其中A運動參與滿分6分，主要有平時體育課、課間體育活動等；8運動技能滿分4分，

主要是自主選擇一項田徑、球類等項目進行測試掌握基本技能即為滿分；C體質健康測試滿分30分，包括

體重指數、肺活量、跑步、立定跳遠等項目；。統(tǒng)一體能測試滿分30分，包括跑步，引體向上（男）仰臥

起坐（女）等項目）.

某中學數學興趣小組對本校八年級學生的體育測試情況進行統(tǒng)計調查，從該校所有八年級學生中隨機抽出

部分學生的體育測試成績，將所得的數據進行收集、整理、描述.

下面給出了部分信息：

信息一：每名學生的四項得分之和作為總分，總分用X表示（x230）,將總分數據分成如下四組：第1組:

50Vx<60,第4組：60<^<70,以下是總分的頻數直方圖和

結合信息一解決下列問題：

（1）將頻數分布直方圖補全，。=,第4組所對應的圓心角的度數是；

（2）所抽取的這些學生的中位數位于第組；

（3）該校八年級共有1500名學生，請估計體育總分不低于50分的學生有多少名？

信息二：

抽取的學生在A.運動參與、B.運動技能測試、C.體質健康測試、統(tǒng)一體能測試四部分的平均數

和方差如下表：

A運動參與3運動技能測試C體質健康測試。統(tǒng)一體能測試

平均分5.83.725.423.6

方差1.62.28.59.4

（4）請結合以上信息分析，影響一個學生體育總分的主要是哪些部分的成績？并就如何提升學生體育成績,

提出至少兩條合理化建議.

19.（本題6分）為了讓同學們更多地了解家鄉(xiāng)文化，在某次班會上，甲、乙準備從“A.臨夏磚雕、B.儺

舞儺戲、C.河州泥塑、D.保安腰刀”這四個傳統(tǒng)的非物質文化遺產中，各選一個進行學習并做演講.班

長做了4張背面完全相同的卡片，如圖，卡片正面分別粘貼了這4個非物質文化遺產的圖畫.將卡片背面

朝上洗勻后，讓甲先從這4張卡片中隨機抽取一張，放回后乙再隨機抽取一張，以所抽取卡片正面的內容

進行準備.

臨夏磚雕儺舞儺戲河州泥塑保安腰刀

(1)甲從這四張卡片中隨機抽取一張，抽到臨夏磚雕的概率是

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，甲、乙兩人抽到不同非物質文化遺產的概率.

20.(本題6分)宣紙是中國獨特的手工藝品，具有質地綿韌、光潔如玉、不蛀不腐、墨韻萬變之特色，享

有“千年壽紙”的美譽，被譽為“國寶”.宣紙制作包括108道工序，其中“打漿”這一工序需要使用工具“碓”(圖

1),圖2是其示意圖.。為轉動點，CD1AB,43與水平線的夾角NAOM=30。，OA=BD=40cm,

OB=160cm,當D點繞。點旋轉下落到血W上時，線段A8,80旋轉到線段位置，那么點A在

豎直方向上上升了多少？

圖1圖2

21.(本題8分)根據如下素材,完成探索社務.

背景快遞公司為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀.

買1臺A型機器人，3臺B型機器人，共需260萬元；

素材1

買3臺A型機器人，2臺B型機器人，共需360萬元.

!i

A型機器人每臺每天可分揀快遞22萬件；iii

素材2

B型機器人每臺每天可分揀快遞18萬件

6型

素材3用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺.

解決問題

任務1求A、8兩種型號智能機器人的單價；

任務2選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數最多？

22.（本題8分）閱讀材料：數學課上，吳老師在求代數式爐-八+5的最小值時，利用公式/±2/+^=

,±92,對式子作如下變形：/一4彳+5=/-4*+4+1=（*-2）2+1,因為（》一2）&0,所以（x-2）2+121.所

以當x=2時，Y-4X+5有最小值，最小值為1.通過閱讀，解下列問題：

⑴代數式爐+8尤+12的最小值為；

（2）求代數式-x?+2x+9的最大或最小值.

23.（本題8分）如圖，在，ABCD中,E,尸是對角線上的兩點（點E在點尸左側），且/AEB=NCED=90。.

（1）求證：四邊形AEb是平行四邊形；

3

（2）當AB=5,tanZABE=-,NCBE=/E4/時，求斯的長.

4

24.（本題10分）如圖，拋物線y=-尤2+bx+c與x軸交于A,B兩點，與>軸交于點C（0,3）,對稱軸為直

線x=l.點A/是拋物線上的一個動點，設它的橫坐標為根（。（根<3）.過點Af作MN_Lx軸，與8C交于點N,

（1）求拋物線的表達式；

（2）求線段"N的最大值；

（3）是否存在以CN為腰的等腰三角形QWN?若存在，求出加的值；若不存在，請說明理由.

25.（本題10分）綜合與實踐

在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗，請運用已有的經驗對“對等垂美四邊形”進行研

究.定義：對角線相等且垂直的四邊形叫作對等垂美四邊形.

圖1圖2圖3

（1）定義理解

請在下面如圖1所示的網格中確定兩點C和。，使四邊形為對等垂美四邊形，且C和。均在格點上.（畫

出一種即可）

（2）深入探究

如圖2,在對等垂美四邊形ABC。中，對角線AC與交于點O,且Q4=0D,OB=OC.將△COB繞點

。順時針旋轉（0。〈旋轉角＜45。）.B、C的對應點分別為笈、C.如圖3.請判斷四邊形是否為

對等垂美四邊形，并說明理由.（僅就圖3的情況證明即可）

（3）拓展運用

在（2）的條件下，若OB=3,OA=5,當△ODC'為直角三角形時，直接寫出點C到。D的距離.

2025年中考押題預測卷（山東青島卷）

數學?全解全析

第I卷

四、選擇題：（本大題共9小題，每小題3分，共27分.下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的.）

1.（本題3分）下面的圖形是用數學家名字命名的，其中是中心對稱圖形的是（）

【分析】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合.

根據中心對稱圖形的概念判斷.把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，

那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【詳解】解：選項B、C、D中的圖形都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合,

所以不是中心對稱圖形；

選項A中的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形.

故選：A.

2.（本題3分）2025年元旦期間，小南一家來到昆明旅游，與好友比拼“某A勿運動”步數，小南查到的步

數是16000步.將數據16000用科學記數法表示為（）

A.0.16xlO6B.1.6xl05C.1.6xl04D.16xl03

【答案】C

【分析】此題考查了科學記數法，關鍵是理解運用科學記數法.科學記數法的表示形式為axlO"的形式，其

中14忖＜1。，w為整數.確定〃的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，w的絕對值與小數

點移動的位數相同，據此求解即可.

【詳解】數據16000用科學記數法表示為1.6x104.

故選：C.

3.（本題3分）下列計算正確的是（）

224235

A.a+a=2aB.=aC.（a）=aD.21=*

【答案】B

【分析】本題主要考查了合并同類項，二次根式的性質，黑的乘方，負整數塞.根據運算法則逐一判斷即

可.

【詳解】解：A、a2+a2=2a2,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

B、卜五）=a,原計算正確，故此選項符合題意；

C、（/丫=。6,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

D、24-2=原計算錯誤，故此選項不符合題意；

a

故選：B.

4.（本題3分）在一個不透明的布袋中裝有70個白球和若干個黑球，除顏色外其他都相同，小強每次摸出

一個球記錄下顏色后并放回，通過多次試驗后發(fā)現，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.125左右，則布袋中黑球的個

數可能有（）

A.9B.10C.18D.20

【答案】B

【分析】本題考查了用頻率估計概率；解題關鍵是通過頻率估計概率，用概率求黑球的個數.

在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，設布袋中黑球的個數可能有尤

個，列出方程求解即可.

【詳解】解：設布袋中黑球的個數可能有x個，

依題意得：

解得x=10，

經檢驗，x=10符合題意，

故布袋中黑球的個數可能有10個.

故選：B.

5.（本題3分）如圖，矩形Q4BC的頂點。（0,0）,3（-2,26）,若矩形繞點。逆時針旋轉，每秒旋轉60。，則

第2023秒時，矩形的對角線交點。的坐標為（）

A.(-1,73)B.(l,-y/3)C.(-2,0)D.(1,-3)

【答案】C

【分析】本題考查了旋轉變換，矩形的性質，解直角三角形，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形.根

據題意得出。口道)，過點。作軸于點E,求出/OOE=60。，求出OD=2,再根據題意矩形繞點

。逆時針旋轉，每秒旋轉60。，第2023秒時，點。的位置，進而得到點。的坐標.

【詳解】解：矩形Q4BC的頂點。Q0),8(-2,2^

；.味1網,

如圖，過點。作軸于點E,

_____DE

:.OD=yj0E2+DE2=2>tanZDOE=—-=6,

UtL

:.ZDOE=60°f

「?矩形繞點。逆時針旋轉，每秒旋轉60。,

360。+60。=6秒，

.,.每6秒旋轉一周，

2023+6=3371

60°xl=60°,

旋轉第2023秒時，點。在x軸的負半軸,

??.此時點。的坐標為（-2,0）,

故選：C.

6.（本題3分）如圖，在△AEG中，GA=GE,ZG=40°,將△AEG的頂點E擺放在矩形ABC。的一邊3c

上，使得=其中EG與交于點F,則NDFG的度數是（）

A.85°B.75°C.65°D.45°

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的性質，平行線的性質，等邊對等角，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

由四邊形ABCD是矩形，則AD〃CB,ZASC=90°,由平行線的性質可得/GED=/GEC,然后通過等邊

對等角得出/朋E=NAEB=45。，ZGAE=ZGEA=10°,然后由平角定義求出NGEC=65。即可.

【詳解】解：：四邊形是矩形，

AAD//CB,ZABC=90°,

/.ZGFD^ZGEC,

AB=BE,

：./BAE=ZAEB=45。,

:GA=GE,NG=40。，

/GAE=/GEA=70°,

：.NGEC=180°-ZAEB-ZGEA=180°-45°-70°=65°,

/GFD=NGEC=65°,

故選：C.

7.（本題3分）如圖，圓。的直徑為6,四邊形ABCD內接于。，連接Q4,OC.若ZB=120。，則AC的

長為（）

B

A

A.九B.2萬C.D.4TT

【答案】B

【分析】本題考查了圓內接四邊形，圓周角定理，弧長公式，先求出"=60。，再運用圓周角定理得

ZAOC=120%然后根據弧長公式進行列式計算，即可作答.

【詳解】解：:四邊形ABC。內接于。，ZB=120°,

???ZD=180°-120°=60°,

AC=ACf

：.ZAOC=120°,

120°

則AC=-------x萬x6=2萬，

360°

故選：B.

8.（本題3分）已知4為實數，規(guī)定運算：%=1,“3=1-,。4=1一~,“5=1...?4=1----二.按

。2。3"4"〃-1

上述規(guī)定，當4=2時，我京的值等于（）

A.—B.—C.—1D.0

32

【答案】C

【分析】本題考查數式規(guī)律問題，根據規(guī)定列式計算后總結規(guī)律，然后計算我總的值即可.

【詳解】解：當4=2時，

2

2

???2025+3=675,

??苞2025——1'

故選：c.

k

9.（本題3分）函數y=依-左與函數y=,（%H（））在同一直角坐標系中的大致圖象可能是（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象和一次函數的圖象，根據反比例函數的圖象與性質分析判斷即

可.

【詳解】解：當人＞0時，一次函數＞=質-左的圖象經過第一、三、四象限，反比例函數y=：化工0）的圖象

在第一、三象限，選項中沒有符合條件的圖象;

當上＜0時，一次函數、=履-左的圖象經過第一、二、四象限，反比例函數y=：（%w。）的圖象在第二、四

象限，A選項的圖象符合要求.

故選：A.

第n卷

五、填空題：（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）

10.（本題3分）實數。，6在數軸上對應位置如圖所示，貝％J/-2仍+。2_護=.

b。。

【答案】a

【分析】本題考查了數軸的特點，二次根式的性質化簡，掌握二次根式的性質化簡是解題的關鍵.

根據數軸得到匕＜。（。，|郎問，結合因式分解，二次根式的性質化簡即可求解.

【詳解】解：根據題意，可得。＜0儂同洞,

a-b>0,

/.^-lab+b2一后=y/(a-b)2-后

=a-b-[-b)

-a，

故答案為：a.

11.（本題3分）代數式3―與代數4，的值相等，則了=______.

x-lX+1

【答案】7

【分析】本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵.

先根據題意列出方程，再解分式方程，再檢驗即可.

【詳解】解：由題意得，上7=」'，

x-l尤+1

4（x-l）=3（x+l）,

角軍得：x=l,

經檢驗，X=7是原方程的解，

，原方程的解為x=7,

故答案為：7.

12.（本題3分）習近平總書記強調“青年一代有理想、有本領、有擔當，國家就有前途，民族就有希望”.如

圖①是一塊弘揚“新時代青年勵志奮斗”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖②所示，它是以。為圓心,

0A,長分別為半徑，圓心角/。=120。形成的扇面，若OA=4m,O3=2m,則陰影部分的面積

圖2

【答案】441n2）

【分析】本題主要考查了求扇形面積，解題的關鍵是掌握扇形面積公式s扇形=需.根據扇形面積公式,

求出大扇形和小扇形的面積，最后根據s陰影=s大扇形-s小扇形即可求解.

【詳解】解：根據題意可得：ZO=120°fOA=4m,OB=2mf

.0120^x4216/\o1207rx2?4（\

大扇形=360=2S小扇形二360丁白卜2

?*,S陰影=S大扇形一S小扇形=-7r--7i=47r（m2y

故答案為：4萬（n?）.

13.（本題3分）對于實數定義新運算：睬b=ma2b-2a-\,例如皮2=Fx2〃z-2xl-l=2%-3,若關

于x的一元二次方程送1=0有兩個相等的實數根，則機的值是.

【答案】-1

【分析】本題考查定義新運算，根的判別式，根據新運算列出一元二次方程，根據方程有2個相等的實數

根，得到△=（）,進行求解即可.

【詳解】解：x^<l=iwc2-2x-l=0y

??,方程有2個相等的實數根，

A=4+4m=0,

/.m=—l；

故答案為：-1.

14.（本題3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2石，NABC=60。，點G、E、尸分別是⑻入AB,AD上

的點，若GE+G尸=3,則AE+AF的值是.

【答案】上

【分析】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形，連

接AC,過A作40，3c于M,在BC上截取3K=5E,連接GK,由菱形的性質推出NA8C=NC3￡>,3c=54,

BCAD,判定，BGKWcBGElSAS）,推出GK=GE,ZBEG=ZBKG,得至I」GF+GK=3,判定ABC是等

邊三角形，求出AM=^A3=3,判定RG、K共線，且FKL5C,由菱形的性質推出

2

ZGBE=ZGDF=|ZABC=30°,AB=AD=273,求出BE=6GE,DF=6GF,得至UBE+O尸=3指，

于是AE+AT=R4+AD-（跖+D尸）=技

【詳解】解：連接AC,過A作AM,3c于M,在上截取5K=5石，連接GK,

???四邊形ABCD是菱形，

.?.ZABC=NCBD,BC=BA,BCAD,

?:BG=BG

??._5GK均3G石(SAS),

GK=GE,ZBEG=ZBKG,

9：GF+GE=3,

:?GF+GK=3,

ZABC=6Q0,

???一ABC是等邊三角形，

JAM=—AB=3,

2

：.GF+GK=AM,

:?F、G、K共線，且FK_L3C,

JZBEG=ZBKG=90°,

,：ADBC,

:.FK_LAD,

.??ZGFD=90°,

???四邊形ABC。是菱形，

Z.ZGBE=ZGDF=-ZABC=30°,AB=AD=273,

2

BE=V3GE,DF=6GF,

BE+DF=g（GE+GF）=3百，

/.AE+AF=BA+AD-（BE+DF）=2y/3+2sj3-343=>/3

故答案為：>/3.

15.（本題3分）如圖，二次函數y=4+bx+c（a<0）的圖象與x軸交于A（T,O）、3（3,0）兩點，與y軸交于

點C,頂點為D,則下列結論:①2a+b=0；②2c=3匕；③若VABC是等腰三角形，a的值有2個;④當△BCD

是直角三角形時。=變.其中正確的是.（只需填寫序號）

2

【答案】①②③

b

【分析】由圖象可得對稱軸為直線X=-==1,可得6=-2a,可判斷①;將點A坐標代入解析式可得c=-3。,

2a

可判斷②；由等腰三角形的性質和兩點距離公式，可求。的值，可判斷③；由直角三角形的性質和兩點距

離可求。=-1或“=-變，可判斷④，即可求解.

2

【詳解】解：：二次函數y=af+bx+c的圖象與x軸交于A（TO）、8（3,0）兩點，

b

???對稱軸為直線X=-丁=1,

2a

??Z?——2a,

2a+b=0,

故①正確，

當x=-1時，0=a—Z?+c,

??a+2a+c=0,

c=-3a,

???2c=3b,

故②正確；

，??二次函數y二加一2dx-,

???點。（0,-3〃），

BC=y19+9a2-AC=^l+9a2-

當3C=AB時，4=79797，

：.a=-—（正數值已舍去），

3

當AC=NA時，4=71797，

:.。=一叵（正數值已舍去），

3

.?.當VABC是等腰三角形時，。的值有2個，

故③正確；

,二次函數y=62_2存_3。=a（x—1）2-4a,

頂點4a）,

/.BD2=4+16a2,BC1^9+9a2,CO2=a2+l,

若XBDC=90°,可得BC2=BD-+CD2,

/.9+9o2=4+16a2+a2+l,

.V2

..a=------，

2

若/DCB=900,可得或>2=a>2+3c2,

???4+16/=9+9/+〃+1,

a=—1,

...當△BCD是直角三角形時，=-l^a=-—,

a2

故④錯誤.

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查了拋物線與無軸的交點，二次函數圖象與系數關系，等腰三角形的性質，直角三角形的

性質等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

六、作圖題：（本大題滿分4分，請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）

16.（本題4分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,AD>CD,用圓規(guī)和直尺在AD上取一點M,使得

AW-CBM.（只保留作圖痕跡，不寫推理過程和作圖步驟）

【答案】見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定，尺規(guī)作角平分線，作一ABC的角平分線，與4）交點即為此時

由=AB=BC,=可證明ABM^CBM.

2

【詳解】解：如圖，點M即為所求點M

四、解答題：（本大題共9個小題，共71分.）

17.（本題9分）（1）解方程：Jr-2+l=^—1;

元一33-尤

4x-3<5

（2）解不等式組：2龍+1x-1.

----->---

15--------3

【答案】（1）x=2；（2）-8<x<2

【分析】本題考查了分式方程的解法，一元一次不等式組的解法，熟練掌握各自求解方法和解題步驟是解

題的關鍵；

（1）通過去分母轉化為整式方程，即可求解；

（2）分別解兩個不等式，再求出其公共解集即可.

【詳解】（1）方程兩邊同乘（尤-3）,得

x—2+x—3——1

解得尤=2

檢驗：當x=2時，％—3。0,

???原方程的解為％=2.

4x-345,①

（2）,2x+lx-l人

I53

解不等式①，得尤W2,

解不等式②，得x>-8.

原不等式組的解集為-8<%<2.

18.（本題6分）為落實全國教育大會上提出的“要樹立健康第一”的教育理念，某市啟動中考體育改革，將

體育成績納入中考總分，包括A.運動參與、B.運動技能測試、C.體質健康測試、D.統(tǒng)一體能測試

四部分共70分（其中A運動參與滿分6分，主要有平時體育課、課間體育活動等；8運動技能滿分4分，

主要是自主選擇一項田徑、球類等項目進行測試掌握基本技能即為滿分；C體質健康測試滿分30分，包括

體重指數、肺活量、跑步、立定跳遠等項目；。統(tǒng)一體能測試滿分30分，包括跑步，引體向上（男）仰臥

起坐（女）等項目）.

某中學數學興趣小組對本校八年級學生的體育測試情況進行統(tǒng)計調查，從該校所有八年級學生中隨機抽出

部分學生的體育測試成績，將所得的數據進行收集、整理、描述.

下面給出了部分信息：

信息一：每名學生的四項得分之和作為總分，總分用x表示（x230）,將總分數據分成如下四組：第1組:

50Vx<60,第4組：60<x<70,以下是總分的頻數直方圖和

結合信息一解決下列問題：

（1）將頻數分布直方圖補全，,第4組所對應的圓心角的度數是

（2）所抽取的這些學生的中位數位于第組；

（3）該校八年級共有1500名學生，請估計體育總分不低于50分的學生有多少名？

信息二:

抽取的學生在A.運動參與、B.運動技能測試、C.體質健康測試、D.統(tǒng)一體能測試四部分的平均數

和方差如下表：

A運動參與B運動技能測試C體質健康測試。統(tǒng)一體能測試

平均分5.83.725.423.6

方差1.62.28.59.4

（4）請結合以上信息分析，影響一個學生體育總分的主要是哪些部分的成績？并就如何提升學生體育成績,

提出至少兩條合理化建議.

【答案】（1）36；72°；

（2）3；

（3）780人；

（4）見解析.

【分析】⑴從條形統(tǒng)計圖可知：第1組、2組、4組人數之和為6+18+10=34,從扇形統(tǒng)計圖中可知：第1

組、2組、4組人數之和占總人數的百分比為1-32%=68%,利用人數除以對應的分率可以求出抽查的總人

數，用總人數乘以扇形統(tǒng)計圖中第3組人數所占的百分比求出第3組的人數，根據第3組的人數補全統(tǒng)計圖

即可；。是第2組人數占總人數的百分比，根據第2組的人數和總人數計算即可；根據第4的人數和總人數

求出第4組的人數占總人數的百分比，利用百分比求出扇形統(tǒng)計圖中第4組的圓心角即可；

（2）共抽查了50學生，根據中位數的定義可知：中位數是第25、26名成績的平均數，從條形統(tǒng)計圖中可知：

第25、26名位于第3組，所以抽取的這些學生的中位數位于第3組；

（3）利用樣本估計總體，根據抽查的50名學生中體育成績不低于50分的人數所占的百分比代表全校所有學

生成績不低于50分人數的百分比，計算即可；

（4）從表格中可知C、。兩項所占的權重較大，所以為了提高學生的體育成績，應重點從C、。兩項中提高

成績.

【詳解】（1）解：從條形統(tǒng)計圖可知：第1組、2組、4組人數之和為6+18+10=34,

從扇形統(tǒng)計圖中可知：第1組、2組、4組人數之和占總人數的1-32%=68%,

抽取的總人數為：（6+18+10）+（1-32%）=50（人）

二第3組的人數為：50x32%=16（人）,

補全條形統(tǒng)計圖如下：

第2組有18人，占比為：18+50x100%=36%,

a=36,

;第4組有10人，

，第4組占抽查總人數的10+50xl00%=20%,

，扇形統(tǒng)計圖中第4組對應的圓心角的度數為：義*100%x360°=72。，

故答案為36,72°；

（2）?總共抽查了50人，

???中位數是第25、26名成績的平均數，

第1組和第2組總人數是24人，

從條形統(tǒng)計圖中可知：第25、26名位于第3組，

抽取的這些學生的中位數位于第3組；

（3）從條形統(tǒng)計圖中可知：抽查的學生中體育總分不低于50分的學生，

利用樣本估計總體可得：全校體育成績不低于50分的學生總人數為1500?780人；

（4）C、。兩項權重較大，是影響體育總分的主要因素.

建議：①保持合理飲食習慣，保證體重指表在健康范圍內；

②加強鍛煉增強肺活量；

③加強跑步上定跳遠、引體向上、仰臥起坐等項目的訓練.（合理即可）

【點睛】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖的綜合運用、用樣本代替總體、求扇形統(tǒng)計圖的圓心角

度數、中位數，解決本題的關鍵是綜合運用扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖，根據已知的信息求出未知的信息.

19.（本題6分）為了讓同學們更多地了解家鄉(xiāng)文化，在某次班會上，甲、乙準備從“A.臨夏磚雕、B.儺

舞儺戲、C.河州泥塑、D.保安腰刀”這四個傳統(tǒng)的非物質文化遺產中，各選一個進行學習并做演講.班

長做了4張背面完全相同的卡片，如圖，卡片正面分別粘貼了這4個非物質文化遺產的圖畫.將卡片背面

朝上洗勻后，讓甲先從這4張卡片中隨機抽取一張，放回后乙再隨機抽取一張，以所抽取卡片正面的內容

進行準備.

臨夏磚雕儺舞儺戲河州泥塑保安腰刀

（1）甲從這四張卡片中隨機抽取一張，抽到臨夏磚雕的概率是

（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，甲、乙兩人抽到不同非物質文化遺產的概率.

【答案】⑴；

⑵;

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的

關鍵.

（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中抽到臨夏磚雕的結果有1種，利用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的結果數以及甲、乙兩人抽到不同非物質文化遺產的結果數，再利用概率公式

可得出答案.

【詳解】（1）解：由題意知，共有4種等可能的結果，其中抽到臨夏磚雕的結果有1種，

.??甲從這四張卡片中隨機抽取一張，抽到臨夏磚雕的概率是1.

（2）解：列表如下：

ABcD

A(A，A)(A,B)(A?（A。）

B(昆A)（B,B）(B?(BQ)

C(CA)(GB)(c，c)(G0

D0,A)(D,B)（D，C）（2。）

共有16種等可能的結果，其中甲、乙兩人抽到不同非物質文化遺產的結果有12種,

123

???甲、乙兩人抽到不同非物質文化遺產的概率為0

164

20.（本題6分）宣紙是中國獨特的手工藝品，具有質地綿韌、光潔如玉、不蛀不腐、墨韻萬變之特色，享

有“千年壽紙”的美譽，被譽為“國寶”.宣紙制作包括108道工序，其中“打漿”這一工序需要使用工具“碓”（圖

1）,圖2是其示意圖.。為轉動點，CDLAB,A3與水平線的夾角/AOM=30。，Q4=8￡>=40cm,

OB=160cm,當D點繞。點旋轉下落到"N上時，線段AB,8。旋轉到線段AM,57y位置，那么點A在

豎直方向上上升了多少？

圖2

【分析】本題主要考查了旋轉變換，矩形判定和性質,含30度直角三角形性質，勾股定理，相似三角形判

定和性質，位似三角形性質等知識，正確作出輔助線，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

連接OD,過點B作于點E,過笈作于點/，B'GJLBE于點G,則四邊形B'FEG是矩

形，過點A作交AE于點K,過點A作A7，MV,得出EG=EB',/BON=30。,得BE=80,

求出。。=40舊，證明OB'D'^OFB',得”=竺，得笈尸=電5叵，得BG=[80」6噌],根據

BFOB1717

hOA

~BG~OB

【詳解】解：設A上升的高度為〃，

連接8,過點8作于點E,過？作B'FLMN于點/，3'3，班于點6,則四邊形3'EEG是矩

形，過點A作AH_LMV,交AE于點K,過點H作A7J_MV,

:.EG=FB,

E上N

/BON=30。,OB=160cm,

BE=—OB=80cm,

2

?:BE工MN,AH±MN,

/.BE//AH,

：..OBEsOAH,

.OBBE160，

'OAAH40，

AH=20cm,

CD_LAB于點5,BD=40cm,

:.OD=ylOB2+BD2=4(X/F7cm，

OD'=40A/17cm,

,NOB'D'=NOBD=9。。,

NOB'D'=/OFB'=90°,

ZB'OD'^ZFOB',

OB'D's-OFB'.

,D'B'_OD'Bn4040V17

B'FOB'B'F160

n，L160717

..BF=---------cm,

17

VA'lrMN,B'F工MN

：.A'I//B'F,

:.BOFB'S.OIA,

答：點A在豎直方向上上升了

21.（本題8分）根據如下素材，完成探索社務.

背景快遞公司為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀

買1臺A型機器人，3臺B型機器人，共需260萬元；，型三

素材1

買3臺A型機器人，2臺B型機器人，共需360萬元.一■4

A型機器人每臺每天可分揀快遞22萬件；

素材2

B型機器人每臺每天可分揀快遞18萬件

素材3用不超過700萬元購買A、3兩種型號智能機器人共10臺.

解決問題

任務1求A、8兩種型號智能機器人的單價；

任務2選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數最多？

【答案】任務1：80萬元、60萬元

任務2：A型號智能機器人5臺，B型號智能機器人5臺

【分析】本題考查二元一次方程組的實際應用，一次函數的實際應用，不等式的實際應用，熟練根據題意

正確列出等式、式子、不等式是解題的關鍵.

任務1：設A、3兩種型號智能機器人的單價分別為x萬元、>萬元，利用“買1臺A型機器人，3臺3型機

器人，共需260萬元”和“買3臺A型機器人，2臺B型機器人，共需360萬元”列式求解即可；

任務2：設每天分揀快遞的件數為w萬件，購買A型號智能機器人。（a>0,且。為整數）臺，則購買3型

號智能機器人。0-。）臺，列出攻關于。的一次函數，再利用“用不超過700萬元購買A、3兩種型號智能機

器人共10臺”列出不等式，求出。的范圍，最后利用一次函數的性質即可求解.

【詳解】解：任務1：設A、8兩種型號智能機器人的單價分別為x萬元、y萬元，

x+3y=260

根據題意得:

3x+2y=360

答：A、8兩種型號智能機器人的單價分別為80萬元、60萬元；

任務2：設每天分揀快遞的件數為w萬件，購買A型號智能機器人。（a>0,且。為整數）臺,

則購買8型號智能機器人臺，

根據題意得：w=22a+18（10-a）=4a+180,

,/80a+60(10-a)?700,

解得：a<5,

0<<5,

V461+180,4>0,

w隨〃的增大而增大，

???當。=5時，w取得最大值4?5180=200(萬件)，

10-a=5(臺)，

即購買A型號智能機器人5臺，購買3型號智能機器人5臺，能使每天分揀快遞的件數最多.

22.(本題8分)閱讀材料：數學課上，吳老師在求代數式犬2—以+5的最小值時，利用公式/±2〃。+/=

伍±萬)2,對式子作如下變形：x2-4x+5=/-4x+4+l=(x-2)2+l,因為(X-2)2>0,所以(x-2y+121.所

以當x=2時，d-4x+5有最小值，最小值為1.通過閱讀，解下列問題：

(1)代數式/+8尤+12的最小值為；

⑵求代數式-d+2x+9的最大或最小值.

【答案】⑴T

(2)最大值為10

【分析】本題考查配方法的應用，熟練掌握配方法，以及完全平方的非負性，是解題的關鍵：

(1)仿照題干的方法進行求解即可；

(2)仿照題干的方法進行求解即可.

【詳解】⑴解:爐+8尤+12

=Y+8%+16-4

=(X+4)2-4；

(X+4)2>0,

2

/.(X+4)-4>-4,

，當x=-4時，f+8尤+12有最小值為Y；

2

(2)-X+2X+9

=-(x-l)2+10；

(x-l)2>0,

-(%—1)w0,

?.-(x-l)2+10<10,

.?