2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題系列：幾何變換（旋轉(zhuǎn)）

1.將正方形ABCD的邊A8繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB"記旋轉(zhuǎn)角為a.連接班'，過點(diǎn)。作DE垂直

‘連接BO,可求出京的值為

⑵當(dāng)0。<a<360。且cw90。時(shí),

①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

BF

②當(dāng)以點(diǎn)Q，E,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出"的值.

DE

2.已知：如圖，點(diǎn)C為直線MV上的一點(diǎn)，點(diǎn)8為直線睦V外一點(diǎn)，將線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

后得C4,連接A3,過點(diǎn)A作Abi3C,垂足為點(diǎn)/，NE4c的平分線交8C于點(diǎn)P,交/3CN的

平分線于點(diǎn)E，連接BE.

MCNMCN

備用圖備用圖

⑴當(dāng)3c_LMV,

①求—AEC的度數(shù)；

②證明AE=CE+￡B.

⑵將VABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EPC為等腰三角形時(shí)，直接寫出一隹。的度數(shù).

3.圖1中的四邊形紙片1與圖2中的四邊形紙片2形狀相同，但大小不同，其中AB=AD,

NBAD=NBCD=90°,NB=60。，現(xiàn)利用這兩張卡片分別裁剪拼接出兩個(gè)正方形.嘉嘉利用紙片1

按圖示方法截取正方形AEFG,設(shè)=

rai

(1)①紙片1中的EF=_(用含無(wú)的代數(shù)式表示)；若正方形A5FG的面積為27,則可列一元二次方

程：

②請(qǐng)解①中的方程，并求48的長(zhǎng).

(2)①淇淇將紙片2只剪一次，并利用旋轉(zhuǎn)知識(shí)拼出一個(gè)面積最大的正方形.請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出正確的

圖形（剪拼痕跡均用虛線表示）.

②若圖2中力8=與百，請(qǐng)比較（1）（2）的條件下得到的兩個(gè)正方形中，哪個(gè)面積較大?

4.閱讀：轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題重要的思想方法，如圖：在中，NC=90。，/3=30°我們知

道AC:A3:8C=1:2:石，當(dāng)我們遇到含有15。的直角三角形時(shí)，我們可以利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和等

腰三角形的知識(shí)來(lái)解決（如下示意圖），這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種美.

下面就請(qǐng)你利用上述閱讀材料，解決下面問題：

備用圖

⑴如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0,退）3（-1,0）,若將直線A3繞著點(diǎn)A逆旋轉(zhuǎn)45。得直線AC,

其中點(diǎn)C在無(wú)軸，貝|/區(qū)4。=.點(diǎn)C坐標(biāo).

⑵若O,與AB,AC相切、則點(diǎn)。（在/BAC內(nèi)部）的軌跡是,若（7與VABC三邊均相切,

求出。'的半徑.（分母不必有理化但不可出現(xiàn)雙重根號(hào)）

⑶若，O'與AB,AC相切、且半徑為0一I,現(xiàn)將X軸繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為口。（0。＜。＜180°）,

請(qǐng)分析旋轉(zhuǎn)后的x軸與。的位置關(guān)系并直接寫出對(duì)應(yīng)a的取值范圍.（不必寫解答步驟）

5.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，旋轉(zhuǎn)角。滿足0。＜&《180。，對(duì)圖形M與圖形N給出定義：將圖形M

繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到圖形點(diǎn)p為圖形AT上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為圖形N上的任意一點(diǎn)，稱尸。

長(zhǎng)度的最小值為圖形M與圖形N的“轉(zhuǎn)后距”.已知點(diǎn)人（1,@，點(diǎn)3（4,0）,點(diǎn)C（2,0）.

⑴當(dāng)a=90。時(shí)，記線段。4為圖形

①畫出圖形；

②若點(diǎn)C為圖形N,貝「轉(zhuǎn)后距”為

③若線段AC為圖形N,求“轉(zhuǎn)后距”；

'1

⑵已知點(diǎn)P（m,0）在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)。m——,記線段為圖線段尸。為圖形對(duì)任

I2N,

意旋轉(zhuǎn)角a,“轉(zhuǎn)后距”大于1,直接寫出機(jī)的取值范圍.

6.已知正方形ABC。，一等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩

邊分別交直線3C、CD于V、N.

（圖1）

(1)當(dāng)"、N分別在邊3C、CD上時(shí)(如圖1),將△4W繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至一ABE,求證:

BM+DN=MN；

(2)當(dāng)/、N分別在邊3C、CD所在的直線上時(shí)(如圖2),線段氏0、DN、MN之間又有怎樣的數(shù)量

關(guān)系，并證明你的結(jié)論:

(3)在圖3中，作直線3。交直線AM、AN于P、。兩點(diǎn)，在(2)的條件下，若MV=10,CM=8,

求AP的長(zhǎng).

7.如圖1,在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=AC,點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，AD=AE,連

接DC,點(diǎn)〃、P、N分別為DE、DC、2C的中點(diǎn).

(1)觀察猜想：圖1中，線段尸河與PN的數(shù)量關(guān)系是_，位置關(guān)系是二

⑵探究證明：把VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷PMN的

形狀，并說(shuō)明理由；

⑶拓展延伸：把VADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AO=2,AB=4,直接寫出面積的最大

值.

8.已知正方形A3CD邊長(zhǎng)為1,對(duì)角線AC,加＞相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作射線OE。尸，分別交AB

于點(diǎn)E,F,S.OE±OF.

D

E

(1)如圖1,當(dāng)OELAD時(shí)，求證：四邊形AEOF是正方形;

(2)如圖2,將射線OE,。尸繞著點(diǎn)。進(jìn)行旋轉(zhuǎn).

①在旋轉(zhuǎn)過程中，判斷線段OE與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明;

②四邊形OE4r的面積為一;

(3)如圖3,在四邊形尸QMN中，PQ=PN,ZQPN=ZQMN=90°,連接尸若PM=9,請(qǐng)直接寫

出四邊形尸QMN的面積.

9.(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,等邊VABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為3,4,5,求的度數(shù).為

了解決本題，我們可以將AABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到△ACP'處，這樣就可以將三條線段

PA,尸5PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出4PB的度數(shù).請(qǐng)按此方法求NAP8的度數(shù)，寫出求解

過程；

(2)拓展研究：

請(qǐng)利用第(1)題解答的思想方法，解答下面的問題：

①如圖2,VABC中，AB=AC,NBAC=90。，點(diǎn)E"為2C邊上的點(diǎn)，且ZE4F=45。，判斷臺(tái)瓦所,。/

之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

②如圖3,在VABC中，ZABC=30°,AB=4,3c=6,在VABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接尸4,尸民尸。，

直接寫出PA+PB+PC的最小值.

10.已知：在RtaABC中，ZABC=90°,ABAC=30°,BC=E，點(diǎn)。為射線A3上一動(dòng)點(diǎn)，連接

CD,將△/53c繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8落在邊AC上的點(diǎn)夕處，以為點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接。D.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)O在線段上時(shí)，連接AD'.

填空：△CDD的形狀為；CO與AD的數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖2,在⑴的基礎(chǔ)上，當(dāng)4c0=30。時(shí)，判斷四邊形ADCD'的形狀，并說(shuō)明理由.

(3)如圖3,連接當(dāng)=時(shí)，直接寫出笈￡)的長(zhǎng).

4

11.在菱形ABC。中，BC=5,cosZABD=~,動(dòng)點(diǎn)M在射線8。上運(yùn)動(dòng).

⑴如圖（1）,將點(diǎn)A繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,連接MC,A4'.求證：AA!=^MC-,

（2）如圖（2）,在（1）條件下，若射線肱V經(jīng)過邊中點(diǎn)E,求的值；

⑶連接AM,將線段AM繞著點(diǎn)〃逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)固定角a,Nc=Z5CD,點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，射線M廠

交射線BC于G,若△3MG是等腰三角形，求3G的值.

12.如圖1,在VA3c中，NA=90。，AB=4C=應(yīng)，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，且AO=AE=2-應(yīng),

連接DE.現(xiàn)將VADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為磯0。<￡<360。），分別連接CE、BD.

(1)如圖2,當(dāng)0。<&<90。時(shí)，求證：CE=BD；

⑵如圖3,當(dāng)《=90。時(shí)，延長(zhǎng)CE交8。于點(diǎn)后求證：CF垂直平分BD；

(3)連接CD,在旋轉(zhuǎn)過程中，求△3CD的面積的最大值，并寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

13.在oABCD中，ZABC=45°,連接AC,已知AB=AC=夜，點(diǎn)E在線段AC上，將線段OE繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°為線段。尸.

(1)如圖1,線段AC與線段3D的交點(diǎn)和點(diǎn)E重合，連接族，求線段族的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,點(diǎn)G為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使得GC=EC,連接FG交AD于點(diǎn)H,求證：4?AH=CD;

(3)如圖3,在(2)的條件下，平面內(nèi)一點(diǎn)P,當(dāng)//P+CP+08P最小時(shí)，求的面積.

14.在VABC中，AB^AC,。是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AD.將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度a

（0°<a<180°）,得到AE,且滿足（z+/BAC=180。，連接BE,CE.

RD

備用圖

⑴如圖1,NBAC=90。，。是BC邊上一點(diǎn)，求/BCE的度數(shù)；

⑵如圖2,。是平面內(nèi)一點(diǎn)，尸是8E的中點(diǎn)，連接AF.猜想AF與8存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你

的結(jié)論，并證明；

⑶在（2）的條件下，若。=120。，在直線CE上存在一點(diǎn)使以點(diǎn)A,E,F,M為頂點(diǎn)的四邊形是

AD

銳角為60。的菱形，請(qǐng)直接寫出空的值.

15.如圖1,點(diǎn)。為直線A3上一點(diǎn)，將兩個(gè)含60。角的三角板MON和三角板。PQ如圖擺放，使三

角板的一條直角邊OM、0P在直線A3上，其中NOMN=/POQ=60。.

E

NQL,N

AMOAMO

Q

圖2圖3備用圖

(1)將圖1中的三角板。PQ繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得邊。尸在/MON的內(nèi)部且平

分■NMON,求旋轉(zhuǎn)角/BOP?

⑵三角板。PQ在繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，若。尸在的內(nèi)部.試探究/MO尸與NNOQ之

間滿足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,將圖1中的三角板MON繞點(diǎn)。以每秒2。的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，同時(shí)將三角板。尸。繞

點(diǎn)。以每秒3。的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，將射線08繞點(diǎn)。以每秒5。的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)后的射線02記為0E,射線OC平分射線平分NPOQ,當(dāng)射線OC、OD重合時(shí)，射

線OE改為繞點(diǎn)。以原速按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在OC與OD第二次相遇前，當(dāng)NCOE=15。時(shí)，求出旋

轉(zhuǎn)時(shí)間/的值.

《2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題系列：幾何變換》參考答案

1.(1)等腰直角三角形，72

(2)(1)仍然成立，見解析；②1或3

【分析】(1)當(dāng)夕=60。時(shí)，即/區(qū)鉆'=60。，且=AB?是等邊三角形，可證

ZEB'D=90°-ZEDB'=45°,則田=￡B"得到一DE3'是等腰直角三角形；連接3D,可證

_BDB'SQCDE,即可求解；

(2)①當(dāng)0。<a<360°且c790°時(shí)，ZBAB'^a,ZB'AD^ZBAB'-ZBAD^a-9Q0,可證

ZEDB'=90°-ZEB'D=45°,得到_DEB'是等腰直角三角形；連接3D,證明▲瓦M(jìn)'jCDE,即可

求解；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分類討論：第一種情況，如圖所示，以點(diǎn)8',E,C,。為頂點(diǎn)的

四邊形CED?是平行四邊形，由相似三角形的判定和性質(zhì)得到，_BCFsBB'C^CB'F,

號(hào)=能=蕓=2,則3"=68'尸,3￡=2"尸，可解；第二種情況，如圖所示，以點(diǎn)9，E,C,D

CFBCBF

為頂點(diǎn)的四邊形？ECO是平行四邊形，可證點(diǎn)？、E、C三點(diǎn)共線，點(diǎn)A、E重合，則9E==

可解.

【詳解】(1)解：：四邊形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

邊A3繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB"記旋轉(zhuǎn)角為a,則AB=AB，=AD,設(shè)BE,CD交于點(diǎn)、F,

工他'。是等腰三角形，

,ZAB'D=ZADB',

當(dāng)a=60。時(shí)，即/朋？=60。，且=

ZDAB'=90°-ZBAB'=30°,是等邊三角形，

ZAB'D=ZAr>^=1(180°-NDAB)=1x(180°-30°)=75°,ZABB，=AB'B=ZBAB'=60°,

ZCDB'=90°-ZADB'=90°-15°=15°,Z.CBE=ZABC一ZABB'=90°-60°=30°

，Z.BFC=90°-ZCBE=90°-30°=60°=ZEFD,

?/DE±BE,

：.Z.EDF=90°-ZEFD=90°-60°=30°,

NEDB'°=NCDB'+ZEDF=150+30°=45°,

NEB'D=90°-NEDB'=45°,

ED=EB',

力班’是等腰直角三角形;

cosNEDB'=cos45°==——,

DB'2

連接2。,

，NCBD=/CDB=45°,

,：ZADB'=15°,

：.NBDB'=ZADB'-ZADB=75。-45。=30°=/EDC,

，cosZCDB=cos45°=—=—,

BD2

.DEDCDEDB'

??=,nn,

DB'DBDCDB

：.—BDB's,CDE,

CECD

故答案為：等腰直角三角形，及；

(2)解：①(1)仍然成立，理由如下，

當(dāng)0°<a<360。且切工90。時(shí)，ZBAB'^a,ZB'AD=ZBAB'-ZBAD=?-90°,

；AB=AB',

\NABB'=ZAB'B=1(180°-ZR4")=；x(180°-a)=90°-：a,

：AB'=AD,

\ZAB'D==g(180°-ZB,AD)=-x(180°-6Z+90°)=135°-1a,

?.ZEB'D=ZAB'D-ZAB'B=135°--tz-190°--a|=45°,

2I2)

；DEYBB',

\NEDP=90°—NEB'D=45°,

.?一DEB'是等腰直角三角形;

如圖所示，連接80,

B'

AZCBD=ZCDB=45°=,ZCDB=ZADB=ZBfDE=45°,

fCD

：.Z.CDA+AADE=ZB,DE+AADB+AADE,即ZBD￡=ZKD3,

,.B'D_BD

*ED~CD

.B'D_ED

9，~BD~~CD

:.一BDB's_CDE,

CECD

???（1）仍然成立;

②第一種情況，如圖所示，以點(diǎn)？，E,C,。為頂點(diǎn)的四邊形CED9是平行四邊形,

??點(diǎn)產(chǎn)是C2EE的中點(diǎn)，DECB1,

\B,F=EF=-B,E,DF=CF=-CD,NEDF=NB'CF,

22

??EF=-DE,

2

:BC=CD,

??CF=-BC,

2

.EFCF

?訪一蒼’

.EFED

*CF-CB，

??DE1.BE,

??/E=NBCF=90。=NCB'F,

?.一DEFsBCF,

??.ZEDF=ZCBF,

：.AB'CF=ZCBF,且Z.CSF=ZCBfB=ZBCF=90°,

BCFs_BB'Cs_CB'F,

?,?-B-C=-B-'B=-C-B'=2c,

CFB'CB'F

：.BB'=4B'F,則BE=6B'F,B'E=2B'F,

.BE6B'Fc

??---=-------=3；

B'E2B'F

第二種情況，如圖所示，以點(diǎn)g,E,C,。為頂點(diǎn)的四邊形MECD是平行四邊形,

ACD=B'E,B'D=EC,CDB'E,

,：DE1.BE,

：.NCDA=NB'ED=90。,

：.ZB'ED+/BAD=90°+90°=180°,

；.點(diǎn)B'、E、C三點(diǎn)共線，點(diǎn)4E重合，

/.B'E=AB=BE,

.BE

??------1:

B'E

BF

綜上所述，及的值為1或3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值的計(jì)

算，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(1)①60。；②證明見解析

(2)30°或52.5°或75。

【分析】(1)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得C4=CB,ZACB=60°,則VABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角

形的性質(zhì)可得NC4F=30。，由角平分線的定義可得NC4F=15。，ZBCE=45。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和

定理即可得，AEC的度數(shù)；

②在屈4上截取￡H=EC,連接C",證明一.BCE均AC"(SAS),可得BE=AH,即可得證；

(2)當(dāng),.EPC為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)EP=EC時(shí),②當(dāng)EP=C尸時(shí)，③當(dāng)=時(shí),

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出ZAEC的度數(shù).

【詳解】(1)解：①:將線段CS繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后得C4,

ACA=CB9ZACB=60°,

???VABC是等邊三角形，

???ZCAB=60°9

???AF1BC,

：.ZCAF=-ABAC=-x60°=30°,

22

???BCYMN,

：.NBCM=9。。,

TAP平分NE4C,CE平分NBCM,

：.ZCAE=-ZCAF=ix30°=15°,/BCE=-ZBCM=-x90°=45°,

2222

???ZAEC=180?！猌CAE-ZBCE-ZACB=180。-15?！?5°-60°=60°,

???/AEC的度數(shù)為60。；

②證明：如圖，在E4上截取￡H=￡C,連接CH,

,/ZAEC=60°,

???_￡(/是等邊三角形，

:?CE=CH,ZECH=60°,

ZBCE=45°f

：.ZPCH=ZECH-ZBCE=60°-45°=15°,

???ZACH=ZACB-Z.PCH=60°-15°=45°,

ZACH=ZBCE,

在/5CE和-ACH中,

CE=CH

<ZBCE=ZACH,

CB=CA

.?.一BCEHACH(SAS),

BE=AH,

：.AE=EH+AH=CE+BE；

(2)解：???將線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后得C4,

ACA^CB,NAC3=60。，

...VABC是等邊三角形，

ZCAB=60°,

?/AFIBC,

Z.ZCAF=-ZBAC=-x60°=30°,

22

:CE平分NBCM,

：.ZCAE=-ZCAF=-x30°=15°,

22

ZEPC=ZACB+Z.CAE=60°+15°=75°,

當(dāng).EPC為等腰三角形時(shí)，分三種情況：

①當(dāng)EP=EC時(shí),

:.NEPC=NECP=I5。,

：.ZAEC=180°-NEPC-ZECP=180°-75°-75°=30°；

②當(dāng)EP=CP時(shí)，

ZAEC=ZECP,

：.ZAEC=1(180°-Z￡P(guān)C)=1x(180°-75°)=52.5°；

③當(dāng)EC=PC時(shí)，

ZAEC=/EPC=75。；

綜上，NAEC的度數(shù)為30。或52.5。或75。.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義,

全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，利用分類討論的思想解決

問題是解題的關(guān)鍵.

3.⑴①后，3d=27;②3代+3

(2)①見解析；②(1)中的正方形，面積較大.

【分析】(1)①由正方形的性質(zhì)結(jié)合題意可求出/跖8=30。，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)

得出FB=2BE=2x,再根據(jù)勾股定理即可求出=最后根據(jù)正方形的面積公式列方程即可;

②根據(jù)直接開平方法求出X的值，即可求出班和AE的長(zhǎng)，最后根據(jù)鉆=鉆+虛求解即可；

（2）①過點(diǎn)A作4W_L8C,設(shè)AM為裁剪線，將一繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得出△A￡W,從而可

證四邊形AMCN為正方形，即此時(shí)拼出的正方形面積最大；

②由（2）①可知NAMB=90。，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，可求出A"的長(zhǎng)，

從而可求出S正方j(luò)g.cN，最后比較即可.

【詳解】（1）解：①：四邊形皿G為正方形，

ZAEF=90°,

NBEF=90。.

'：/=60。，

NEFB=30。,

：.FB=2BE=2x,

EF=dFB?-BE。=瓜，

,,S正方形MR；=EF?=3x2=27.

故答案為：氐，3/=27;

②解：3爐=27,

X2=9,

X]=3,尤2=一3（舍）,

:.BE=3,AE=EF=3』,

AB=AE+BE=3^>+3.

故答案為：3百+3;

（2）解:①過點(diǎn)A作4W_LBC,設(shè)AM為裁剪線，

???圖1中的四邊形紙片1與圖2中的四邊形紙片2形狀相同,

AB=AD,ZBAD=90°,

/.將一ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得出AADN，如圖，

：.AM=AN,ZB=ZADN,ZBAD=90°.

ZBCD=90°,

ZB+ZAZX?=180°,

ZADC+ZADN=180°,

：.C,D、N三點(diǎn)共線，

ZN=ZMCN=ZAMC=90°,

四邊形AMCN為矩形，

...矩形AMGV為正方形，即此時(shí)拼出的正方形面積最大；

②由（2）①可知NAMB=90。，

又：圖1中的四邊形紙片1與圖2中的四邊形紙片2形狀相同，

二ZBAM=30°,

：.BM=-AB=-x—^=-s/3,

2233

AM=y/AB2-BM2=5，

=

,,S正方形AWCN㈤=25,

A（1）中的正方形，面積較大.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方

程，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí).利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

4.⑴30。；（2^-3,0）

2

⑵點(diǎn)。'在/BAC的角平分線上，石+應(yīng)+]

（3）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)的定義，求出tan/SAO,即可得出結(jié)論，在》軸上取一點(diǎn)。，使AT>=CD,

連接CD,構(gòu)建等腰三角形，設(shè)OC=a,CD=2a,OD=瓜,根據(jù)。4=OD+AD列方程求解即可.

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)O'在-3AC的角平分線上，再等腰直角三角形、30。直角三角形的

邊長(zhǎng)關(guān)系，根據(jù)AB=AK+HK+3H,列方程得也廠+廠+0r=2,即可求內(nèi)切圓的半徑.

（3）先確定過點(diǎn)8與相切的直線位置，再根據(jù)圖形結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析即可.

【詳解】（1）A（0,V3）,B（-l,0）,

:.OA=y/3,OB=l,AB=2,

OB1_V3

tan/BAO=

:.ZBAO=30°

在y軸上取一點(diǎn)。，使AD=CD,連接CO,

由直線AB繞著點(diǎn)A逆旋轉(zhuǎn)45。得直線AC,

可知NBAC=45。，

.\ZOAC=15°,

AD=CD,

ZACD=ZOAC=15°,

ZDCO=60°,ZODC=30°,

設(shè)OC=a,則CD=AD=2a,OD=6cl,

,**OA=AD+OD,即y/Sci+2cl=V3，

a—26—3，

.??點(diǎn)C坐標(biāo)為(26-3,0).

(2)。與A3,AC相切，

圓心O'到AB,AC的距離相等，

點(diǎn)。'在NA4c的角平分線上，

當(dāng)O,與VABC三邊均相切時(shí)，

所以80'是/ABC的角平分線,

VZBAC=45°,ZABC=60。，

/.NBA。=-ABAC=22.5°,ZABO'=-ZABC=30°,

22

如圖：。'與A3相切于a,設(shè),。'的半徑為-，即0月=廠，

NBHO=ZAH。=90。,

：.BH=底,

在A"上取一點(diǎn)K,使AK=O'K,

AOAK=ZKCfA=22.5°,

ZHKO=ZHO'K=2NOAK=45°,

：.HK=r,O'K=AK=yf2r,

VAB=AK+HK+BH,即：丘+廠+揚(yáng)=2,

.2

,?~用0+]

(3)如圖：(7與AB相切于在AHr上取一點(diǎn)K,使HK=OH,

：.ZHKO=ZHOK=45°,

,?*。'的半徑為0-1,即O7f=HK=0-l,

KO'=y/2O'H=42(42-l)=2-y/2,

?；ZHKO'=ZO'AB+ZKO'A=45°,由(2)得ZBAO'=|ABAC=22.5°,

Z.OAB=ZKOA=22.5°。

AK=O'K=2-y[2,

AH=HK+AK=y[2-l+2-y/2=l,

：.BH=AB-AH=1,

，AH=BH,

又"?OH=OH,NBHO=ZAHO'=90°,

.AHO'^BHO'(SAS)

：.Z.OAB=ZO'BA=22.5°,

過點(diǎn)B作班T與O'相切與異于點(diǎn)H的一點(diǎn)”，

ZO'BH'=ZO'BA=22.5°,

NABH'=45。,

/.ZCBH'=ZABC-ZABH'=15°,

...當(dāng)0。<￡<15?；?0。<&<180。時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的x軸與圓O'相離，

當(dāng)。=15?；?lt;z=60。時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的x軸與圓O'相切，

當(dāng)15。(以<60。時(shí),旋轉(zhuǎn)后的x軸與圓O'相交.

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的概念，正切函數(shù)的定義，勾股定理，三角形內(nèi)切圓等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角

形內(nèi)切圓的等面積法求半徑是解決問題的關(guān)鍵.

5.(1)①作圖見解析；②2；③百

(2)加<-5或0(根<2

【分析】(1)①取點(diǎn)4卜也」)，連接OA即可；

②線段OC的長(zhǎng)即為所求；

③如圖2中，連接AC,過點(diǎn)A作AELOC于E,過點(diǎn)。作ODLAC于。，求出線段。。的長(zhǎng)即可;

(2)如圖3中，由題意記線段A3為圖形線段P。為圖形N,其中旋轉(zhuǎn)角為a,設(shè)△OAB逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)180。后得△OAB，，點(diǎn)？是點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)A是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)尸作

PFJL/W于點(diǎn)尸，先分別求出當(dāng)機(jī)=-5時(shí)，當(dāng)〃=z0時(shí)，當(dāng)〃?=2時(shí)的“轉(zhuǎn)后距”，再結(jié)合圖像即可得

出滿足條件的小的值.

【詳解】(1)解：①如圖，取點(diǎn)4卜石,1),連接Q4'、

；?OA'=’(可+儼=2,

VA(1,V3),

OA—+F=2,A'A~=A/3—lj+—A/3)=8,

OA=OA,OA^+OA2=4+4=8=A^2,

ZAOA'=90°,

；?線段。4繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。4',即為圖形AT,

則線段OA即為圖形即為所作；

②點(diǎn)C（2,0）為圖形N,

/.OC=2,

觀察圖像可知圖形除點(diǎn)(0,0)外都在第二象限,

“轉(zhuǎn)后距”為：OC=2,

故答案為：2；

③如圖2中，連接AC,過點(diǎn)A作于E,過點(diǎn)。作ODLAC于D,

VA（1,V3）,C（2,0）,

:.AE=6OC=2,CF=2-1=1,

在Rt_ACE中,AC=AE?+EC。=?用+1。=2,

VS..oc=2-O2CAE=-ACOD,

.ccAEOCV3x2A

??LJL）----------------------75,

AC2

???“轉(zhuǎn)后距”為G；

圖2

(2)如圖3中，由題意記線段A3為圖形線段P。為圖形N,其中旋轉(zhuǎn)角為設(shè)△Q鉆逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)180。后得△OA夕，點(diǎn)？是點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)A是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)尸作

RF_LAB于點(diǎn)產(chǎn)，

VA(1,V3),3(4,0),

1,—\/3j,9(-4,0),

當(dāng)機(jī)=一5時(shí)，F(xiàn)(-5,0),則尸B'=T—(―5)=1,

當(dāng)力<-5時(shí),“轉(zhuǎn)后距''大于1,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，Q-g'—g，則"'=j(—1+g)++^=1'

當(dāng)m=2時(shí)，P(2,0),

VA(1,V3),3(4,0),

；?04=⑹>仔=2,03=4,AB=J(l_4,+(廚=2若,

Ofic+AB2=4+12=16=OB2,

ZQ4B=90°,

VPFVAB,尸(2,0),

:.NPFB=90。=NOAB,OP=2,

：.PF//OA,PB=OB-OP=4-2=2=-OB,

2

:.APra^AOAB,

.PFPB\BnPF1

OAOB222

???PF=1,

.,.當(dāng)0〈力<2時(shí),“轉(zhuǎn)后距''大于1,

，滿足條件的機(jī)的取值范圍為：m<-5或0<〃?<2.

圖3

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，坐標(biāo)與圖形，勾股定理及勾股定理的逆定理,

兩點(diǎn)間距離，相似三角形的判定和性質(zhì)，“轉(zhuǎn)后距”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用

所學(xué)知識(shí)解決問題，第二個(gè)問題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用圖像法并結(jié)合特殊點(diǎn)解決問題.

6.(1)證明過程見詳解

Q)BM+MN=D1^DN+MN=BM,理由見詳解

(3)AP=3A/10

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，等腰直角三角板的性質(zhì)可得/核W=45。，NDAN+NBAM=45。,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證%MW(SAS),可得腔=MN,根據(jù)=即可求證；

(2)分類討論，第一種情況，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左邊，點(diǎn)N在點(diǎn)C下方，將一繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得△ADG,連接MG,AN,MG交于點(diǎn)4,可得△ABM當(dāng)△ADG,再證、qGHN(SAS),即

可求解；第二種情況，當(dāng)點(diǎn)〃在點(diǎn)C右邊，點(diǎn)N在點(diǎn)O上方，將△AON繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

ABG,同理，ADN^,ABG,可證,AGM經(jīng)4VM(SAS),由此即可求解；

(3)連接AC,運(yùn)用勾股定理可得CN=6,BC=6,AN=6下,根據(jù)三角形相似的判定和性質(zhì)可

得.ABPsACN,由此即可求解.

【詳解】(1)證明：：四邊形ABCO是正方形，

AB=BC=CD=AD,Z.ABC=/BCD=^ADC=/RAD=90°,

根據(jù)直角三角板的性質(zhì)可得，ZMAN=45°,

：.ZDAN+ZBAM=45°,

:將△ADN繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ABE,

：.ZDAN=ZBAE,AN=AE,DN=BE,ZBAE+ZBAM=45°=ZMAN,

在中,

AE=AN

</EAM=/NAM,

AM=AM

?,.一E4〃名:M4M(SAS),

：.ME=MN,

?：BE+BM=ME,

：.BM+DN=MN；

(2)解：BM+MN=DN或DN+MN=BM,理由如下，

第一種情況，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)3左邊，點(diǎn)N在點(diǎn)。下方，如圖所示,

???四邊形A5CD是正方形，

，ZBAD=90°,

???將一ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△ADG,連接MG,AN,MG交于點(diǎn)

:.△ABM^^ADG,

:.BM=DG,AM=AG,ZMAB=Z.GAD,NM4G=90。，

根據(jù)等腰直角三角板可得，ZMAN=45°=ZMAB+ZBAN,

：.ZBAN+ZGAD=45°,

：./GAN=45。=/MAN,

???■平分NM4G,且枚二AG,

：.AHYMG,且AH平分MG,即ZNHM=ZNHG=900,MH=GH,

在AMflN,△GHV中，

MH=GH

<ZMHN=/GHN,

HN=HN

：.,MHN-GHN本網(wǎng),

MN=NG,

■:DG+NG=DN,

：.BM+MN=DN^

第二種情況，當(dāng)點(diǎn)”在點(diǎn)C右邊，點(diǎn)N在點(diǎn)。上方，如圖所示,

將△MW繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得ABG,

同理，ADN^ABG,

：./DAN=/BAG,

根據(jù)等腰直角三角版可得，ZMAN=/DAN+NDAM=45。,

：.ZBAG+ZDAM=45°,

???ZGAM=45°=ZNAM,

在ZvlGM,中，

AG=AN

<ZGAM=ZNAM,

AM=AM

：.AGM^AW(SAS),

：.MG=MN,

;BG+MG=BM,

：.DN+MN=BM；

(3)解：如圖所示，連接AC,

四邊形ABCD是正方形，

AZBCD=90°,則/3C7V=90°,

在RtCMV中，MN=10,CM=8,

CN=\/MN2-CM2=7102-82=6>

由（2）中可得，BM+MN=DN,且CM=&W+BC,BC=CD,

：.CM-BC+MN=BC+CN,即8—8C+10=3C+6,

解得，BC—6,

.?.在Rt^ABC中，AC=BD=6五,且N&4C=ZACB=45。，

在RCADN中，AD=BC=6,DN=CD+CN=12,

AN=^AEr+DN2=A/62+122=675,

?/ZBAP+ZBAN=45°,/BAN+Z.CAN=45°,

/BAP=/CAN,

ZMBP=ZCBD=45°,

：.ZABP=ZABM+ZMBP=90°+45°=135°,ZACN=ZACB+ZBCN=45°+90°=135°,則

ZABP=ZACN,

:.ABPs.ACN,

,ABAP

"AC"A7V）

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握上述知識(shí)，合理作出輔助線，圖形結(jié)合，分類討論思想是解

題的關(guān)鍵.

7.(1)PM=PN,PM±PN

(2).PMN是等腰直角三角形

⑶2

2

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理得PN〃m，PN；BD,PM//CE,PM《CE,從而得出

22

PM=PN,PMLPN；

(2)首先利用SAS證明得ZABD=ZACE,BD=CE,再由(1)同理說(shuō)明結(jié)論成

立；

(3)先判斷出"N最大時(shí)，.尸MN的面積最大，進(jìn)而求出AN,A”,即可得出MN最大+4V,

最后用面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：.點(diǎn)P,N是BC,C。的中點(diǎn)，

.-.PNBD,PN=-BD,

2

.點(diǎn)P,M是CD,DE的中點(diǎn)，

:.PMCE,PM=-CE,

2

AB=AC,AD^AE,

BD=CE,

/.PM=PN,

PNBD,

,\ZDPN=ZADC9

PMCE,

,\ZDPM=ZDCAf

ABAC=90°,

:.ZADC+ZACD=90°9

/MPN=ZDPM+ZDPN=ZDC4+ZADC=90°,

:.PM工PN,

故答案為：PM=PN,PM±PN；

（2）解：-PAW是等腰直角三角形.

理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，ZBAD=ZCAE,

AB=AC,AD=AE,

ABO緣ACE（SAS）,

.\ZABD=ZACEfBD=CE,

利用三角形的中位線得，PN=；BD,PM=gcE,

:.PM=PN,

△尸跖V是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

:.ZDPM=ZDCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

:.ZPNC=ZDBC,

ZDPN=ZDCB+/PNC=NDCB+ZDBC,

ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+Z.DBC=Z.BCE+ZDBC

=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

Zfi4c=90。，

ZACB+ZABC=90°,

:.ZMPN=90°,

.?.△PAW是等腰直角三角形；

(3)解：如圖，同(2)的方法得，是等腰直角三角形，連接⑷V,AM,

?/MN<AM+AN,

當(dāng)點(diǎn)AM,N三點(diǎn)共線時(shí)，MN最大,

如圖：

.PW的面積最大,

MN最大=AM+AN,

在VADE中，AD=AE=2,ZDAE=90°,

，由勾股定理得：DE=72AD=2A/2,

:點(diǎn)M為DE中點(diǎn)，

:.AM=-DE=^H,

2

在RtaABC中，AB=AC=4,同上可求4V=2a,

MN量大=2應(yīng)+72=372,

同上可得：MN=y/2PM，

PM=—MN,

2

2w2=2

???S,N最大=1?=|x|rG夜)=|?

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，三角形中位線定理，三角形的三邊關(guān)系和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，證明PMN是等腰直角三角形是解

題的關(guān)鍵.

8.(1)見解析

(2)①OE=OF,證明見解析；②:

嗚

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)證明四邊形AE。歹是矩形，再得=即可解決問題；

(2)①證明AEOgBFO(ASA),可得。E=。尸即可；

②先根據(jù)正方形的性質(zhì)得。4=03=OC,ZAOB^ZBOC^90°,則NOBE=NQ4E=45。，

ZOCF=ZOBF=45°,所以NOBE=NOB,由OE_LO尸得NEOb=90°,則

ZBOE=ZCOF=90°-ZBOF,即可證明△"?￡1四△(%)尸，于是得BE=CF,根據(jù)四邊形OE4r的

面積=Z\AOB的面積=J正方形ABCD的面積，即可解決問題；

4

(3)延長(zhǎng)M2至點(diǎn)G,使GQ=MN,連接PG,證明二PGQ且二尸MN(SAS),可得PG=PM,

/GPQ=/MPN,所以△PGM為等腰直角三角形，所以四邊形尸QMN的面積=等腰直角三角形PGM

的面積，進(jìn)而可以解決問題.

【詳解】(1)證明：:四邊形ABCD是正方形，

AZDAB=9Q°,ZZMC=45°,

VOELOF,OE±AD,

：.ZDAB=ZOEA=/EOF=90°,

???四邊形AEO尸是矩形，

VZZMC=45°,

OE=AE,

???四邊形AEOF是正方形；

(2)解：?OE=OF,

證明：???四邊形ABC。是正方形，

OA=OB,ZEAO=ZFBO=45°,

'：ZEOF=ZAOB=90°,

：.ZEOA=ZFOB,

???"O23FO(ASA),

OE=OF；

②;四邊形ABC。是正方形，

AC=BD,AC1BD,OA=OC=^AC,OB=OD=^BD,

：.OA=OB=OGZAOB=ZBOC=90°,

：./OBE=ZOAE=45°,ZOCF=ZOBF=45°,

:.ZOBE=ZOCFf

9：OELOF,

：.ZEOF=90。,

ZBOE=ZCOF=90°-ZBOF,

???，50石會(huì).CO尸(ASA),

△BOE的面積jCOF的面積，

二.四邊形OE4F的面積=z\AO5的面積=。正方形ABC。的面積=：xl=：；

444

(3)解：如圖，延長(zhǎng)MQ至點(diǎn)G,使GQ=MN,連接PG,

,.?ZQPN=ZQMN=90°,

...ZPQM+ZN=1SO°,

,.?ZPQM+ZPQG=180。，

.??ZPQG=ZNf

?.?PQ=PN,

；?_PGQAPMN(SAS),

:.PG=PM,ZGPQ=AMPN,

：.ZGPM=ZGPQ+ZQPM=ZMPN+ZQPM=90°,

???△尸GM為等腰直角三角形，

???PM=9,

1QI

四邊形PQMN的面積=等腰直角三角形PGM的面積：X92=?.

22

【點(diǎn)睛】此題是四邊形的綜合題，考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)

正方形性質(zhì)求出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.

9.(1)150°,見解析；(2)@BE2+CF2=EF2,見解析；②25

【分析】（1）連接尸P,根據(jù)題意得到AP=AP=3,NR4P=60。，BP=CP=4,ZAPB=ZAP'C,

進(jìn)而得到，APP''為等邊三角形，尸尸=AP=3,ZAPP=60。，根據(jù)勾股定理逆定理證明二PPC是直角

三角形，且NPP'C=90。，即可求出NAPF=NAP'C=150。；

（2）①證明/3=NACB=45。，將.54E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到一CAD,連接。歹，得到

NBAE=NDAC,ZACD=ZB=45°,AD=AE,BE=CD,進(jìn)而得到“CE=90。，根據(jù)勾股定理得

至UDF-=CF2+CD2=CF2+BE2，證明AAEF絲△AD尸，得至UEF=。F，即可得至UBE2+CF2=EF2；

②將ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得至hA3P,連接PP,A'C,即可得到ZABA!NPBP=60°,

AB=AB=4,BP=BP,AF=AP,從而得到二BPP為等邊三角形，ZAfBC=90°,取=小，根據(jù)

兩點(diǎn)之間線段最短得到R4+PB+PC=AP+PP+CP\AC,即可得到當(dāng)且僅當(dāng)A,P,P,C四

點(diǎn)共線時(shí)，B4+P3+PC